サークルグループ

Lie group of complex numbers of unit modulus; topologically a circle

円群での乗算は角度の加算と同等です。

数学において、円群は、またはで表され、絶対値が1であるすべての複素数の乗法群、つまり複素平面上の単位円、または単に単位複素数^{[1]である。} ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ $${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$$

円群は、すべての非零複素数の乗法群である⁠ ⁠の部分群を形成します。はアーベル群なので、も同様にアーベル群であることが従います。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

円群の単位複素数は、原点を中心とした複素平面の回転を表し、角度の測度によってパラメータ化できます 。 ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

これは円群の指数写像です。

円群はポンチャギン双対性とリー群の理論において中心的な役割を果たします。

円群の表記法は、標準的な位相（下記参照）において円群が 1-トーラスであるという事実に由来する。より一般的には、（と 自身との直積）は幾何学的に -トーラス である。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

円群は特殊直交群と同型です。 ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$

初歩的な導入

円群について考える一つの方法は、0°から360°までの角度、またはまたは のみを許容する角度の加算方法を記述するということです。例えば、図は150°に270°を加算する方法を示しています。答えは150° + 270° = 420°ですが、円群の観点から考えると、円を一周したという事実を「忘れてしまう」可能性があります。そこで、答えを360°調整し、420° ≡ 60° ( mod 360° ) となります。 ${\displaystyle \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \in (-\pi ,+\pi ]}$

もう1つの説明は、通常の（実数の）加算で、0から1までの数（1は360°の回転に対応）のみが許可されます。つまり、実数を整数で割ったもの（ ⁠ ⁠ ） ${\displaystyle 2\pi }$です。これは、小数点より前の桁を捨てることで実現できます。例えば、0.4166... + 0.75を計算する場合、答えは1.1666...ですが、先頭の1を捨てることができるため、（円周グループでは）答えは⁠ ⁠となり、 ⁠ ⁠のため、0.166...がやや優先されます。 ${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\equiv 1.1{\bar {6}}\equiv -0.8{\bar {3}}\;({\text{mod}}\,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\in [0,1)}$

位相構造と解析構造

円群は単なる抽象的な代数的対象ではありません。複素平面の部分空間と見なすと、自然な位相を持ちます。乗法と逆関数は⁠ ⁠上の連続関数であるため、円群は位相群の構造を持ちます。さらに、単位円は複素平面の閉部分集合であるため、円群は（それ自体が位相群と見なすと）の閉部分群となります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$

さらに言うと、円は1次元実多様体であり、乗法と逆写像は円上の実解析写像である。これにより、円群は1パラメータ群の構造、つまりリー群のインスタンスとなる。実際、同型性を除き、円群は唯一の1次元コンパクト連結リー群である。さらに、すべての- 次元コンパクト連結アーベルリー群は⁠ ⁠と同型である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

同型性

円群は数学において様々な形で現れます。ここでは、より一般的な形をいくつか挙げます。具体的には、スラッシュ（⁠ ⁠）が群の商を表し、群間に同型性が存在することを示します。 $${\displaystyle \mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2),}$$ ${\displaystyle ~\!/~\!}$ ${\displaystyle \cong }$

すべての⁠ ⁠ ${\displaystyle 1\times 1}$ ユニタリ行列の集合は円群と一致します。ユニタリ条件は、その要素の絶対値が 1 であるという条件に相当します。したがって、円群は最初のユニタリ群 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$と標準同型です。つまり、指数関数は、加法的な実数⁠ ⁠から円群⁠ ⁠へのマップを生成し、これはオイラーの公式として知られています。ここで、は、正のx軸から反時計回りに測った単位円上の角度 (ラジアン単位) に対応します。この特性 により、群準同型が作られます。マップは射影的ですが、入射的ではないため、同型ではありません。このマップの核は、 ⁠ ⁠のすべての整数倍の集合です。最初の同型定理により、次のようになります。再スケーリング後、は⁠ ⁠と同型であると言うこともできます。 $${\displaystyle \mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1).}$$ ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ $${\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ,}$$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})},\quad \forall \theta _{1},\theta _{2}\in \mathbb {R} ,}$$ ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} ~\!/~\!2\pi \mathbb {Z} .}$$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

