Operation on differential forms
微分可能多様体 上において 、 外微分は 関数の 微分 の概念を高次の 微分形式 に拡張する。外微分は、1899年に エリー・カルタンによって現在の形で初めて記述された。その結果得られる外微分積分は 外微分積分 として知られ、ベクトル解析から得られる ストークスの定理 、 ガウスの定理 、 グリーンの定理 を、計量に依存しない自然な形で一般化することができる 。
微分 k 形式が、多様体の各点における無限小 k 平行体 を通る 流束 を測定するものと考えられる場合、その外微分は、各点における ( k + 1) 平行体の境界を通る正味流束を測定するものと考えることができます 。
意味 k 次微分 形式 （微分 k 形式とも呼ばれる、ここでは簡潔に k 形式と呼ぶ）の外微分は、 k + 1 次微分形式です 。
f が 滑らかな関数 （ 0 形式）である 場合、 f の外微分は f の 微分 です 。つまり、 df は、任意の滑らかな ベクトル場 Xに対して df ( X ) = d X f が成り立つ 唯一の 1 形式 です。ここで、 d X fは f の X 方向の 方向微分 です 。
微分形式の外積（同じ記号 ∧ で表される）は、それらの 点ごとの 外積 として定義されます。
一般的なk 形式の外微分には、さまざまな同等の定義があります 。
公理の観点から 外微分は、 k 形式から ( k + 1)形式への唯一の ℝ 線形写像 として定義され 、次の特性を持ちます。 d {\displaystyle d}
-形式 に適用される 演算子 は 、 d {\displaystyle d} 0 {\displaystyle 0} f {\displaystyle f} d f {\displaystyle df} f {\displaystyle f} とが 2つの -形式である 場合 、 任意の体元に対して α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } k {\displaystyle k} d ( a α + b β ) = a d α + b d β {\displaystyle d(a\alpha +b\beta )=ad\alpha +bd\beta } a , b {\displaystyle a,b} が -形式で が-形式 である 場合 、 （ 次数積則 ） α {\displaystyle \alpha } k {\displaystyle k} β {\displaystyle \beta } l {\displaystyle l} d ( α ∧ β ) = d α ∧ β + ( − 1 ) k α ∧ d β {\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta } が -形式である 場合 、 （ポアンカレの補題） α {\displaystyle \alpha } k {\displaystyle k} d ( d α ) = 0 {\displaystyle d(d\alpha )=0} と が 2つの -形式（関数）である 場合 、量 の3番目の性質 、つまり単に から 、おなじみの積の法則 が導き出されます。この3番目の性質は一般化することができ、例えば が- 形式 、 が - 形式、 が -形式である場合、 f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} 0 {\displaystyle 0} d ( f ∧ g ) {\displaystyle d(f\wedge g)} d ( f g ) {\displaystyle d(fg)} d ( f g ) = g d f + f d g {\displaystyle d(fg)=g\,df+f\,dg} α {\displaystyle \alpha } k {\displaystyle k} β {\displaystyle \beta } l {\displaystyle l} γ {\displaystyle \gamma } m {\displaystyle m}
d ( α ∧ β ∧ γ ) = d α ∧ β ∧ γ + ( − 1 ) k α ∧ d β ∧ γ + ( − 1 ) k + l α ∧ β ∧ d γ . {\displaystyle d(\alpha \wedge \beta \wedge \gamma )=d\alpha \wedge \beta \wedge \gamma +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta \wedge \gamma +(-1)^{k+l}\alpha \wedge \beta \wedge d\gamma .}
局所座標で言えば あるいは、局所座標系 ( x 1 , ..., x n ) のみで作業することもできる 。座標微分 dx 1 , ..., dx n は、それぞれ座標に関連付けられた1形式空間の基底となる。1 ≤ i p ≤ n （1 ≤ p ≤ k の場合）の 多重添字 I = ( i 1 , ..., i k ) が与えられ（ dx i 1 ∧ ... ∧ dx i k をdx I と 表記する）、（単純な） k 形式 の外微分は
φ = g d x I = g d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}} ℝ n は次 のように定義される
d φ = d g ∧ d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ ⋯ ∧ d x i k = ∂ g ∂ x j d x j ∧ d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle d{\varphi }=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {\partial g}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\wedge \,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}} （ アインシュタインの総和規約 を用いる）。外微分の定義は 一般 k 形式（これは基本的な単純形式の線形結合として表現できる ）
に 線形拡張される。 k {\displaystyle k}
ω = f I d x I , {\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I},} ここで、多重添字 I の各要素は{1, ..., n } 内のすべての値に渡って実行されます。j が 多重添字 I の要素のいずれかに等しい場合、 dx j ∧ dx I = 0と なることに注意してください （ 外積を 参照）。
局所座標における外微分の定義は、前述の公理を用いた定義から導かれる。実際、上で定義した k 形式 φ を用いると、
