正多面体の一覧
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| 正多角形（2次元） | |
|---|---|
| 凸型 | 星型 |
 {5} |  {5/2} |
| 正多面体（3D） | |
| 凸型 | 星型 |
 {5,3} |  {5/2,5} |
| 正四次元多面体 | |
| 凸型 | 星型 |
 {5,3,3} |  {5/2,5,3} |
| 正二次元モザイク | |
| ユークリッド | 双曲型 |
 {4,4} |  {5,4} |
| 正多角形 | |
| ユークリッド | 双曲型 |
 {4,3,4} |  {5,3,4} |
この記事では、ユークリッド空間、球面空間、双曲空間における正多面体を列挙します
概要
[編集]この表は、正多面体の数を順位別にまとめたものです
ランク | 有限 | ユークリッド | 双曲型 | 抽象 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| コンパクト | パラコンパクト | ||||||||
| 凸型 | 星型 | スキュー[ a ] [ 1 ] | 凸型 | スキュー[ a ] [ 1 ] | 凸型 | 星型 | 凸型 | ||
| 1 | 1 | なし | なし | なし | なし | なし | なし | なし | 1 |
| 2 | ∞ | ∞ | なし | 1 | なし | 1 | なし | なし | ∞ |
| 3 | 5 | 4 | 9 | 3 | 3 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
| 4 | 6 | 10 | 18 | 1 | 7 | 4 | なし | 11 | ∞ |
| 5 | 3 | なし | 3 | 3 | 15 | 5 | 4 | 2 | ∞ |
| 6 | 3 | なし | 3 | 1 | 7 | なし | なし | 5 | ∞ |
| 7+ | 3 | なし | 3 | 1 | 7 | なし | なし | なし | ∞ |
いかなる次元数においても、ユークリッド正規の星型モザイク模様は存在しません。
1次元多面体
[編集] | コクセター図は鏡面「平面」をノードとして表し、点が平面上にない場合はノードの周りにリングを配置します。ディオン{}、 は、点pとその鏡像点p'、およびそれらの間の線分です。 |
階数1の多面体（1-多面体）は1つしか存在しない。これは、2つの端点によって囲まれた閉線分である。この1-多面体の実現はすべて正則である。これはシュレーフリ記号{} [ 2 ] [ 3 ]、または1つの環状ノードを持つコクセター図で表される。ノーマン・ジョンソンはこれをディオン[ 4 ]と呼び、シュレーフリ記号{}を与えた。
多面体としては自明であるが、多角形やその他の高次元多面体の辺として現れる。 [ 5 ]シュレーフリ記号{}×{p}やコクセター図のような一様プリズムの定義に用いられる。
線分と正多角形の直積として。 [ 6 ]
2次元多面体（多角形）
[編集]階数2の多面体（2次元多面体）は多角形と呼ばれます。正多角形は正二辺形で、円環形です。p角形正多角形はシュレーフリ記号{p}で表されます
多くの文献では凸多角形のみを扱っていますが、五芒星のような星型多角形も正則多角形になり得ます。星型多角形は凸多角形と同じ頂点を持ちますが、円周を複数回周回する交互接続で接続することで完成します。
凸
[編集]シュレーフリ記号{p}は正p角形を表します
| 名前 | 三角形 （2単体） | 正方形 （2正多面体） （2立方体） | 五角形 （2五角形 多面体） | 六角形 | 七角形 | 八角形 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| シュレーフリ | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | {8} | |
| 対称性 | D 3 , [3] | D 4 , [4] | D 5 , [5] | D 6 , [6] | D 7 , [7] | D 8 , [8] | |
| コクセター |  |  |  |  |  |  | |
| 画像 |  |  | |  |  |  | |
| 名前 | 九角形 （エニアゴン） | 十角形 | 12角形 | 12角形 | 13角形 | 14角形 | |
| シュレーフリ | {9} | {10} | {11} | {12} | {13} | {14} | |
| 対称性 | D 9、[9] | D 10、[10] | D 11 , [11] | D 12 , [12] | D 13 , [13] | D 14 , [14] | |
| ディンキン |  |  |  |  |  |  | |
| 画像 |  |  |  |  |  |  | |
| 名前 | 15角形 | 16角形 | 17角形 | 18角形 | 26角形 | 20角形 | p角形 |
| シュレーフリ | {15} | {16} | {17} | {18} | {19} | {20} | { p } |
| 対称性 | D 15 , [15] | D 16 , [16] | D 17、[17] | D 18、[18] | D 19、[19] | D 20 , [20] | D p , [p] |
| ディンキン |  |  |  |  |  |  | |
| 画像 |  |  |  |  |  |  |  |
球状
[編集]正二角形{2}は退化した正多角形とみなすことができます。球面やトーラスの表面など、いくつかの非ユークリッド空間では非退化的に実現できます。例えば、二角形は球面状の三角錐として非退化的に実現できます。一角形{1}も球面上で、大円を通る一点として実現できます。[ 7 ]しかし、一角形は1辺が2つの頂点ではなく1つの頂点にしか接続されていないため、 有効な抽象多面体ではありません。
| 名前 | モノゴン | ダイゴン |
|---|---|---|
| シュレーフリ記号 | {1} | {2} |
| 対称性 | D 1 , [ ] | D 2 , [2] |
| コクセター図 | または  | |
| 画像 |  |  |
星
[編集]二次元には、シュレーフリ記号が有理数{ n / m }で構成される正星型多面体が無数に存在します。これらは星型多面体と呼ばれ、凸正多面体と同じ頂点配置を共有します。
一般に、任意の自然数nに対して、m < n /2（厳密には{ n / m } = { n /( n − m )} ）かつ m と n が互いに素である（したがって、辺数が素数の多角形の星形はすべて正多角形となる）ようなすべての m に対して、シュレーフリ記号 { n / m }で表される正多角形が存在する。mとnが互いに素でない記号は、複合多角形を表すために使用されることがある。
| 名前 | 五芒星 | 七芒星 | 八芒星 | エニアグラム | 十芒星 | … nグラム | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| シュレーフリ | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} | {9/2} | {9/4} | {10/3} | { p/q } |
| 対称性 | D 5 , [5] | D 7 , [7] | D 8 , [8] | D 9 , [9], | D 10、[10] | D p、[ p ] | ||
| コクセター |   | |  | | |  | |  |
| 画像 | |  |  |  |  |  |  | |
 {11/2} |  {11/3} |  {11/4} |  {11/5} |  {12/5} |  {13/2} |  {13/3} |  {13/4} |  {13/5} |  {13/6} | |
 {14/3} |  {14/5} |  {15/2} |  {15/4} |  {15/7} |  {16/3} |  {16/5} |  {16/7} | |||
 {17/2} |  {17/3} |  {17/4} |  {17/5} |  {17/6} |  {17/7} |  {17/8} |  {18/5} |  {18/7} | ||
 {19/2} |  {19/3} |  {19/4} |  {19/5} |  {19/6} |  {19/7} |  {19/8} |  {19/9} |  {20/3} |  {20/7} |  {20/9} |
モノゴンやダイゴンと同様に、球面タイリングとしてのみ存在できるスターポリゴンが存在する可能性があります (例: {3/2}、{5/3}、{5/4}、{7/4}、{9/5}) が、これらは詳細に研究されていません。
また、円の表面を有限回覆わないパイアングルのような失敗した星型多角形も存在する。 [ 8 ]
傾斜多角形
[編集]平面正多角形に加えて、正傾斜多角形は無限に存在します。傾斜多角形はブレンディング操作によって作成できます
2 つの多角形PとQのブレンド ( P # Qと表記) は次のように構築できます。
- 頂点の直積V P × V Qをとります。
- エッジ( p 0 × q 0、p 1 × q 1 )を追加します。ここで、 ( p 0、p 1 )はPのエッジであり、( q 0、q 1 )はQのエッジです。
- 結果の任意の接続コンポーネントを選択します。
あるいは、ブレンドは多角形⟨ρ0σ0、ρ1σ1⟩であり、ここでρとσは直交部分空間に配置されたPとQの生成ミラーです。 [ 9 ]ブレンド操作は可換、結合、および冪等です。
すべての正規の斜め多角形は、平面多角形の一意の[ i ]集合のブレンドとして表現できます。 [ 9 ] PとQに因数を共有しない場合は、 Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q )となります。
3次元空間において
[編集]3次元の正有限多角形は、平面多角形（2次元）と二角形（1次元）の正確な組み合わせです。それらの頂点は、プリズム（{ n / m }#{}、nは奇数）または反プリズム（{ n / m }#{}、nは偶数）に対応します。3次元空間のすべての多角形は、頂点と辺の数が偶数です
これらのうちいくつかは、正多面体のペトリー多角形として現れます。
4次元空間において
[編集]4次元の正有限多角形は、2つの異なる平面多角形の混合として形成される多角形です。それらの頂点はクリフォード・トーラス上に位置し、クリフォード変位によって関連付けられています。3次元多角形とは異なり、二重回転上の斜め多角形には奇数個の辺が含まれる場合があります
3次元多面体（多面体）
[編集]階数3の多面体は多面体と 呼ばれます
シュレーフリ記号 { p , q }を持つ正多面体、コクセター図
は、正則な面タイプ{ p }と正則な頂点図形 { q }を持ちます。
多面体の頂点図形とは、ある頂点から1辺だけ離れた頂点を結んだ多角形です。正多面体の場合、この頂点図形は常に正多角形（平面多角形）となります。
正多面体{ p , q }の存在は、頂点図形の角度の欠陥に関連する不等式によって制約されます。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{多面体（ユークリッド3次元空間に存在）}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{ユークリッド平面タイリング}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}{\frac {1}{2}}:{\text{双曲平面タイリング}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3e3112344f5e050eb160928c5170cabb51bcf8)
順列を列挙すると、5 つの凸形式、4 つの星型形式、3 つの平面タイリングが見つかります。これらの多角形{ p }と{ q }はすべて、{3}、{4}、{5}、{5/2}、および {6} に制限されます。
ユークリッド空間を超えると、規則的な双曲タイルの無限の集合が存在します。
凸
[編集]5つの凸正多面体はプラトン立体と呼ばれます。頂点の数は、それぞれの頂点の数で表されます。これらの多面体はすべて、オイラー特性（）が2です
| 名前 | シュレーフリ { p , q } | コクセター | 画像 （立体） | 画像 （球体） | 面 { p } | 辺 | 頂点 { q } | 対称性 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正四面体 （3単体） | {3,3} | |  |  | 4 {3} | 6 | 4 {3} | T d [3,3] (*332) | （自分） |
| 六面体 立方体 （3面体） | {4,3} | |  |  | 6 {4} | 12 | 8 {3} | ああ[ 4,3 ] (*432) | 八面体 |
| 八面体 （3-正方格子） | {3,4} | |  |  | 8 {3} | 12 | 6 {4} | ああ[ 4,3 ] (*432) | 立方体 |
| 12面体 | {5,3} | |  |  | 12 {5} | 30 | 20 {3} | 1 h [5,3] (*532) | 二十面体 |
| 正二十面体 | {3,5} | |  |  | 20 {3} | 30 | 12 {5} | 1 h [5,3] (*532) | 十二面体 |
球状
[編集]球面幾何学では、正多面体（球面のタイル張り）が存在します。これらは、本来は多面体として退化してしまうものです。これらは、{2,n}ホソヘドラとその双対二面体{n,2}です。コクセターはこれらのケースを「不適正な」タイル張りと呼んでいます。[ 10 ]
最初のいくつかのケース (n は 2 から 6) を以下に示します。
| 名前 | シュレーフリ {2,p} | コクセター 図 | 画像 （球体） | 面 {2} π/p | 辺 | 頂点 {p} | 対称性 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 直角同面体 | {2,2} | |  | 2 {2} π/2 | 2 | 2 {2} π/2 | D 2h [2,2] (*222) | 自己 |
| 三方晶系直面体 | {2,3} | |  | 3 {2} π/3 | 3 | 2 {3} | D 3h [2,3] (*322) | 三角二面体 |
| 正方無面体 | {2,4} | |  | 4 {2} π/4 | 4 | 2 {4} | D 4h [2,4] (*422) | 正方二面体 |
| 五角形細面体 | {2,5} | |  | 5 {2} π/5 | 5 | 2 {5} | D 5h [2,5] (*522) | 五角二面体 |
| 六角細面体 | {2,6} | |  | 6 {2} π/6 | 6 | 2 {6} | D 6h [2,6] (*622) | 六角形二面体 |
| 名前 | シュレーフリ {p,2} | コクセター 図 | 画像 （球体） | 面 {p} | 辺 | 頂点 {2} | 対称性 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 対角二面体 | {2,2} | |  | 2 {2} π/2 | 2 | 2 {2} π/2 | D 2h [2,2] (*222) | 自己 |
| 三角二面体 | {3,2} | |  | 2 {3} | 3 | 3 {2} π/3 | D 3h [3,2] (*322) | 三方晶系直面体 |
| 正方二面体 | {4,2} | |  | 2 {4} | 4 | 4 {2} π/4 | D 4h [4,2] (*422) | 正方無面体 |
| 五角二面体 | {5,2} | |  | 2 {5} | 5 | 5 {2} π/5 | D 5h [5,2] (*522) | 五角形細面体 |
| 六角形二面体 | {6,2} | |  | 2 {6} | 6 | 6 {2} π/6 | D 6h [6,2] (*622) | 六角細面体 |
任意の星型多角形{ p / q }には、星型二面体と直面体{ p / q ,2}と{2, p / q }も存在します
星
[編集]正多面体はケプラー・ポアンソ多面体と呼ばれ、正十二面体（{5,3}）と正二十面体（{3,5}）の頂点配置に基づいて4つあります
これらの星形は球面タイリングとして、球面を複数回重ね合わせており、その密度は3または7です。タイリング画像では、黄色の球面多角形面が1つ示されています。
| 名前 | 画像 （骨格） | 画像 （立体） | 画像 （球体） | 星型 図 | シュレーフリ { p , q }と コクセター | 面 { p } | 辺 | 頂点 { q } verf. | χ | 密度 | 対称性 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 小星型十二面体 |  | .svg) |  |  | {5/2,5} | 12 {5/2} | 30 | 12 {5} | −6 | 3 | 1 h [5,3] (*532) | 大十二面体 |
| 大十二面体 |  | .svg) |  |  | {5,5/2} | 12 {5} | 30 | 12 {5/2} | −6 | 3 | 1 h [5,3] (*532) | 小星型十二面体 |
| 大星型十二面体 |  | .svg) |  |  | {5/2,3} | 12 {5/2} | 30 | 20 {3} | 2 | 7 | 1 h [5,3] (*532) | 大二十面体 |
| 大二十面体 |  | .svg) |  |  | {3.5/2} | 20 {3} | 30 | 12 {5/2} | 2 | 7 | 1 h [5,3] (*532) | 大星型十二面体 |
失敗した星型多面体は無限に存在します。これらもシュレーフリ記号で星型多角形で表される球面タイリングですが、球面を有限回覆うことはありません。例としては、{5/2,4}、{5/2,9}、{7/2,3}、{5/2,5/2}、{7/2,7/3}、{4,5/2}、{3,7/3}などがあります
歪んだ多面体
[編集]正斜多面体は、非平面頂点図形の可能性を含む正多面体の集合の一般化です。
4次元の歪んだ多面体について、コクセターはこれらの図形に修正されたシュレーフリ記号{l,m|n}を提案した。{l,m}は頂点図形、頂点の周りのm個のl角形、そしてn角形の穴を意味する。これらの頂点図形は、2つの平面の間をジグザグに走る歪んだ多角形である。
{l,m|n}で表される正多面体は、次の式に従います。
そのうち 4 つは、同じ頂点配置と辺配置を共有する 4 つの正多面体の面のサブセットとして 4 次元で見ることができます。
 |  |  |  |
| {4、6 | 3} | {6, 4 | 3} | {4, 8 | 3} | {8, 4 | 3} |
|---|
4次元多面体（ポリコラ）
[編集]シュレーフリ記号を持つ正4次元多面体は、型のセル、型の面、辺図形、頂点図形を持ちます
- 4次元多面体の頂点図形は、与えられた頂点の周りの隣接する頂点の配置によって表される多面体です。正4次元多面体の場合、この頂点図形は正多面体です。
- 辺図形とは、辺の周囲の面の配置によって表される多角形です。正4次元多面体の場合、この辺図形は常に正多角形になります。
正4次元多面体の存在は、正多面体の存在によって制約される。4次元多面体の提案された名称は「ポリクロロン」である。[ 11 ]
それぞれは次の表現に依存する空間に存在します。
- : 超球面3次元ハニカムまたは4次元多面体
- : ユークリッド3次元ハニカム
- : 双曲型3次元ハニカム
これらの制約により、21 個のフォームが可能になります。そのうち 6 個は凸型、10 個は非凸型、1 個はユークリッド 3 空間ハニカム、4 個は双曲型ハニカムです。
凸
[編集]6つの凸正則4次元多面体を下の表に示します。これらの4次元多面体はすべて、オイラー特性（）が0です
| 名前 | シュレーフリ {p,q,r} | コクセター | 細胞 {p,q} | 顔 {p} | エッジ {r} | 頂点 {q,r} | 双対 {r,q,p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5細胞 （4単体） | {3,3,3} | | 5 {3,3} | 10 {3} | 10 {3} | 5 {3,3} | （自分） |
| 8セル （4キューブ） （テッセラクト） | {4,3,3} | | 8 {4,3} | 24 {4} | 32 {3} | 16 {3,3} | 16細胞 |
| 16細胞 （4-オルソプレックス） | {3,3,4} | | 16 {3,3} | 32 {3} | 24 {4} | 8 {3,4} | テッセラクト |
| 24細胞 | {3,4,3} | | 24 {3,4} | 96 {3} | 96 {3} | 24 {4,3} | （自分） |
| 120セル | {5,3,3} | | 120 {5,3} | 720 {5} | 1200 {3} | 600 {3,3} | 600セル |
| 600セル | {3,3,5} | | 600 {3,3} | 1200 {3} | 720 {5} | 120 {3,5} | 120セル |
| 5セル | 8セル | 16セル | 24細胞 | 120セル | 600セル |
|---|---|---|---|---|---|
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| ワイヤーフレーム（ペトリー多角形）の斜め正投影 | |||||
 |  |  |  |  |  |
| 立体正投影 | |||||
 四面体 エンベロープ（セル/ 頂点中心） |  立方体エンベロープ （セル中心） |  立方体エンベロープ （セル中心） |  立方八面体 エンベロープ （セル中心） |  切頂菱形 三十面体の エンベロープ （セル中心） |  ペンタキス二 十面体 エンベロープ （頂点中心） |
| ワイヤーフレームシュレーゲル図（透視投影） | |||||
 （セル中心） |  （セル中心） |  （セル中心） |  （セル中心） | （セル中心） |  （頂点中心） |
| ワイヤーフレーム立体投影（超球面） | |||||
 |  |  |  |  |  |
球状
[編集]ダイ4-トープとホソ4-トープは、 3次元球面の正則なモザイクとして存在します
正則な二面体4次元多面体（2面体）には、{3,3,2}、{3,4,2}、{4,3,2}、{5,3,2}、{3,5,2}、{p,2,2}、およびそれらの細面体4次元多面体 （ 2頂点）である{2,3,3}、{2,4,3}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,5,3}、{2,2, p }が含まれます。{2, p ,2}の形の4次元多面体は{2,2, p }と同じです。また、二面体セルと細面体頂点図形を持つ{ p ,2, q }の場合もあります。
| シュレーフリ {2, p , q } | コクセター | 細胞 {2, p } π/ q | 面 {2} π/ p、π/ q | 辺 | 頂点 | 頂点図形 { p , q } | 対称性 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {2,3,3} | | 4 {2,3} π/3 | 6 {2} π/3,π/3 | 4 | 2 | {3,3} | [2,3,3] | {3,3,2} |
