カール（数学）

Circulation density in a vector field

均一な回転を持つ 2 次元ベクトル フィールドの描写。

ベクトル解析において、回転（回転子とも呼ばれる）は、三次元ユークリッド空間におけるベクトル場の微小循環を記述するベクトル演算子である。場内の点における回転は、長さと方向がそれぞれ最大循環の大きさと軸を表すベクトルで表される^[1]。場の回転は、正式には場の各点における循環密度として定義される。

回転角がゼロのベクトル場は非回転ベクトル場と呼ばれます。回転角はベクトル場の微分法の一種です。微積分学の基本定理の対応する形はストークスの定理であり、これはベクトル場の回転角の面積分と境界曲線の周りのベクトル場の線積分を関連付けます。

北米では回転F という表記が一般的です。その他の地域、特に20世紀の科学文献では、回転Fという代替表記が伝統的に用いられています。これは回転速度を表すことに由来します。混乱を避けるため、現代の著者は、デル（ナブラ）演算子を用いた外積表記法を用いる傾向があります。^{[2]は回転（回転子）、}発散、勾配演算子の関係も示しています。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

勾配や発散とは異なり、ベクトル解析で定式化された回転は、他の次元には単純に一般化できない。ある程度の一般化は可能だが、幾何学的に定義されたベクトル場の回転が再びベクトル場となるのは3次元の場合のみである。この欠陥はベクトル解析の限界による直接的な結果である。一方、幾何学解析のウェッジ作用素を介して反対称テンソル場として表現される場合、回転はすべての次元に一般化される。この状況は3次元外積の場合と似ており、実際、回転の 表記法にもその関連性が反映されている。 ${\displaystyle \nabla \times }$

「回転」という名称は1871年にジェームズ・クラーク・マクスウェルによって初めて提案されたが^[3] 、この概念は1839年にジェームズ・マッカラーによる光場理論の構築において初めて使用されたと思われる^{[4] [5]。}

意味

平面ベクトル領域を囲む平面上の閉曲線Cに垂直かつ接する位置rにおけるFの成分。 ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

右手の法則

ベクトル場Fの回転は、 curl F、 、またはrot Fと表記され、 R ^3のC ^k関数をR ^3のC ^{k −1}関数に写す演算子であり、特に、連続微分可能関数R ³ → R ³を連続関数R ³ → R ³に写す。回転は、以下に示すように、いくつかの方法で定義できる。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

ある点におけるベクトル場の回転を定義する 1 つの方法は、その点を通過するさまざまな軸に沿ったその成分を暗黙的に通すことです。 が任意の単位ベクトルである場合、積分の経路が点の周囲に無限に収縮されるため、方向に沿ったFの回転の成分は、囲まれた領域で割った、に垂直な平面での閉線積分の極限値として定義できます。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$

より具体的には、点pにおける回転は^{[6] [7]}で定義されます。ここで、線積分は点pを含む領域Aの境界Cに沿って計算され、| A |は領域の大きさです。この式は、Fの回転の方向に沿った成分を定義します。Cで囲まれた微小面の法線はです。Cは右手の法則によって方向付けられます。 $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p)\cdot \mathbf {\hat {u}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{A\to 0}{\frac {1}{|A|}}\oint _{C(p)}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$

上記の式は、ベクトル場のある軸に沿った回転成分が、その軸に垂直な平面における場の循環の微小面密度であることを意味します。この式は正当なベクトル場を先験的に定義するものではありません。なぜなら、様々な軸に関する個々の循環密度は、必ずしもベクトルの成分と同じように先験的に相互に関連している必要はないからです。それらが実際にこのように厳密に相互に関連していることは、別途証明されなければなりません。

この定義には、ケルビン・ストークスの定理が自然に適合します。これは、定義に対応する大域的な公式です。この定理は、ベクトル場の回転の面積分を、上記の線積分を面の境界付近でとったものと等しくします。

