部品ごとの統合

Mathematical method in calculus

微積分学、そしてより一般的には数学解析学において、部分積分（かぶせきふくりつ）とは、関数の積の積分を、その導関数と反導関数の積の積分を用いて求める過程である。これは、関数の積の反導関数を、解をより容易に求める反導関数に変換するために頻繁に用いられる。この規則は、微分の積の規則の積分版と考えることができ、実際、積の規則を用いて導出される。

部分積分の式は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

または、とwhileと式をより簡潔に書くこともできます。 ${\displaystyle u=u(x)}$ ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$ ${\displaystyle v=v(x)}$ ${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,}$ $${\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}$$

前者の式は定積分として、後者の式は不定積分として書きます。後者の式に適切な極限を適用すると前者の式が得られますが、後者は必ずしも前者と等価ではありません。

数学者ブルック・テイラーは部分積分を発見し、1715年に初めてその概念を発表しました。^{[1] [2]}リーマン・スティルチェス積分とルベーグ・スティルチェス積分には、より一般的な部分積分の定式化が存在します。数列における離散的な類似物は部分和と呼ばれます。

定理

2つの関数の積

定理は次のように導出できる。2つの連続微分可能 関数 とに対して、積の法則は次のように定義される。 ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$

$${\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).}$$

両辺を について積分すると、 ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

そして不定積分は不定積分である ことに注目すると、

$${\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

ここで積分定数は無視します。これにより、部分積分の式が得られます。

$${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}$$

あるいは微分 の観点から言えば、 ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$ ${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,\quad }$

$${\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}$$

これは、各辺に不特定の定数を加えた関数の等式として理解される。2つの値との各辺の差をとり、微積分の基本定理を適用すると、定積分版が得られる。元の積分には導関数v'が含まれている。この定理を適用するには、 v'の不定関数vを求め、得られた積分を評価する必要がある。 ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$$ ${\displaystyle \int uv'\,dx}$ ${\displaystyle \int vu'\,dx.}$

あまり滑らかでない関数に対する妥当性

と が連続的に微分可能である必要はない。 が絶対連続であり、かつ指定された関数がルベーグ積分可能（ただし必ずしも連続とは限らない）であれば、部分積分は成立する。 ^[3]（に不連続点がある場合、その不連続点における不定積分は導関数を持たない可能性がある。） ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v}$

積分区間がコンパクトでない場合、区間全体で が絶対連続である必要はなく、区間で がルベーグ積分可能である必要もありません。これは、いくつかの例（と が連続かつ連続微分可能である場合）が示すとおりです。例えば、 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u(x)=e^{x}/x^{2},\,v'(x)=e^{-x}}$$

${\displaystyle u}$は区間[1, ∞)上で絶対連続ではないが、それでも次のようになる。

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$

がの極限を意味し、右辺の2つの項が有限である限り、これは次の式を選んだ場合にのみ成立する。同様に、 ${\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }}$ ${\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}$ ${\displaystyle L\to \infty }$ ${\displaystyle v(x)=-e^{-x}.}$

$${\displaystyle u(x)=e^{-x},\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}$$

${\displaystyle v'}$は区間[1, ∞)上でルベーグ積分可能ではないが、それにもかかわらず

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$同じ解釈で。

およびが連続的に微分可能でない同様の例も簡単に思いつくことができます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

さらに、が線分上の有界変分の関数であり、が微分可能である場合、 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }}(x)\,d({\widetilde {\chi }}_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)),}$$

ここで、 は有界変化の関数に対応する符号付き測度を表し、関数 はそれぞれ有界変化と微分可能なの拡張である。 ^[要出典] ${\displaystyle d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x))}$ ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)f(x)}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }}}$ ${\displaystyle f,\varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

多くの関数の積

3 つの乗算関数、、、の積分則を積分すると、同様の結果が得られます。 ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}$$

一般的に、要因 については ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)'\ =\ \sum _{j=1}^{n}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x),}$$

それは

$${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right]_{a}^{b}\ =\ \sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x).}$$

