Mathematical approximation of a function
テイラー多項式の次数が上がるにつれて、正しい関数に近づきます。この図は、 sin xと、 x = 0 における 1 、 3 、 5 、 7 、 9 、 11 、 13 次多項式によるそのテイラー近似を示しています 。 数学 において 、 関数 の テイラー級数 または テイラー展開とは 、ある一点における 関数の 導関数で表される項の 無限和 である。ほとんどの一般的な関数では、この点の近傍では関数とそのテイラー級数の和は等しい。テイラー級数は、1715年にこれを提唱した ブルック・テイラー にちなんで名付けられた。また、18世紀にこの特殊なケースのテイラー級数を広く利用した コリン・マクローリン にちなんで、0を導関数の考慮点とするテイラー級数は、 マクローリン級数 とも呼ばれる。
テイラー級数の 最初の n + 1 項によって形成される部分 和は 、関数の n次 テイラー多項式 と呼ばれる n 次 多項式 です。テイラー多項式は関数の近似値であり、 n が 増加するにつれて一般に精度が高まります。 テイラーの定理は、 このような近似値の使用によって生じる誤差を定量的に推定します。関数のテイラー級数が 収束する 場合、その和はテイラー多項式の 無限列 の 極限 になります。関数は、そのテイラー級数が収束する場合でも、そのテイラー級数の和とは異なる場合があります。関数が 点 xで 解析的であるとは、その関数が、 xを含むある 開区間 （または 複素平面 の 開円板 ） でのテイラー級数の和に等しい場合です 。これは、関数が区間（または円板）のすべての点で解析的であることを意味します。
意味 実数値 または 複素数値関数 f ( x ) のテイラー級数は 、 実数 または 複素数 a で 無限に微分可能 な場合、べき級数となる。 ここで、 n !は n の 階乗 を 表す 。関数 f ( n ) ( a ) は、点 aにおける f の n 次導関数 を表す。 f の0 次導関数は f 自身 と定義され、 ( x − a ) 0 と 0! はともに 1 と定義される 。この級数は、右辺の式のように シグマ記法 で表すことができる。 a = 0 のとき 、マクローリン級数は次の形式となる。 f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.} f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.}
例 任意の多項式 のテイラー級数 は、多項式そのものです。
マクローリン 級数 1 / 1 − x は等比級数 である
1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ . {\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots .}
そこで、 xを 1 − x に代入すると、 のテイラー級数は 1 / × a = 1 では
1 − ( x − 1 ) + ( x − 1 ) 2 − ( x − 1 ) 3 + ⋯ . {\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .}
上記のマクローリン級数を積分すると、 ln(1 − x ) のマクローリン級数が得られます 。ここで、 ln は 自然対数 を表します 。
− x − 1 2 x 2 − 1 3 x 3 − 1 4 x 4 − ⋯ . {\displaystyle -x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots .}
a = 1 における ln x の対応するテイラー級数 は
( x − 1 ) − 1 2 ( x − 1 ) 2 + 1 3 ( x − 1 ) 3 − 1 4 ( x − 1 ) 4 + ⋯ , {\displaystyle (x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,}
より一般的には、任意の非零点 aにおける ln x の対応するテイラー級数 は
ln a + 1 a ( x − a ) − 1 a 2 ( x − a ) 2 2 + ⋯ . {\displaystyle \ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots .}
指数関数 e x のマクローリン級数 は
∑ n = 0 ∞ x n n ! = x 0 0 ! + x 1 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + ⋯ = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24 + x 5 120 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}}
上記の展開は、 e x のx に関する 導関数も e x であり 、 e 0 は 1 に等しいため成り立ちます。これにより、無限和の各項の分子には( x − 0) n が 、分母には n ! が残ります 。
歴史 古代 ギリシャの哲学者 エレアのゼノンは、 無限級数を足し合わせて有限の結果を得るという問題を考えたが、不可能として却下した。 その結果が ゼノンのパラドックス である。後に アリストテレスはこのパラドックスの哲学的解決を提唱したが、その数学的内容は アルキメデス が取り上げるまで明らかに未解決であった。 これはアリストテレス以前にも、ソクラテス以前の原子論者 デモクリトスが取り上げていたのと同様である。アルキメデスの 枯渇法 によって 、無限回の漸進的細分化を行って有限の結果を得ることが可能になった。 劉徽は 数世紀後に同様の方法を独自に用いた。
14世紀、インドの数学者 サンガマグラマのマダヴァ によって、特定のテイラー級数の最も初期の例（ただし、一般的な方法ではない）が示されました。 彼の業績に関する記録は残っていませんが、 ケーララ学派の天文学と数学における彼の弟子たちの著作から、彼が 三角 関数の 正弦 、 余弦 、 逆正接 のテイラー級数を発見したことが示唆されています （ マダヴァ級数を 参照）。その後2世紀にわたり、彼の弟子たちはさらなる級数展開と有理数近似を開発しました。