ある点における関数Fの回転ベクトルを定義する別の方法は、 p を囲むシェルがpの周囲に無限に収縮しているため、 p を囲むシェルの周囲のベクトル値面積分の極限値を、囲まれた体積で割ったものとして明示的に定義することです。

より具体的には、回転はベクトル式によって定義され 、面積分は体積Vの 境界Sに沿って計算され、| V |は体積の大きさであり、S内のすべての点で表面Sから垂直に外側を指します。 $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {F} \ \mathrm {d} S}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

この式において、積分関数の外積は、面S上の各点におけるFの接線成分と、Fの接線投影に直角な面上の点を測定します。この外積を面全体で積分すると、その大きさがS の周りのFの全体的な循環を測定し、その方向がこの循環に直角となるベクトルが得られます。上記の式は、ある点におけるベクトル場の回転は、その点の周りのこの「循環ベクトル」の微小体積密度であることを示しています。

この定義には、ベクトル場の回転の 体積積分と、体積の境界上で取られた上記の表面積分を等しくする別のグローバル式 (ケルビン・ストークスの定理に類似) が自然に当てはまります。

回転を定義する3つ目の方法は、無限小球面体積の回転ベクトルの2倍として解釈することを強調する。回転はを満たすことが 示され、 ここで、およびは、、 内の点であり、はを中心とする半径の球を表す。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (O)=\lim _{\varepsilon \to 0}{3 \over {\text{Vol}}(B_{\varepsilon })}\int _{B_{\epsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {F} (P)-\mathbf {F} (O))}{r^{2}}}\,dV,}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {P} -\mathbf {O} }$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle O}$

一方、運動場を持つ剛体の瞬間回転ベクトルは、すべての球に対して、積分平均の公式（したがって）によって与えられます。回転は、運動場が である剛体として（3次まで）見た、無限小球面体積の場の回転ベクトルの2倍として現れることがわかります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {3}{2\,\mathrm {Vol} (B_{\varepsilon })}}\int _{B_{\varepsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {v} (\mathbf {P} )-\mathbf {v} (O)}{r^{2}}}\,dV}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} (O).}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

上記の 3 つの回転の定義は座標に依存しませんが、曲線直交座標 (たとえば、直交座標、球面座標、円筒座標、さらには楕円座標や放物線座標)における回転の「覚えやすい」定義がもう 1 つあります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{1}={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{2}}}-{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{3}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{2}={\frac {1}{h_{3}h_{1}}}\left({\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{1}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{3}={\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

各成分(回転F ) _kの方程式は、下付き文字 1、2、3 を巡回置換 (1 → 2、2 → 3、3 → 1) することで得られます (下付き文字は関連するインデックスを表します)。

( x ₁ , x ₂ , x ₃ )を直交座標、( u ₁ , u ₂ , u ₃ )を直交座標とする と、 はu _i に対応する座標ベクトルの長さです。回転成分の残りの2つの要素は、インデックスの循環置換によって生じます：3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1。 $${\displaystyle h_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}}$$

使用法

実際には、上記の 2 つの座標フリーの定義はほとんど使用されません。これは、事実上すべての場合において、より単純な表現が導出された曲線座標のセットを使用して回転演算子を適用できるためです。

この表記法は3次元外積との類似性に由来し、 をベクトル微分演算子delとみなすと、直交座標系での記憶術として有用である。このような演算子を含む表記法は、物理学や代数学でよく用いられる。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla }$

3次元直交座標系（球面座標と円筒座標系での表現については、円筒座標と球面座標におけるDelを参照）に展開すると、は、（添え字はベクトルの成分を示し、偏微分ではない）で構成される。ここで、i、j、kはそれぞれx軸、y軸、z軸の単位ベクトルである。これは次のように展開される。^[8] ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle [F_{x},F_{y},F_{z}]}$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}&{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}&{\boldsymbol {\hat {k}}}\\[5mu]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[5mu]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