視覚化

定理のグラフィカルな解釈。図示された曲線は変数tによってパラメータ化されています。

パラメトリック曲線を考える。曲線が局所的に1対1で積分可能であると仮定すると、次のように定義できる。 ${\displaystyle (x,y)=(f(t),g(t))}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x(y)&=f(g^{-1}(y))\\y(x)&=g(f^{-1}(x))\end{aligned}}}$$

青い領域の面積は

$${\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy}$$

同様に、赤い領域の面積は $${\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx}$$

総面積A ₁ + A ₂は、大きい長方形の面積x ₂ y ₂から小さい長方形の面積x ₁ y ₁を引いた値に等しい。

$${\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx} ^{A_{2}}\ =\ {\biggl .}x\cdot y(x){\biggl |}_{x_{1}}^{x_{2}}\ =\ {\biggl .}y\cdot x(y){\biggl |}_{y_{1}}^{y_{2}}}$$または、 tの観点から見ると、または、不定積分の観点から見ると、これは次のように書くことができます。整理する と、このように部分積分は、長方形の面積と赤い領域の面積から青い領域の面積を導き出すものと考えることができます。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)\,dy(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)\,dx(t)\ =\ {\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}$$ $${\displaystyle \int x\,dy+\int y\,dx\ =\ xy}$$ $${\displaystyle \int x\,dy\ =\ xy-\int y\,dx}$$

この視覚化では、関数f ( x )の積分がわかっているときに、部分積分が逆関数f ⁻¹ ( x ) の積分を見つけるのに役立つ理由も説明しています。確かに、関数x ( y ) とy ( x ) は逆関数であり、積分 ∫ x dy は、積分 ∫ y dxがわかっていることから上記のように計算できます。特に、これは部分積分を使用して対数関数と逆三角関数を積分する方法について説明します。実際、が区間上で微分可能な 1 対 1 関数である場合、部分積分を使用して の積分の式を の積分に基づいて導出できます。これは、記事「逆関数の積分」で実証されています。   ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

アプリケーション

反微分を見つける

部分積分は、積分を解くための純粋に機械的なプロセスではなく、経験的なプロセスです。積分すべき関数が1つ与えられた場合、典型的な戦略は、この関数を2つの関数の積u ( x ) v ( x ) に注意深く分離することです。これにより、部分積分公式の残差積分は、1つの関数よりも簡単に評価できるようになります。以下の式は、最適な戦略を示すのに役立ちます。

$${\displaystyle \int uv\,dx=u\int v\,dx-\int \left(u'\int v\,dx\right)\,dx.}$$

右辺では、uは微分され、vは積分されます。したがって、 uを微分すると簡約される関数として、あるいはv を積分すると簡約される関数として選択することが有用です。簡単な例として、以下を考えてみましょう。

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx\,.}$$

ln( x )の導関数は⁠1/×⁠、 (ln( x )) 部分をuにします。⁠​​ の不定法は1/× ²⁠は − ⁠1/×⁠、人は⁠を作る1/× ²⁠パートv . 式は次のようになります。

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\,dx\,.}$$

− ⁠の不定積分1/× ²⁠ はべき乗則で見つけられ、⁠1/×⁠、最終的な積分は

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\biggl (}{\frac {\ln(x)+1}{x}}{\biggr )}+C,}$$

ここで、Cは積分定数です。

あるいは、uとvを、u ′( ∫vdx  )の積が相殺によって単純化されるように選ぶこともできる。例えば、以下の積分をしたいとする。

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx.}$$

u ( x ) = ln(|sin( x )|) およびv ( x ) = sec ² xと選択すると、連鎖律を使用してu はtan x に微分され、v はtan xに積分されます。したがって、式は次のようになります。 ${\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}}$

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .}$$

積分関数は 1 に簡約されるため、原始積分はxです。簡約化の組み合わせを見つけるには、多くの場合、実験が必要になります。

応用によっては、部分積分によって得られる積分が単純な形になることを保証する必要がない場合があります。例えば、数値解析においては、積分の大きさが小さく、誤差項が小さいだけで十分な場合があります。その他の特殊な手法については、以下の例で示します。

多項式と三角関数

計算するには

$${\displaystyle I=\int x\cos(x)\,dx\,,}$$

させて： $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=x\ &\Rightarrow \ &&du&=dx\\dv&=\cos(x)\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int \cos(x)\,dx=\sin(x)\end{alignedat}}}$$