d φ = d ( g d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) = d g ∧ ( d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) + g d ( d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) = d g ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k + g ∑ p = 1 k ( − 1 ) p − 1 d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p − 1 ∧ d 2 x i p ∧ d x i p + 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = d g ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = ∂ g ∂ x i d x i ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle {\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}} ここでは、 g を 0 形式として 解釈し 、外微分の特性を適用しました。
この結果は、一般の k 形式 ω に直接拡張され、
d ω = ∂ f I ∂ x i d x i ∧ d x I . {\displaystyle d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.} 特に、 1 形式 ω の場合、局所座標 における dω の成分 は
( d ω ) i j = ∂ i ω j − ∂ j ω i . {\displaystyle (d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.} 注意 ： の意味については2つの慣習があります 。 現在の著者のほとんどは [ 引用が必要 ]、 d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}
( d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) ( ∂ ∂ x i 1 , … , ∂ ∂ x i k ) = 1. {\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.} 一方、小林・野水やヘルガソンのような古い文献では
( d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) ( ∂ ∂ x i 1 , … , ∂ ∂ x i k ) = 1 k ! . {\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.}
あるいは、 k + 1個の 任意の滑らかな ベクトル場 V 0 、 V 1 、...、 V k と対になっている k 形式 ω の外微分に対する 明示的な式を与えることもできる [1] 。
d ω ( V 0 , … , V k ) = ∑ i ( − 1 ) i V i ( ω ( V 0 , … , V ^ i , … , V k ) ) + ∑ i < j ( − 1 ) i + j ω ( [ V i , V j ] , V 0 , … , V ^ i , … , V ^ j , … , V k ) {\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})} ここで [ V i , V j ]は リー括弧 を表し 、ハットはその要素の省略を表します。
ω ( V 0 , … , V ^ i , … , V k ) = ω ( V 0 , … , V i − 1 , V i + 1 , … , V k ) . {\displaystyle \omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).} 特に、 ω が 1形式の場合、 dω ( X , Y ) = d X ( ω ( Y )) − d Y ( ω ( X )) − ω ([ X , Y ]) となります 。
注: 例えば、小林–野水およびヘルガソンの慣例により、式は の係数だけ異なります。 1 / k + 1 :
d ω ( V 0 , … , V k ) = 1 k + 1 ∑ i ( − 1 ) i V i ( ω ( V 0 , … , V ^ i , … , V k ) ) + 1 k + 1 ∑ i < j ( − 1 ) i + j ω ( [ V i , V j ] , V 0 , … , V ^ i , … , V ^ j , … , V k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}}
例 例1. スカラー体 u の1 形式基底 dx 1 , ..., dx n 上の σ = u dx 1 ∧ dx 2 を考える 。外微分は次のようになる。
d σ = d u ∧ d x 1 ∧ d x 2 = ( ∑ i = 1 n ∂ u ∂ x i d x i ) ∧ d x 1 ∧ d x 2 = ∑ i = 3 n ( ∂ u ∂ x i d x i ∧ d x 1 ∧ d x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}} 最後の式は、 i = 3から和が始まるが、 外積 の性質から容易に導かれる 。すなわち、 dx i ∧ dx i = 0 である。
例2. σ = u dx + v dy をR2 上で定義された 1 - 形式とします 。 上記の式を各項（ x 1 = x および x 2 = yとする）に適用すると 、 以下の式が得られます。
d σ = ( ∑ i = 1 2 ∂ u ∂ x i d x i ∧ d x ) + ( ∑ i = 1 2 ∂ v ∂ x i d x i ∧ d y ) = ( ∂ u ∂ x d x ∧ d x + ∂ u ∂ y d y ∧ d x ) + ( ∂ v ∂ x d x ∧ d y + ∂ v ∂ y d y ∧ d y ) = 0 − ∂ u ∂ y d x ∧ d y + ∂ v ∂ x d x ∧ d y + 0 = ( ∂ v ∂ x − ∂ u ∂ y ) d x ∧ d y {\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}}
多様体上のストークスの定理 M が境界を持つ n 次元の滑らかな有向コンパクト 多様体であり、 ωが M 上の ( n − 1) 形式である 場合 、 ストークスの定理の一般形は 次のように述べる。
∫ M d ω = ∫ ∂ M ω {\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega } 直感的に言えば、 M を無限小領域に分割し、すべての領域の境界を通過するフラックスを追加すると、内部境界はすべて打ち消され、 M の境界を通過する総フラックスが残ります。
その他の特性
k 形式 ω は、 dω = 0 の とき 閉形式 と呼ばれる 。閉形式は d の 核 である。ω は 、ある ( k − 1) 形式 αに対して ω = dα のとき 完全 形式と呼ばれる。 完全形式は d の 像である。d 2 = 0 で あるため 、すべての完全形式は閉形式である。 ポアンカレの補題 によれば、収縮可能領域では逆が成り立つ。
