Group of matrices with determinant 1
SL(2,3)のケーリー表 。 数学 において 、 可換環 上の 次数 の 特殊線型群 （とくせいせんしゅぐん）とは、 行列式を持つ 行列 の集合で あり、通常の 行列乗法 と逆行列 演算 の群演算が可能である。これは、 行列式 の 核 によって与えられる 一般線型群 の 正規部分群である。 SL ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,R)} n {\displaystyle n} R {\displaystyle R} n × n {\displaystyle n\times n} 1 {\displaystyle 1}
det : GL ( n , R ) → R × . {\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,R)\to R^{\times }.} ここで は の 乗法群 です (つまり、 が 体の 場合には は除きます)。 R × {\displaystyle R^{\times }} R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} 0 {\displaystyle 0} R {\displaystyle R}
これらの要素は、一般線型群の代数的部分多様体 を形成するという点で「特別」です 。つまり、多項式方程式を満たします（要素の行列式が多項式であるため）。
が の位数の 有限体 である 場合 、 という表記 が使用されることがあります。 R {\displaystyle R} q {\displaystyle q} SL ( n , q ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,q)}
幾何学的解釈 特殊線型群は、の 体積 と 向きを 保存する 線型変換 の群として特徴付けることができる 。これは、行列式を体積と向きの変化を測定するものとして解釈することに対応する。 SL ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
リー部分群 または の とき 、 は 次元の の リー部分群 である 。 の リー代数 は上のすべての行列 から成り、 の 痕跡 は 0 となる 。 リー括弧は 交換子 によって与えられる 。 F {\displaystyle F} R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } SL ( n , F ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)} GL ( n , F ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)} n 2 − 1 {\displaystyle n^{2}-1} s l ( n , F ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)} SL ( n , F ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)} n × n {\displaystyle n\times n} F {\displaystyle F}
トポロジー 任意の可逆行列は、極分解によって、 ユニタリ行列 と正の 固有値 を持つ エルミート行列 の積 として一意に表すことができます 。 ユニタリ行列の 行列式は 単位円 上にあり、エルミート行列の行列式は実数で正です。特殊線型群の行列の場合、これら2つの行列式の積は1でなければならないため、それぞれの行列式も1でなければなりません。したがって、特殊線型行列は、特殊 ユニタリ行列 （ 実数の場合は 特殊直交行列）と、行列式1を持つ 正定値 エルミート行列（ 実数の場合は 対称行列）の積として表すことができます。
群の位相は、 の位相 と、正の固有値を持つ単位行列式のエルミート行列群の位相との積と なる。単位行列式と正の固有値を持つエルミート行列は、 トレースレス エルミート行列の 指数関数 として 一意に表現できるため、この の位相は -次元 ユークリッド空間 の位相となる。 [1]は 単連結 な ので 、 [2] は すべて の に対して単連結である 。 SL ( n , C ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )} SU ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} ( n 2 − 1 ) {\displaystyle (n^{2}-1)} SU ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} SL ( n , C ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
の位相は、 SO ( n )の位相 と、正の固有値と単位行列式を持つ対称行列群の位相との積である。後者の行列は対称なトレースレス行列の指数関数として一意に表すことができるので、この後者の位相は ( n + 2)( n − 1)/2 次元ユークリッド空間の位相である。したがって、群は と 同じ 基本群を 持つ。つまり、 に対して、 に対して となる 。 [3] 特に 、 とは異なり 、 に対して は単連結ではないことを意味する 。 SL ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )} SL ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )} SO ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } n = 2 {\displaystyle n=2} Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} n > 2 {\displaystyle n>2} SL ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )} SL ( n , C ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )} n > 1 {\displaystyle n>1}