| {2,4,3} | | 6 {2,4} π/3 | 12 {2} π/4,π/3 | 8 | 2 | {4,3} | [2,4,3] | {3,4,2} |
| {2,3,4} | | 8 {2,3} π/4 | 12 {2} π/3,π/4 | 6 | 2 | {3,4} | [2,4,3] | {4,3,2} |
| {2,5,3} | | 12 {2,5} π/3 | 30 {2} π/5,π/3 | 20 | 2 | {5,3} | [2,5,3] | {3,5,2} |
| {2,3,5} | | 20 {2,3} π/5 | 30 {2} π/3,π/5 | 12 | 2 | {3,5} | [2,5,3] | {5,3,2} |
星
[編集]正則な星型4次元多面体は10個存在し、シュレーフリ・ヘス4次元多面体と呼ばれます。これらの頂点は、凸状の120セル {5,3,3}と600セル {3,3,5}に基づいています。
Ludwig Schläfli は、そのうちの 4 つを見つけ、最後の 6 つをスキップしました。セルまたは頂点図形 (ゼロホール トーラスの場合: F+V−E=2) でオイラー特性を満たさない形式を許可しなかったためです。Edmund Hess (1843–1903) は、ドイツ語の著書『Einleitung in die Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder』 (1883 年) で 10 件の完全なリストを完成させました[1]。
これら 10 個の正星型 4 次元多面体には、直交投影として示される 4 つの一意のエッジ配置と 7 つの一意の面配置があります。
| 名前 | ワイヤーフレーム | ソリッド | シュレーフリ {p, q, r} コクセター | セル {p, q} | 面 {p} | 辺 {r} | 頂点 {q, r} | 密度 | χ | 対称群 | 双対 {r, q, p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正二十面体120セル （ファセット600セル） |  |  | {3,5,5/2} | 120 {3.5}  | 1200 {3} | 720 {5/2} | 120 {5.5/2}  | 4 | 480 | H 4 [5,3,3] | 小型星状体120細胞 |
| 小型星状体120細胞 |  | | {5/2,5,3} | 120 {5/2,5} | 720 {5/2} | 1200 {3} | 120 {5,3} | 4 | −480 | H 4 [5,3,3] | 正20面体 120細胞 |
| 大きな120細胞 | |  | {5,5/2,5} | 120 {5.5/2} | 720 {5} | 720 {5} | 120 {5/2,5} | 6 | 0 | H 4 [5,3,3] | 自己双対 |
| 120細胞大 | |  | {5,3,5/2} | 120 {5,3} | 720 {5} | 720 {5/2} | 120 {3.5/2}  | 20 | 0 | H 4 [5,3,3] | 120細胞大星状細胞 |
| 大星状120細胞 |  |  | {5/2,3,5} | 120 {5/2,3}  | 720 {5/2} | 720 {5} | 120 {3.5} | 20 | 0 | H 4 [5,3,3] | グランド120セル |
| 120個の星型大細胞 | |  | {5/2,5,5/2} | 120 {5/2,5} | 720 {5/2} | 720 {5/2} | 120 {5.5/2} | 66 | 0 | H 4 [5,3,3] | 自己双対 |
| グレートグランド120セル | |  | {5.5/2.3} | 120 {5.5/2} | 720 {5} | 1200 {3} | 120 {5/2,3} | 76 | −480 | H 4 [5,3,3] | 大二十面体、120セル |
| 大二十面体 120 セル （大多面体 600 セル） | |  | {3.5/2.5} | 120 {3.5/2} | 1200 {3} | 720 {5} | 120 {5/2,5} | 76 | 480 | H 4 [5,3,3] | グレートグランド120セル |
| グランド600セル | |  | {3,3,5/2} | 600 {3,3} | 1200 {3} | 720 {5/2} | 120 {3.5/2} | 191 | 0 | H 4 [5,3,3] | 大星状120細胞 |
| 大星状120細胞 |  |  | {5/2,3,3} | 120 {5/2,3} | 720 {5/2} | 1200 {3} | 600 {3,3} | 191 | 0 | H 4 [5,3,3] | グランド600セル |
4次元正則星型多面体の順列には、{3,5/2,3}、{4,3,5/2}、{5/2,3,4}、{5/2,3,5/2}の4つがあります。これらのセルと頂点図形は存在しますが、有限回の繰り返しで超球面を覆いません
歪んだ4次元多面体
[編集]上記の16個の平面4次元多面体に加えて、18個の有限な歪んだ多面体があります。[ 12 ]これらのうち1つは、四次元立方体のペトリアルとして得られ、残りの17個は、平面多面体と四次元立方体のペトリアルにカッパ演算を適用することで形成されます
ランク5以上
[編集]5 次元多面体には、 が 4 面タイプ、がセル タイプ、が面タイプ、 が面図形、が辺図形、 が頂点図形である記号が付けられます。
- 頂点図形（5 次元多面体）は、各頂点に隣接する頂点の配置によって表される 4 次元多面体です。
- 5 次元多面体のエッジ図形は、各エッジの周りの面の配置によって表される多面体です。
- 面図形（5 次元多面体）は、各面の周囲のセルの配置によって表される多角形です。
正 5 次元多面体は、とが正 4 次元多面体である場合にのみ存在します。
収まるスペースは次の式に基づいています。
- : 球面4次元モザイクまたは5次元多面体
- : ユークリッド4次元空間のタイル分割
- : 双曲型4次元タイル分割
これらの制約を列挙すると、凸多面体が3つ生成され、星型多面体は生成されず、ユークリッド4次元空間の3つのテッセレーションとパラコンパクト双曲型4次元空間の5つのテッセレーションが生成されます。ランク5以上の非凸正多面体は、スキュー多面体のみです。
凸
[編集]5次元以上では、凸正多面体は3種類しかありません。[ 13 ]
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p 1 ,...,p n −1 } | コクセター | k面 | ファセット タイプ | 頂点 図形 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|
| n単体 | {3 n −1 } | ... | {3 n −2 } | {3 n −2 } | 自己双対 | |
| n立方体 | {4,3 n −2 } | ... | {4,3 n −3 } | {3 n −2 } | n -オルソ錯体 | |
| n -オルソ錯体 | {3 n −2,4 } | ... | {3 n −2 } | {3 n −3 ,4} | n立方体 |
シュレーフリ記号の数が2である不適切なケースもあります。例えば、{p,q,r,...2}は、{p,q,r...}が正球面多面体であるときは常に不適切な正球面多面体であり、{2,...p,q,r}は、{...p,q,r}が正球面多面体であるときは常に不適切な正球面多面体です。このような多面体は面としても使用でき、{p,q,...2...y,z}のような形になります
5次元
[編集]| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} コクセター | ファセット {p,q,r} | セル {p,q} | 面 {p} | 辺 | 頂点 | 顔の 図 {s} | エッジ 図形 {r,s} | 頂点 図形 {q,r,s} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-単体 | {3,3,3,3} | 6 {3,3,3} | 15 {3,3} | 20 {3} | 15 | 6 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
| 5キューブ | {4,3,3,3} | 10 {4,3,3} | 40 {4,3} | 80 {4} | 80 | 32 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
| 5-オルソプレックス | {3,3,3,4} | 32 {3,3,3} | 80 {3,3} | 80 {3} | 40 | 10 | {4} | {3,4} | {3,3,4} |
 5-単体 |  5キューブ |  5-オルソプレックス |
6次元
[編集]| 名前 | シュレーフリ | 頂点 | 辺 | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6次元単体 | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 0 |
| 6キューブ | {4,3,3,3,3} | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 0 |
| 6-オルソプレックス | {3,3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 0 |
 6次元単体 |  6キューブ |  6-オルソプレックス |
7次元
[編集]| 名前 | シュレーフリ | 頂点 | 辺 | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | 6面体 | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 7-単体 | {3,3,3,3,3,3,3} | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 2 |
| 7キューブ | {4,3,3,3,3,3} | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 2 |
| 7-オルソプレックス | {3,3,3,3,3,4} | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 2 |
 7-単体 |  7キューブ |  7-オルソプレックス |
8次元
[編集]| 名前 | シュレーフリ | 頂点 | 辺 | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | 6面体 | 7面体 | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8次元単体 | {3,3,3,3,3,3,3,3} | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 0 |
| 8キューブ | {4,3,3,3,3,3,3,3} | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 0 |
| 8-オルソプレックス | {3,3,3,3,3,3,4} | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 0 |
 8次元単体 |  8キューブ |  8-オルソプレックス |
9次元
[編集]| 名前 | シュレーフリ | 頂点 | 辺 | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | 6面体 | 7面体 | 8面体 | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 9次元単体 | {3 8 } | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 2 |
| 9キューブ | {4,3 7 } | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 | 2 |
| 9-オルソプレックス | {3 7 ,4} | 18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 2 |
 9次元単体 |  9キューブ |  9-オルソプレックス |
10次元
[編集]| 名前 | シュレーフリ | 頂点 | 辺 | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | 6面体 | 7面体 | 8面体 | 9面体 | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10次元単体 | {3 9 } | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 0 |
| 10キューブ | {4,3 8 } | 1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 | 0 |
| 10-オルソプレックス | {3 8 ,4} | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 0 |
 10次元単体 |  10キューブ |  10-オルソプレックス |
星型多面体
[編集]5階以上の正則な星型多面体は存在しません。ただし、より低い階数の星型多面体の星積によって生成される退化多面体（例えば、ホソトープやダイトープ） は例外です
正則射影多面体
[編集]射影正( n +1)多面体とは、元の正n球面モザイク{p,q,...}が中心対称であるときに存在する。このような多面体は半{p,q,...}と名付けられ、元の半分の要素を含む。コクセターは記号{p,q,...}/2を用い、マクマレンは{p,q,...} h/2と書き、 hをコクセター数とする。[ 14 ]
偶数辺の正多角形には半2n角形の射影多角形 {2p}/2 があります。
5 つのプラトン立体のうち 4 つに関連する4 つの正射影多面体があります。
半立方体と半八面体は、半n立方体と半n正方体として任意の階数に一般化されます。
正射影多面体
[編集]| 名前 | コクセター ・マクマレン | 画像 | 顔 | 辺 | 頂点 | χ | スケルトングラフ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 半立方体 | {4,3}/2 {4,3} 3 |  | 3 | 6 | 4 | 1 | K 4 |
| 半八面体 | {3,4}/2 {3,4} 3 |  | 4 | 6 | 3 | 1 | 両刃のK 3 |
| 半十二面体 | {5,3}/2 {5,3} 5 |  | 6 | 15 | 10 | 1 | G(5,2) |
| 半二十面体 | {3,5}/2 {3,5} 5 |  | 10 | 15 | 6 | 1 | K 6 |
正則射影4次元多面体
[編集]6つの凸正則4次元多面体のうち5つは、中心対称な生成射影4次元多面体です。3つの特殊なケースは、半24セル、半600セル、半120セルです
| 名前 | コクセター 記号 | マクマレン 記号 | 細胞 | 顔 | 辺 | 頂点 | χ | スケルトングラフ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 半三次元方陣 | {4,3,3}/2 | {4,3,3} 4 | 4 | 12 | 16 | 8 | 0 | K 4.4 |
| 半16セル | {3,3,4}/2 | {3,3,4} 4 | 8 | 16 | 12 | 4 | 0 | 両刃K 4 |
| ヘミ24セル | {3,4,3}/2 | {3,4,3} 6 | 12 | 48 | 48 | 12 | 0 | |
| ヘミセル120 | {5,3,3}/2 | {5,3,3} 15 | 60 | 360 | 600 | 300 | 0 | |
| ヘミ600セル | {3,3,5}/2 | {3,3,5} 15 | 300 | 600 | 360 | 60 | 0 |
正則射影5次元多面体
[編集]階数5以上で中心対称となる正球面多面体は3つのうち2つだけです。対応する正射影多面体は、正超立方体と正直角錐の半バージョンです。階数5の場合、以下の表に示します。
| 名前 | シュレーフリ | 4面 | 細胞 | 顔 | 辺 | 頂点 | χ | スケルトングラフ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 半五面体 | {4,3,3,3}/2 | 5 | 20 | 40 | 40 | 16 | 1 | 四次元立方体の骨格 + 中心対角線8本 |
| ヘミペンタクロス | {3,3,3,4}/2 | 16 | 40 | 40 | 20 | 5 | 1 | 両刃のK 5 |
アペイロトペス
[編集]アペイロトープまたは無限多面体とは、無限に多くの面を持つ多面体です。n-アペイロトープは無限n-多面体です。2-アペイロトープまたはアペイロゴンは無限多角形、3-アペイロトープまたはアペイロヘドロン（無限多面体）などです。
アペイロトープには主に2つの幾何学的クラスがある: [ 15 ]
- n次元の正規ハニカム。n次元空間を完全に満たします。
- 高次の空間におけるn次元多様体を構成する、規則的な歪んだアペイロトープ。
2-アペイロトープ（アペイロゴン）
[編集]直線アペイロゴンは直線を規則的にモザイク状に並べたもので、無限個の等しい線分に分割されます。無限個の頂点と辺を持ちます。シュレーフリ記号は{∞}で、コクセター図は
。
… 
…
pが無限大に近づくにつれて、 p角形の極限として次のように存在します
| 名前 | モノゴン | ダイゴン | 三角形 | 正方形 | 五角形 | 六角形 | 七角形 | p角形 | アペイロゴン |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| シュレーフリ | {1} | {2} | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | { p } | {∞} |
| 対称性 | D 1 , [ ] | D 2 , [2] | D 3 , [3] | D 4 , [4] | D 5 , [5] | D 6 , [6] | D 7 , [7] | [p] | |
| コクセター | または | | | | | | | | |
| 画像 | | | | | | | | |
双曲平面上のアペイロゴン、特に正アペイロゴン{∞}は、ユークリッド平面の有限多角形と同様に曲率を持つことができ、頂点は円ではなくホロサイクルまたはハイパーサイクルで外接されます
無限大に収束するようにスケールされた通常のアペイロゴンは、記号 {∞} を持ち、ホロサイクル上に存在しますが、より一般的にはハイパーサイクル上にも存在します。
| {∞} | {iπ/λ} |
|---|---|
 ホロサイクル上のアペイロゴン |  ハイパーサイクル上のアペイロゴン |
上記はポアンカレ円板モデルにおける 2 つの正則双曲アペイロゴンです。右側は長さ λ で区切られた発散基本領域の垂直反射線を示しています。
歪んだアペイロゴン
[編集]二次元における歪んだアペイロゴンは、平面上でジグザグの線を形成します。ジグザグが均等で対称であれば、アペイロゴンは正則です
歪んだアペイロゴンは任意の次元で構築できます。3次元では、正歪んだアペイロゴンは螺旋状の渦巻きを描き、左巻きまたは右巻きのどちらかになります。
| 2次元 | 3次元 |
|---|---|
 ジグザグアペイロゴン |  ヘリックスアペイロゴン |
3-アペイロトープ（アペイロヘドラ）
[編集]ユークリッドタイリング
[編集]平面には 6 つの規則的なモザイク模様があります。以下に挙げる 3 つと、それに対応するペトリアルです。
| 名前 | 正方形タイル （クアドリル） | 三角形タイル （デルティル） | 六角形のタイル （ヘクスティル） |
|---|---|---|---|
| 対称性 | p4m, [4, 4], (*442) | p6m, [6, 3], (*632) | |
| シュレーフリ{p, q} | {4,4} | {3,6} | {6,3} |
| コクセター図 | | | |
| 画像 | |  |  |
不適当な正則タイリングが 2 つあります。1 つは {∞,2}、つまり2 つのアペイロゴンから作られ、それぞれが平面の半分を埋めるアペイロゴン二面体です。もう 1 つはその双対である {2,∞}、つまり無限の平行線の集合として見られる アペイロゴン細面体です。
 {∞,2} , |  {2,∞}、 |
ユークリッド星型タイリング
[編集]星型多角形の規則的な平面タイリングは存在しません。{8/3,8}、{10/3,5}、{5/2,10}、{12/5,12}など、平面（1/ p + 1/ q = 1/2）に収まる列挙は数多くありますが、周期的に繰り返されるものはありません
双曲型タイリング
[編集]双曲型2次元空間のタイル張りは双曲型タイリングです。H 2には無数の正則タイリングが存在します。前述のように、 1/ p + 1/ q < 1/2 となるすべての正整数ペア { p , q }は双曲型タイリングを与えます。実際、一般的なシュワルツ三角形( p , q , r ) では、1/ p + 1/ q + 1/ r < 1の場合も同じことが成り立ちます
双曲面の表示方法はいくつかありますが、例えば下図のように、平面を円に写像するポアンカレ円板モデルがあります。以下のタイリングでは、すべてのポリゴン面が同じ大きさで、適用された投影により、端に近づくにつれて小さく見えることに注意してください。これは、カメラの魚眼レンズの効果に非常に似ています。
双曲面の規則的なタイリングとして、{p,q} の形式（p+q<pq/2）の平坦な規則的な 3-アペイロトープ（アペイロヘドラ）が無限に存在します。
- {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
- {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
- {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
- {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
- {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
- {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
- {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
- ...
