正方形のタイル

ユークリッド平面の規則的なタイリング

正方形のタイル
タイプ	通常のタイリング
タイル	四角
頂点構成	4.4.4.4
シュレーフリ記号	${\displaystyle \{4,4\}}$
壁紙グループ	p4m
デュアル	自己双対
プロパティ	頂点推移、辺推移、面推移

幾何学において、正方形タイル張り、正方形モザイク、または正方形グリッドは、ユークリッド平面の各頂点の周囲に4つの正方形を配置した規則的なタイル張りである。ジョン・ホートン・コンウェイはこれをカドリールと呼んだ。^[1]

構造と特性

フローリングとゲームボード

正方形タイリングは、1種類の合同なプロトタイプである正方形から構成され、2つの頂点を他の同一の頂点と共有する構造を持ちます。これは単面体タイリングの例です。^[2]タイリングの各頂点は4つの正方形に囲まれており、頂点配置では または と表されます。^[3]正方形の頂点は格子と見なすことができるため、正方形タイリングは正方格子によって形成されます。^[4]このタイリングは、フローリングやゲームボードでよく知られています。^[5]これは自己双対 であり、各正方形の中心が隣接するタイルの別の中心に接続し、それ自体が正方形タイリングを形成します。^[6] ${\displaystyle 4.4.4.4}$ ${\displaystyle 4^{4}}$

正方形タイリングは、タイリングのフラグに対して推移的に作用します。この場合、フラグは、相互に接続するタイリングの頂点、辺、タイルで構成されます。簡単に言うと、すべてのフラグのペアには、最初のフラグを2番目のフラグにマッピングする対称操作があります。つまり、頂点推移的(タイルの頂点を別のタイルにマッピング)、辺推移的(辺を別のタイルにマッピング)、面推移的(正方形タイルを別のタイルにマッピング) です。これら3つの特性を満たすことで、正方形タイリングは3つの正則タイリングのいずれかに分類されます。残りは三角形タイリングと六角形タイリングで、そのプロトタイプはそれぞれ正三角形と正六角形です。^[7]正方形タイリングの対称群はp4mです。つまり、タイルのオーダー4の二面体群と、反射線上にある4つの正方形に囲まれた頂点の周りのオーダー2の二面体群があります。 ^[8]

正方形のタイル張りは、垂直方向と水平方向に配置された無限個の円の集合体によって交互に形成され、各点の中心における等しい直径が他の4つの円と接しています。^{[9]最も密に詰め込まれた円は[10]}です。 ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}\approx 0.785}$

位相的に等価なタイリング

等面体タイリングは、面が同一（面推移性）かつ頂点推移性を持つ。18種類のバリエーションがあり、そのうち6種類は辺と辺が繋がっていない三角形、または2辺が同一線上にある四辺形である。対称性は、すべての面が同じ色であることを前提としている。^[11]

12 個の等面体四辺形タイリングと、端から端までタイリングしない 6 個の三角形タイリング。

関連する正則複合アペイロゴン

正方複素アペイロゴンは3つあり、正方形のタイルの頂点を共有しています。正方複素アペイロゴンは頂点と辺を持ち、辺は2つ以上の頂点を持つことができます。正方複素アペイロゴンp{q}rは、1/ p + 2/ q + 1/ r = 1という制約を受けます。辺はp個の頂点を持ち、頂点図形はr角形です。^[12]

自己双対	デュアル
4{4}4または	2{8}4または	4{8}2または

参照

• フェネストラネ
• ラングトンのアリ
• ポリオミノ

参考文献

1. コンウェイ、ジョン・H.、バーギエル、ハイディ、グッドマン＝ストラウス、チャイム (2008). 『事物の対称性』 AKピーターズ. p. 288. ISBN 978-1-56881-220-5。
2. アダムス、コリン (2022). 『タイリングブック：タイリングの数学的理論入門』アメリカ数学会. pp. 23. ISBN 9781470468972。
3. Grünbaum & Shephard (1987)、59ページ。
4. Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Tilings and Patterns . WH Freeman. p. 21, 29.
5. ロレンゾ、サドゥン (2008). タイリング空間の位相幾何学. アメリカ数学会. p. 1. ISBN 978-0-8218-4727-5。
6. Nelson, Roice; Segerman, Henry (2017). 「双曲型ハニカムの可視化」. Journal of Mathematics and the Arts . 11 (1): 4– 39. arXiv : 1511.02851 . doi :10.1080/17513472.2016.1263789.
7. Grünbaum & Shephard (1987)、35ページ。
8. Grünbaum & Shephard (1987)、p. 42、記号の詳細についてはp. 38を参照。
9. ウィリアムズ、ロバート (1979). 『自然構造の幾何学的基礎：デザインの原典』ドーバー出版. p. 36. ISBN 0-486-23729-X。
10. O'Keeffe, M.; Hyde, BG (1980). 「結晶化学における平面ネット」.ロンドン王立協会哲学論文集. シリーズA, 数学・物理科学. 295 (1417): 553– 618. Bibcode :1980RSPTA.295..553O. doi :10.1098/rsta.1980.0150. JSTOR  36648. S2CID  121456259.
11. Grünbaum & Shephard (1987)、473–481ページ。
12. Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 111-112、p. 136。

• コクセター『HSM 正多面体』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8p. 296、表II：規則的なハニカム

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「スクエアグリッド」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「正則テッセレーション」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「均一テッセレーション」。MathWorld。

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	均一なタイリング	0 [3]	δ3	hδ3	qδ3	六角
E 3	均一な凸型ハニカム	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
E4​	均一な4ハニカム	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24セルハニカム
E 5	均一な5ハニカム	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	均一な6ハニカム	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	均一な7ハニカム	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E8​	均一な8ハニカム	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E9​	均一な9ハニカム	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	均一な10ハニカム	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n −1	均一な（n −1）ハニカム	0 [ n ]	δ n	hδ n	qδ n	1 k 2 • 2 k 1 • k 21

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