1670年後半、 ジェームズ・グレゴリーは ジョン・コリンズ からの手紙の中で、 アイザック・ニュートン が導出した マクローリン級数 （ sin x , {\textstyle \sin x,} および ） をいくつか示され、ニュートンが級数展開関数の一般的な手法を開発したことを知らされた。ニュートンは実際には級数の長い除算と項ごとの積分を含む面倒な手法を用いていたが、グレゴリーはそれを知らず、自ら一般的な手法を発見しようと試みた。1671年初頭、グレゴリーは一般マクローリン級数に似たものを発見し、 （の積分 ）、 （ sec の積分 、逆 グーデルマン関数 ）、 （ グーデルマン関数）の級数をコリンズに含めた手紙を送った。しかし、グレゴリーはニュートンの手法を単に再開発しただけだと考え、これらの級数をどのようにして得たかについては説明しておらず、彼が一般的な手法を理解したのは、1671年の別の手紙の裏に走り書きした下書きを調べることによってのみ推測できる。 [7] cos x , {\textstyle \cos x,} arcsin x , {\textstyle \arcsin x,} x cot x {\textstyle x\cot x} arctan x , {\textstyle \arctan x,} tan x , {\textstyle \tan x,} sec x , {\textstyle \sec x,} ln sec x {\textstyle \ln \,\sec x} tan {\displaystyle \tan } ln tan 1 2 ( 1 2 π + x ) {\textstyle \ln \,\tan {\tfrac {1}{2}}{{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +x{\bigr )}}} arcsec ( 2 e x ) , {\textstyle \operatorname {arcsec} {\bigl (}{\sqrt {2}}e^{x}{\bigr )},} 2 arctan e x − 1 2 π {\textstyle 2\arctan e^{x}-{\tfrac {1}{2}}\pi }
1691年から1692年にかけて、ニュートンは未発表の著書 『曲線の四角形について 』の中で、テイラー級数とマクローリン級数の明確な記述を記した。これは、一般テイラー級数の明示的な定式化としては最も初期のものであった。 [8] [9]しかし、ニュートンのこの著作は未完成のままであり、1704年に 『曲線の四角形について論じた』 というタイトルで出版された部分からは、関連部分が省略されている 。
1715年になってようやく、これらの級数が存在するすべての関数に対して構築する一般的な方法が ブルック・テイラー [10] によって公開され、 現在ではこの級数に彼の名が付けられています。
マクローリン級数は 、18 世紀半ばにテイラー結果の特殊なケースを発表したスコットランドの数学者 コリン・マクローリンにちなんで名付けられました。
解析関数 関数 e (−1/ x 2 ) はx = 0 では解析的ではありません 。関数は 0 ではありませんが、テイラー級数は 0 と同じです。 f ( x ) が 複素平面（または実数直線上の区間）において b を中心とする開円板上の収束するべき級数で与えられる 場合、この領域において 解析的であるという。したがって、この領域における x に対して 、 f は 収束するべき級数で与えられる。
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − b ) n . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}
上記の式を x で n 回微分し、 x = b とすると次のようになります。
f ( n ) ( b ) n ! = a n {\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}
そして、冪級数展開はテイラー級数と一致する。したがって、関数が b を中心とする開円板上で解析的であるためには、そのテイラー級数が円板の各点における関数の値に収束する必要がある。
f ( x ) が 複素平面内のすべての x についてテイラー級数の和に等しい 場合、それは 完全関数 と呼ばれます。多項式、 指数関数 e x 、 三角関数の 正弦および余弦は、完全関数の例です。完全関数でない関数の例には、 平方根 、 対数 、 三角関数の 正接、およびその逆関数の arctan などがあります。これらの関数では、 xが b から遠い 場合、 テイラー級数は 収束 しません。つまり、 x と b の間の距離が 収束半径 よりも大きい場合、テイラー級数は x で 発散します 。テイラー級数を使用すると、関数の値とそのすべての導関数の値が 1 点でわかっている場合、すべての点で完全関数の値を計算できます。
解析関数におけるテイラー級数の用途には次のようなものがあります。
級数の部分和（ テイラー多項式 ）は関数の近似として用いることができる。これらの近似は、十分な数の項が含まれている場合、良好な近似となる。 べき級数の微分と積分は項ごとに実行できるため、特に簡単です。 解析 関数は、 複素平面 上の開円板上の 正則関数 へと一意に拡張される。これにより、 複素解析 の仕組みが 利用可能になる。 (切り捨てられた)級数は関数の値を数値的に計算するために使用できます (多くの場合、多項式をチェビシェフ形式 に書き直し、 クレンショウアルゴリズム で評価します )。 代数演算は冪級数表現上で容易に行うことができます。例えば、 オイラーの公式は三角関数と指数関数のテイラー級数展開から導かれます。この結果は、 調和解析 などの分野において根本的な重要性を持ちます 。 テイラー級数の最初のいくつかの項を使用した近似により、制限された領域では他の方法では解決できない問題を解くことができるようになります。このアプローチは物理学でよく使用されます。
近似誤差と収束 正弦関数 (青) は、原点を中心とした全周期にわたって、7 次テイラー多項式 (ピンク) によって近似されます。 ln(1 + x ) のテイラー多項式は、 −1 < x ≤ 1 の範囲でのみ正確な近似値を提供します 。 x > 1 の場合、より高次のテイラー多項式はより悪い近似値を提供します。 ln(1 + x ) のテイラー近似 （黒）。x > 1 の場合 、 近似 値は発散する。 図は、点 x = 0の周りの sin x の正確な近似値です 。ピンクの曲線は7次多項式です。
