幾何微積分

Infinitesimal calculus on functions defined on a geometric algebra

数学において、幾何微積分は幾何代数を微分と積分に拡張する。この形式論は強力であり、ベクトル解析、微分幾何学、微分形式といった他の数学理論を再現できることが示される。^[1]

差別化

幾何代​​数が与えられたとき、ベクトルとベクトルをベクトルとし、ベクトルの多重ベクトル値関数をベクトルとする。ベクトルにおけるベクトルの方向微分は次のように定義される。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},}$

ただし、極限はすべての に対して存在し、その極限はスカラー に対して取られる。これは方向微分の通常の定義に似ているが、必ずしもスカラー値を持たない関数にも拡張されている。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \epsilon }$

次に、基底ベクトル のセットを選択し、の方向で方向微分を実行する と表記される演算子について考えます。 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

次に、アインシュタインの和記法を使用して、演算子を考えます。

${\displaystyle e^{i}\partial _{i},}$

つまり

${\displaystyle F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,}$

ここで幾何積は方向微分の後に適用されます。より冗長に言うと：

${\displaystyle F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

この演算子はフレームの選択とは独立しており、幾何学的計算でベクトル微分と呼ばれるものを定義するために使用できます。

${\displaystyle \nabla =e^{i}\partial _{i}.}$

これは勾配の通常の定義に似ていますが、これも必ずしもスカラー値ではない関数に拡張されます。

方向微分はその方向に関して線形です。つまり、次のようになります。

${\displaystyle \nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.}$

このことから、方向微分はその方向とベクトル微分との内積であることがわかります。注意すべき点は、方向は と書けるということです。つまり、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=(a\cdot e^{i})e_{i}}$

${\displaystyle \nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .}$

このため、がよく指摘されます。 ${\displaystyle \nabla _{a}F(x)}$ ${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)}$

ベクトル微分における標準的な演算順序は、そのすぐ右にある最も近い関数にのみ作用するというものである。2つの関数 と が与えられている場合、例えば ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \nabla FG=(\nabla F)G.}$

積の法則

偏微分は積の法則に従いますが、ベクトル微分はこの性質を部分的にしか継承しません。2つの関数とを考えてみましょう。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (FG)&=e^{i}\partial _{i}(FG)\\&=e^{i}((\partial _{i}F)G+F(\partial _{i}G))\\&=e^{i}(\partial _{i}F)G+e^{i}F(\partial _{i}G).\end{aligned}}}$

幾何積は一般には可換ではないため、処理を進めるには新しい表記法が必要となる。解決策としては、オーバードット表記を採用することが挙げられる。オーバードット表記では、オーバードットを持つベクトル微分の有効範囲は、同じオーバードットを共有する多重ベクトル値関数となる。この場合、 ${\displaystyle e^{i}F\neq Fe^{i}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F{\dot {G}}=e^{i}F(\partial _{i}G),}$

ベクトル微分の積の法則は

${\displaystyle \nabla (FG)=\nabla FG+{\dot {\nabla }}F{\dot {G}}.}$

内外微分

を-階の多重ベクトルとする。すると、内部微分と外部微分という追加の演算子のペアを定義することができる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \nabla \cdot F=\langle \nabla F\rangle _{r-1}=e^{i}\cdot \partial _{i}F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=\langle \nabla F\rangle _{r+1}=e^{i}\wedge \partial _{i}F.}$

特に、がグレード1（ベクトル値関数）の場合、次のように書くことができる。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \nabla F=\nabla \cdot F+\nabla \wedge F}$

そして発散と回転を次のように 特定する。

${\displaystyle \nabla \cdot F=\operatorname {div} F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=I\,\operatorname {curl} F.}$

ベクトル微分とは異なり、内微分演算子も外微分演算子も逆関数ではありません。

マルチベクトル微分

上で説明したベクトルに関する微分は、一般的な多重ベクトルに関する微分、つまり多重ベクトル微分に一般化できます。

を多重ベクトルの多重ベクトル値関数とする。 の方向 に関する方向微分（ここで、とは多重ベクトル）は次のように定義される。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A*\partial _{X}F(X)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F(X+\epsilon A)-F(X)}{\epsilon }}\ ,}$

