関数の比の微分公式

微積分学において、商の法則は、2つの微分可能な関数の比である関数の導関数を求める方法である。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}とすると、fとgは両方とも微分可能であり、商の法則は、h ( x )の導関数が ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle g(x)\neq 0.}$

${\displaystyle h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}.}$

これは他の微分規則を使用することによってさまざまな方法で証明できます。

例

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例1: 基本的な例

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が与えられている場合、 とすると、商の規則を使用して次のようになります。 ${\displaystyle h(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}}}}$ ${\displaystyle f(x)=e^{x},g(x)=x^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}-2xe^{x}}{x^{4}}}\\&={\frac {xe^{x}-2e^{x}}{x^{3}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}}$$

例2: 正接関数の微分

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商の法則は次のように導関数を求めるのに使用できます。 ${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}$$

相互ルール

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主要記事:相互ルール

逆数の法則は、分子が である商の法則の特殊なケースです。商の法則を適用すると、 ${\displaystyle f(x)=1}$ $${\displaystyle h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}$$

連鎖律を利用すると同じ結果が得られます。

証明

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微分定義と極限特性からの証明

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導関数の定義と極限値の性質を適用すると、次の証明が得られます。ここで、項 を加算および減算することで、後続のステップで値に影響を与えずに分割および因数分解を行うことができます。極限値の評価は、の微分可能性によって正当化され、連続性を意味し、 と表すことができます。 ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.}$ ${\displaystyle f(x)g(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {f(x+k)}{g(x+k)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{[g(x)]^{2}}}}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \lim _{k\to 0}g(x+k)=g(x)}$

暗黙微分法を用いた証明

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そうしましょ う ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x).}$

積の法則は次のように表される。 ${\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).}$

を解いてを代入すると次のようになります。 ${\displaystyle h'(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&={\frac {f'(x)-g'(x)h(x)}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)-g'(x)\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}}}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}$$

逆数則または連鎖律を用いた証明

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させて ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}.}$

すると積の法則は ${\displaystyle h'(x)=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right].}$

第2項の導関数を評価するには、逆数則、または連鎖律とべき乗則を適用します。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]=-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}$$

結果を式に代入すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {g(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}$$

対数微分による証明

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両辺の絶対値と自然対数をとると、 ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.}$ $${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|}$$

絶対値と対数の性質を適用して、 $${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|}$$

両辺の対数微分をとると、 $${\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}}$$

を解いてを代入すると次のようになります。 ${\displaystyle h'(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f(x)}{g(x)}}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}$$

関数の絶対値を取ることは、負の値を持つ可能性のある関数の対数微分において必須です。対数は正の引数に対してのみ実数値となるためです。これは、関数の絶対値を取ることが対数微分において正当化される という式によって成り立ちます。 ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}$

高階微分

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暗黙微分法は、商のn階微分（最初のn − 1階微分を部分的に用いて）を計算するために使用できます。例えば、2回微分して となり、を解くと、 ${\displaystyle f=gh}$ ${\displaystyle f''=g''h+2g'h'+gh''}$ ${\displaystyle h''}$ $${\displaystyle h''=\left({\frac {f}{g}}\right)''={\frac {f''-g''h-2g'h'}{g}}.}$$

参照

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• 連鎖律 – 微積分における公式
• 積分の微分 – 数学の問題
• 微分法則 – 関数の微分を計算するための規則
• 一般ライプニッツ則 – 微積分における積分則の一般化
• 逆関数と微分 – 逆関数の微分の公式Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 微分の線形性 – 微積分の性質
• 積の法則 – 積の微分の公式
• 逆数定理 – 微積分における微分法
• 導関数表 – 関数の導関数を計算するための規則Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ベクトル解析の恒等式 – 数学的恒等式

参考文献

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1. スチュワート、ジェームズ(2008).微積分学：初期超越関数（第6版）.ブルックス/コール. ISBN 978-0-495-01166-8。
2. ラーソン、ロン; エドワーズ、ブルース・H. (2009).微積分学（第9版）. Brooks/Cole . ISBN 978-0-547-16702-2。
3. トーマス、ジョージ・B. ; ウィアー、モーリス・D. ;ハス、ジョエル(2010). 『トーマス微積分学：初期超越論』（第12版）.アディソン・ウェスリー. ISBN 978-0-321-58876-0。

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