sin x ≈ x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! . {\displaystyle \sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}
この近似値の誤差は| x | 9 / 9! 以下です 。原点を中心とする全周期（ −π < x < π ）では、誤差は0.08215未満です。特に、 −1 < x < 1 では、誤差は0.000003未満です。
対照的に、自然対数関数 ln(1 + x )と、 a = 0 付近のいくつかのテイラー多項式の図も示されています。これらの近似は 、-1 < x ≤ 1 の領域でのみ関数に収束します 。この領域外では、高次テイラー多項式は 関数の近似として より劣ります。
関数を n 次のテイラー多項式で近似する際に生じる誤差は、剰余または残差と呼ばれ 、 関数 R n ( x ) で表される 。 テイラー の 定理 は 、剰余の大きさの 上限を求めるために用いられる 。
一般に、テイラー級数は必ずしも 収束 する必要はない。実際、収束するテイラー級数を持つ関数の集合は、 滑らかな関数 の フレシェ空間 における 貧弱な集合 である。関数 fのテイラー級数が収束するとしても、その極限は関数 f ( x ) の値と必ずしも等しいとは限らない 。例えば、関数
f ( x ) = { e − 1 / x 2 if x ≠ 0 0 if x = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}
はx = 0 において 無限微分可能 であり 、そこではすべての導関数が零となる。したがって、 x = 0 に関する f ( x ) のテイラー級数は恒等的に零となる。しかし、 f ( x ) は零関数ではないため、原点周りのテイラー級数とは等しくない。したがって、 f ( x )は 非解析的平滑関数 の例である 。
実解析 では、この例は、 無限に微分可能な関数 f ( x ) が存在し、 そのテイラー級数 が収束しても f ( x ) と等しく ならないことを示しています。対照的に、 複素解析 で研究する 正則関数は常に収束するテイラー級数を持ち、 有理型関数 のテイラー級数は 特異点を持つ可能性があり、関数自体とは異なる値に収束することはありません。ただし、複素関数 e −1/ z 2 は 、 z が 虚軸に沿って 0 に近づいても 0 に近づかないため、複素平面上で 連続 ではなく 、テイラー級数は 0 で定義されていません。
より一般的には、実数列または複素数列はすべて、 実数直線上に定義された無限微分可能関数のテイラー級数の 係数として現れる可能性があり、これは ボレルの補題 の帰結である。結果として、テイラー級数の 収束半径 はゼロになり得る。実数直線上に定義された無限微分可能関数であっても、そのテイラー級数の収束半径がどこでも0となるものが存在する。
関数は 特異点 を中心としたテイラー級数として書くことができない。このような場合でも、変数 xの負のべき乗も許容すれば級数展開が可能であることが多い。 ローラン級数を 参照のこと 。例えば、 f ( x ) = e −1/ x 2 はローラン級数として書くことができる。
一般化 テイラー級数の一般化は、(0,∞) 上の 任意の有界 連続関数 に対して関数自身の値に収束し、これは 差分 法を用いて行うことができる。具体的には、 アイナー・ヒレ による次の定理により、 任意の t > 0 に対して、 [12]
lim h → 0 + ∑ n = 0 ∞ t n n ! Δ h n f ( a ) h n = f ( a + t ) . {\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}
ここで Δ n 時間 は、ステップサイズhの n 番目の有限差分演算子 です 。この級数は、微分の代わりに差分商が現れる点を除けば、テイラー級数と全く同じです。つまり、この級数は形式的には ニュートン級数 と相似です。関数 fが a で解析的である場合 、級数の項はテイラー級数の項に収束し、この意味で通常のテイラー級数を一般化します。
一般に、任意の無限シーケンス a i に対して、次のべき級数恒等式が成り立ちます。
∑ n = 0 ∞ u n n ! Δ n a i = e − u ∑ j = 0 ∞ u j j ! a i + j . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}
特に、
f ( a + t ) = lim h → 0 + e − t / h ∑ j = 0 ∞ f ( a + j h ) ( t / h ) j j ! . {\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.}
右側の級数は f ( a + X ) の 期待値 です。ここで、 X は ポアソン分布に従う 確率変数 で、確率 e − t / h · で値 jhをとります。 ( t / h ) j / じっ ！ . したがって、
f ( a + t ) = lim h → 0 + ∫ − ∞ ∞ f ( a + x ) d P t / h , h ( x ) . {\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}
大数の法則は、 この 恒等式が成り立つことを示唆している。
いくつかの一般的な関数のマクローリン級数のリスト 以下にいくつかの重要なマクローリン級数展開を示す。これらの展開はすべて複素引数 x に対して有効である。
指数関数 指数 関数 e x (青) と、そのテイラー級数の 0 における最初のn + 1 項の合計 (赤)。 指数 関数 （底 e ）はマクローリン級数を持つ e x {\displaystyle e^{x}}
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .} すべてのx に対して収束します 。
ベル数 の 指数 生成関数 は、指数関数の前身の指数関数です。
exp ( exp x − 1 ) = ∑ n = 0 ∞ B n n ! x n {\displaystyle \exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}
自然対数 自然 対数 （底 e ）はマクローリン級数を持つ [15]