単位複素数は、2×2実直交行列として実現できます。つまり、二乗係数と複素共役を、それぞれ対応する行列の行列式と転置に関連付けます。角度の和の三角恒等式から、 が行列の乗算 であることがわかる ので、円群は特殊直交群と同型です。つまり、 です。この同型性は、単位複素数の乗算は複素平面（および実平面）における適切な回転であり、そのような回転はすべてこの形式であるという幾何学的解釈を持ちます。 $${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}=f{\bigl (}e^{i\theta }{\bigr )},}$$ $${\displaystyle f{\bigl (}e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}{\bigr )}={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f{\bigl (}e^{i\theta _{1}}{\bigr )}\times f{\bigl (}e^{i\theta _{2}}{\bigr )},}$$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ $${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathrm {SO} (2).}$$

プロパティ

次元 > 0 のコンパクトリー群はすべて、円周群と同型な部分群を持つ。これは、対称性の観点から考えると、連続的に作用するコンパクト対称群には、1パラメータ円周部分群が作用すると期待できることを意味する。物理系におけるこの結果は、例えば回転不変性や自発的対称性の破れにおいて見られる。 ${\displaystyle \mathrm {G} }$

円群には多くの部分群がありますが、その唯一の適切な閉部分群は単位根で構成されます。各整数⁠ ⁠ ${\displaystyle n>0}$に対して、単位根は位数⁠ ⁠の 巡回群を形成し、これは同型性を除いて一意です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

実数があらゆる自然数⁠ ⁠に対してb進有理数の完備化であるのと同様に、円群は⁠ ⁠に対するプリューファー群の完備化であり、直接極限⁠ ⁠によって与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\tfrac {1}{b}}{\bigr ]}}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\tfrac {1}{b}}{\bigr ]}~\!/~\!\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varinjlim \mathbb {Z} ~\!/~\!b^{n}\mathbb {Z} }$

表現

円群の表現は簡単に記述できます。シュアーの補題から、アーベル群の既約複素表現はすべて1次元であることが分かります。円群はコンパクトであるため、任意の表現は⁠ ⁠に値を取らなければなりません。したがって、円群の既約表現は、円群からそれ自身への準同型写像に過ぎません。 $${\displaystyle \rho :\mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }}$$ ${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T} }$

各整数に対して、円群の表現を⁠ ⁠によって定義できます。これらの表現はすべて非同値です。この表現は⁠ ⁠と共役です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle \phi _{-n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}}$ $${\displaystyle \phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.}$$

これらの表現は円周群の指標群に過ぎません。の指標群は明らかに⁠ ⁠によって生成される無限巡回群です。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .}$$

円周群の既約実表現は、自明表現（1次元）と⁠ ⁠に値を取る表現である。ここでは、表現が⁠ ⁠と等価であるため、正の整数⁠ ⁠のみを扱う。 $${\displaystyle \rho _{n}{\bigl (}e^{i\theta }{\bigr )}={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},}$$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho _{-n}}$ ${\displaystyle \rho _{n}}$

グループ構造

円群は可分群である。その捩れ部分群は、すべての に対する の-乗根全体の集合によって与えられ、 ⁠ ⁠と同型である。可分群の構造定理と選択公理を合わせると、 は⁠ ⁠の複数コピーを持つの直和と同型であることが分かる。^[2] ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

直和の濃度が正しいためには、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$のコピー数は(連続体の濃度)でなければなりません。しかし、 ⁠ ⁠のコピーの直和は⁠ ⁠と同型であり、⁠ ⁠上の次元のベクトル空間も同様です。したがって、 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$$

同型性も同様の方法で証明できます。なぜなら⁠ ⁠も、その捩れ部分群が⁠ ⁠の捩れ部分群と同じである可分アーベル群だからです。 $${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

参照

• 数学ポータル

• 単位円上の有理点群
• 1パラメータサブグループ
• n球
• 直交群
• 位相係数（量子力学への応用）
• 回転数
• ソレノイド

注記

1. ジェームズ、ロバート・C. ; ジェームズ、グレン (1992). 数学辞典（第5版）. チャップマン＆ホール. p. 436. ISBN 9780412990410単位複素数は絶対値が単位の複素数である。 。
2. Fuchs, László (2015). 「例3.5」アーベル群. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Cham. p. 141. doi :10.1007/978-3-319-19422-6. ISBN 978-3-319-19421-9. MR  3467030。

参考文献

• ジェームズ、ロバート・C.; ジェームズ、グレン (1992). 数学辞典（第5版）. チャップマン＆ホール. ISBN 9780412990410。

さらに読む

• Hua Luogeng (1981)単位円から始める、Springer Verlag、ISBN 0-387-90589-8。

外部リンク

• 同相写像と円上の群構造

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