- {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}
サンプル：
| 正則双曲型タイリングテーブル | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 球面（非正定／プラトン的）／ユークリッド／双曲的（ポアンカレ円板：コンパクト／パラコンパクト／非コンパクト）のモザイク分割とシュレーフリ記号 | |||||||||||
| p \ q | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … | ∞ | … | iπ/λ |
| 2 | {2 , 2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} |  {2,7} |  {2,8} |  {2,∞} |  {2,iπ/λ}  | ||
| 3 | {3,2} | （四面体） {3,3} | （八面体） {3,4} | （二十面体） {3,5} | (デルティル) {3,6} |  {3,7} |  {3,8} |  {3,∞} |  {3,iπ/λ} | ||
| 4 | {4,2} | （立方体） {4,3} | （カドリール） {4,4} |  {4,5} |  {4,6} |  {4,7} |  {4,8} |  {4,∞} |  {4,iπ/λ} | ||
| 5 | {5,2} | （正十二面体） {5,3} | {5,4} |  {5,5} |  {5,6} |  {5,7} |  {5,8} |  {5,∞} |  {5,iπ/λ} | ||
| 6 | {6,2} | （ヘクスチル） {6,3} |  {6,4} |  {6,5} |  {6,6} |  {6,7} |  {6,8} |  {6,∞} |  {6,iπ/λ} | ||
| 7 | {7,2} |  {7,3} |  {7,4} |  {7,5} |  {7,6} |  {7,7} |  {7,8} |  {7,∞} | {7,iπ/λ} | ||
| 8 | {8,2} |  {8,3} |  {8,4} |  {8,5} |  {8,6} |  {8,7} |  {8,8} |  {8,∞} | {8,iπ/λ} | ||
| … | |||||||||||
| ∞ |  {∞,2} |  {∞,3} |  {∞,4} |  {∞,5} |  {∞,6} |  {∞,7} |  {∞,8} |  {∞,∞} |  {∞,iπ/λ} | ||
| … | |||||||||||
| iπ/λ |  {iπ/λ,2} |  {iπ/λ,3} |  {iπ/λ,4} |  {iπ/λ,5} |  {iπ/λ,6} | {iπ/λ,7} | {iπ/λ,8} |  {iπ/λ,∞} |  {iπ/λ, iπ/λ} | ||
タイリング{p, ∞}は、ポアンカレ円板模型の端に理想頂点を持ちます。その双対{∞, p}は理想アピロゴナル面を持ち、ホロサイクルに内接することを意味します。さらに（上の表のように）進んで、ポアンカレ円板の外側に超理想頂点を持つタイリングを見つけることができます。これは超サイクルに内接するタイルと双対です。上記の{p, iπ/λ}で表されているものにおいて、各超理想頂点の周りには無限個のタイルが収まります。[ 16 ]（拡張双曲空間における平行線は理想点で交わり、超平行線は超理想点で交わります。）[ 17 ]
双曲型星型タイリング
[編集]面または頂点図形が星型多角形である双曲型タイリングには、{ m /2, m }とその双対{ m , m /2}（m = 7, 9, 11, .... ）の2つの無限形式があります。 [ 18 ] { m /2, m }タイリングは{ m ,3}タイリングの星型であり、{ m , m /2}双対タイリングは{3, m }タイリングのファセットであり、 { m ,3}タイリング の拡大[ ii ]です
パターン{ m /2, m }と{ m , m /2}は、 m < 7の奇数に対しても多面体として成立する。m = 5のときは小星型十二面体と大十二面体が得られ[ 18 ]、m = 3のときは四面体に退化する。他の2つのケプラー・ポアンソ多面体（大星型十二面体と大二十面体）には、正則な双曲型タイリングの類似体はない。mが偶数の場合、{ m /2}をどのように定義するかによって、他のタイリングの退化した二重被覆または複合タイリングのいずれかを得ることができる。
| 名前 | シュレーフリ | コクセター図 | 画像 | 顔型 {p} | 頂点図形 {q} | 密度 | 対称性 | 双対 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 7次ヘプタグラムタイル張り | {7/2,7} | |  | {7/2} | {7} | 3 | *732 [7,3] | ヘプタグラム順七角形タイル張り |
| ヘプタグラム次七角形タイル張り | {7,7/2} | |  | {7} | {7/2} | 3 | *732 [7,3] | 7次ヘプタグラム・タイリング |
| 9次エニアグラム・タイリング | {9/2,9} | |  | {9/2} | {9} | 3 | *932 [9,3] | エニアグラム順序のエニアゴナルタイル |
| エニアグラム的エニアゴナルタイリング | {9,9/2} | |  | {9} | {9/2} | 3 | *932 [9,3] | エニアグラム的9次元タイリング |
| 11次の11進十文字タイル張り | {11/2,11} | |  | {11/2} | {11} | 3 | *11.3.2 [11,3] | ヘンデカグラム順序のヘンデカゴナルタイル張り |
| ヘンデカグラム順序のヘンデカゴナルタイル張り | {11,11/2} | |  | {11} | {11/2} | 3 | *11.3.2 [11,3] | 11次のヘンデカグラムタイリング |
| p p次のグラムタイリング | { p /2, p } | | { p /2} | { p } | 3 | * p 32 [p,3] | p文法順序p角形タイリング | |
| p文法順序p角形タイリング | { p , p /2} | | { p } | { p /2} | 3 | * p 32 [p,3] | p p次のグラムタイリング |
ユークリッド3次元空間における歪んだアペイロヘドラ
[編集]
ユークリッド3次元空間には、平面を持つ3つの規則的な歪んだアペイロヘドラがあります。 [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]これらは、3つの凸型均一ハニカムと同じ頂点配置と辺配置を共有しています。
- 各頂点の周囲に6つの正方形: {4,6|4}
- 各頂点の周りの4つの六角形: {6,4|4}
- 各頂点の周りの6つの六角形: {6,6|3}
- 平面を持つ正多面体
ムキューブ- 六八面体
- 六四面体
歪んだ面を考慮すると、ユークリッド3次元空間には30個の正アペイロヘドラが存在します。[ 22 ]これらには、ユークリッド平面アペイロヘドラとの混合によって作られた12個の混合アペイロヘドラと、平面アペイロヘドラと上記の3つの3次元アペイロヘドラを含む非自明な混合として表現できない18個の純粋アペイロヘドラが含まれます
3 次元の純粋なアペイロヘドラは次のとおりです。
- {4,6|4}、ムクベ
- {∞,6} 4,4、ムクベのペトリアル
- {6,6|3}、ミューテトラヘドロン
- {∞,6} 6,3、ミューテトラヘドロン（正四面体）のペトリアル
- {6,4|4}、正八面体
- {∞,4} 6,4、正八面体の花弁
- {6,6} 4、ムキュベの半分
- {4,6} 6 、 {6,6} 4のペトリアル
- {∞,4} ·,*3、正八面体の歪み
- {6,4} 6 、 {∞,4} 6,4の歪曲
- {∞,3} ( a )
- {∞,3} ( b )
双曲3次元空間における歪んだアペイロヘドラ
[編集]コンパクト対称性またはパラコンパクト対称性を持つ双曲3次元空間には、凸面を持つ正三角形状のアペイロヘドラが31個存在する。 [ 23 ]
- 14 個はコンパクトです: {8,10|3}、{10,8|3}、{10,4|3}、{4,10|3}、{6,4|5}、{4,6|5}、{10,6|3}、{6,10|3}、{8,8|3}、{6,6|4}、{10,10|3}、{6,6|5}、{8,6|3}、および {6,8|3}。
- 17 個はパラコンパクトです: {12,10|3}、{10,12|3}、{12,4|3}、{4,12|3}、{6,4|6}、{4,6|6}、{8,4|4}、{4,8|4}、{12,6|3}、{6,12|3}、{12,12|3}、{6,6|6}、{8,6|4}、{6,8|4}、{12,8|3}、{8,12|3}、{8,8|4}。
4次元アペイロトープ
[編集]ユークリッド3次元空間のモザイク状配置
[編集]3次元空間（ハニカム）の非退化正則タイル分割は{4, 3, 4}の1つだけである：[ 24 ]
| 名前 | シュレーフリ {p,q,r} | コクセター | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | エッジ 図形 {r} | 頂点 図形 {q,r} | χ | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 立方ハニカム | {4,3,4} | | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | 0 | 自己双対 |
ユークリッド3次元空間の不適切なモザイク分割
[編集]
3つの正ユークリッドタイリングに基づく、6つの非正則タイル分割があります。それらのセルと頂点図形はすべて、正細面体{2,n}、二面体{n,2}、およびユークリッドタイリングです。これらの非正則タイル分割は、切り捨て演算によって、角柱状一様ハニカムと構成的に関連しています。これらは、 2次アピロゴナルタイリングおよびアピロゴナル細面体の高次元類似体です。
| シュレーフリ {p,q,r} | コクセター 図 | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | エッジ 図形 {r} | 頂点 図形 {q,r} |
|---|---|---|---|---|---|
| {2,4,4} | | {2,4} | {2} | {4} | {4,4} |
| {2,3,6} | | {2,3} | {2} | {6} | {3,6} |
| {2,6,3} | | {2,6} | {2} | {3} | {6,3} |
| {4,4,2} | | {4,4} | {4} | {2} | {4,2} |
| {3,6,2} | | {3,6} | {3} | {2} | {6,2} |
| {6,3,2} | | {6,3} | {6} | {2} | {3,2} |
双曲的3次元空間のモザイク状配置
[編集]双曲的3次元空間には、平坦で正則なハニカムが15個あります
- 4つはコンパクトです: {3,5,3}、{4,3,5}、{5,3,4}、{5,3,5}
- 11 個はパラコンパクトです: {3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6}。
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双曲型3次元空間のタイル分割は双曲型ハニカムと呼ばれます。H3には15個の双曲型ハニカムがあり、そのうち4個はコンパクト、11個はパラコンパクトです
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r} | コクセター | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | エッジ 図形 {r} | 頂点 図形 {q,r} | χ | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 20面体ハニカム | {3,5,3} | | {3,5} | {3} | {3} | {5,3} | 0 | 自己双対 |
| 5次立方ハニカム | {4,3,5} | | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,4} |
| 4次十二面体ハニカム | {5,3,4} | | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | 0 | {4,3,5} |
| 5次正十二面体ハニカム | {5,3,5} | | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | 自己双対 |
パラコンパクトH 3ハニカム（無限（ユークリッド）セルおよび／または頂点図形を持つもの）は11種類あります：{3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、{6,3,6}
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r} | コクセター | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | エッジ 図形 {r} | 頂点 図形 {q,r} | χ | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6面体ハニカム | {3,3,6} | | {3,3} | {3} | {6} | {3,6} | 0 | {6,3,3} |
| 六角形のタイリングハニカム | {6,3,3} | | {6,3} | {6} | {3} | {3,3} | 0 | {3,3,6} |
| 4次八面体ハニカム | {3,4,4} | | {3,4} | {3} | {4} | {4,4} | 0 | {4,4,3} |
| 正方形タイルハニカム | {4,4,3} | | {4,4} | {4} | {3} | {4,3} | 0 | {3,4,4} |
| 三角形タイルハニカム | {3,6,3} | | {3,6} | {3} | {3} | {6,3} | 0 | 自己双対 |
| 6次立方体ハニカム | {4,3,6} | | {4,3} | {4} | {4} | {3,6} | 0 | {6,3,4} |
| 4次六角形タイルハニカム | {6,3,4} | | {6,3} | {6} | {4} | {3,4} | 0 | {4,3,6} |
| 4次元正方形タイルハニカム | {4,4,4} | | {4,4} | {4} | {4} | {4,4} | 0 | 自己双対 |
| 6面体ハニカム | {5,3,6} | | {5,3} | {5} | {5} | {3,6} | 0 | {6,3,5} |
| 5面体ハニカム | {6,3,5} | | {6,3} | {6} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,6} |
| 6次六角形タイリングハニカム | {6,3,6} | | {6,3} | {6} | {6} | {3,6} | 0 | 自己双対 |
非コンパクト解はローレンツ・コクセター群として存在し、双曲空間（超理想頂点を持つ基本四面体）の開領域で視覚化できます。双曲セルまたは頂点図形を持ち、シュレーフリ記号に2を含まないすべてのハニカムは非コンパクトです
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H3には、正コンパクトまたはパラコンパクト双曲型星型ハニカムは存在しません。正星型多面体をセル、頂点図形、またはその両方として持つすべての形状は、最終的に球形になります
理想頂点は、頂点図形がユークリッドタイリングのときに出現し、球面ではなくホロスフィアに内接可能となる。これらは理想セル（有限多面体ではなくユークリッドタイリング）の双対である。シュレーフリ記号の最後の数字がさらに大きくなると、頂点図形は双曲的になり、頂点は超理想となる（そのため、双曲空間内で辺が交わらない）。ハニカム{p, q, ∞}では、辺はポアンカレ球と1つの理想点でのみ交差し、残りの辺は超理想となる。さらに進めていくと、ハニカムと基本単体の両方において、完全に超理想となる辺に到達する（ただし、そのような辺では{p, q}が無数に交わる）。一般に、シュレーフリ記号の最後の数が∞になると、余次元2の面はポアンカレ超球面と1つの理想的な点でのみ交差する。[ 16 ]
5次元アペイロトープ
[編集]ユークリッド4次元空間のモザイク状配置
[編集]ユークリッド 4 次元空間を分割できる 無限正多面体 (ハニカム)には次の 3 種類があります。
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} | ファセット 型 {p,q,r} | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | 顔の 図 {s} | エッジ 図形 {r,s} | 頂点 図形 {q,r,s} | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| モザイク状のハニカム | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | 自己双対 |
| 16セルハニカム | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,3} |
| 24セルハニカム | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,3,4,3} |
 {4,3,3,4}の投影部分 （テッセラティックハニカム） |  {3,3,4,3}の投影部分 （16セルハニカム） |  {3,4,3,3}の投影部分 （24セルハニカム） |
また、{4,3,4,2} と {2,4,3,4} という 2 つの不適切なケースもあります。
ユークリッド4次元空間には3つの平坦な正則ハニカムが存在する: [ 24 ]
- {4,3,3,4}、{3,3,4,3}、および {3,4,3,3}。
双曲型4次元空間には7つの平坦な正凸ハニカムが存在する: [ 18 ]
- 5つはコンパクトです: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5}
- 2つはパラコンパクトです: {3,4,3,4}、および {4,3,4,3}。
双曲型4次元空間には4つの平坦な正則星型ハニカムが存在する: [ 18 ]
- {5/2,5,3,3}、{3,3,5,5/2}、{3,5,5/2,5}、および{5,5/2,5,3}。
双曲型4次元空間のタイル分割
[編集]H4空間には7つの凸状の正則ハニカムと4つの星型ハニカムがある。[ 25 ]凸状のハニカムのうち5つはコンパクトであり、2つはパラコンパクトである。
H 4の 5 つのコンパクトな規則的なハニカム:
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} | ファセット 型 {p,q,r} | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | 顔の 図 {s} | エッジ 図形 {r,s} | 頂点 図形 {q,r,s} | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5次5セルハニカム | {3,3,3,5} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,3} |
| 120セルのハニカム | {5,3,3,3} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {3,3,3,5} |
| 5次格子ハニカム | {4,3,3,5} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,4} |
| 4次120セルハニカム | {5,3,3,4} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,5} |
| 5次120セルハニカム | {5,3,3,5} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | 自己双対 |
2つのパラコンパクト正則H 4ハニカムは、{3,4,3,4}、{4,3,4,3}です
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} | ファセット 型 {p,q,r} | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | 顔の 図 {s} | エッジ 図形 {r,s} | 頂点 図形 {q,r,s} | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4次24セルハニカム | {3,4,3,4} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {4} | {3,4} | {4,3,4} | {4,3,4,3} |
| 立方体のハニカム | {4,3,4,3} | {4,3,4} | {4,3} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,4} |
非コンパクト解はロレンツ・コクセター群として存在し、双曲空間（基本的な5セルの一部が無限大を超えてアクセスできない領域を持つ）の開領域で視覚化できる。以下の表に示されておらず、シュレーフリ記号に2が含まれないハニカムはすべて非コンパクトである。