座標で表現されますが、座標軸を適切に回転させても結果は不変ですが、反射すると結果は反転します。

一般座標系では、回転は^[1]で与えられる。 ここで、εはレヴィ・チヴィタテンソル、∇は共変微分、は計量テンソルの行列式であり、アインシュタインの和の慣性により、繰り返し添字は 上で和が取られる。共変微分に関与するクリストッフェル記号の対称性により、この式は偏微分に簡約される。ここで、R _{k は}局所基底ベクトルである。同様に、外微分を用いて回転は次のように表される。 $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )^{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\varepsilon ^{k\ell m}\nabla _{\ell }F_{m}}$$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )={\frac {1}{\sqrt {g}}}\mathbf {R} _{k}\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left(\star {\big (}{\mathrm {d} }(\mathbf {F} ^{\flat }){\big )}\right)^{\sharp }}$$

ここで、♭と＃は音楽同型であり、★はホッジスター作用素である。この式は、任意の座標系におけるFの回転を計算する方法と、任意の向き付けられた3次元リーマン多様体への回転の拡張方法を示している。これは向きの選択に依存するため、回転はカイラル演算である。言い換えれば、向きが逆になると、回転の方向も逆になる。

例

例1

ベクトル場が流体の流れ（液体や気体の大きなタンクなど）の速度場を表し、小さなボールが流体または気体の中にあるとします（ボールの中心はある点に固定されています）。ボールの表面が粗い場合は、その周りを流れる流体によってボールが回転します。回転軸（右手の法則に従って方向付けられている）は、ボールの中心における場の回転の方向を指し、回転の角速度はこの点での回転の大きさの半分になります。^{[9]任意の点でのベクトル場の回転は、} xy平面（回転のz軸成分の場合）、 zx平面（回転のy軸成分の場合）、およびyz平面（回転ベクトルのx軸成分の場合） の微小領域の回転によって与えられます。これは以下の例で確認できます。

例2

ベクトル場F ( x , y )=[ y ,− x ] (左)とその回転 (右)。

ベクトル場は次のように分解できる。 $${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=y{\boldsymbol {\hat {\imath }}}-x{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$$ $${\displaystyle F_{x}=y,\;F_{y}=-x,\;F_{z}=0.}$$

視覚的に観察すると、この場は「回転している」と表現できます。もし場のベクトルがその点に存在する物体に作用する直線的な力を表すとすると、物体をこの場の中に置くと、その物体は時計回りに回転し始めます。これは、物体がどこに置かれていても当てはまります。

カール計算: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2{\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

結果として得られる回転を記述するベクトル場は、すべての点で負のZ方向を向くことになります。この方程式の結果は、右手座標系を用いた右手の法則から予測できた結果と一致します。一様ベクトル場であるため、前述の物体は、どこに配置されても同じ回転強度を持ちます。

例3

ベクトル場F ( x , y ) = [0, − x ² ] (左)とその回転 (右)。

ベクトル場の場合 $${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=-x^{2}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$$

グラフからは回転の様子はそれほど明らかではありません。しかし、前の例の物体をx = 3 の直線上の任意の位置に置くと、右側に働く力は左側に働く力よりもわずかに大きくなり、時計回りに回転します。右手の法則を用いると、結果として生じる回転は負のZ方向にまっすぐになることが予測できます。逆に、 x = −3に置いた場合、物体は反時計回りに回転し、右手の法則によりZ方向は正になります。