GLの他の部分群との関係( n 、 あ ） 関連する2つの部分群は、 の 交換子部分群と、トランス ベクション によって生成される群 であり、場合によっては と一致し、 場合によっては と偶然に混同される 。これらはどちらも の部分群である （トランスベクションの行列式は1であり、 det はアーベル群への写像であるため ）が、一般には とは一致しない。 SL {\displaystyle \operatorname {SL} } SL {\displaystyle \operatorname {SL} } GL {\displaystyle \operatorname {GL} } SL {\displaystyle \operatorname {SL} } [ GL , GL ] < SL {\displaystyle [\operatorname {GL} ,\operatorname {GL} ]<\operatorname {SL} }
トランスベクションによって生成される群は、 （ 基本行列 の場合）または と表されます 。 の2番目の スタインバーグ関係 により、 の場合 、トランスベクションは交換子であるため、 の場合 、となります 。 E ( n , A ) {\displaystyle \operatorname {E} (n,A)} TV ( n , A ) {\displaystyle \operatorname {TV} (n,A)} n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} E ( n , A ) < [ GL ( n , A ) , GL ( n , A ) ] {\displaystyle \operatorname {E} (n,A)<[\operatorname {GL} (n,A),\operatorname {GL} (n,A)]}
の場合 、トランスベクションは（行列の）交換子である必要はない。これは、例えば が （2つの元の体 ）のときなどに見られる。その場合、 n = 2 {\displaystyle n=2} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} A {\displaystyle A} F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
A 3 ≅ [ GL ( 2 , F 2 ) , GL ( 2 , F 2 ) ] < E ( 2 , F 2 ) = SL ( 2 , F 2 ) = GL ( 2 , F 2 ) ≅ S 3 , {\displaystyle A_{3}\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbb {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbb {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2})\cong S_{3},} ここで 、 と は それぞれ3 つの文字の 交代群 と 対称群 を表します。 A 3 {\displaystyle A_{3}} S 3 {\displaystyle S_{3}}
しかし、 が 2つ以上の要素を持つ体の場合、 E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] となり、 が 3つ以上の要素を持つ体の場合、 E(2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )] となる。 [ 疑わしい – 議論する ] A {\displaystyle A} A {\displaystyle A}
状況によっては、これらは一致する。体または ユークリッド領域 上の特殊線型群はトランスベクションによって生成され、 デデキント領域上の 安定な 特殊線型群は トランスベクションによって生成される。より一般的な環の場合、安定差は 特殊ホワイトヘッド群 によって測定される。ここで 、 と は特殊線型群と基本行列の 安定群 である 。 S K 1 ( A ) = SL ( A ) / E ( A ) {\displaystyle SK_{1}(A)=\operatorname {SL} (A)/\operatorname {E} (A)} SL ( A ) {\displaystyle \operatorname {SL} (A)} E ( A ) {\displaystyle \operatorname {E} (A)}
ジェネレータと関係 がトランスベクション によって生成される 環 （例えば 体 や ユークリッド領域 ）上で作業する場合、 トランスベクションと何らかの関係を用いて の 表現を与えることができる。トランスベクションは スタインバーグ関係 を満たすが、それだけでは十分ではない。結果として得られる群は スタインバーグ群 であるが、これは特殊線型群ではなく、 の交換子部分群の 普遍中心拡大で ある。 SL {\displaystyle \operatorname {SL} } SL {\displaystyle \operatorname {SL} } GL {\displaystyle \operatorname {GL} }
に対する 十分な関係式は、 スタインバーグ関係式のうち2つと、3つ目の関係式（Conder, Robertson & Williams 1992, p. 19）で与えられる。 を対角線上に 、 の 位置に配置し、 を 他の場所で（および ）とする 基本行列とする 。すると、 SL ( n , Z ) {\displaystyle {\text{SL}}(n,\mathbb {Z} )} n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} T i j := e i j ( 1 ) {\displaystyle T_{ij}:=e_{ij}(1)} 1 {\displaystyle 1} i j {\displaystyle ij} 0 {\displaystyle 0} i ≠ j {\displaystyle i\neq j}
[ T i j , T j k ] = T i k for i ≠ k [ T i j , T k ℓ ] = 1 for i ≠ ℓ , j ≠ k ( T 12 T 21 − 1 T 12 ) 4 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}} は の完全な関係セットです 。 SL ( n , Z ) , n ≥ 3 {\displaystyle {\text{SL}}(n,\mathbb {Z} ),n\geq 3}