| 球状/ユークリッド状/ 双曲状（コンパクト/パラコンパクト/非コンパクト）ハニカム {p,q,r,s} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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双曲型4次元空間の星型モザイク
[編集]H4空間には、すべてコンパクトな4つの正則な星型ハニカムがあります
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} | ファセット 型 {p,q,r} | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | 顔の 図 {s} | エッジ 図形 {r,s} | 頂点 図形 {q,r,s} | デュアル | 密度 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 小さな星型120セルハニカム | {5/2,5,3,3} | {5/2,5,3} | {5/2,5} | {5/2} | {3} | {3,3} | {5,3,3} | {3,3,5,5/2} | 5 |
| 五芒星型600セルハニカム | {3,3,5,5/2} | {3,3,5} | {3,3} | {3} | {5/2} | {5,5/2} | {3,5,5/2} | {5/2,5,3,3} | 5 |
| 5面体120セルハニカム | {3,5,5/2,5} | {3,5,5/2} | {3,5} | {3} | {5} | {5/2,5} | {5,5/2,5} | {5,5/2,5,3} | 10 |
| 120個のセルを持つ巨大なハニカム | {5,5/2,5,3} | {5,5/2,5} | {5,5/2} | {5} | {3} | {5,3} | {5/2,5,3} | {3,5,5/2,5} | 10 |
6次元アペイロトープ
[編集]ユークリッド5次元空間には、平坦で正則なハニカムが1つだけあります。（上記でモザイク状としてリストアップされています）[ 24 ]
- {4,3,3,3,4}
双曲的5次元空間には、5つの平坦正則ハニカムがあり、すべてパラコンパクトである。（上記でタイル状と記載）[ 18 ]
- {3,3,3,4,3}、{3,4,3,3,3}、{3,3,4,3,3}、{3,4,3,3,4}、{4,3,3,4,3}
ユークリッド5次元空間のタイル分割
[編集]超立方ハニカムは、各稜線の周囲に 4 つの超立方面を形成し、5 次元以上の各次元をモザイク化できる唯一の通常のハニカム ファミリです。
| 名前 | シュレーフリ { p 1 , p 2 , ..., p n −1 } | ファセット タイプ | 頂点 図形 | デュアル |
|---|---|---|---|---|
| 正方形のタイル張り | {4,4} | {4} | {4} | 自己双対 |
| 立方ハニカム | {4,3,4} | {4,3} | {3,4} | 自己双対 |
| モザイク状のハニカム | {4,3 2,4 } | {4,3 2 } | {3 2 ,4} | 自己双対 |
| 5キューブハニカム | {4,3 3,4 } | {4,3 3 } | {3 3 ,4} | 自己双対 |
| 6キューブハニカム | {4,3 4,4 } | {4,3 4 } | {3 4 ,4} | 自己双対 |
| 7キューブハニカム | {4,3 5,4 } | {4,3 5 } | {3 5 ,4} | 自己双対 |
| 8キューブハニカム | {4,3 6,4 } | {4,3 6 } | {3 6 ,4} | 自己双対 |
| n-超立方ハニカム | {4,3 n−2 ,4} | {4,3 n−2 } | {3 n−2 ,4} | 自己双対 |
E 5には、{4,3,3,4,2}、{2,4,3,3,4}、{3,3,4,3,2}、{2,3,3,4,3}、{3,4,3,3,2}、{2,3,4,3,3}といった不適切なケースも存在する。E nにおいては、{4,3 n−3 ,4,2}と{2,4,3 n−3 ,4}は常に不適切なユークリッド平面分割である。
双曲5次元空間のタイル分割
[編集]H 5には 5 つの正則ハニカムがあり、すべてパラコンパクトで、無限(ユークリッド)面または頂点図形 ({3,4,3,3,3}、{3,3,4,3,3}、{3,3,3,4,3}、{3,4,3,3,4}、{4,3,3,4,3}) が含まれます。
次元 5 以上の双曲空間にはコンパクトな正則分割は存在せず、次元 6 以上の双曲空間にはパラコンパクトな正則分割は存在しません。
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s,t} | ファセット タイプ {p,q,r,s} | 4面体 型 {p,q,r} | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | セル 図 {t} | 顔の 形 {s,t} | エッジ 図形 {r,s,t} | 頂点 図形 {q,r,s,t} | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-オルソプレックスハニカム | {3,3,3,4,3} | {3,3,3,4} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,3} |
| 24セルハニカム | {3,4,3,3,3} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {4,3,3,3} | {3,3,3,4,3} |
| 16セルハニカム | {3,3,4,3,3} | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,4,3,3} | 自己双対 |
| オーダー4 24セルハニカム | {3,4,3,3,4} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,4} | {4,3,3,4,3} |
| モザイク状のハニカム | {4,3,3,4,3} | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,4} |
n ≥ 5に対しては、潜在的なセルまたは頂点図形となる可能性のある、正則な星型n多面体は存在しないため、H nにはn ≥ 5に対しては 双曲型星型ハニカムは存在しません
ランク7以上のアペイロトープス
[編集]双曲6次元空間以上のタイル分割
[編集]6次元以上の双曲空間には、正規コンパクトまたはパラコンパクトの平面分割は存在しない。しかし、{p,q,r,s,...} の形式で表されるシュレーフリ記号（p,q,r,s,... は2以上の自然数、または無限大）は、双曲的n空間の非コンパクト平面分割を形成する。[ 16 ]
抽象多面体
[編集]抽象多面体は、多面体をそれらが埋め込まれている幾何学的空間から切り離して研究する試みから生まれました。球面空間、ユークリッド空間、双曲空間、およびその他の多様体のモザイク状配置が含まれます。1より大きい階数には無限に存在します。サンプルについては、このアトラスをご覧ください。このリストの他の場所には記載されていない抽象正多面体の注目すべき例としては、11セル{3,5,3}と57セル{5,3,5}があり、これらはセルと頂点図形として正射影多面体を持ちます
抽象多面体の要素は、その胴体（最大要素）、面、辺、頂点、および空集合である。これらの抽象要素は、通常の空間にマッピングすることも、幾何学的図形として実現することもできる。抽象多面体の中には、整形式または忠実な実現を持つものもあれば、そうでないものもあります。旗とは、各階の要素が連結された集合であり、多面体の場合は胴体、面、面の辺、辺の頂点、および空集合です。抽象多面体は、その組み合わせ対称性が旗上で推移的である場合、つまり、多面体の対称性の下で任意の旗を他の任意の旗にマッピングできる場合、正則多面体であるとされます。抽象正多面体は、現在も活発な研究分野です。
忠実かつ対称的に実現できない5つの抽象的な正多面体は、HSM Coxeterの著書『Regular Polytopes』（1977年）と、JM Willsの論文『The combinatorially regular polyhedra of index 2』（1987年）で特定されています。[ 26 ]これらはすべて位相的にトーラスと等価です。各頂点の周りにn個の面を配置することで、双曲面のタイリングとして無限に繰り返すことができます。下の図では、双曲面のタイリング画像は多面体画像の色に対応しています。
多面体
正三角形の三十面体
十二面体
正三角形の三二十面体
二三角正十二面体
発掘された十二面体頂点図形 {5}, {5/2} (5.5/2) 2 {5}, {5/2} (5.5/3) 3 面 菱形30個 五角形12個、五芒
星12個20個の六角形 五角形12個、五芒
星12個20個の六芒星 タイル張り
{4, 5}
{5, 4}
{6, 5}
{5, 6}
{6, 6}χ −6 −6 −16 −16 −20
これらは次のように双対として現れます。
参照
[編集]- 正多面体化合物の一覧
- 多角形
- 多面体
- プラトン立体
- ケプラー・ポアンソ立体
- 4次元多面体
- 正4次元多面体（正4次元多面体16個、凸4個、星型（シュレーフリ・ヘス）10個）
- モザイク模様
- 正多角形のタイル張り
- 凸型均一ハニカム
- 正則写像（グラフ理論）
注釈
[編集]サブノート
[編集]- ^ Coxeter, HMS (1975). Regular Complex Polytopes (第1版). Cambridge University Press. pp. 46–7 . ISBN 9780521201254。
- ^ 参照： Inchbald, Guy (2024年9月9日). 「星形化とファセット化 - 簡潔な歴史」 . Guy's Polyhedra Page . 2024年5月20日時点のオリジナルよりアーカイブ
参考文献
[編集]- ^ a b McMullen, Peter (2004), "Regular polytopes of full rank" , Discrete & Computational Geometry , 32 : 1– 35, doi : 10.1007/s00454-004-0848-5 , S2CID 46707382 , 2024年1月20日アーカイブ, 2024年1月20日取得
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- ^ コクセター『正則複素多面体』9ページ
- ^ Duncan, Hugh (2017年9月28日). 「四角い岩石と硬い五角形の間：分数多角形」 . chalkdust . 2018年12月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年12月24日閲覧。
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- ^ 抄録(PDF) . 凸状多面体と抽象多面体 (2005年5月19～21日) およびカルガリーにおける多面体デー (2005年5月22日). 2014年11月29日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2015年2月2日閲覧。
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- ^ a b c Coxeter (1973)、表II：規則的なハニカム、p.296。
- ^ Coxeter (1999)、「第10章」表IV、p.213。
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引用
[編集]- コクセター、HSM（1999年）、「第10章：双曲空間における正則ハニカム」『幾何学の美：12のエッセイ』、ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー出版、 199～ 214頁、ISBN 0-486-40919-8、LCCN 99035678、MR 1717154特に要約表II、III、IV、V（212～213ページ）を参照。
- 原著はCoxeter, HSM (1956) 「Regular honeycombs in hyperbolic space」（PDF）で、1954年国際数学者会議紀要、アムステルダム、第3巻、アムステルダム：North-Holland Publishing Co.、pp. 155– 169、MR 0087114に掲載されています。 2015年4月2日にオリジナル（PDF）からアーカイブされています。 。
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- Johnson, Norman W. (2012)、「Regular inversive polytopes」 （PDF）、International Conference on Mathematics of Distances and Applications（2012年7月2日～5日、ブルガリア、ヴァルナ）、pp. 85～95論文27、2017年8月8日にオリジナルからアーカイブ （PDF） 、 2015年1月12日取得
- マクマレン、ピーター、シュルテ、エゴン（2002年）、抽象正多面体、数学とその応用百科事典、第92巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511546686、ISBN 0-521-81496-0、MR 1965665、S2CID 115688843
- マクマレン、ピーター（2018）、「4次元多面体の新しい正則複合」、直観幾何学の新潮流、ボヤイ協会数学研究、第27巻、pp. 307– 320、doi：10.1007 / 978-3-662-57413-3_12、ISBN 978-3-662-57412-6。
- ネルソン、ロイス；セガーマン、ヘンリー(2015).「双曲型ハニカムの可視化」arXiv : 1511.02851 [ math.HO ] hyperbolichoneycombs.org/ 2016年3月4日アーカイブ（ Wayback Machine）
- サマービル, DMY (1958)、 『 n次元幾何学入門』、ニューヨーク: Dover Publications, Inc.、MR 01002391930年版（EPダットン出版）の再版。特に第10章「正多面体」を参照。
外部リンク
[編集]- プラトン立体
- ケプラー・ポアンソ多面体
- 正4次元多面体折りたたみ図
- 多次元用語集（ヘキサコシコロロンとヘカトニコサコロロンを調べてください）
- 多面体ビューア
- 多面体とn次元球面におけるp点の最適配置
- 小さな正多面体の地図帳
- 正多面体の変遷I. Hubard, Polytopes, Maps and their Symmetry
- 通常の星型多面体、南馬
| ファミリー | A n | B n | I 2 ( p ) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正多角形 | 三角形 | 正方形 | p角形 | 六角形 | 五角形 | |||||||
| 一様多面体 | 四面体 | 八面体•立方体 | 正十二面体 | 正二十面体 | ||||||||
| 均一多面体 | ペンタコロン | 16細胞・四次元体 | 二次元体 | 24細胞 | 120細胞・600細胞 | |||||||
| 均一な5次元多面体 | 5-単体 | 5-正方体・5-立方体 | 5-半立体 | |||||||||
| 一様6次元多面体 | 6次元単体 | 6次元正多面体・6次元立方体 | 6次元半立方体 | 1 22 • 2 21 | ||||||||
| 一様7次元多面体 | 7-単体 | 7-正複合体・7-立方体 | 7-半立体 | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
| 一様8次元多面体 | 8次元単体 | 8次元正多面体・8次元立方体 | 8デミキューブ | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
| 一様9次元多面体 | 9次元単体 | 9次元正多面体・9次元立方体 | 9次元半立方体 | |||||||||
| 一様10次元多面体 | 10次元単体 | 10次元正多面体・10次元立方体 | 10デミキューブ | |||||||||
| 一様n多面体 | n単体 | n -オルソプレックス• n -キューブ | n -デミキューブ | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n -五角形多面体 | |||||||
| トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算 | ||||||||||||
| スペース | ファミリー | / / | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| E 2 | 均一なタイリング | 0 [3] | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | 六角形 |
| E 3 | 均一な凸型ハニカム | 0 [4] | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
| E 4 | 均一な4ハニカム | 0 [5] | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24セルハニカム |
| E 5 | 均一な5ハニカム | 0 [6] | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
| E 6 | 均一な6ハニカム | 0 [7] | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
| E 7 | 均一な7ハニカム | 0 [8] | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
| E 8 | 均一な8ハニカム | 0 [9] | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
| E 9 | 均一な9ハニカム | 0 [10] | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
| E 10 | 均一な10ハニカム | 0 [11] | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
| E n −1 | 均一な（n −1）ハニカム | 0 [ n ] | δ n | hδ n | qδ n | 1 k 2 • 2 k 1 • k 21 |
| |||||||||||||
| |||||||||||||
| 正多角形（2次元） | |
|---|---|
| 凸型 | 星型 |
 {5} |  {5/2} |
| 正多面体（3D） | |
| 凸型 | 星型 |
 {5,3} |  {5/2,5} |
| 正四次元多面体 | |
| 凸型 | 星型 |
 {5,3,3} |  {5/2,5,3} |
| 正二次元モザイク | |
| ユークリッド | 双曲型 |
 {4,4} |  {5,4} |
| 正多角形 | |
| ユークリッド | 双曲型 |
 {4,3,4} |  {5,3,4} |
この記事では、ユークリッド空間、球面空間、双曲空間における正多面体を列挙します
概要
この表は、正多面体の数を順位別にまとめたものです
ランク | 有限 | ユークリッド | 双曲型 | 抽象 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| コンパクト | パラコンパクト | ||||||||
| 凸型 | 星型 | 斜め[a] [1] | 凸型 | 斜め[a] [1] | 凸型 | 星型 | 凸型 | ||
| 1 | 1 | なし | なし | なし | なし | なし | なし | なし | 1 |
| 2 | ∞ | ∞ | なし | 1 | なし | 1 | なし | なし | ∞ |
| 3 | 5 | 4 | 9 | 3 | 3 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
| 4 | 6 | 10 | 18 | 1 | 7 | 4 | なし | 11 | ∞ |
| 5 | 3 | なし | 3 | 3 | 15 | 5 | 4 | 2 | ∞ |
| 6 | 3 | なし | 3 | 1 | 7 | なし | なし | 5 | ∞ |
| 7+ | 3 | なし | 3 | 1 | 7 | なし | なし | なし | ∞ |
- ^ ab フルランクの多面体のみを数えます。高次元では、各ランク>1の正多面体がさらに多く存在します
いかなる次元数においても、ユークリッド正規の星型モザイク模様は存在しません。
1次元多面体
| コクセター図は鏡面「平面」をノードとして表し、点が平面上にない場合はノードの周りにリングを配置します。ディオン{}、は、点pとその鏡像点p'、およびそれらの間の線分です。 |