それから：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}}$$

ここで、Cは積分定数です。

の高次のべき乗については、 ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int x^{n}e^{x}\,dx,\ \int x^{n}\sin(x)\,dx,\ \int x^{n}\cos(x)\,dx\,,}$$

部分積分を繰り返し使用することで、このような積分を評価できます。定理を適用するたびに、 のべき乗は1 ずつ低下します。 ${\displaystyle x}$

指数関数と三角関数

部分積分の仕組みを調べるためによく使われる例は

$${\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

ここでは部分積分を2回行う。まず

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\cos(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=-\sin(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}\end{alignedat}}}$$

それから：

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx.}$$

さて、残りの積分を評価するために、次のように再度部分積分を使用します。

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\sin(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=\cos(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\,&\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}.\end{alignedat}}}$$

それから：

$${\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

これらをまとめると、

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

この方程式の両辺には同じ積分が現れています。この積分を両辺に加えるだけで、

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,}$$

これは次のように並べ替えられる

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'}$$

ここで、（および）は積分定数です。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'={\frac {C}{2}}}$

同様の方法を使用して、正割の 3 乗の積分を求めます。

関数を1倍したもの

他によく知られている例としては、1とそれ自身の積で表される関数に部分積分を適用する場合が挙げられます。これは、関数の微分が既知であり、かつその微分を積分したものも既知である場合に有効です。 ${\displaystyle x}$

最初の例は です。これを次のように書きます。 ${\displaystyle \int \ln(x)dx}$

$${\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\,dx\,.}$$

させて：

$${\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}}$$ $${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

それから：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$$

ここでは積分定数です。 ${\displaystyle C}$

2番目の例は逆正接関数です。 ${\displaystyle \arctan(x)}$

$${\displaystyle I=\int \arctan(x)\,dx.}$$

これを書き直すと

$${\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx.}$$

さて、次のようになります。

$${\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}}$$

$${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

それから

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\,dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}$$

逆連鎖律法と自然対数積分条件の組み合わせを使用する。

LIATEルール

LIATE則は部分積分における経験則である。これは、以下のリストの中で最初に来る関数をuとして選択することを意味する。 ^[4]

• L –対数関数など ${\displaystyle \ln(x),\ \log _{b}(x),}$
• I –逆三角関数（双曲線関数を含む） など ${\displaystyle \arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),\ \operatorname {arsinh} (x),}$
• A –代数関数（多項式など）など ${\displaystyle x^{2},\ 3x^{50},}$
• T –三角関数（双曲線関数を含む）など ${\displaystyle \sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname {sech} (x),}$
• E –指数関数など ${\displaystyle e^{x},\ 19^{x},}$

dvとなる関数は、リストの最後にある関数です。これは、リストの下位にある関数は、上位にある関数よりも一般的に不変の原始関数を持つためです。この規則は「DETAIL」と表記されることもあります。ここで、 D はdvを表し、リストの先頭にある関数がdvとなる関数です。この規則の代替として、逆三角関数を対数関数の前に置かなければならない ILATE 規則があります。

LIATE規則を証明するために、積分を考えてみましょう。

$${\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\,dx.}$$

LIATE規則に従うと、u = x、dv = cos( x )  dxとなるので、du = dx、v = sin( x )となり、積分は次のように なる。 $${\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,}$$ $${\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.}$$

一般的に、 uとdvは、 duがuよりも単純で、dvが積分しやすいように選ばれる。もし、cos( x )をuとして、x dxをdvとして選んだとしたら、積分は次のようになる 。

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}\cos(x)+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin(x)\,dx,}$$

部分積分公式を再帰的に適用すると、明らかに無限再帰が発生し、どこにもつながらなくなります。

LIATE規則は便利な経験則ですが、例外もあります。一般的な代替案としては、規則を「ILATE」の順序で考えることが挙げられます。また、場合によっては、多項式の項を非自明な方法で分割する必要があります。例えば、

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx,}$$

設定する

$${\displaystyle u=x^{2},\quad dv=x\cdot e^{x^{2}}\,dx,}$$

となることによって

$${\displaystyle du=2x\,dx,\quad v={\frac {e^{x^{2}}}{2}}.}$$

それから

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\int \left(x^{2}\right)\left(xe^{x^{2}}\right)\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du={\frac {x^{2}e^{x^{2}}}{2}}-\int xe^{x^{2}}\,dx.}$$

