ストークスの定理

Theorem in vector calculus

ストークスの定理の図解。面Σ、その境界∂Σ、法線ベクトルnを用いています。境界輪郭∂Σの正の循環方向と、面Σを通る正の磁束の方向nは、右手の法則（つまり、右手では指が∂Σに沿って循環し、親指がnに沿って向く）によって関連しています。

ストークスの定理^[1]は、ケルビン卿とジョージ・ストークスにちなんでケルビン・ストークスの定理^{[2] [3]}とも呼ばれ、回転の基本定理、あるいは単に回転定理^[4]は、3次元ユークリッド空間および実座標空間[^{注 1]における}ベクトル解析の定理です。ベクトル場が与えられたとき、この定理は、ある面上でのベクトル場の回転の積分と、面の境界付近のベクトル場の線積分を関連付けます。ストークスの古典的な定理は、次の一文で述べることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ループ上のベクトル場の線積分は、囲まれた表面上のベクトル場の回転の面積分に等しくなります。

ストークスの定理は、一般化されたストークスの定理の特殊な場合である。^{[5] [6]}特に、上のベクトル場は1形式と見なすことができ、その場合、その回転はその外微分、つまり2形式となる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

定理

を境界とする滑らかな有向面とする。ベクトル場が定義され、を含む領域で連続な1階偏微分を持つ場合、より明確には、をくさび積とすると、等式は次式となる。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma \equiv \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .}$$ ${\displaystyle \wedge }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

ストークスの定理を正確に述べる上での主な課題は、境界の概念を定義することです。例えば、コッホの雪片のような曲面はリーマン積分境界を示さないことがよく知られており、ルベーグ理論における面測度の概念は非リプシッツ面に対しては定義できません。1つの（高度な）手法は、弱定式化に移行してから幾何学的測度論の仕組みを適用することです。このアプローチについては、共面積の公式を参照してください。この記事では、 の完全次元部分集合に対して境界を識別できるという事実に基づいて、より基本的な定義を使用します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

より詳細な説明は以降の議論で示します。 を区分的に滑らかなジョルダン平面曲線（平面内の単純な閉曲線）とします。ジョルダン曲線定理によれば、 はコンパクトな要素と非コンパクトな要素の2つの要素に分割されます。をコンパクト部分とすると、は で囲まれます。これで、連続写像に沿った境界の概念を の曲面に転送するだけで十分です。しかし、そのような写像は既に存在します。の媒介変数化です。 ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

^{が[note 2]}の近傍で区分的に滑らかであり　、 であるとする。^{[note 3]が[note 4]}で定義される空間曲線である場合、の境界を と呼び、^{[note 5]と書く。} ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

上記の表記法を用いると、が 上の任意の滑らかなベクトル場である場合、^{[7] [8]} ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } .}$$

ここで、「」は のドット積を表します。 ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

より一般的な定理の特殊なケース

ストークスの定理は、次の恒等式の特別な場合とみなすことができます。^[9]ここで、 は 内の任意の滑らかなベクトル場またはスカラー場です。が一様スカラー場のときは、標準的なストークスの定理が再現されます。 $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } })\,\mathbf {g} =\iint _{\Sigma }\left[\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} -\mathbf {F} \times \nabla \right)\right]\mathbf {g} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$

証拠

定理の証明は4つのステップからなる。我々はグリーンの定理を仮定しているので、問題は3次元の複雑な問題（ストークスの定理）を2次元の基本的な問題（グリーンの定理）にどうやって落とし込むかである。^[10] この定理を証明するとき、数学者は通常それをより一般的な結果の特殊なケースとして演繹し、微分形式を用いて述べ、より洗練された機械を用いて証明する。これらの手法は強力ではあるが、相当な背景知識を必要とするため、以下の証明ではそれらを避け、基本的なベクトル計算と線型代数の知識以上の知識を前提としない。^[8]このセクションの最後で、一般化されたストークスの定理の系として、ストークスの定理の短い代替証明を示す。