階数1の多面体（1-多面体）は1つしか存在しない。これは、2つの端点によって囲まれた閉じた線分である。この1-多面体の実現はすべて正則である。これはシュレーフリ記号{} [2] [3]、または1つの環状ノードを持つコクセター図で表される。ノーマン・ジョンソンはこれをディオン[4]と呼び、シュレーフリ記号{}を与えた。
多面体としては自明であるが、多角形やその他の高次元多面体の辺として現れる。 [5]シュレーフリ記号{}×{p}やコクセター図のような一様プリズムの定義に用いられる。線分と正多角形の直積として。 [6]
2次元多面体（多角形）
階数2の多面体（2次元多面体）は多角形と呼ばれます。正多角形は正二辺形で、円環形です。p角形正多角形はシュレーフリ記号{p}で表されます
多くの文献では凸多角形のみを扱っていますが、五芒星のような星型多角形も正則多角形になり得ます。星型多角形は凸多角形と同じ頂点を持ちますが、円周を複数回周回する交互接続で接続することで完成します。
凸
シュレーフリ記号{p}は正p角形を表します
| 名前 | 三角形 （2単体） | 正方形 （2正多面体） （2立方体） | 五角形 （2五角形 多面体） | 六角形 | 七角形 | 八角形 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| シュレーフリ | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | {8} | |
| 対称性 | D 3 , [3] | D 4 , [4] | D 5 , [5] | D 6 , [6] | D 7 , [7] | D 8 , [8] | |
| コクセター | | | | | | | |
| 画像 |  |  | |  |  |  | |
| 名前 | 九角形 （エニアゴン） | 十角形 | 12角形 | 12角形 | 13角形 | 14角形 | |
| シュレーフリ | {9} | {10} | {11} | {12} | {13} | {14} | |
| 対称性 | D 9、[9] | D 10、[10] | D 11 , [11] | D 12 , [12] | D 13 , [13] | D 14 , [14] | |
| ディンキン | | | | | | | |
| 画像 |  |  |  |  |  |  | |
| 名前 | 15角形 | 16角形 | 17角形 | 18角形 | 26角形 | 20角形 | p角形 |
| シュレーフリ | {15} | {16} | {17} | {18} | {19} | {20} | { p } |
| 対称性 | D 15 , [15] | D 16 , [16] | D 17、[17] | D 18、[18] | D 19、[19] | D 20 , [20] | D p , [p] |
| ディンキン | | | | | | | |
| 画像 |  |  |  |  |  |  |  |
球状
正二角形{2}は退化した正多角形とみなすことができます。球面やトーラスの表面など、いくつかの非ユークリッド空間では非退化的に実現できます。例えば、二角形は球面状の三角点として非退化的に実現できます。一角形{1}も、球面上で大円を通る単一の点として実現できます。[7]しかし、一角形は単一の辺が2つの頂点ではなく1つの頂点にしか接続していないため、 有効な抽象多面体ではありません
| 名前 | モノゴン | ダイゴン |
|---|---|---|
| シュレーフリ記号 | {1} | {2} |
| 対称性 | D 1 , [ ] | D 2 , [2] |
| コクセター図 | または | |
| 画像 |  |  |
星
二次元には、シュレーフリ記号が有理数{ n / m }で構成される正星型多面体が無数に存在します。これらは星型多面体と呼ばれ、凸正多面体と同じ頂点配置を共有します。
一般に、任意の自然数nに対して、シュレーフリ記号{ n / m }で表される正n角星が存在し、そのmはm < n /2（厳密には{ n / m } = { n /( n − m )}）かつmとnは互いに素である（したがって、辺数が素数の多角形の星形はすべて正 n 角星となる）ものとする。m と n が互いに素でない記号は、複合多角形を表すために使用される場合がある。
| 名前 | 五芒星 | 七芒星 | 八芒星 | エニアグラム | 十芒星 | … nグラム | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| シュレーフリ | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} | {9/2} | {9/4} | {10/3} | { p/q } |
| 対称性 | D 5 , [5] | D 7 , [7] | D 8 , [8] | D 9 , [9], | D 10、[10] | D p、[ p ] | ||
| コクセター | | | | | | | | |
| 画像 | |  |  |  |  |  |  | |
 {11/2} |  {11/3} |  {11/4} |  {11/5} |  {12/5} |  {13/2} |  {13/3} |  {13/4} |  {13/5} |  {13/6} | |
 {14/3} |  {14/5} |  {15/2} |  {15/4} |  {15/7} |  {16/3} |  {16/5} |  {16/7} | |||
 {17/2} |  {17/3} |  {17/4} |  {17/5} |  {17/6} |  {17/7} |  {17/8} |  {18/5} |  {18/7} | ||
 {19/2} |  {19/3} |  {19/4} |  {19/5} |  {19/6} |  {19/7} |  {19/8} |  {19/9} |  {20/3} |  {20/7} |  {20/9} |
モノゴンやダイゴンと同様に、球面タイリングとしてのみ存在できるスターポリゴンが存在する可能性があります (例: {3/2}、{5/3}、{5/4}、{7/4}、{9/5}) が、これらは詳細に研究されていません。
また、円の表面を有限回覆わない、パイアングルのような失敗した星型多角形も存在する。 [8]
傾斜多角形
平面正多角形に加えて、正傾斜多角形は無限に存在します。傾斜多角形はブレンディング操作によって作成できます
2 つの多角形PとQのブレンド ( P # Qと表記) は次のように構築できます。
- 頂点の直積V P × V Qをとります。
- エッジ( p 0 × q 0、p 1 × q 1 )を追加します。ここで、 ( p 0、p 1 )はPのエッジであり、( q 0、q 1 )はQのエッジです。
- 結果の任意の接続コンポーネントを選択します。
あるいは、ブレンドは多角形⟨ρ0σ0、ρ1σ1⟩であり、ここでρとσは直交部分空間に配置されたPとQの生成ミラーです。 [9]ブレンド操作は可換、結合、および冪等です。
すべての正多角形は、平面多角形の一意の集合[i]のブレンドとして表現できます。[9] PとQに因数を共有しない場合は、 Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q )となります。
3次元空間において
3次元の正有限多角形は、平面多角形（2次元）と二角形（1次元）の正確な組み合わせです。それらの頂点は、プリズム（{ n / m }#{}、nは奇数）または反プリズム（{ n / m }#{}、nは偶数）に対応します。3次元空間のすべての多角形は、頂点と辺の数が偶数です
これらのうちいくつかは、正多面体のペトリー多角形として現れます。
4次元空間において
4次元の正有限多角形は、2つの異なる平面多角形の混合として形成される多角形です。それらの頂点はクリフォード・トーラス上に位置し、クリフォード変位によって関連付けられています。3次元多角形とは異なり、二重回転上の斜め多角形には奇数個の辺が含まれる場合があります
3次元多面体（多面体）
階数3の多面体は多面体と 呼ばれます
シュレーフリ記号 { p , q }を持つ正多面体、コクセター図は、正則な面タイプ{ p }と正則な頂点図形 { q }を持ちます。
多面体の頂点図形とは、ある頂点から1辺だけ離れた頂点を結んだ多角形です。正多面体の場合、この頂点図形は常に正多角形（平面多角形）となります。
正多面体{ p , q }の存在は、頂点図形の角度の欠陥に関連する不等式によって制約されます。
順列を列挙すると、5 つの凸形式、4 つの星型形式、3 つの平面タイリングが見つかります。これらの多角形{ p }と{ q }はすべて、{3}、{4}、{5}、{5/2}、および {6} に制限されます。
ユークリッド空間を超えると、規則的な双曲タイルの無限の集合が存在します。
凸
5つの凸正多面体はプラトン立体と呼ばれます。頂点の数は、それぞれの頂点の数で表されます。これらの多面体はすべて、オイラー特性（）が2です
| 名前 | シュレーフリ { p , q } | コクセター | 画像 （立体） | 画像 （球体） | 面 { p } | 辺 | 頂点 { q } | 対称性 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正四面体 （3単体） | {3,3} | |  |  | 4 {3} | 6 | 4 {3} | T d [3,3] (*332) | （自分） |
| 六面体 立方体 （3面体） | {4,3} | |  |  | 6 {4} | 12 | 8 {3} | ああ[ 4,3 ] (*432) | 八面体 |
| 八面体 （3-正方格子） | {3,4} | |  |  | 8 {3} | 12 | 6 {4} | ああ[ 4,3 ] (*432) | 立方体 |
| 12面体 | {5,3} | |  |  | 12 {5} | 30 | 20 {3} | 1 h [5,3] (*532) | 二十面体 |
| 正二十面体 | {3,5} | |  |  | 20 {3} | 30 | 12 {5} | 1 h [5,3] (*532) | 十二面体 |
球状
球面幾何学では、正多面体（球面のタイル張り）が存在します。これらは、そうでなければ多面体として退化します。これらは、単面体{2,n}とその双対二面体{n,2}です。コクセターはこれらのケースを「不適正な」タイル張りと呼んでいます。[10]
最初のいくつかのケース (n は 2 から 6) を以下に示します。
| 名前 | シュレーフリ {2,p} | コクセター 図 | 画像 （球体） | 面 {2} π/p | 辺 | 頂点 {p} | 対称性 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 直角同面体 | {2,2} | |  | 2 {2} π/2 | 2 | 2 {2} π/2 | D 2h [2,2] (*222) | 自己 |
| 三方晶系直面体 | {2,3} | |  | 3 {2} π/3 | 3 | 2 {3} | D 3h [2,3] (*322) | 三角二面体 |
| 正方無面体 | {2,4} | |  | 4 {2} π/4 | 4 | 2 {4} | D 4h [2,4] (*422) | 正方二面体 |
| 五角形細面体 | {2,5} | |  | 5 {2} π/5 | 5 | 2 {5} | D 5h [2,5] (*522) | 五角二面体 |
| 六角細面体 | {2,6} | |  | 6 {2} π/6 | 6 | 2 {6} | D 6h [2,6] (*622) | 六角形二面体 |
| 名前 | シュレーフリ {p,2} | コクセター 図 | 画像 （球体） | 面 {p} | 辺 | 頂点 {2} | 対称性 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 対角二面体 | {2,2} | |  | 2 {2} π/2 | 2 | 2 {2} π/2 | D 2h [2,2] (*222) | 自己 |
| 三角二面体 | {3,2} | |  | 2 {3} | 3 | 3 {2} π/3 | D 3h [3,2] (*322) | 三方晶系直面体 |
| 正方二面体 | {4,2} | |  | 2 {4} | 4 | 4 {2} π/4 | D 4h [4,2] (*422) | 正方無面体 |
| 五角二面体 | {5,2} | |  | 2 {5} | 5 | 5 {2} π/5 | D 5h [5,2] (*522) | 五角形細面体 |
| 六角形二面体 | {6,2} | |  | 2 {6} | 6 | 6 {2} π/6 | D 6h [6,2] (*622) | 六角細面体 |
任意の星型多角形{ p / q }には、星型二面体と直面体{ p / q ,2}と{2, p / q }も存在します
星
正多面体はケプラー・ポアンソ多面体と呼ばれ、正十二面体（{5,3}）と正二十面体（{3,5}）の頂点配置に基づいて4つあります
これらの星形は球面タイリングとして、球面を複数回重ね合わせており、その密度は3または7です。タイリング画像では、黄色の球面多角形面が1つ示されています。
| 名前 | 画像 （骨格） | 画像 （立体） | 画像 （球体） | 星型 図 | シュレーフリ { p , q }と コクセター | 面 { p } | 辺 | 頂点 { q } verf. | χ | 密度 | 対称性 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 小星型十二面体 |  | .svg/1280px-Small_stellated_dodecahedron_(gray_with_yellow_face).svg.png) |  |  | {5/2,5} | 12 {5/2} | 30 | 12 {5} | −6 | 3 | 1 h [5,3] (*532) | 大十二面体 |
| 大十二面体 |  | .svg/1280px-Great_dodecahedron_(gray_with_yellow_face).svg.png) |  |  | {5,5/2} | 12 {5} | 30 | 12 {5/2} | −6 | 3 | 1 h [5,3] (*532) | 小星型十二面体 |
| 大星型十二面体 |  | .svg/1280px-Great_stellated_dodecahedron_(gray_with_yellow_face).svg.png) |  |  | {5/2,3} | 12 {5/2} | 30 | 20 {3} | 2 | 7 | 1 h [5,3] (*532) | 大二十面体 |
| 大二十面体 |  | .svg/1280px-Great_icosahedron_(gray_with_yellow_face).svg.png) |  |  | {3.5/2} | 20 {3} | 30 | 12 {5/2} | 2 | 7 | 1 h [5,3] (*532) | 大星型十二面体 |
失敗した星型多面体は無限に存在します。これらもシュレーフリ記号で星型多角形で表される球面タイリングですが、球面を有限回覆うことはありません。例としては、{5/2,4}、{5/2,9}、{7/2,3}、{5/2,5/2}、{7/2,7/3}、{4,5/2}、{3,7/3}などがあります
歪んだ多面体
正斜多面体は、非平面頂点図形の可能性を含む正多面体の集合の一般化です。
4次元の歪んだ多面体について、コクセターはこれらの図形に修正されたシュレーフリ記号{l,m|n}を提案した。{l,m}は頂点図形、頂点の周りのm個のl角形、そしてn角形の穴を意味する。これらの頂点図形は、2つの平面の間をジグザグに走る歪んだ多角形である。
{l,m|n}で表される正多面体は、次の式に従います。
そのうち 4 つは、同じ頂点配置と辺配置を共有する 4 つの正多面体の面のサブセットとして 4 次元で見ることができます。
 |  |  |  |
| {4、6 | 3} | {6, 4 | 3} | {4, 8 | 3} | {8, 4 | 3} |
|---|
4次元多面体（ポリコラ）
シュレーフリ記号を持つ正4次元多面体は、型のセル、型の面、辺図形、頂点図形を持ちます
- 4次元多面体の頂点図形は、与えられた頂点の周りの隣接する頂点の配置によって表される多面体です。正4次元多面体の場合、この頂点図形は正多面体です。
- 辺図形とは、辺の周囲の面の配置によって表される多角形です。正4次元多面体の場合、この辺図形は常に正多角形になります。
正4次元多面体の存在は、正多面体の存在によって制約される。4次元多面体の提案された名称は「ポリクロロン」である。[11]
それぞれは次の表現に依存する空間に存在します。
- : 超球面3次元ハニカムまたは4次元多面体
- : ユークリッド3次元ハニカム
- : 双曲型3次元ハニカム
これらの制約により、21 個のフォームが可能になります。そのうち 6 個は凸型、10 個は非凸型、1 個はユークリッド 3 空間ハニカム、4 個は双曲型ハニカムです。
凸
6つの凸正則4次元多面体を下の表に示します。これらの4次元多面体はすべて、オイラー特性（）が0です
| 名前 | シュレーフリ {p,q,r} | コクセター | 細胞 {p,q} | 顔 {p} | エッジ {r} | 頂点 {q,r} | 双対 {r,q,p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5細胞 （4単体） | {3,3,3} | | 5 {3,3} | 10 {3} | 10 {3} | 5 {3,3} | （自分） |
| 8セル （4キューブ） （テッセラクト） | {4,3,3} | | 8 {4,3} | 24 {4} | 32 {3} | 16 {3,3} | 16細胞 |
| 16細胞 （4-オルソプレックス） | {3,3,4} | | 16 {3,3} | 32 {3} | 24 {4} | 8 {3,4} | テッセラクト |
| 24細胞 | {3,4,3} | | 24 {3,4} | 96 {3} | 96 {3} | 24 {4,3} | （自分） |
| 120セル | {5,3,3} | | 120 {5,3} | 720 {5} | 1200 {3} | 600 {3,3} | 600セル |
| 600セル | {3,3,5} | | 600 {3,3} | 1200 {3} | 720 {5} | 120 {3,5} | 120セル |
| 5セル | 8セル | 16セル | 24細胞 | 120セル | 600セル |
|---|---|---|---|---|---|
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| ワイヤーフレーム（ペトリー多角形）の斜め正投影 | |||||
 |  |  |  |  |  |
| 立体正投影 | |||||
 四面体 エンベロープ（セル/ 頂点中心） |  立方体エンベロープ （セル中心） |  立方体エンベロープ （セル中心） |  立方八面体 エンベロープ （セル中心） |  切頂菱形 三十面体の エンベロープ （セル中心） |  ペンタキス二 十面体 エンベロープ （頂点中心） |
| ワイヤーフレームシュレーゲル図（透視投影） | |||||
 （セル中心） |  （セル中心） |  （セル中心） |  （セル中心） | （セル中心） |  （頂点中心） |
| ワイヤーフレーム立体投影（超球面） | |||||
 |  |  |  |  |  |
球状
ダイ4-トープとホソ4-トープは、 3次元球面の正則なモザイクとして存在します
正則な二面体4次元多面体（2面体）には、{3,3,2}、{3,4,2}、{4,3,2}、{5,3,2}、{3,5,2}、{p,2,2}、およびそれらの細面体4次元多面体 （ 2頂点）である{2,3,3}、{2,4,3}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,5,3}、{2,2, p }が含まれます。{2, p ,2}の形の4次元多面体は{2,2, p }と同じです。また、二面体セルと細面体頂点図形を持つ{ p ,2, q }の場合もあります。
| シュレーフリ {2, p , q } | コクセター | 細胞 {2, p } π/ q | 面 {2} π/ p、π/ q | 辺 | 頂点 | 頂点図形 { p , q } | 対称性 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {2,3,3} | | 4 {2,3} π/3 | 6 {2} π/3,π/3 | 4 | 2 | {3,3} | [2,3,3] | {3,3,2} |
| {2,4,3} | | 6 {2,4} π/3 | 12 {2} π/4,π/3 | 8 | 2 | {4,3} | [2,4,3] | {3,4,2} |
| {2,3,4} | | 8 {2,3} π/4 | 12 {2} π/3,π/4 | 6 | 2 | {3,4} | [2,4,3] | {4,3,2} |
| {2,5,3} | | 12 {2,5} π/3 | 30 {2} π/5,π/3 | 20 | 2 | {5,3} | [2,5,3] | {3,5,2} |
| {2,3,5} | | 20 {2,3} π/5 | 30 {2} π/3,π/5 | 12 | 2 | {3,5} | [2,5,3] | {5,3,2} |
星
正則な星型4次元多面体は10個存在し、シュレーフリ・ヘス4次元多面体と呼ばれます。これらの頂点は、凸状の120セル {5,3,3}と600セル {3,3,5}に基づいています。