最終的に、 $${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx={\frac {e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)}{2}}+C.}$$

部分積分は数学解析における定理を証明するツールとしてよく使用されます。

ウォリス積

ウォリス無限積は ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}}}$$

部分積分を使って導くことができます。

ガンマ関数の恒等式

ガンマ関数は特殊関数の例であり、 の不定積分として定義されます。部分積分により、ガンマ関数が階乗関数の拡張であることが示されます。 ${\displaystyle z>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}}$$

以来

$${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}$$

が自然数、つまり のとき、この式を繰り返し適用すると階乗が得られます。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

調和解析での使用

部分積分は、調和解析、特にフーリエ解析において、十分に滑らかな被積分関数を持つ高速振動積分が急速に減衰することを示すためによく用いられます。最も一般的な例としては、後述するように、関数のフーリエ変換の減衰がその関数の滑らかさに依存することを示す際に用いられます。

微分のフーリエ変換

が-回連続的に微分可能な関数であり、 番目の微分までのすべての導関数が無限大でゼロに減衰する場合、そのフーリエ変換は次式を満たす。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle ({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ),}$$

ここではの 階微分です。（右辺の正確な定数は、使用されるフーリエ変換の慣例に依存します。）これは、次の式で証明されます。 ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },}$$

したがって、微分のフーリエ変換の部分積分を用いると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}}$$

これを帰納的に適用すると、一般の の結果が得られます。同様の方法を用いて、関数の微分のラプラス変換を求めることができます。 ${\displaystyle k}$

フーリエ変換の減衰

上記の結果はフーリエ変換の減衰について教えてくれる。なぜなら、もしとが積分可能ならば、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}},{\text{ where }}I(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.}$$

言い換えれば、がこれらの条件を満たす場合、そのフーリエ変換は無限大において少なくとも1/| ξ | ^kと同じ速さで減衰します。特に、が成立する場合、フーリエ変換は積分可能です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

証明には、フーリエ変換の定義から直接得られる次の事実を用いる。

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.}$$

この節の冒頭で述べた等式に同じ考え方を適用すると、

$${\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.}$$

これら 2 つの不等式を合計し、1 + |2 π ξ ^k |で割ると、上記の不等式が得られます。

作用素理論での使用

作用素論における部分積分の一つの用途は、 −∆（ただし∆はラプラス作用素）が（L ^p空間を参照）上の正作用素であることを示すことである。が滑らかでコンパクトにサポートされている場合、部分積分を用いて、 ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}}$$

その他のアプリケーション

• シュトゥルム・リウヴィル理論における境界条件の決定
• 変分法におけるオイラー・ラグランジュ方程式の導出

部分ごとの繰り返し積分

部分積分の公式の左辺の積分におけるの2次導関数を考慮すると、右辺の積分に繰り返し適用することが示唆されます。 ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle \int uv''\,dx=uv'-\int u'v'\,dx=uv'-\left(u'v-\int u''v\,dx\right).}$$

この繰り返し部分積分の概念をn次の微分に拡張すると、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int u^{(0)}v^{(n)}\,dx&=u^{(0)}v^{(n-1)}-u^{(1)}v^{(n-2)}+u^{(2)}v^{(n-3)}-\cdots +(-1)^{n-1}u^{(n-1)}v^{(0)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\\[5pt]&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-1-k)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\end{aligned}}}$$

この概念は、の反復積分が容易に得られる場合（例えば、ラプラス変換やフーリエ変換における単純な指数関数や正弦関数、余弦関数など ）、およびのn次導関数がゼロとなる場合（例えば、次数 の多項式関数として）に有用である。後者の条件は、右辺積分がゼロとなるため、部分積分の反復を中止する。 ${\displaystyle v^{(n)}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (n-1)}$