基本的な証明

基礎証明の第一段階（積分のパラメータ化）

§ 定理と同様に、曲面の自然なパラメータ化を用いて次元を削減します。ψとγは§定理 と同様に設定し、変数変換によって となることに注意してください。ここで、 J _y ψ はy = γ ( t )におけるψのヤコビ行列を表します。 $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }}$$

ここで{ e _u , e _v }をR ²の座標方向における直交基底とする。^{[注 6]}

J _y ψの列はψのyにおける偏微分であることを認識すれば、前の式を次のように座標に展開できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}}$$

基本的な証明の2番目のステップ（プルバックの定義）

前のステップでは関数を定義することを提案した。 $${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}}$$

ここで、スカラー値関数とが次のように定義されている とすると、 ${\displaystyle P_{u}}$ ${\displaystyle P_{v}}$ $${\displaystyle {P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)}$$ $${\displaystyle {P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.}$$

これはψに沿ったFの引き戻しであり、上記により、 $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }}$$

ストークスの定理の片側を 2 次元の式に簡約できました。次は反対側に移ります。

基本証明の第3ステップ（2番目の方程式）

まず、積の法則を用いて、グリーンの定理に現れる偏微分を計算します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}}$$

都合よく、第2項は混合偏微分方程式の等式により差の中で消える。したがって、^[注7] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}}$$

しかし、今度はその二次形式、つまり の行列を考えてみましょう。この行列は実際には外積を表すと主張します。ここで、上付き文字「」は行列 の転置を表します。 ${\displaystyle J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

正確には、任意の3×3行列とし、 ${\displaystyle A=(A_{ij})_{ij}}$ $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}}$$

x ↦ a × xは線形なので、基底元への作用によって決定されることに注意されたい。しかし、直接計算では、{ e ₁ , e ₂ , e ₃ }はの座標方向における直交基底を表す。^{[注 8]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

したがって、任意のxに対して( A − AT ) x = a × x^となる。

Aを代入すると、 ${\displaystyle {(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}}$ $${\displaystyle \left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$$

部分関数の差を（スカラー）三重積として認識できるようになりました。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}}$$

一方、表面積分の定義には三重積も含まれますが、これはまったく同じものです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}}$$

つまり、 $${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

基本証明の第4ステップ（グリーン定理への還元）

2番目と3番目のステップを組み合わせ、グリーンの定理を適用することで証明が完了します。グリーンの定理は、ジョーダン閉曲線γとD上に定義された2つのスカラー値滑らかな関数で囲まれた任意の領域Dに対して、次のことを主張します。 ${\displaystyle P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

STEP2の結論を上記のグリーン定理の左辺に代入し、STEP3の結論を右辺に代入することができます。QED

微分形式による証明

関数は、写像を介して微分1形式と同一視できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.}$$

関数Fに付随する微分1形式をωFと書くと_、 ★はホッジスター関数、外微分であることがわかる。したがって、一般化されたストークスの定理により、^[11] $${\displaystyle \star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} },}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }}$$

アプリケーション

非回転磁場

このセクションでは、ストークスの定理に基づいた 非回転場（層状ベクトル場）について説明します。

定義2-1（非回転場）。開面上の滑らかなベクトル場Fは、 ∇ × F = 0のとき非回転（ラメラベクトル場）である。 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

この概念は力学において非常に基本的なものです。後で証明するように、 Fが非回転であり、 Fの定義域が単連結である場合、Fは保存ベクトル場となります。

ヘルムホルツの定理

この節では、ストークスの定理から導かれ、渦のないベクトル場を特徴付ける定理を紹介します。古典力学と流体力学では、ヘルムホルツの定理と呼ばれます。

定理2-1（流体力学におけるヘルムホルツの定理）^{[5] [3] ：142 を}ラメラベクトル場Fを 持つ開集合とし、 c ₀ , c ₁ : [0, 1] → Uを区分的に滑らかなループとする。関数H : [0, 1] × [0, 1] → Uが存在し、 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