Ludwig Schläfli は、そのうちの 4 つを見つけ、最後の 6 つをスキップしました。セルまたは頂点図形 (ゼロホール トーラスの場合: F+V−E=2) でオイラー特性を満たさない形式を許可しなかったためです。エドムント・ヘス(1843–1903) は、ドイツ語の著書『Einleitung in die Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder』 (1883 年) で 10 件の完全なリストを完成させました。
これら 10 個の正星型 4 次元多面体には、直交投影として示される 4 つの一意のエッジ配置と 7 つの一意の面配置があります。
| 名前 | ワイヤーフレーム | ソリッド | シュレーフリ {p, q, r} コクセター | セル {p, q} | 面 {p} | 辺 {r} | 頂点 {q, r} | 密度 | χ | 対称群 | 双対 {r, q, p} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正二十面体120セル （ファセット600セル） |  |  | {3,5,5/2} | 120 {3.5}  | 1200 {3} | 720 {5/2} | 120 {5.5/2}  | 4 | 480 | H 4 [5,3,3] | 小型星状体120細胞 |
| 小型星状体120細胞 |  | | {5/2,5,3} | 120 {5/2,5} | 720 {5/2} | 1200 {3} | 120 {5,3} | 4 | −480 | H 4 [5,3,3] | 正20面体 120細胞 |
| 大きな120細胞 | |  | {5,5/2,5} | 120 {5.5/2} | 720 {5} | 720 {5} | 120 {5/2,5} | 6 | 0 | H 4 [5,3,3] | 自己双対 |
| 120細胞大 | |  | {5,3,5/2} | 120 {5,3} | 720 {5} | 720 {5/2} | 120 {3.5/2}  | 20 | 0 | H 4 [5,3,3] | 120細胞大星状細胞 |
| 大星状120細胞 |  |  | {5/2,3,5} | 120 {5/2,3}  | 720 {5/2} | 720 {5} | 120 {3.5} | 20 | 0 | H 4 [5,3,3] | グランド120セル |
| 120個の星型大細胞 | |  | {5/2,5,5/2} | 120 {5/2,5} | 720 {5/2} | 720 {5/2} | 120 {5.5/2} | 66 | 0 | H 4 [5,3,3] | 自己双対 |
| グレートグランド120セル | |  | {5.5/2.3} | 120 {5.5/2} | 720 {5} | 1200 {3} | 120 {5/2,3} | 76 | −480 | H 4 [5,3,3] | 大二十面体、120セル |
| 大二十面体 120 セル （大多面体 600 セル） | |  | {3.5/2.5} | 120 {3.5/2} | 1200 {3} | 720 {5} | 120 {5/2,5} | 76 | 480 | H 4 [5,3,3] | グレートグランド120セル |
| グランド600セル | |  | {3,3,5/2} | 600 {3,3} | 1200 {3} | 720 {5/2} | 120 {3.5/2} | 191 | 0 | H 4 [5,3,3] | 大星状120細胞 |
| 大星状120細胞 |  |  | {5/2,3,3} | 120 {5/2,3} | 720 {5/2} | 1200 {3} | 600 {3,3} | 191 | 0 | H 4 [5,3,3] | グランド600セル |
4次元正則星型多面体の順列には、{3,5/2,3}、{4,3,5/2}、{5/2,3,4}、{5/2,3,5/2}の4つがあります。これらのセルと頂点図形は存在しますが、有限回の繰り返しで超球面を覆いません
歪んだ4次元多面体
上記の16個の平面4次元多面体に加えて、18個の有限な歪んだ多面体があります。[12]これらのうち1つは、四次元立方体のペトリアルとして得られ、残りの17個は、平面多面体と四次元立方体のペトリアルにカッパ演算を適用することで形成されます
ランク5以上
5 次元多面体には、 が 4 面タイプ、がセル タイプ、が面タイプ、 が面図形、が辺図形、 が頂点図形である記号が付けられます。
- 頂点図形（5 次元多面体）は、各頂点に隣接する頂点の配置によって表される 4 次元多面体です。
- 5 次元多面体のエッジ図形は、各エッジの周りの面の配置によって表される多面体です。
- 面図形（5 次元多面体）は、各面の周囲のセルの配置によって表される多角形です。
正 5 次元多面体は、とが正 4 次元多面体である場合にのみ存在します。
収まるスペースは次の式に基づいています。
- : 球面4次元モザイクまたは5次元多面体
- : ユークリッド4次元空間のタイル分割
- : 双曲型4次元タイル分割
これらの制約を列挙すると、凸多面体が3つ生成され、星型多面体は生成されず、ユークリッド4次元空間の3つのテッセレーションとパラコンパクト双曲型4次元空間の5つのテッセレーションが生成されます。ランク5以上の非凸正多面体は、スキュー多面体のみです。
凸
5次元以上では、凸正多面体は3種類しかありません。[13]
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p 1 ,...,p n −1 } | コクセター | k面 | ファセット タイプ | 頂点 図形 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|
| n単体 | {3 n −1 } | ... | {3 n −2 } | {3 n −2 } | 自己双対 | |
| n立方体 | {4,3 n −2 } | ... | {4,3 n −3 } | {3 n −2 } | n -オルソ錯体 | |
| n -オルソ錯体 | {3 n −2,4 } | ... | {3 n −2 } | {3 n −3 ,4} | n立方体 |
シュレーフリ記号の数が2である不適切なケースもあります。例えば、{p,q,r,...2}は、{p,q,r...}が正球面多面体であるときは常に不適切な正球面多面体であり、{2,...p,q,r}は、{...p,q,r}が正球面多面体であるときは常に不適切な正球面多面体です。このような多面体は面としても使用でき、{p,q,...2...y,z}のような形になります
5次元
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} コクセター | ファセット {p,q,r} | セル {p,q} | 面 {p} | 辺 | 頂点 | 顔の 図 {s} | エッジ 図形 {r,s} | 頂点 図形 {q,r,s} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-単体 | {3,3,3,3} | 6 {3,3,3} | 15 {3,3} | 20 {3} | 15 | 6 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
| 5キューブ | {4,3,3,3} | 10 {4,3,3} | 40 {4,3} | 80 {4} | 80 | 32 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
| 5-オルソプレックス | {3,3,3,4} | 32 {3,3,3} | 80 {3,3} | 80 {3} | 40 | 10 | {4} | {3,4} | {3,3,4} |
 5-単体 |  5キューブ |  5-オルソプレックス |
6次元
| 名前 | シュレーフリ | 頂点 | 辺 | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6次元単体 | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 0 |
| 6キューブ | {4,3,3,3,3} | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 0 |
| 6-オルソプレックス | {3,3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 0 |
 6次元単体 |  6キューブ |  6-オルソプレックス |
7次元
| 名前 | シュレーフリ | 頂点 | 辺 | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | 6面体 | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 7-単体 | {3,3,3,3,3,3,3} | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 2 |
| 7キューブ | {4,3,3,3,3,3} | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 2 |
| 7-オルソプレックス | {3,3,3,3,3,4} | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 2 |
 7-単体 |  7キューブ |  7-オルソプレックス |
8次元
| 名前 | シュレーフリ | 頂点 | 辺 | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | 6面体 | 7面体 | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8次元単体 | {3,3,3,3,3,3,3,3} | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 0 |
| 8キューブ | {4,3,3,3,3,3,3,3} | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 0 |
| 8-オルソプレックス | {3,3,3,3,3,3,4} | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 0 |
 8次元単体 |  8キューブ |  8-オルソプレックス |
9次元
| 名前 | シュレーフリ | 頂点 | 辺 | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | 6面体 | 7面体 | 8面体 | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 9次元単体 | {3 8 } | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 2 |
| 9キューブ | {4,3 7 } | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 | 2 |
| 9-オルソプレックス | {3 7 ,4} | 18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 2 |
 9次元単体 |  9キューブ |  9-オルソプレックス |
10次元
| 名前 | シュレーフリ | 頂点 | 辺 | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | 6面体 | 7面体 | 8面体 | 9面体 | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10次元単体 | {3 9 } | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 0 |
| 10キューブ | {4,3 8 } | 1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 | 0 |
| 10-オルソプレックス | {3 8 ,4} | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 0 |
 10次元単体 |  10キューブ |  10-オルソプレックス |
星型多面体
5階以上の正則な星型多面体は存在しません。ただし、より低い階数の星型多面体の星積によって生成される退化多面体（例えば、ホソトープやダイトープ） は例外です
正則射影多面体
射影正則( n +1)多面体は、元の正則n球面モザイク{p,q,...}が中心対称である場合に存在します。このような多面体はhemi-{p,q,...}と名付けられ、要素の数が半分になります。コクセターは記号{p,q,...}/2を用い、マクマレンは{p,q,...} h/2と書き、 hをコクセター数とします。[14]
偶数辺の正多角形には半2n角形の射影多角形 {2p}/2 があります。
5 つのプラトン立体のうち 4 つに関連する4 つの正射影多面体があります。
半立方体と半八面体は、半n立方体と半n正方体として任意の階数に一般化されます。
正射影多面体
| 名前 | コクセター ・マクマレン | 画像 | 顔 | 辺 | 頂点 | χ | スケルトングラフ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 半立方体 | {4,3}/2 {4,3} 3 |  | 3 | 6 | 4 | 1 | K 4 |
| 半八面体 | {3,4}/2 {3,4} 3 |  | 4 | 6 | 3 | 1 | 両刃のK 3 |
| 半十二面体 | {5,3}/2 {5,3} 5 |  | 6 | 15 | 10 | 1 | G(5,2) |
| 半二十面体 | {3,5}/2 {3,5} 5 |  | 10 | 15 | 6 | 1 | K 6 |
正則射影4次元多面体
6つの凸正則4次元多面体のうち5つは、中心対称な生成射影4次元多面体です。3つの特殊なケースは、半24セル、半600セル、半120セルです
| 名前 | コクセター 記号 | マクマレン 記号 | 細胞 | 顔 | 辺 | 頂点 | χ | スケルトングラフ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 半三次元方陣 | {4,3,3}/2 | {4,3,3} 4 | 4 | 12 | 16 | 8 | 0 | K 4.4 |
| 半16セル | {3,3,4}/2 | {3,3,4} 4 | 8 | 16 | 12 | 4 | 0 | 両刃K 4 |
| ヘミ24セル | {3,4,3}/2 | {3,4,3} 6 | 12 | 48 | 48 | 12 | 0 | |
| ヘミセル120 | {5,3,3}/2 | {5,3,3} 15 | 60 | 360 | 600 | 300 | 0 | |
| ヘミ600セル | {3,3,5}/2 | {3,3,5} 15 | 300 | 600 | 360 | 60 | 0 |
正則射影5次元多面体
階数5以上で中心対称となる正球面多面体は3つのうち2つだけです。対応する正射影多面体は、正超立方体と正直角錐の半バージョンです。階数5の場合、以下の表に示します。
| 名前 | シュレーフリ | 4面 | 細胞 | 顔 | 辺 | 頂点 | χ | スケルトングラフ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 半五面体 | {4,3,3,3}/2 | 5 | 20 | 40 | 40 | 16 | 1 | 四次元立方体の骨格 + 中心対角線8本 |
| ヘミペンタクロス | {3,3,3,4}/2 | 16 | 40 | 40 | 20 | 5 | 1 | 両刃のK 5 |
アペイロトペス
アペイロトープまたは無限多面体とは、無限に多くの面を持つ多面体です。n-アペイロトープは無限n-多面体です。2-アペイロトープまたはアペイロゴンは無限多角形、3-アペイロトープまたはアペイロヘドロン（無限多面体）などです。
アペイロトープには主に2つの幾何学的クラスがある: [15]
- n次元の正規ハニカム。n次元空間を完全に満たします。
- 高次の空間におけるn次元多様体を構成する、規則的な歪んだアペイロトープ。
2-アペイロトープ（アペイロゴン）
直線アペイロゴンは直線を規則的にモザイク状に並べたもので、無限個の等しい線分に分割されます。無限個の頂点と辺を持ちます。シュレーフリ記号は{∞}で、コクセター図は。
pが無限大に近づくにつれて、 p角形の極限として次のように存在します
| 名前 | モノゴン | ダイゴン | 三角形 | 正方形 | 五角形 | 六角形 | 七角形 | p角形 | アペイロゴン |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| シュレーフリ | {1} | {2} | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | { p } | {∞} |
| 対称性 | D 1 , [ ] | D 2 , [2] | D 3 , [3] | D 4 , [4] | D 5 , [5] | D 6 , [6] | D 7 , [7] | [p] | |
| コクセター | または | | | | | | | | |
| 画像 | | | | | | | |  |
双曲平面上のアペイロゴン、特に正アペイロゴン{∞}は、ユークリッド平面の有限多角形と同様に曲率を持つことができ、頂点は円ではなくホロサイクルまたはハイパーサイクルで外接されます
無限大に収束するようにスケールされた通常のアペイロゴンは、記号 {∞} を持ち、ホロサイクル上に存在しますが、より一般的にはハイパーサイクル上にも存在します。
| {∞} | {iπ/λ} |
|---|---|
 ホロサイクル上のアペイロゴン |  ハイパーサイクル上のアペイロゴン |
上記はポアンカレ円板モデルにおける 2 つの正則双曲アペイロゴンです。右側は長さ λ で区切られた発散基本領域の垂直反射線を示しています。
歪んだアペイロゴン
二次元における歪んだアペイロゴンは、平面上でジグザグの線を形成します。ジグザグが均等で対称であれば、アペイロゴンは正則です
歪んだアペイロゴンは任意の次元で構築できます。3次元では、正歪んだアペイロゴンは螺旋状の渦巻きを描き、左巻きまたは右巻きのどちらかになります。
| 2次元 | 3次元 |
|---|---|
 ジグザグアペイロゴン |  ヘリックスアペイロゴン |
3-アペイロトープ（アペイロヘドラ）
ユークリッドタイリング
平面には 6 つの規則的なモザイク模様があります。以下に挙げる 3 つと、それに対応するペトリアルです。
| 名前 | 正方形タイル （クアドリル） | 三角形タイル （デルティル） | 六角形のタイル （ヘクスティル） |
|---|---|---|---|
| 対称性 | p4m, [4, 4], (*442) | p6m, [6, 3], (*632) | |
| シュレーフリ{p, q} | {4,4} | {3,6} | {6,3} |
| コクセター図 | | | |
| 画像 | |  |  |
不適当な正則タイリングが 2 つあります。1 つは {∞,2}、つまり2 つのアペイロゴンから作られ、それぞれが平面の半分を埋めるアペイロゴン二面体です。もう 1 つはその双対である {2,∞}、つまり無限の平行線の集合として見られる アペイロゴン細面体です。
 {∞,2} , |  {2,∞}、 |
ユークリッド星型タイリング
星型多角形の規則的な平面タイリングは存在しません。{8/3,8}、{10/3,5}、{5/2,10}、{12/5,12}など、平面（1/ p + 1/ q = 1/2）に収まる列挙は数多くありますが、周期的に繰り返されるものはありません
双曲型タイリング
双曲型2次元空間のタイル張りは双曲型タイリングです。H 2には無数の正則タイリングが存在します。前述のように、 1/ p + 1/ q < 1/2 となるすべての正整数ペア { p , q }は双曲型タイリングを与えます。実際、一般的なシュワルツ三角形( p , q , r ) では、1/ p + 1/ q + 1/ r < 1の場合も同じことが成り立ちます
双曲面の表示方法はいくつかありますが、例えば下図のように、平面を円に写像するポアンカレ円板モデルがあります。以下のタイリングでは、すべてのポリゴン面が同じ大きさで、適用された投影により、端に近づくにつれて小さく見えることに注意してください。これは、カメラの魚眼レンズの効果に非常に似ています。
双曲面の規則的なタイリングとして、{p,q} の形式（p+q<pq/2）の平坦な規則的な 3-アペイロトープ（アペイロヘドラ）が無限に存在します。
- {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
- {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
- {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
- {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
- {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
- {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
- {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
- ...