ln ( 1 − x ) = − ∑ n = 1 ∞ x n n = − x − x 2 2 − x 3 3 − ⋯ , ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}
最後の級数は メルカトル級数 として知られ、 ニコラウス・メルカトル にちなんで名付けられました（1668年に彼の論文 「対数技術 」で発表されたため）。 これらの級数は両方とも で収束します 。 （さらに、 ln(1 − x )の級数は x = −1 で収束し 、 ln(1 + x )の級数は x = 1 で収束します 。） [15] | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}
幾何学シリーズ 等比 級数 とその導関数はマクローリン級数を持つ。
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n 1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 1 ( 1 − x ) 3 = ∑ n = 2 ∞ ( n − 1 ) n 2 x n − 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}
すべては について収束する 。これらは、次の節で示す二項級数の特殊なケースである。 | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}
二項級数 二 項級数 は冪級数である
( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}
その係数は一般化 二項係数である
( α n ) = ∏ k = 1 n α − k + 1 k = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! . {\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}
（ n = 0 の場合、この積は 空積 となり、値は 1 になります。） 任意の実数または複素数 α に対して収束します。 | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}
α = −1 のとき 、これは本質的には前節で述べた無限等比級数である。特別な場合として、 α = 1 / 2 および α = − 1 / 2 平方根 関数とその 逆関数 を与える ：
( 1 + x ) 1 2 = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − 5 128 x 4 + 7 256 x 5 − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n − 1 ) x n , ( 1 + x ) − 1 2 = 1 − 1 2 x + 3 8 x 2 − 5 16 x 3 + 35 128 x 4 − 63 256 x 5 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 x n . {\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}}
線形項 のみ を保持すると、これは 二項近似 に簡略化されます。
三角関数 通常の 三角関数 とその逆関数には次のようなマクローリン級数がある。
sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ for all x cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ for all x tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 sec x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + ⋯ for | x | < π 2 arcsin x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + ⋯ for | x | ≤ 1 arccos x = π 2 − arcsin x = π 2 − x − x 3 6 − 3 x 5 40 − ⋯ for | x | ≤ 1 arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ for | x | ≤ 1 , x ≠ ± i {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}
すべての角度は ラジアン で表されます。tan x の展開に現れる 数 B k はベルヌーイ数 です 。sec x の展開に現れる 数 E k はオイラー数 です 。
双曲線関数 双曲線 関数 は対応する三角関数のマクローリン級数と密接に関連している：
sinh x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ for all x cosh x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ for all x tanh x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n 4 n ( 4 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + ⋯ for | x | < π 2 arsinh x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x − x 3 6 + 3 x 5 40 − ⋯ for | x | ≤ 1 artanh x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 = x + x 3 3 + x 5 5 + ⋯ for | x | ≤ 1 , x ≠ ± 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}
tanh x の級数に現れる 数 Bk は ベルヌーイ数 である 。
多重対数関数 多重 対数に は次のような定義的なアイデンティティがあります。