ド・ラームコホモロジー 外微分 d は d 2 = 0 という性質を持つため、 多様体上の ド・ラーム・コホモロジーを 定義するための 微分 （共境界）として使用できます。 k 次ド・ラーム・コホモロジー（群）は、正確な k 形式を法とする k 閉形 式のベクトル空間です 。前のセクションで述べたように、ポアンカレの補題は、これらのベクトル空間が k > 0 に対して収縮領域に対して自明であると述べています。 滑らかな多様体の場合、形式の積分により、ド・ラーム・コホモロジーから R 上の特異コホモロジーへの自然な準同型が得られます 。ド・ラームの定理は、この写像が実際には同型であり、ポアンカレの補題の広範な一般化であることを示しています。一般化されたストークスの定理が示唆するように、外微分は 特異単体上の 境界写像の「双対」です。
自然さ 外微分は技術的な意味で自然である。f : M → N が滑らかな写像であり、 Ω k が各多様体にその多様体上のk - 形式の空間を割り当てる 反 変滑らかな関数である 場合 、次の図は可換である。
したがって、 d ( f ∗ ω ) = f ∗ dω となり 、ここで f ∗ は f の 引き戻し を表します。これは、 f ∗ ω (·) が定義により ω ( f ∗ (·)) であり、 f ∗ が f の 押し出しで あること から導き出されます 。したがって、 d は Ω k から Ω k +1 への 自然な変換 です 。
ベクトル解析における外微分 ベクトル計算 演算子のほとんどは 、外微分の概念の特殊なケースであるか、または外微分の概念と密接な関係があります。
勾配 実微分可能多様体 M 上の 滑らかな関数 f : M → ℝ は 0 -形式である。この 0 -形式 の外微分は 1 -形式 df である。
内積 ⟨·,·⟩ が定義されているとき、 関数fの 勾配 ∇f は、 Vの任意の 要素 との内積がベクトルに沿った f の方向微分となるような、 V における唯一のベクトルとして定義 され、つまり
⟨ ∇ f , ⋅ ⟩ = d f = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i d x i . {\displaystyle \langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.} つまり、
∇ f = ( d f ) ♯ = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( d x i ) ♯ , {\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },} ここで 、 ♯ は、 内積によって誘導される前述の 音楽同型 ♯ : V ∗ → V を表します。
1 形式 df は 余接バンドル のセクションであり、 各点における余接空間
の f の局所線形近似を与えます。
発散 ℝ n 上の ベクトル場 V = ( v 1 , v 2 , ..., v n ) は対応する ( n − 1) 形式
を持つ。
ω V = v 1 ( d x 2 ∧ ⋯ ∧ d x n ) − v 2 ( d x 1 ∧ d x 3 ∧ ⋯ ∧ d x n ) + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 v n ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 ) = ∑ i = 1 n ( − 1 ) ( i − 1 ) v i ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i − 1 ∧ d x i ^ ∧ d x i + 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}} ここで、 は その要素の省略を表します。 d x i ^ {\displaystyle {\widehat {dx^{i}}}}
(たとえば、 n = 3 、つまり3次元空間のとき、 2 形式 ω V は局所的には V との スカラー三重積 です。)超曲面上の ω V の積分は、その超曲面上の V の 流束 です。
この( n −1) 形式 の外微分は n 形式
である。
d ω V = div V ( d x 1 ∧ d x 2 ∧ ⋯ ∧ d x n ) . {\displaystyle d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).}
カール ℝ n 上の ベクトル場 V も対応する1 形式 を持つ。
η V = v 1 d x 1 + v 2 d x 2 + ⋯ + v n d x n . {\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.} 局所的には、 η V はV との 内積 である。 経路に沿った η V の積分は、その経路に沿って − V に対して行われた 仕事 である。
n = 3 の とき 、3次元空間では、 1 - 形式 η V の外微分は 2 -形式
d η V = ω curl V . {\displaystyle d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.}
標準的な ベクトル計算演算子は 、任意の擬リーマン多様 体に対して一般化でき 、次のように座標フリー表記法で記述できます。
grad f ≡ ∇ f = ( d f ) ♯ div F ≡ ∇ ⋅ F = ⋆ d ⋆ ( F ♭ ) curl F ≡ ∇ × F = ( ⋆ d ( F ♭ ) ) ♯ Δ f ≡ ∇ 2 f = ⋆ d ⋆ d f ∇ 2 F = ( d ⋆ d ⋆ ( F ♭ ) − ⋆ d ⋆ d ( F ♭ ) ) ♯ , {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}} ここで、 ⋆ は ホッジスター演算子 、 ♭ と ♯ は 音楽同型 、 f は スカラー場 、 F はベクトル場 です 。
回転 の式では、 ⋆ d ( F ♭ ) に ♯ を作用させる必要があることに注意してください。これは n − 2 次 形式です。 ♯ を任意の次数のk 形式に 自然に一般化することで、この式は任意の n に対して意味を成します 。
参照
注記 ^ スピヴァック(1970)、p 7-18、Th. 13
参考文献
外部リンク GhostarchiveとWayback Machineにアーカイブ： 「導関数はあなたが思っているものとは違います」 Aleph Zero . 2020年11月3日 – YouTube 経由。
![{\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97e58ff8e6f8ba4c1e1c782e48e96865dcd416c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e205fa277b68a1d588ce1f07424caab7cce6c1)