SL ± （ n 、 F ） 標数が 2以外の場合、行列式が ±1 である行列の集合は GLの別の部分群を形成し、SLは指数2の部分群（必然的に正規群）となる。標数が2の場合、これはSLと同じである。これは、以下の群の 短完全列 を形成する。
1 → SL ( n , F ) → SL ± ( n , F ) → { ± 1 } → 1. {\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (n,F)\to \operatorname {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}\to 1.} この列は、行列式が−1 である任意の行列 、例えば対角行列をとることで分割されます。 が奇数 の場合 、負の単位行列は SL ± ( n , F ) に含まれます が、 SL( n , F ) には含まれないため、群は 内部直積 として分割されます。しかし、 が 偶数で、が既に SL( n , F ) に含まれている場合 、 SL ± は 分割されず、一般に は非自明な 群の拡大 となります。 ( − 1 , 1 , … , 1 ) . {\displaystyle (-1,1,\dots ,1).} n = 2 k + 1 {\displaystyle n=2k+1} − I {\displaystyle -I} SL ± ( 2 k + 1 , F ) ≅ SL ( 2 k + 1 , F ) × { ± I } {\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2k+1,F)\cong \operatorname {SL} (2k+1,F)\times \{\pm I\}} n = 2 k {\displaystyle n=2k} − I {\displaystyle -I}
実数全体にわたって、 SL ± ( n , R ) は SL( n , R ) と別の成分に対応する2つ の連結成分 を持ち、これらは点（行列式が −1 である行列）の選択に応じて同一視され、同型となる 。奇数次元ではこれらは で自然に同一視される が、偶数次元では自然な同一視は存在しない。 − I {\displaystyle -I}
GLの構造( n 、 F ） 群は 行列式上で分解される（ から への単射として を使用する 。 半 直積 を 参照 ） 。したがって、 は による の半直積 として表すことができる 。 GL ( n , F ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)} F × = GL ( 1 , F ) → GL ( n , F ) {\displaystyle F^{\times }=\operatorname {GL} (1,F)\to \operatorname {GL} (n,F)} F × {\displaystyle F^{\times }} GL ( n , F ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)} GL ( n , F ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)} SL ( n , F ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)} F × {\displaystyle F^{\times }}
GL ( n , F ) = SL ( n , F ) ⋊ F × {\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)=\operatorname {SL} (n,F)\rtimes F^{\times }} 。
参照
参考文献 ^ ホール 2015 セクション 2.5 ^ ホール 2015 提案 13.11 ^ ホール 2015 セクション 13.2 および 13.3 コンダー、マーストン ；ロバートソン、エドマンド；ウィリアムズ、ピーター（1992）「整数環上の3次元特殊線型群の提示」 アメリカ数学会誌 、 115 （1）、アメリカ数学会： 19-26 、 doi ：10.2307/2159559、 JSTOR 2159559、 MR 1079696 ホール、ブライアン・C.（2015）、 リー群、リー代数、表現：初等的入門 、Graduate Texts in Mathematics、第222巻（第2版）、Springer ;_Cayley_table.svg/1280px-SL(2,3);_Cayley_table.svg.png)
![{\displaystyle [\operatorname {GL} ,\operatorname {GL} ]<\operatorname {SL} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/036f8ddc0abae725cfc483471ae0caad1cdeb4a8)
![{\displaystyle \operatorname {E} (n,A)<[\operatorname {GL} (n,A),\operatorname {GL} (n,A)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c610e2c2f70ba2d302dffdf8a675a5ec52a7b0)
![{\displaystyle A_{3}\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbb {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbb {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2})\cong S_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4e37daa7b214c651764f8af3d502afdc2be3ab)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01c69575a684ff8933cfc5f611bf057ffa10035)
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