Li 2 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 x n Li 3 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 x n {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}\\{\text{Li}}_{3}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}\end{aligned}}}
ルジャンドル のカイ関数は 次のように定義されます。
χ 2 ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) 2 x 2 n + 1 χ 3 ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) 3 x 2 n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\\chi _{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}
そして、以下に示す式は 逆正接積分 と呼ばれます。
Ti 2 ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2 x 2 n + 1 Ti 3 ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 3 x 2 n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ti}}_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\{\text{Ti}}_{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}
統計熱力学 では これらの式は非常に重要です。
楕円関数 第一種 K と第二種 E の 完全 楕円積分は次のように定義できます。
2 π K ( x ) = ∑ n = 0 ∞ [ ( 2 n ) ! ] 2 16 n ( n ! ) 4 x 2 n 2 π E ( x ) = ∑ n = 0 ∞ [ ( 2 n ) ! ] 2 ( 1 − 2 n ) 16 n ( n ! ) 4 x 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}K(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\\{\frac {2}{\pi }}E(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\end{aligned}}}
ヤコビ シータ関数は 楕円モジュラー関数の世界を記述し、次のテイラー級数を持ちます。
ϑ 00 ( x ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ x n 2 ϑ 01 ( x ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}\end{aligned}}}
通常の 分割数列 P(n)は次の生成関数を持ちます。
ϑ 00 ( x ) − 1 / 6 ϑ 01 ( x ) − 2 / 3 [ ϑ 00 ( x ) 4 − ϑ 01 ( x ) 4 16 x ] − 1 / 24 = ∑ n = 0 ∞ P ( n ) x n = ∏ k = 1 ∞ 1 1 − x k {\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}}
厳密な分割数列Q(n)は次の生成関数を持つ。
ϑ 00 ( x ) 1 / 6 ϑ 01 ( x ) − 1 / 3 [ ϑ 00 ( x ) 4 − ϑ 01 ( x ) 4 16 x ] 1 / 24 = ∑ n = 0 ∞ Q ( n ) x n = ∏ k = 1 ∞ 1 1 − x 2 k − 1 {\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}}
テイラー級数の計算 多数の関数のテイラー級数を計算する方法はいくつか存在します。テイラー級数の定義を利用することもできますが、多くの場合、係数の形を明白なパターンに従って一般化する必要があります。あるいは、テイラー級数がべき級数であることを利用して、標準的なテイラー級数の代入、乗算、除算、加算、減算などの操作を用いて関数のテイラー級数を構築することもできます。場合によっては、 部分積分を繰り返し適用することでテイラー級数を導出することもできます。特に便利なのは 、コンピュータ代数システム を用いて テイラー級数を計算することです。
最初の例 関数の7次マクローリン多項式を計算するには、
f ( x ) = ln ( cos x ) , x ∈ ( − π 2 , π 2 ) , {\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )},}
まず関数を次のように書き直す。
f ( x ) = ln ( 1 + ( cos x − 1 ) ) , {\displaystyle f(x)={\ln }{\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )},}
2つの関数の合成 と 自然対数のテイラー級数は（ 大文字のO記法 を使用） x ↦ ln ( 1 + x ) {\displaystyle x\mapsto \ln(1+x)} x ↦ cos x − 1. {\displaystyle x\mapsto \cos x-1.}
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 + O ( x 4 ) {\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+O{\left(x^{4}\right)}}
余弦関数については
cos x − 1 = − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 + O ( x 8 ) . {\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O{\left(x^{8}\right)}.}