上記の部分積分の繰り返しの過程で、積分 ととが関連づけられる。これは、被積分関数間および被積分関数内の導関数を任意に「シフト」させると解釈でき、有用であることも証明されている（ロドリゲスの公式を参照）。 $${\displaystyle \int u^{(0)}v^{(n)}\,dx\quad }$$ ${\displaystyle \quad \int u^{(\ell )}v^{(n-\ell )}\,dx\quad }$ ${\displaystyle \quad \int u^{(m)}v^{(n-m)}\,dx\quad {\text{ for }}1\leq m,\ell \leq n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

部分ごとの表形式の積分

上記の公式の基本的なプロセスは表にまとめることができ、この方法は「表積分」^[5]と呼ばれ、映画『スタンド・アンド・デリバー』（1988年）でも取り上げられました。^[6]

例えば、積分

$${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$$そして取る ${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$

列Aに関数とその導関数をゼロになるまで列挙し始めます。次に、列Bに関数とその積分を列Bのサイズが列Aのサイズと同じになるまで列挙します。結果は次のようになります。 ${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}}$ ${\displaystyle u^{(i)}}$ ${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$ ${\displaystyle v^{(n-i)}}$

＃私	サイン	A: デリバティブ ${\displaystyle u^{(i)}}$	B: 積分 ${\displaystyle v^{(n-i)}}$
0	+	${\displaystyle x^{3}}$	${\displaystyle \cos x}$
1	−	${\displaystyle 3x^{2}}$	${\displaystyle \sin x}$
2	+	${\displaystyle 6x}$	${\displaystyle -\cos x}$
3	−	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle -\sin x}$
4	+	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \cos x}$

列Aと列Bの行iのエントリの積とそれぞれの符号を組み合わせると、部分積分の繰り返しの過程でステップi の関連する積分が得られます。ステップi = 0では元の積分が得られます。ステップi > 0で完全な結果を得るには、列Aのj番目のエントリと列B の( j + 1)番目のエントリのこれまでのすべての積 ( 0 ≤ j < i )に、指定されたj番目の符号を追加する必要があります (つまり、列 A の 1 番目のエントリを列 B の 2 番目のエントリに、列 A の 2 番目のエントリを列 B の 3 番目のエントリに、などと乗算します) 。このプロセスは、積分を生成する積が 0 (例ではi = 4 )になると自然に停止します。完全な結果は次のとおりです (各項の符号が交互に入れ替わります)。

$${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$$

これにより

$${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$$

繰り返し部分積分は、関数をそれぞれ微分・積分する過程で、その積が元の積分関数の倍数となる場合にも有用である。 この場合、繰り返しはこの添え字iで終了することもある。これは、指数関数や三角関数で予想どおりに起こり得る。例として、 ${\displaystyle u^{(i)}}$ ${\displaystyle v^{(n-i)}}$

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$$

＃私	サイン	A: デリバティブ ${\displaystyle u^{(i)}}$	B: 積分 ${\displaystyle v^{(n-i)}}$
0	+	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \cos x}$
1	−	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \sin x}$
2	+	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle -\cos x}$

この場合、インデックスi = 2に適切な符号を付けた列Aと列Bの項の積は、元の積分関数の負の値を生成します (行i = 0とi = 2を比較してください)。

$${\displaystyle \underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} _{i=2}.}$$

右辺の積分は独自の積分定数を持つことができることに着目し、抽象積分を反対側に移すと、次の式が得られます。 ${\displaystyle C'}$

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',}$$

そして最後に:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,}$$

どこ。 ${\displaystyle C={\frac {C'}{2}}}$

高次元

部分積分は、微積分学の基本定理を適切な積分則に適用することで、多変数関数に拡張することができる。多変数微積分学では、スカラー値関数uとベクトル値関数（ベクトル場）Vの組み合わせなど、このような組み合わせが複数存在する。^[7]

発散の積則は次のように述べます。

$${\displaystyle \nabla \cdot (u\mathbf {V} )\ =\ u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \ +\ \nabla u\cdot \mathbf {V} .}$$

が区分的に滑らかな境界を持つの有界開集合であるとする。 を標準体積形式 に関して積分し、発散定理を適用すると、次式が得られる。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma \ =\ \int _{\Omega }\nabla \cdot (u\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ +\ \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$$

ここで 、境界への外向きの単位法線ベクトルを、標準リーマン体積形式 に関して積分したものです。整理すると次のようになります。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle d\Gamma }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$$