ここではスカラー積である。ベクトル基底とそれに対応する双対基底を用いて、多重ベクトル微分は方向微分を用いて次のように定義される^[2]。 ${\displaystyle A*B=\langle AB\rangle }$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \{e^{i}\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}=\partial _{X}=\sum _{i<\dots <j}e^{i}\wedge \cdots \wedge e^{j}(e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{i})*\partial _{X}\ .}$

この方程式は、記事のセクション「幾何代数#双対基底」で説明されているように、ブレードの逆基底の成分で表現されています。 ${\displaystyle \partial _{X}}$

多重ベクトル微分の重要な性質は、

${\displaystyle \partial _{X}\langle XA\rangle =P_{X}(A)\ ,}$

ここで、は に含まれる成績への の投影です。 ${\displaystyle P_{X}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

多重ベクトル微分はラグランジアン場の理論に応用されています。

統合

次元ベクトル空間を張る基底ベクトルの集合を とする。幾何代数から、擬スカラーはこれらの基底ベクトルによって囲まれる-平行四辺形の符号付き体積であると解釈される。基底ベクトルが に直交するならば、これは単位擬スカラーである。 ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$ ${\displaystyle n}$

より一般的には、全体の - 次元ベクトル空間における部分空間の長さ、面積、またはその他の一般的な - 体積を扱うために、の基底ベクトルのサブセットに限定することができます。これらの選択された基底ベクトルを と表記します。これらの基底ベクトルによって囲まれる - 平行体の一般的な- 体積は、次数多重ベクトルです。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$

さらに一般的に、基底ベクトルに比例する新しいベクトルの集合を考えることができます。ここで、各ベクトルは基底ベクトルのいずれかをスケールする成分です。これらの成分は、非ゼロである限り、無限小に自由に選ぶことができます。これらの項の外積は -体積として解釈できるため、測度を定義する自然な方法は次のようになります。 ${\displaystyle \{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{x^{i_{j}}\}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

したがって、この測度は常にベクトル空間の -次元部分空間の単位擬スカラーに比例する。微分形式論におけるリーマン体積形式と比較せよ。積分はこの測度に関してとられる。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \int _{V}F(x)\,d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.}$

より正式には、部分空間のある有向体積を考える。この体積を単体の和に分割することができる。頂点の座標を とする。各頂点において、その頂点を共有する単体の平均測度を測度とする。すると、この体積上の に関するの積分は、体積をより小さな単体に分割する極限において得られる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle \Delta U_{i}(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle U(x)}$

${\displaystyle \int _{V}F\,dU=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}F(x_{i})\,\Delta U_{i}(x_{i}).}$

幾何学的微積分学の基本定理

ベクトル微分と積分を上記のように定義する理由は、ストークスの定理を強力に一般化できるためです。を - 階の入力と一般位置を持つ多重ベクトル値関数とし、その第 1 引数は線形とします。このとき、幾何学的微積分学の基本定理は、体積上の微分の積分とその境界上の積分を次のように関連付けます。 ${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)=\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x).}$

例として、ベクトル値関数と（）級多重ベクトルについて考えると、 ${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle }$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,dX\,I^{-1}\rangle \\&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,|dX|\rangle \\&=\int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|.\end{aligned}}}$

同じく、

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x)&=\oint _{\partial V}\langle F(x)\,dS\,I^{-1}\rangle \\&=\oint _{\partial V}\langle F(x){\hat {n}}\,|dS|\rangle \\&=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.\end{aligned}}}$

こうして発散定理が回復される。

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.}$

共変微分

次元空間における十分に滑らかな- 曲面は多様体とみなされる。多様体上の各点には、多様体に接する- ブレードを付加することができる。局所的には、 は - 次元空間の擬スカラーとして作用する。このブレードは、多様体へのベクトルの射影を定義する。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1})B.}$

ベクトル微分が次元空間全体で定義されているのと同じように、多様体上で局所的に定義される固有微分を定義したい場合があります。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial F={\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F.}$