- {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}
サンプル：
| 正則双曲型タイリングテーブル | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 球面（非正定／プラトン的）／ユークリッド／双曲的（ポアンカレ円板：コンパクト／パラコンパクト／非コンパクト）のモザイク分割とシュレーフリ記号 | |||||||||||
| p \ q | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … | ∞ | … | iπ/λ |
| 2 | {2 , 2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} |  {2,7} |  {2,8} |  {2,∞} |  {2,iπ/λ} | ||
| 3 | {3,2} | （四面体） {3,3} | （八面体） {3,4} | （二十面体） {3,5} | (デルティル) {3,6} |  {3,7} |  {3,8} |  {3,∞} |  {3,iπ/λ} | ||
| 4 | {4,2} | （立方体） {4,3} | （カドリール） {4,4} |  {4,5} |  {4,6} |  {4,7} |  {4,8} |  {4,∞} |  {4,iπ/λ} | ||
| 5 | {5,2} | （正十二面体） {5,3} | {5,4} |  {5,5} |  {5,6} |  {5,7} |  {5,8} |  {5,∞} |  {5,iπ/λ} | ||
| 6 | {6,2} | （ヘクスチル） {6,3} |  {6,4} |  {6,5} |  {6,6} |  {6,7} |  {6,8} |  {6,∞} |  {6,iπ/λ} | ||
| 7 | {7,2} |  {7,3} |  {7,4} |  {7,5} |  {7,6} |  {7,7} |  {7,8} |  {7,∞} | {7,iπ/λ} | ||
| 8 | {8,2} |  {8,3} |  {8,4} |  {8,5} |  {8,6} |  {8,7} |  {8,8} |  {8,∞} | {8,iπ/λ} | ||
| … | |||||||||||
| ∞ |  {∞,2} |  {∞,3} |  {∞,4} |  {∞,5} |  {∞,6} |  {∞,7} |  {∞,8} |  {∞,∞} |  {∞,iπ/λ} | ||
| … | |||||||||||
| iπ/λ |  {iπ/λ,2} |  {iπ/λ,3} |  {iπ/λ,4} |  {iπ/λ,5} |  {iπ/λ,6} | {iπ/λ,7} | {iπ/λ,8} |  {iπ/λ,∞} |  {iπ/λ, iπ/λ} | ||
タイリング{p, ∞}は、ポアンカレ円板模型の端に理想頂点を持ちます。その双対{∞, p}は理想アピロゴナル面を持ち、ホロサイクルに内接することを意味します。さらに（上の表のように）ポアンカレ円板の外側に、超理想頂点を持つタイリングを見つけることができます。これは超サイクルに内接するタイルと双対です。上記の{p, iπ/λ}で表されているものにおいて、各超理想頂点の周りには無限個のタイルが収まります。[16]（拡張双曲空間における平行線は理想点で交わり、超平行線は超理想点で交わります。）[17]
双曲型星型タイリング
面または頂点図形が星型多角形である双曲型タイリングの無限形式が 2 つあります。{ m /2, m } とその双対 { m , m /2} ( m = 7, 9, 11, .... [18] { m /2, m } タイリングは{ m , 3} タイリングの星型であり、{ m , m /2} 双対タイリングは{3, m } タイリングのファセット化と{ m , 3} タイリング の拡大[ii]です。
パターン{ m /2, m }と{ m , m /2}は、 m < 7の奇数に対しても多面体として成立する。m = 5のとき、小星型十二面体と大十二面体が得られ[18]、m = 3のときは四面体に退化する。他の2つのケプラー・ポアンソ多面体（大星型十二面体と大二十面体）には、正則な双曲型タイリングの類似物はない。mが偶数の場合、 { m /2}をどのように定義するかによって、他のタイリングの退化した二重被覆または複合タイリングのいずれかを得ることができる。
| 名前 | シュレーフリ | コクセター図 | 画像 | 顔型 {p} | 頂点図形 {q} | 密度 | 対称性 | 双対 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 7次ヘプタグラムタイル張り | {7/2,7} | |  | {7/2} | {7} | 3 | *732 [7,3] | ヘプタグラム順七角形タイル張り |
| ヘプタグラム次七角形タイル張り | {7,7/2} | |  | {7} | {7/2} | 3 | *732 [7,3] | 7次ヘプタグラム・タイリング |
| エニアグラム的9次元タイリング | {9/2,9} | |  | {9/2} | {9} | 3 | *932 [9,3] | エニアグラム順序のエニアゴナルタイル |
| エニアグラム順序のエニアゴナルタイル | {9,9/2} | |  | {9} | {9/2} | 3 | *932 [9,3] | エニアグラム的9次元タイリング |
| 11次のヘンデカグラムタイリング | {11/2,11} | |  | {11/2} | {11} | 3 | *11.3.2 [11,3] | ヘンデカグラム順序のヘンデカゴナルタイル張り |
| ヘンデカグラム順序のヘンデカゴナルタイル張り | {11,11/2} | |  | {11} | {11/2} | 3 | *11.3.2 [11,3] | 11次のヘンデカグラムタイリング |
| p p次のグラムタイリング | { p /2, p } | | { p /2} | { p } | 3 | * p 32 [p,3] | p文法順序p角形タイリング | |
| p文法順序p角形タイリング | { p , p /2} | | { p } | { p /2} | 3 | * p 32 [p,3] | p p次のグラムタイリング |
ユークリッド3次元空間における歪んだアペイロヘドラ
ユークリッド3次元空間には、平面を持つ3つの正三角形状のアペイロヘドラがあります。 [19] [20] [21]これらは、3つの凸型均一ハニカムと同じ頂点配置と辺配置を共有しています。
- 各頂点の周囲に6つの正方形: {4,6|4}
- 各頂点の周りの4つの六角形: {6,4|4}
- 各頂点の周りの6つの六角形: {6,6|3}
- 平面を持つ正多面体
- ムキューブ
- 六八面体
- 六四面体
歪んだ面を考慮すると、ユークリッド3次元空間には30個の正アペイロヘドラが存在します。[22]これらには、ユークリッド平面アペイロヘドラとの混合によって作られた12個の混合アペイロヘドラと、平面アペイロヘドラと上記の3つの3次元アペイロヘドラを含む非自明な混合として表現できない18個の純粋アペイロヘドラが含まれます
3 次元の純粋なアペイロヘドラは次のとおりです。
- {4,6|4}、ムクベ
- {∞,6} 4,4、ムクベのペトリアル
- {6,6|3}、ミューテトラヘドロン
- {∞,6} 6,3、ミューテトラヘドロン（正四面体）のペトリアル
- {6,4|4}、正八面体
- {∞,4} 6,4、正八面体の花弁
- {6,6} 4、ムキュベの半分
- {4,6} 6 、 {6,6} 4のペトリアル
- {∞,4} ·,*3、正八面体の歪み
- {6,4} 6 、 {∞,4} 6,4の歪曲
- {∞,3} ( a )
- {∞,3} ( b )
双曲3次元空間における歪んだアペイロヘドラ
コンパクト対称性またはパラコンパクト対称性を持つ双曲3次元空間には、凸面を持つ正三角形状のアペイロヘドラが31個存在する。 [23]
- 14 個はコンパクトです: {8,10|3}、{10,8|3}、{10,4|3}、{4,10|3}、{6,4|5}、{4,6|5}、{10,6|3}、{6,10|3}、{8,8|3}、{6,6|4}、{10,10|3}、{6,6|5}、{8,6|3}、および {6,8|3}。
- 17 個はパラコンパクトです: {12,10|3}、{10,12|3}、{12,4|3}、{4,12|3}、{6,4|6}、{4,6|6}、{8,4|4}、{4,8|4}、{12,6|3}、{6,12|3}、{12,12|3}、{6,6|6}、{8,6|4}、{6,8|4}、{12,8|3}、{8,12|3}、{8,8|4}。
4次元アペイロトープ
ユークリッド3次元空間のモザイク状配置
3次元空間（ハニカム）の非退化正則タイル分割は{4, 3, 4}の1つだけである: [24]
| 名前 | シュレーフリ {p,q,r} | コクセター | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | エッジ 図形 {r} | 頂点 図形 {q,r} | χ | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 立方ハニカム | {4,3,4} | | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | 0 | 自己双対 |
ユークリッド3次元空間の不適切なモザイク分割
3つの正ユークリッドタイリングに基づく、6つの非正則タイル分割があります。それらのセルと頂点図形はすべて、正細面体{2,n}、二面体{n,2}、およびユークリッドタイリングです。これらの非正則タイル分割は、切り捨て演算によって、角柱状一様ハニカムと構成的に関連しています。これらは、 2次アピロゴナルタイリングおよびアピロゴナル細面体の高次元類似体です。
| シュレーフリ {p,q,r} | コクセター 図 | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | エッジ 図形 {r} | 頂点 図形 {q,r} |
|---|---|---|---|---|---|
| {2,4,4} | | {2,4} | {2} | {4} | {4,4} |
| {2,3,6} | | {2,3} | {2} | {6} | {3,6} |
| {2,6,3} | | {2,6} | {2} | {3} | {6,3} |
| {4,4,2} | | {4,4} | {4} | {2} | {4,2} |
| {3,6,2} | | {3,6} | {3} | {2} | {6,2} |
| {6,3,2} | | {6,3} | {6} | {2} | {3,2} |
双曲的3次元空間のモザイク状配置
双曲的3次元空間には、平坦で正則なハニカムが15個あります
- 4つはコンパクトです: {3,5,3}、{4,3,5}、{5,3,4}、{5,3,5}
- 11 個はパラコンパクトです: {3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6}。
| ||||
|
双曲型3次元空間のタイル分割は双曲型ハニカムと呼ばれます。H3には15個の双曲型ハニカムがあり、そのうち4個はコンパクト、11個はパラコンパクトです
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r} | コクセター | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | エッジ 図形 {r} | 頂点 図形 {q,r} | χ | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 20面体ハニカム | {3,5,3} | | {3,5} | {3} | {3} | {5,3} | 0 | 自己双対 |
| 5次立方ハニカム | {4,3,5} | | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,4} |
| 4次十二面体ハニカム | {5,3,4} | | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | 0 | {4,3,5} |
| 5次正十二面体ハニカム | {5,3,5} | | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | 自己双対 |
パラコンパクトH 3ハニカム（無限（ユークリッド）セルおよび／または頂点図形を持つもの）は11種類あります：{3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、{6,3,6}
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r} | コクセター | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | エッジ 図形 {r} | 頂点 図形 {q,r} | χ | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6面体ハニカム | {3,3,6} | | {3,3} | {3} | {6} | {3,6} | 0 | {6,3,3} |
| 六角形のタイリングハニカム | {6,3,3} | | {6,3} | {6} | {3} | {3,3} | 0 | {3,3,6} |
| 4次八面体ハニカム | {3,4,4} | | {3,4} | {3} | {4} | {4,4} | 0 | {4,4,3} |
| 正方形タイルハニカム | {4,4,3} | | {4,4} | {4} | {3} | {4,3} | 0 | {3,4,4} |
| 三角形タイルハニカム | {3,6,3} | | {3,6} | {3} | {3} | {6,3} | 0 | 自己双対 |
| 6次立方体ハニカム | {4,3,6} | | {4,3} | {4} | {4} | {3,6} | 0 | {6,3,4} |
| 4次六角形タイルハニカム | {6,3,4} | | {6,3} | {6} | {4} | {3,4} | 0 | {4,3,6} |
| 4次元正方形タイルハニカム | {4,4,4} | | {4,4} | {4} | {4} | {4,4} | 0 | 自己双対 |
| 6面体ハニカム | {5,3,6} | | {5,3} | {5} | {5} | {3,6} | 0 | {6,3,5} |
| 5面体ハニカム | {6,3,5} | | {6,3} | {6} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,6} |
| 6次六角形タイリングハニカム | {6,3,6} | | {6,3} | {6} | {6} | {3,6} | 0 | 自己双対 |
非コンパクト解はローレンツ・コクセター群として存在し、双曲空間（超理想頂点を持つ基本四面体）の開領域で視覚化できます。双曲セルまたは頂点図形を持ち、シュレーフリ記号に2を含まないすべてのハニカムは非コンパクトです
| {3, r } | {3,2} | {3,3} | {3,4} | {3,4} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | … {3,∞} | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| { p ,3} | p \ r | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | …∞ |
| {2,3} | 2 | {2,3,2} | {2,3,3} | {2,3,4} | {2,3,5} | {2,3,6} | {2,3,7} | {2,3,8} | {2,3,∞} |
| {3,3} | 3 | {3,3,2} | {3,3,3} | {3,3,4} | {3,3,5} |  {3,3,6} |  {3,3,7} |  {3,3,8} |  {3,3,∞} |
{4,3} | 4 | {4,3,2} | {4,3,3} | {4,3,4} |  {4,3,5} |  {4,3,6} |  {4,3,7} |  {4,3,8} |  {4,3,∞} |
{5,3} | 5 | {5,3,2} | {5,3,3} |  {5,3,4} |  {5,3,5} |  {5,3,6} |  {5,3,7} |  {5,3,8} |  {5,3,∞} |
| {6,3} | 6 | {6,3,2} |  {6,3,3} |  {6,3,4} |  {6,3,5} |  {6,3,6} |  {6,3,7} |  {6,3,8} |  {6,3,∞} |
| {7,3} | 7 | {7,3,2} |  {7,3,3} |  {7,3,4} |  {7,3,5} |  {7,3,6} |  {7,3,7} |  {7,3,8} |  {7,3,∞} |
| {8,3} | 8 | {8,3,2} |  {8,3,3} |  {8,3,4} |  {8,3,5} |  {8,3,6} |  {8,3,7} |  {8,3,8} |  {8,3,∞} |
| ... {∞,3} | …∞ | {∞,3,2} |  {∞,3,3} |  {∞,3,4} |  {∞,3,5} |  {∞,3,6} |  {∞,3,7} |  {∞,3,8} |  {∞,3,∞} |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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H3には、正コンパクトまたはパラコンパクト双曲型星型ハニカムは存在しません。正星型多面体をセル、頂点図形、またはその両方として持つすべての形状は、最終的に球形になります
理想頂点は、頂点図形がユークリッドタイリングのときに出現し、球面ではなくホロスフィアに内接可能となる。これらは理想セル（有限多面体ではなくユークリッドタイリング）の双対である。シュレーフリ記号の最後の数字がさらに大きくなると、頂点図形は双曲的になり、頂点は超理想となる（そのため、双曲空間内で辺が交わらない）。ハニカム{p, q, ∞}では、辺はポアンカレ球と1つの理想点でのみ交差し、残りの辺は超理想となる。さらに進めていくと、ハニカムと基本単体の両方において、完全に超理想となる辺に到達する（ただし、そのような辺では{p, q}が無数に交わる）。一般に、シュレーフリ記号の最後の数が∞になると、余次元2の面はポアンカレ超球面と1つの理想的な点でのみ交差する。[16]
5次元アペイロトープ
ユークリッド4次元空間のモザイク状配置
ユークリッド 4 次元空間を分割できる 無限正多面体 (ハニカム)には次の 3 種類があります。
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} | ファセット 型 {p,q,r} | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | 顔の 図 {s} | エッジ 図形 {r,s} | 頂点 図形 {q,r,s} | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| モザイク状のハニカム | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | 自己双対 |
| 16セルハニカム | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,3} |
| 24セルハニカム | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,3,4,3} |
 {4,3,3,4}の投影部分 （テッセラティックハニカム） |  {3,3,4,3}の投影部分 （16セルハニカム） |  {3,4,3,3}の投影部分 （24セルハニカム） |
また、{4,3,4,2} と {2,4,3,4} という 2 つの不適切なケースもあります。
ユークリッド4次元空間には3つの平坦な正則ハニカムが存在する: [24]
- {4,3,3,4}、{3,3,4,3}、および {3,4,3,3}。
双曲的4次元空間には7つの平坦な正凸ハニカムが存在する: [18]
- 5つはコンパクトです: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5}
- 2つはパラコンパクトです: {3,4,3,4}、および {4,3,4,3}。
双曲4次元空間には4つの平坦な正則星型ハニカムが存在する: [18]
- {5/2,5,3,3}、{3,3,5,5/2}、{3,5,5/2,5}、および{5,5/2,5,3}。
双曲型4次元空間のタイル分割
H4空間には7つの凸状の正則ハニカムと4つの星型ハニカムがある。[25]そのうち5つはコンパクトで、2つはパラコンパクトである。
H 4の 5 つのコンパクトな規則的なハニカム:
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} | ファセット 型 {p,q,r} | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | 顔の 図 {s} | エッジ 図形 {r,s} | 頂点 図形 {q,r,s} | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5次5セルハニカム | {3,3,3,5} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,3} |
| 120セルのハニカム | {5,3,3,3} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {3,3,3,5} |
| 5次格子ハニカム | {4,3,3,5} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,4} |
| 4次120セルハニカム | {5,3,3,4} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,5} |
| 5次120セルハニカム | {5,3,3,5} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | 自己双対 |
2つのパラコンパクト正則H 4ハニカムは、{3,4,3,4}、{4,3,4,3}です
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} | ファセット 型 {p,q,r} | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | 顔の 図 {s} | エッジ 図形 {r,s} | 頂点 図形 {q,r,s} | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4次24セルハニカム | {3,4,3,4} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {4} | {3,4} | {4,3,4} | {4,3,4,3} |
| 立方体のハニカム | {4,3,4,3} | {4,3,4} | {4,3} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,4} |
非コンパクト解はロレンツ・コクセター群として存在し、双曲空間（基本的な5セルの一部が無限大を超えてアクセスできない領域を持つ）の開領域で視覚化できる。以下の表に示されておらず、シュレーフリ記号に2が含まれないハニカムはすべて非コンパクトである。
| 球状/ユークリッド状/ 双曲状（コンパクト/パラコンパクト/非コンパクト）ハニカム {p,q,r,s} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
双曲型4次元空間の星型モザイク
H4空間には、すべてコンパクトな4つの正則な星型ハニカムがあります
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s} | ファセット 型 {p,q,r} | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | 顔の 図 {s} | エッジ 図形 {r,s} | 頂点 図形 {q,r,s} | デュアル | 密度 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 小さな星型120セルハニカム | {5/2,5,3,3} | {5/2,5,3} | {5/2,5} | {5/2} | {3} | {3,3} | {5,3,3} | {3,3,5,5/2} | 5 |
| 五芒星型600セルハニカム | {3,3,5,5/2} | {3,3,5} | {3,3} | {3} | {5/2} | {5,5/2} | {3,5,5/2} | {5/2,5,3,3} | 5 |
| 5面体120セルハニカム | {3,5,5/2,5} | {3,5,5/2} | {3,5} | {3} | {5} | {5/2,5} | {5,5/2,5} | {5,5/2,5,3} | 10 |
| 120個のセルを持つ巨大なハニカム | {5,5/2,5,3} | {5,5/2,5} | {5,5/2} | {5} | {3} | {5,3} | {5/2,5,3} | {3,5,5/2,5} | 10 |
6次元アペイロトープ
ユークリッド5次元空間には、平坦で正則なハニカム構造が1つだけ存在します。（上記でモザイク状として列挙）[24]
- {4,3,3,3,4}
双曲的5次元空間には、5つの平坦正則正則ハニカムがあり、すべてパラコンパクトである。（上記でタイル状と記載）[18]
- {3,3,3,4,3}、{3,4,3,3,3}、{3,3,4,3,3}、{3,4,3,3,4}、{4,3,3,4,3}
ユークリッド5次元空間のタイル分割
超立方ハニカムは、各稜線の周囲に 4 つの超立方面を形成し、5 次元以上の各次元をモザイク化できる唯一の通常のハニカム ファミリです。
| 名前 | シュレーフリ { p 1 , p 2 , ..., p n −1 } | ファセット タイプ | 頂点 図形 | デュアル |
|---|---|---|---|---|
| 正方形のタイル張り | {4,4} | {4} | {4} | 自己双対 |
| 立方ハニカム | {4,3,4} | {4,3} | {3,4} | 自己双対 |
| モザイク状のハニカム | {4,3 2,4 } | {4,3 2 } | {3 2 ,4} | 自己双対 |
| 5キューブハニカム | {4,3 3,4 } | {4,3 3 } | {3 3 ,4} | 自己双対 |
| 6キューブハニカム | {4,3 4,4 } | {4,3 4 } | {3 4 ,4} | 自己双対 |
| 7キューブハニカム | {4,3 5,4 } | {4,3 5 } | {3 5 ,4} | 自己双対 |
| 8キューブハニカム | {4,3 6,4 } | {4,3 6 } | {3 6 ,4} | 自己双対 |
| n-超立方ハニカム | {4,3 n−2 ,4} | {4,3 n−2 } | {3 n−2 ,4} | 自己双対 |
E 5には、{4,3,3,4,2}、{2,4,3,3,4}、{3,3,4,3,2}、{2,3,3,4,3}、{3,4,3,3,2}、{2,3,4,3,3}といった不適切なケースも存在する。E nにおいては、{4,3 n−3 ,4,2}と{2,4,3 n−3 ,4}は常に不適切なユークリッド平面分割である。
双曲5次元空間のタイル分割
H 5には 5 つの正則ハニカムがあり、すべてパラコンパクトで、無限(ユークリッド)面または頂点図形 ({3,4,3,3,3}、{3,3,4,3,3}、{3,3,3,4,3}、{3,4,3,3,4}、{4,3,3,4,3}) が含まれます。
次元 5 以上の双曲空間にはコンパクトな正則分割は存在せず、次元 6 以上の双曲空間にはパラコンパクトな正則分割は存在しません。
| 名前 | シュレーフリ 記号 {p,q,r,s,t} | ファセット タイプ {p,q,r,s} | 4面体 型 {p,q,r} | セル タイプ {p,q} | 顔の タイプ {p} | セル 図 {t} | 顔の 形 {s,t} | エッジ 図形 {r,s,t} | 頂点 図形 {q,r,s,t} | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-オルソプレックスハニカム | {3,3,3,4,3} | {3,3,3,4} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,3} |
| 24セルハニカム | {3,4,3,3,3} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {4,3,3,3} | {3,3,3,4,3} |
| 16セルハニカム | {3,3,4,3,3} | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,4,3,3} | 自己双対 |
| オーダー4 24セルハニカム | {3,4,3,3,4} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,4} | {4,3,3,4,3} |
| モザイク状のハニカム | {4,3,3,4,3} | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,4} |
n ≥ 5に対しては、潜在的なセルまたは頂点図形となる可能性のある、正則な星型n多面体は存在しないため、H nにはn ≥ 5に対しては 双曲型星型ハニカムは存在しません
ランク7以上のアペイロトープス
双曲6次元空間以上のタイル分割
6次元以上の双曲空間には、正規コンパクトまたはパラコンパクトのタイル分割は存在しない。しかし、上記で扱われていない{p,q,r,s,...}の形をとるシュレーフリ記号（p,q,r,s,...は2以上の自然数、または無限大）は、双曲n空間の非コンパクトタイル分割を形成する。[16]
抽象多面体
抽象多面体は、多面体をそれらが埋め込まれている幾何学的空間から切り離して研究する試みから生まれました。球面空間、ユークリッド空間、双曲空間、およびその他の多様体のモザイク状配置が含まれます。1より大きい階数には無限に存在します。サンプルについては、このアトラスをご覧ください。このリストの他の場所には記載されていない抽象正多面体の注目すべき例としては、11セル{3,5,3}と57セル{5,3,5}があり、これらはセルと頂点図形として正射影多面体を持ちます
抽象多面体の要素は、その胴体（最大要素）、面、辺、頂点、および空集合である。これらの抽象要素は、通常の空間にマッピングすることも、幾何学的図形として実現することもできる。抽象多面体の中には、整形式または忠実な実現を持つものもあれば、そうでないものもあります。旗とは、各階の要素が連結された集合であり、多面体の場合は胴体、面、面の辺、辺の頂点、および空集合です。抽象多面体は、その組み合わせ対称性が旗上で推移的である場合、つまり、多面体の対称性の下で任意の旗を他の任意の旗にマッピングできる場合、正則多面体であるとされます。抽象正多面体は、現在も活発な研究分野です。
忠実かつ対称的に実現できないこのような5つの正多面体は、HSM Coxeterの著書『Regular Polytopes』（1977年）と、JM Willsの論文『The combinatorially regular polyhedra of index 2』（1987年）で特定されています。[26]これらはすべて位相的にトーラスと等価です。各頂点の周りにn個の面を配置することで、双曲面のタイリングとして無限に繰り返すことができます。下の図では、双曲面のタイリング画像の色は、多面体画像の色に対応しています。
多面体
正三角形の三十面体
十二面体
正三角形の三二十面体
二三角正十二面体
発掘された十二面体頂点図形 {5}, {5/2} (5.5/2) 2 {5}, {5/2} (5.5/3) 3 面 菱形30個 五角形12個、五芒
星12個20個の六角形 五角形12個、五芒
星12個20個の六芒星 タイル張り
{4, 5}
{5, 4}
{6, 5}
{5, 6}
{6, 6}χ −6 −6 −16 −16 −20
これらは次のように双対として現れます。
参照
- 正多面体化合物の一覧
- 多角形
- 多面体
- プラトン立体
- ケプラー・ポアンソ立体
- 4次元多面体
- 正4次元多面体（正4次元多面体16個、凸4個、星型（シュレーフリ・ヘス）10個）
- モザイク模様
- 正多角形のタイル張り
- 凸型均一ハニカム
- 正則写像（グラフ理論）
注釈
サブノート
- ^ Coxeter, HMS (1975). Regular Complex Polytopes (第1版). Cambridge University Press. pp. 46–7 . ISBN 9780521201254。
- ^ 参照：Inchbald, Guy (2024年9月9日). 「星形化とファセット化 - 簡潔な歴史」. Guy's Polyhedra Page . 2024年5月20日時点のオリジナルよりアーカイブ
参考文献
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- ^ Johnson, NW (2018). 「第11章 有限対称群」.幾何学と変換. ケンブリッジ大学出版局. 11.1 多面体とハニカム, p. 224. ISBN 978-1-107-10340-5。
- ^ Coxeter (1973)、120ページ
- ^ コクセター（1973）、124ページ。
- ^ コクセター『正則複素多面体』9ページ
- ^ Duncan, Hugh (2017年9月28日). 「四角い岩と硬い五角形の間：分数多角形」chalkdust . 2018年12月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年12月24日閲覧。
- ^ McMullen & Schulte 2002より。
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- ^ 抄録(PDF) . 凸状多面体と抽象多面体 (2005年5月19～21日) およびカルガリーにおける多面体デー (2005年5月22日). 2014年11月29日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2015年2月2日閲覧。
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引用
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- 原著はCoxeter, HSM (1956)「Regular honeycombs in hyperbolic space」（PDF） , Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam , vol. III, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., pp. 155– 169, MR 0087114に掲載。 2015年4月2日に オリジナル（PDF）からアーカイブ。。
- コクセター, HSM (1973) [1948].正多面体（第3版）. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 0-486-61480-8 MR 0370327. OCLC 798003特に表Iと表II「正多面体とハニカム」(294～296ページ)を参照してください。
- Johnson, Norman W. (2012)、「Regular inversive polytopes」（PDF）、International Conference on Mathematics of Distances and Applications（2012年7月2日～5日、ブルガリア、ヴァルナ） 、pp. 85～95 論文27、 2017年8月8日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 、 2015年1月12日取得
- マクマレン、ピーター、シュルテ、エゴン（2002年）、抽象正多面体、数学とその応用百科事典、第92巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511546686、ISBN 0-521-81496-0、MR 1965665、S2CID 115688843
- マクマレン、ピーター (2018)、「4次元多面体の新しい正則複合」、直観幾何学の新潮流、ボヤイ協会数学研究、第27巻、pp. 307– 320、doi :10.1007/978-3-662-57413-3_12、ISBN 978-3-662-57412-6。
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- サマービル, DMY (1958)、 『 n次元幾何学入門』、ニューヨーク: Dover Publications, Inc.、MR 01002391930年版（EPダットン出版）の再版。特に第10章「正多面体」を参照。
外部リンク
- プラトン立体
- ケプラー・ポアンソ多面体
- 正4次元多面体折りたたみ図
- 多次元用語集（ヘキサコシコロロンとヘカトニコサコロロンを調べてください）
- 多面体ビューア
- 多面体とn次元球面におけるp点の最適配置
- 小さな正多面体の地図帳
- 正多面体の変遷 I. Hubard, Polytopes, Maps and their Symmetry
- 通常の星型ポリトープ、ナン・マー
| ファミリー | A n | B n | I 2 ( p ) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正多角形 | 三角形 | 正方形 | p角形 | 六角形 | 五角形 | |||||||
| 一様多面体 | 四面体 | 八面体•立方体 | 正十二面体 | 正二十面体 | ||||||||
| 均一多面体 | ペンタコロン | 16細胞・四次元体 | 二次元体 | 24細胞 | 120細胞・600細胞 | |||||||
| 均一な5次元多面体 | 5-単体 | 5-正方体・5-立方体 | 5-半立体 | |||||||||
| 一様6次元多面体 | 6次元単体 | 6次元正多面体・6次元立方体 | 6次元半立方体 | 1 22 • 2 21 | ||||||||
| 一様7次元多面体 | 7-単体 | 7-正複合体・7-立方体 | 7-半立体 | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
| 一様8次元多面体 | 8次元単体 | 8次元正多面体・8次元立方体 | 8デミキューブ | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
| 一様9次元多面体 | 9次元単体 | 9次元正多面体・9次元立方体 | 9次元半立方体 | |||||||||
| 一様10次元多面体 | 10次元単体 | 10次元正多面体・10次元立方体 | 10デミキューブ | |||||||||
| 一様n多面体 | n単体 | n -オルソプレックス• n -キューブ | n -デミキューブ | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n -五角形多面体 | |||||||
| トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算 | ||||||||||||
| スペース | ファミリー | / / | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| E 2 | 均一なタイリング | 0 [3] | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | 六角形 |
| E 3 | 均一な凸型ハニカム | 0 [4] | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
| E 4 | 均一な4ハニカム | 0 [5] | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24セルハニカム |
| E 5 | 均一な5ハニカム | 0 [6] | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
| E 6 | 均一な6ハニカム | 0 [7] | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
| E 7 | 均一な7ハニカム | 0 [8] | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
| E 8 | 均一な8ハニカム | 0 [9] | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
| E 9 | 均一な9ハニカム | 0 [10] | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
| E 10 | 均一な10ハニカム | 0 [11] | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
| E n −1 | 均一な（n −1）ハニカム | 0 [ n ] | δ n | hδ n | qδ n | 1 k 2 • 2 k 1 • k 21 |
| |||||||||||||
| |||||||||||||