言い換えれば、 定理の正則性に関する要件は緩和できる。例えば、境界はリプシッツ連続で、関数u , v はソボレフ空間 に存在するだけでよい。 $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\operatorname {div} (\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\operatorname {grad} (u)\cdot \mathbf {V} \,d\Omega .}$$ ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$

グリーンの最初のアイデンティティ

連続的に微分可能なベクトル場 と を考えます。ここで は のi番目の標準基底ベクトルです。ここで、上記の部分積分を各 にベクトル場 の積分を適用します。 ${\displaystyle \mathbf {U} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +u_{n}\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle v\mathbf {e} _{1},\ldots ,v\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle v\mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u_{i}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u_{i}v\,\mathbf {e} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}v\,d\Omega .}$$

iを合計すると、新しい部分積分式が得られます。

$${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {U} \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\mathbf {U} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla \cdot \mathbf {U} \,d\Omega .}$$

となるケースは、グリーンの恒等式の最初のものとして知られています。 ${\displaystyle \mathbf {U} =\nabla u}$ ${\displaystyle u\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\,\nabla u\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla ^{2}u\,d\Omega .}$$

微分形式

微分形式上の外微分は次数積則を満たす。が微分 -形式であり、かつが境界付き有向多様体上の微分-形式である場合、次数積則は図示の通りである。 ${\displaystyle u\in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v\in \Omega ^{n}(M)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (k+n+1)}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle d(u\wedge v)=du\wedge v+(-1)^{k}u\wedge dv}$$

等式の両辺を 上で積分します。 ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \int \limits _{M}d(u\wedge v)=\int \limits _{M}du\wedge v+(-1)^{k}\int \limits _{M}u\wedge dv}$$

これは次の式と同等である。

$${\displaystyle \int \limits _{M}du\wedge v=\int \limits _{M}d(u\wedge v)-(-1)^{k}\int \limits _{M}u\wedge dv.}$$

一般化されたストークスの定理を適用して、期待される形になるようにします。

$${\displaystyle \int \limits _{M}du\wedge v=\oint \limits _{\partial M}u\wedge v-(-1)^{k}\int \limits _{M}u\wedge dv}$$

とを微分形式（滑らかな関数） にすると、古典的なバージョンが復元されます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0}$

参照

• ルベーグ・スティルチェス積分の部分積分
• 二次共変を含むセミマルチンゲールの部分積分。
• 置換による積分
• ルジャンドル変換

注記

1. “ブルック・テイラー”. History.MCS.St-Andrews.ac.uk . 2018年5月25日閲覧。
2. “ブルック・テイラー”. Stetson.edu . 2018年1月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2018年5月25日閲覧。
3. 「部分積分」。数学百科事典。
4. Kasube, Herbert E. (1983). 「部分積分法」.アメリカ数学月刊誌. 90 (3): 210– 211. doi :10.2307/2975556. JSTOR  2975556.
5. Thomas, GB ; Finney, RL (1988).微積分と解析幾何学（第7版）. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-17069-8。
6. Horowitz, David (1990). 「部分積分表」(PDF) . The College Mathematics Journal . 21 (4): 307– 311. doi :10.2307/2686368. JSTOR  2686368.
7. Rogers, Robert C. (2011年9月29日). 「多変数微積分」(PDF) .

さらに読む

• ルイス・ブランド（2013年10月10日）『微積分学入門：古典解析入門』クーリエ社、267頁～。ISBN 978-0-486-15799-3。
• ホフマン, ローレンス・D.; ブラッドリー, ジェラルド・L. (2004). 『ビジネス・経済・社会・生命科学のための微積分』（第8版）. マグロウヒル高等教育. pp.  450– 464. ISBN 0-07-242432-X。
• ウィラード、スティーブン（1976年）『微積分とその応用』ボストン：プリンドル、ウェーバー、シュミット社、pp.  193– 214. ISBN 0-87150-203-8。
• ワシントン、アリン・J. (1966). 『テクニカル微積分と解析幾何学』 . 参考図書: アディソン・ウェスレー. pp.  218– 245. ISBN 0-8465-8603-7。

外部リンク

• 「部分積分」数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 部分積分—MathWorldより

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