(注: 上記の右辺は、多様体の接空間に存在しない可能性があります。したがって、これは、必ずしも接空間に存在する と同じではありません。) ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)}$

が多様体に接するベクトルである場合、ベクトル微分と固有微分はどちらも同じ方向微分を与えます。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\cdot \partial F=a\cdot \nabla F.}$

この演算は完全に有効ですが、それ自体が必ずしも多様体上にあるとは限らないため、常に有用であるとは限りません。したがって、共変微分は、固有微分を多様体上に強制的に射影したものとして定義します。 ${\displaystyle \partial F}$

${\displaystyle a\cdot DF={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot {\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F).}$

一般的な多重ベクトルは射影と棄却の和として表現できるため、この場合

${\displaystyle a\cdot \partial F={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)+{\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

我々は新しい関数である形状テンソル を導入する。これは ${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)}$

${\displaystyle F\times {\mathsf {S}}(a)={\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

ここでは交換子積である。接面を張る局所座標基底において、形状テンソルは次のように与えられる。 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)=e^{i}\wedge {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial e_{i}).}$

重要なのは、一般多様体上では共変微分は可換ではないということである。特に、交換子は形状テンソルと次のように関係している。

${\displaystyle [a\cdot D,\,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b))\times F.}$

明らかにこの項は興味深いものです。しかし、固有微分と同様に、必ずしも多様体上にあるわけではありません。したがって、リーマンテンソルを多様体への射影として定義することができます。 ${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)}$

${\displaystyle {\mathsf {R}}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)).}$

最後に、が の位数である場合、内部共変微分と外部共変微分を次のように定義できる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle D\cdot F=\langle DF\rangle _{r-1},}$

${\displaystyle D\wedge F=\langle DF\rangle _{r+1},}$

固有微分についても同様です。

微分幾何学との関係

多様体上では、局所的に基底ベクトルの集合によって張られる接面を割り当てることができる。計量テンソルの成分、クリストッフェル記号、リーマン曲率テンソルは以下のように関連付けられる。 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j},}$

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k},}$

${\displaystyle R_{ijkl}=({\mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k})\cdot e_{l}.}$

これらの関係により、微分幾何学の理論が幾何学的計算の中に埋め込まれます。

微分形式との関係

局所座標系（ ）において、座標微分、…は、座標チャート内の1形式の基本集合を形成する。に対する多重添字が与えられれば、 -形式 を定義できる。 ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle dx^{1}}$ ${\displaystyle dx^{n}}$ ${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$ ${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I}=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

代わりに、次数多重ベクトルを次のように導入することもできる。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}$

そして対策

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

微分形式に関する外積とベクトルに関する外積の意味の微妙な違い（前者では増分は共ベクトルであるが、後者ではスカラーを表す）を除けば、微分形式とベクトルの対応関係は次のように表せる。

${\displaystyle \omega \cong A^{\dagger }\cdot d^{k}X=A\cdot \left(d^{k}X\right)^{\dagger },}$

その派生語

${\displaystyle d\omega \cong (D\wedge A)^{\dagger }\cdot d^{k+1}X=(D\wedge A)\cdot \left(d^{k+1}X\right)^{\dagger },}$

およびそのホッジ双対

${\displaystyle \star \omega \cong (I^{-1}A)^{\dagger }\cdot d^{k}X,}$

微分形式の理論を幾何学的計算の中に組み込む。

歴史

以下は幾何微積分学の歴史をまとめた図です。

幾何学的微積分の歴史。

参考文献と参考文献

1. David Hestenes、Garrett Sobczyk：Clifford Algebra to Geometric Calculus、数学と物理学のための統一言語（ドルドレヒト/ボストン：G.Reidel Publ.Co.、1984、 ISBN 90-277-2561-6
2. ドラン、クリス、ラセンビー、アンソニー (2007).物理学者のための幾何代数. ケンブリッジ大学出版局. p. 395. ISBN 978-0-521-71595-9。

• マクドナルド、アラン（2012年）『ベクトルと幾何微積分』チャールストン：CreateSpace. ISBN 9781480132450. OCLC  829395829。

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