直接比較テスト

Way of deducing the convergence or divergence of an infinite series or an improper integral

数学において、比較テストは、類似の関連テスト（特に極限比較テスト）と区別するために直接比較テストと呼ばれることもあり、級数または積分を収束特性がわかっているものと比較することによって、無限級数または不完全な積分が収束するか発散するかを推論する方法を提供します。

シリーズ

微積分学では、級数の比較テストは、通常、非負（実数値）項を持つ無限級数に関する一対のステートメントから構成されます。^[1]

• 無限級数が収束し、十分に大きいすべてのnに対して(つまり、ある固定値Nに対してすべてに対して) である場合、無限級数も収束します。 ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$
• 無限級数が発散し、十分に大きいnすべてに対して発散する場合、無限級数も発散します。 ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq a_{n}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

より大きな項を持つ級数は、より小さな項を持つ級数を支配する（または最終的に支配する）と言われることがあることに注意されたい。 ^[2]

あるいは、このテストは絶対収束の観点から述べることもできる。その場合、複素項を含む級数にも適用される。^[3]

• 無限級数が絶対収束し、十分に大きいすべてのnに対して、無限級数も絶対収束します。 ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$
• 無限級数が絶対収束せず、十分に大きいすべてのnに対しても、無限級数は絶対収束しません。 ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

この最後のステートメントでは、級数は依然として条件付き収束する可能性があることに注意してください。実数値の級数の場合、a _nがすべて非負でない場合にこれが発生する可能性があります。 ${\displaystyle \sum a_{n}}$

実数値級数の場合、2 番目のステートメントのペアは最初のステートメントと同等です。これは、非負の項を持つ級数 が収束する場合に限り、絶対収束するためです。 ${\displaystyle \sum c_{n}}$ ${\displaystyle \sum |c_{n}|}$

証拠

上記のすべての命題の証明は同様です。3番目の命題の証明を以下に示します。

とを、絶対収束する（したがって 収束する）無限級数とし、一般性を失うことなく、すべての正の整数nに対して、部分和を考える。 ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \sum |b_{n}|}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$

${\displaystyle S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|,\ T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n}|.}$

は絶対収束するので、ある実数Tに対して収束する。任意のnに対して、 ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=T}$

${\displaystyle 0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.}$

${\displaystyle S_{n}}$は非減少列であり、は非増加列である。したがって、どちらも区間 に属し、区間の長さは が無限大に近づくにつれて 0 に減少する。これはがコーシー列であることを示しており、したがって極限に収束するはずである。したがって、は絶対収束する。 ${\displaystyle S_{n}+(T-T_{n})}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle S_{n},S_{m}}$ ${\displaystyle [S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]}$ ${\displaystyle T-T_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

積分の場合

積分の比較テストは、連続実数値関数fとgと、bがfとgがそれぞれ垂直漸近線を持つ実数であると仮定して、次のように述べることができる。 ^[4] ${\displaystyle [a,b)}$ ${\displaystyle +\infty }$

• 仮積分がと について収束するならば、仮積分はについても収束する。 ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle a\leq x<b}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$
• 仮積分がおよびに対して発散する場合、仮積分も発散します。 ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ ${\displaystyle 0\leq g(x)\leq f(x)}$ ${\displaystyle a\leq x<b}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

比率比較テスト

実数値級数の収束性を調べるもう一つのテストは、上記の直接比較テストと比テストの両方に似ており、比比較テストと呼ばれます。^[5]

• 無限級数が収束し、十分に大きいすべてのnに対して、、、およびの場合、無限級数も収束します。 ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle b_{n}>0}$ ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$
• 無限級数が発散し、十分に大きいすべてのnに対して、、、およびである場合、無限級数も発散します。 ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle b_{n}>0}$ ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

参照

• 数学ポータル

• 収束テスト
• 収束（数学）
• 優勢収束定理
• 収束の積分テスト
• 限界比較テスト
• 単調収束定理

注記

1. エアーズ＆メンデルソン（1999）、401ページ。
2. Munem & Foulis (1984)、p. 662.
3. シルバーマン（1975）、119ページ。
4. バック（1965年）、140ページ。
5. バック（1965年）、161ページ。

参考文献

• エアーズ、フランク・ジュニア;メンデルソン、エリオット(1999). シャウムの微積分学概論（第4版）. ニューヨーク: マグロウヒル. ISBN 0-07-041973-6。
• バック、R. クレイトン(1965). 『微積分学入門』（第2版）. ニューヨーク: マグロウヒル.
• クノップ、コンラッド(1956).無限列と級数. ニューヨーク: ドーバー出版. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Munem, MA; Foulis, DJ (1984). 微積分学と解析幾何学（第2版）. Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6。
• シルバーマン、ハーブ（1975年）『複素変数』ホートン​​・ミフリン社、ISBN 0-395-18582-3。
• ウィテカー, ET ;ワトソン, GN (1963). 『現代分析学講座』（第4版）. ケンブリッジ大学出版局. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Direct_comparison_test&oldid=1254634249"