• [TLH0] Hは区分的に滑らかであり、
• [TLH1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) 、すべてのt ∈ [0, 1]に対して、
• [TLH2] H ( t , 1) = c ₁ ( t )はすべてのt ∈ [0, 1]に対して成り立ち、
• [TLH3]すべての s∈ [0, 1] に対してH (0, s ) = H (1, s )である。

それから、 $${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}}$$

^{ローレンス[5]}などの教科書では、定理2-1で述べられているc ₀とc ₁の関係を「ホモトピー」と呼び、関数H : [0, 1] × [0, 1] → Uを「 c ₀とc ₁の間のホモトピー」と呼んでいます。しかし、上記の意味での「ホモトピー」または「ホモトピー」は、一般的な「ホモトピー」または「ホモトピー」の定義とは異なる（より強い）ものです。後者は条件[TLH3]を省略しています。そこで、以下では定理2-1の意味でホモトピー（ホモトピー）をチューブラーホモトピー（チューブラーホモトピー）と呼ぶことにします。^{[注 9]}

ヘルムホルツの定理の証明

γ ₁、...、γ ₄の定義

以下では、表記法を乱用し、基本群内のパスの連結に「 」を使用し、パスの方向を反転するのに「 」を使用します。 ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \ominus }$

D = [0, 1] × [0, 1]とし、∂ Dを4つの線分γ _jに分割する。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}}$$

c ₀とc _{1 が}区分的に滑らかなホモトピーであるという仮定により、区分的に滑らかなホモトピーH : D → Mが存在する。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}}$$

SをHによるDの像とする。これはストークスの定理から直ちに導かれる。Fはラメラなので、左辺はゼロ、すなわち $${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$ $${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

Hは管状（[TLH3]を満たす）なので、Γ ₂ ( s )とΓ ₄ ( s )に沿った線積分は打ち消され、 ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$ $${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

一方、c ₁ = Γ ₁、となるので、望ましい等式がほぼ直ちに得られます。 ${\displaystyle c_{3}=\ominus \Gamma _{3}}$

保守勢力

上記のヘルムホルツの定理は、物体の位置を変える際に保存力によって行われる仕事が経路独立である理由を説明しています。まず、ヘルムホルツの定理の系であり、特殊な場合である補題2-2を導入します。

補題2-2. ^{[5] [6]}をラメラベクトル場Fと区分的に滑らかなループc 0 : [0, 1] → Uを持つ開集合と_する。点p ∈ Uを固定し、ホモトピーH : [ 0, 1] × [0, 1] → Uが存在し、 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

• [SC0] Hは区分的に滑らかであり、
• [SC1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) 、すべてのt ∈ [0, 1]に対して、
• [SC2] H ( t , 1) = p はすべてのt ∈ [0, 1]に対して成り立ち、
• [SC3]すべての s∈ [0, 1]に対してH (0, s )= H (1, s )= pとなる。

それから、 $${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

上記の補題2-2は定理2–1から導かれる。補題2-2において、[SC0]から[SC3]を満たすHの存在は重要である。問題は、そのようなホモトピーが任意のループに対して取れるかどうかである。Uが単連結であれば、そのようなHが存在する。単連結空間の定義は以下の通りである。

定義2-2（単連結空間）^{[5] [6]}は空でなく経路連結であるとする。M が単連結であるとは、任意の連続ループc : [0, 1] → Mに対して、 cから固定点p ∈ cへの連続管状ホモトピーH : [0, 1] × [0, 1] → Mが存在するときのみである。すなわち、 ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• [SC0'] Hは連続であり、
• [SC1] H ( t , 0) = c ( t )がすべてのt ∈ [0, 1]に対して成り立つ。
• [SC2] H ( t , 1) = p はすべてのt ∈ [0, 1]に対して成り立ち、
• [SC3]すべての s∈ [0, 1] に対してH (0, s )= H (1, s )= pとなる。