カール計算: $${\displaystyle {\nabla }\times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-x^{2}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2x{\boldsymbol {\hat {k}}}.}$$

xが正のとき、回転は負のz方向を向き、逆もまた同様です。この場において、物体がx = 0平面から離れるほど、回転の強さは大きくなります。

その他の例

• 等速円運動する回転円板の各部分の線速度を記述するベクトル場において、回転角はすべての点で同じ値を持ち、この値は（右手の法則に従って通常通り向きを変えた）円板のベクトル角速度のちょうど2倍となる。より一般的には、任意の流動体について、質量流の各点における線速度ベクトル場の回転角（その点における流れの渦度）は、その点の周りの質量の局所ベクトル角速度のちょうど2倍となる。
• 外部の物理的力（重力や電磁力など）を受ける任意の固体物体について、物体の各点に作用する単位体積あたりの微小な力を表すベクトル場を考えることができます。この力場は物体の質量中心を中心として正味のトルクを発生させる可能性があり、このトルクは力場の回転の体積全体にわたる積分（ベクトル値）に正比例し、ベクトル的に平行であることが分かります。
• 4つのマクスウェル方程式のうち、ファラデーの法則とアンペールの法則の2つは、回転を用いて簡潔に表現できます。ファラデーの法則は、電場の回転は磁場の時間変化率の逆数に等しいと述べており、アンペールの法則は、磁場の回転と電流、そして電場の時間変化率を関連付けています。

アイデンティティ

一般的な曲線座標系（直交座標系だけでなく）では、ベクトル場vとFの外積の回転は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)={\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {v} -{\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {F} \ .}$$

ベクトル場vと∇演算子を入れ替えると、ベクトル場とベクトル場の回転の外積が得られます。ここで、 ∇ _{F は}ファインマンの添え字表記であり、ベクトル場Fによる変化のみを考慮します(つまり、この場合、v は空間内で一定であるものとして扱われます)。 $${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{\mathbf {F} }\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}$$

もう一つの例は、ベクトル場の回転です。一般座標系では、この恒等式はFのベクトルラプラシアンを定義し、∇ ² Fと表記されます。 $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}$$

任意のスカラー場φの勾配の回転は常にゼロベクトル場 であり、これは回転の定義における反対称性と2 次導関数の対称性から導かれます。 $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )={\boldsymbol {0}}}$$

任意のベクトル場の回転の発散はゼロに等しい。 $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$$

φがスカラー値関数でFがベクトル場である場合、 $${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F} }$$

一般化

ベクトル計算におけるgrad、 curl 、divの演算は、微分形式の文脈において最も容易に一般化されます。これは多くのステップを伴います。簡単に言えば、これらはそれぞれ 0 形式、1 形式、2 形式の導関数に対応します。回転を回転として幾何学的に解釈することは、3次元の 2ベクトル（2 ベクトル）を微小回転の特殊直交リー代数 （座標系では歪対称な 3 × 3 行列）と同一視することに対応します。一方、回転をベクトルで表すことは、1 ベクトル（同値、2 ベクトル）と（これらはすべて 3 次元空間）と同一視することに対応します。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

微分形式

3 次元では、微分 0 形式は実数値関数 です。微分 1 形式は次の式で、係数は関数です。微分 2 形式は形式的な和で、これも関数係数を持ちます。微分 3 形式は、1 つの関数を係数とする単一の項で定義されます。 (ここで、a係数は 3 変数の実関数です。くさび積、例えば は、有向平面線分、などとして解釈できます。) ${\displaystyle f(x,y,z)}$ $${\displaystyle a_{1}\,dx+a_{2}\,dy+a_{3}\,dz;}$$ $${\displaystyle a_{12}\,dx\wedge dy+a_{13}\,dx\wedge dz+a_{23}\,dy\wedge dz;}$$ $${\displaystyle a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz.}$$ ${\displaystyle {\text{d}}x\wedge {\text{d}}y}$ ${\displaystyle {\text{d}}x\wedge {\text{d}}y=-{\text{d}}y\wedge {\text{d}}x}$

R ³におけるk形式の外微分は、上記の( k + 1)形式として定義され、 R ⁿでは、例えば、外微分d は次のように定義される。 $${\displaystyle \omega ^{(k)}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}},}$$ $${\displaystyle d\omega ^{(k)}=\sum _{\scriptstyle {j=1} \atop \scriptstyle {i_{1}<\cdots <i_{k}}}^{n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{j}}}\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}.}$$