「保存力の場合、物体の位置を変える際に行われる仕事は経路に依存しない」という主張は、Mが単連結であれば直ちに成り立つように思えるかもしれない。しかし、単連結は[SC1-3]を満たす連続ホモトピーの存在を保証するだけであることを思い出してほしい。我々は、これらの条件を満たす区分的に滑らかなホモトピーを求めるのである。

幸いなことに、この正則性のギャップはホイットニーの近似定理によって解決されます。^{[6] : 136, 421  [12]}言い換えれば、連続ホモトピーを見つける可能性があっても、その上で積分できないという可能性は、高等数学の恩恵によって実際に排除されます。こうして、以下の定理が得られます。

定理2-2. ^{[5] [6]}を非回転ベクトル場Fと単連結な開ベクトル場とします。すべての区分的に滑らかなループc : [0, 1] → Uに対して ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

マクスウェル方程式

電磁気学において、ストークスの定理は、マクスウェル・ファラデー方程式とマクスウェル・アンペール方程式の微分形式と積分形式が等価であることを正当化する。ファラデーの法則において、ストークスの定理は電場に適用され、 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

アンペールの法則では、ストークスの定理が磁場に適用されます。 ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

注記

1. （nは自然数）は、列ベクトルとみなされる、実数のn組の順序付けられた集合である。ベクトルの加算とスカラー乗算を成分ごとに定義することにより、は線形代数の通常の演算を備えた実ベクトル空間となる。行列演算の観点から、は実行列の集合である と同一視できる。したがって、 上の任意のアフィン線形関数はの形式で表すことができる。ここで、Aは行列、bは定数ベクトルである。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M(n,1\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Ax+b}$
2. の定義から、は明らかに における有界閉集合である。「D の近傍」とは「D を含む における開集合」を意味する。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
3. は、​​ ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \psi }$
4. ループがとあまり相互作用しないジョルダン曲線ではない可能性があります。しかし、は常にループまたはループであり、位相的には可算個のジョルダン曲線の連結和であるため、積分は明確に定義されます。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Gamma }$
5. 2次元極座標を考えた場合でも、∂Σ = Γとすれば、∂Σは明らかにΣの位相的な内点を含むことができます。しかし、向き付けられた 組み合わせ多様体では、内点の上の線積分が打ち消されるため、これはそれほど深刻な問題ではありません。向き付けられた多様体では、∂Σの上の線積分は真の境界の上の線積分と一致します。さらに重要な例は、この定理が球面やトーラスなどの位相的な境界を持たない多様体にも当てはまることです。このような場合、∂Σ = Γとすれば、∂ΣはΣの中に完全に含まれます。しかし、このような場合、結果として得られるΓ上の線積分は完全に打ち消し合います。これにより、境界のない多様体上​​のベクトル場の回転の面積分はゼロであると断言できます。
6. 本稿では、ベクトル解析の教科書によっては、これらが異なるものに割り当てられている場合があることに注意してください。例えば、一部の教科書の表記では、 { e _u , e _v }はそれぞれ{ t _u , t _v }を意味することがあります。しかし、本稿ではこれらは全く異なるものです。ここで、および「 」はユークリッドノルムを表します。 $${\displaystyle \mathbf {e} _{u}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{v}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.}$$ $${\displaystyle h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$
7. すべての に対して、すべての正方行列に対して、したがって。 ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A;n\times n}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}}$
8. この記事では、ベクトル解析に関するいくつかの教科書では、これらが異なるものに割り当てられていることに注意してください。 $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.}$$
9. 定理2-1の意味で「ホモトピー」および「ホモトピック」という用語を使用している教科書も存在します。^[5] 確かに、これは保存力という特定の問題においては非常に便利です。しかし、ホモトピーの両方の用法は頻繁に出現するため、曖昧さを解消するために何らかの用語が必要であり、ここで採用されている「管状ホモトピー」という用語で十分にその目的にかなうものです。

参考文献

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