したがって、1次元形式の外微分は2次元形式であり、2次元形式の外微分は3次元形式である。一方、混合微分は互換性があり、 反対称性もあるため、 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}},}$$ $${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}}$$

外微分を2回適用すると、（ゼロ形式）が得られます。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k+2}$

したがって、 k形式の空間を、外微分をdで表すと、次の数列が得られます。 ${\displaystyle \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{3})}$ $${\displaystyle 0\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\,0.}$$

これはR ⁿ上の外積代数ベクトル束の切断空間であり、その次元は二項係数である。または の場合、 となることに注意されたい。次元のみを書くと、パスカルの三角形の行が得られる。 ${\displaystyle \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{3})=0}$ ${\displaystyle k>3}$ ${\displaystyle k<0}$

$${\displaystyle 0\rightarrow 1\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 1\rightarrow 0;}$$

1次元ファイバーはスカラー場に対応し、3次元ファイバーはベクトル場に対応します（詳細は後述）。適切な同一視を法として、外微分における3つの非自明な発生は、grad、curl、divに対応します。

微分形式と微分は、リーマン計量の概念なしに、任意のユークリッド空間、または任意の多様体上で定義できます。リーマン多様体、またはより一般的には擬リーマン多様体では、k形式はkベクトル場と同一視でき( k形式はk共ベクトル場であり、擬リーマン計量はベクトルと共ベクトルの間に同型性を与えます)、非退化形式を持つ向き付けられたベクトル空間(ベクトルと共ベクトルの間に同型性) では、kベクトルと( n − k )ベクトルの間に同型性があります。特に、向き付けられた擬リーマン多様体 (の接空間) ではそうです。したがって、向き付けられた擬リーマン多様体では、k形式、kベクトル場、( n − k )形式、および( n − k )ベクトル場を交換できます。これはホッジ双対性として知られています。具体的には、R ³上では次のように表されます。

• 1 形式と 1 ベクトル場: 1 形式a _x dx + a _y dy + a _z dzはベクトル場( a _x , a _y , a _z )に対応します。
• 1-形式と2-形式：dxを双対量dy∧dzに置き換え（つまりdxを省略）、同様に、向きに注意します。dyはdz∧dx = −dx∧dzに対応し、dzはdx∧dyに対応します。したがって、形式a _x dx + a _y dy + a _z dzは_「双対形式」a _z dx ∧ dy + a y dz ∧ _dx + a x dy ∧ dzに対応します。

したがって、0 形式と 3 形式をスカラー場と同一視し、1 形式と 2 形式をベクトル場と同一視します。

• grad はスカラー場 (0 形式) をベクトル場 (1 形式) に変換します。
• curl はベクトル場 (1 形式) を擬似ベクトル場 (2 形式) に変換します。
• div は擬似ベクトル場（2 形式）を擬似スカラー場（3 形式）に変換します。

一方、d ² = 0という事実は 、任意のスカラー場fおよび任意のベクトル場vの恒等式に対応します。 $${\displaystyle \nabla \times (\nabla f)=\mathbf {0} }$$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0}$$

Grad と div は、同じ幾何学的解釈で、すべての有向擬リーマン多様体に一般化されます。これは、各点における 0 形式とn形式の空間は常に 1 次元であり、スカラー場と同一視できるのに対し、1 形式と( n − 1)形式の空間は常にファイバーごとにn次元であり、ベクトル場と同一視できるためです。

回転はこのように4次元以上（または2次元以下）には一般化されない。4次元では次元は

0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;

したがって、1ベクトル場（ファイバー方向4次元）の回転は2ベクトル場であり、各点で6次元ベクトル空間に属するため、 6つの独立した項の和が得られる。これは1ベクトル場と同一視することはできない。また、1ベクトル場から2ベクトル場、さらに3ベクトル場（4 → 6 → 4）へと意味のある方向へ移行することもできない。なぜなら、微分を2回取ると0（d ² = 0）になるからである。したがって、このようにして生じるベクトル場から他の次元のベクトル場への回転関数は存在しない。 $${\displaystyle \omega ^{(2)}=\sum _{i<k=1,2,3,4}a_{i,k}\,dx_{i}\wedge dx_{k},}$$

ただし、以下で説明するように、一般にベクトル場の回転を2 ベクトル場として定義することができます。

幾何学的にカールする

2次元ベクトルは外積Λ ² Vに対応する。内積がある場合、座標系ではこれらは歪対称行列であり、幾何学的には無限小回転の特殊直交リー代数 ( V )として考えられる。これは( ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$ⁿ
₂) = ⁠1/2⁠ n ( n − 1)次元であり、1次元ベクトル場の微分をその無限小回転として解釈することを可能にする。3次元（あるいは0次元では自明）においてのみ、 n = ⁠1/2⁠ n ( n − 1)、これは最もエレガントで一般的なケースです。2 次元では、ベクトル場の回転はベクトル場ではなく関数です。2 次元の回転は角度 (スカラー - 時計回りまたは反時計回りの回転を正としてカウントするかどうかを選択するための方向が必要) によって与えられるためです。これは div ではなく、それに垂直です。3 次元では、ベクトル場の回転はよく知られているようにベクトル場です (1 次元と 0 次元では、非自明な 2 次元ベクトルが存在しないため、ベクトル場の回転は 0 です)。一方、4 次元では、ベクトル場の回転は、幾何学的には、各点で 6 次元リー代数の要素です。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)}$

このページの例のように、2 つの座標 ( xとyなど) のみに依存する 3 次元ベクトル フィールドの回転は、単に垂直ベクトル フィールド ( z方向) であり、その大きさは 2 次元ベクトル フィールドの回転と同じです。

回転を2次元ベクトル場（反対称2次元テンソル）として考えることは、ベクトル計算とそれに関連する物理学を高次元に一般化するために使用されてきた。^[10]

逆

ベクトル場Vの発散がゼロの場合、ベクトル場W はV = curl( W )となるように存在します。^{[要出典]これが、発散がゼロである}磁場が磁気ベクトルポテンシャルの回転として表される理由です。

Wがcurl( W ) = Vとなるベクトル場である場合、任意の勾配ベクトル場grad( f )をWに加えると、 curl( W + grad( f )) = Vとなる別のベクトル場W + grad( f )が得られる。これは、ビオ・サバールの法則によって、未知の非回転場まで、3次元ベクトル場の逆回転が得られる、と要約できる。

参照

• ヘルムホルツ分解
• Hiptmair–Xu前処理
• 円筒座標と球座標におけるDel
• 渦度

参考文献

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7. Vector Analysis (第 2 版)、MR Spiegel、S. Lipschutz、D. Spellman、Schaum's Outlines、McGraw Hill (USA)、2009、 ISBN 978-0-07-161545-7
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さらに読む

• コーン、グラニーノ・アーサー、テレサ・M・コーン（2000年1月）『科学者とエンジニアのための数学ハンドブック：定義、定理、公式の参照とレビュー』ニューヨーク：ドーバー出版、  157～ 160頁。ISBN 0-486-41147-8。
• Schey, HM (1997).除算、勾配、曲線、そしてその他諸々: ベクトル計算の非公式テキスト. ニューヨーク: ノートン. ISBN 0-393-96997-5。

外部リンク

• 「カール」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 「多変数微積分」. mathinsight.org . 2022年2月12日閲覧。
• 「発散と回転：マクスウェル方程式、流体の流れ、その他における言語」。2018年6月21日。2021年11月24日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube経由。

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