第二級数の最初の数項は第一級数の各項に代入できます。第二級数の最初の項は2次なので、第一級数の3項だけで7次多項式が得られます。
f ( x ) = ln ( 1 + ( cos x − 1 ) ) = ( cos x − 1 ) − 1 2 ( cos x − 1 ) 2 + 1 3 ( cos x − 1 ) 3 + O ( ( cos x − 1 ) 4 ) = − x 2 2 − x 4 12 − x 6 45 + O ( x 8 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+O{\left((\cos x-1)^{4}\right)}\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O{\left(x^{8}\right)}.\end{aligned}}\!}
余弦は 偶関数 なので、すべての奇数乗の係数はゼロになります。
2番目の例 関数の0におけるテイラー級数を求めるとしよう。
g ( x ) = e x cos x . {\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!}
指数関数のテイラー級数は
e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ , {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,}
そして余弦の級数は
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ . {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots .}
それらの商の級数は
e x cos x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + ⋯ {\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots }
両辺に分母を掛けて級数 展開すると、 cos x {\displaystyle \cos x}
e x = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + ⋯ ) ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ ) = c 0 + c 1 x + ( c 2 − c 0 2 ) x 2 + ( c 3 − c 1 2 ) x 3 + ( c 4 − c 2 2 + c 0 4 ! ) x 4 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\[5mu]&=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \end{aligned}}}
の係数をの 係数と比較すると g ( x ) cos x {\displaystyle g(x)\cos x} e x , {\displaystyle e^{x},}
c 0 = 1 , c 1 = 1 , c 2 − 1 2 c 0 = 1 2 , c 3 − 1 2 c 1 = 1 6 , c 4 − 1 2 c 2 + 1 24 c 0 = 1 24 , … . {\displaystyle c_{0}=1,\ \ c_{1}=1,\ \ c_{2}-{\tfrac {1}{2}}c_{0}={\tfrac {1}{2}},\ \ c_{3}-{\tfrac {1}{2}}c_{1}={\tfrac {1}{6}},\ \ c_{4}-{\tfrac {1}{2}}c_{2}+{\tfrac {1}{24}}c_{0}={\tfrac {1}{24}},\ \ldots .}
したがって、の級数の 係数は 一度に 1 つずつ計算することができ、 および の級数の長除算に相当し ます 。 c i {\displaystyle c_{i}} g ( x ) {\displaystyle g(x)} e x {\displaystyle e^{x}} cos x {\displaystyle \cos x}
e x cos x = 1 + x + x 2 + 2 3 x 3 + 1 2 x 4 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\tfrac {2}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{4}+\cdots .}
3番目の例 ここでは、「間接展開」と呼ばれる手法を用いて、与えられた関数を展開します。この手法では、指数関数の既知のテイラー展開を用います。 (1 + x ) e x を x のテイラー級数として展開するために 、関数 e x の既知のテイラー級数を用います。
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .}
したがって、
( 1 + x ) e x = e x + x e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! + ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n ! = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! + ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n ! = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! + ∑ n = 1 ∞ x n ( n − 1 ) ! = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 1 n ! + 1 ( n − 1 ) ! ) x n = 1 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n ! x n = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n ! x n . {\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end{aligned}}}
定義としてのテイラー級数 古典的には、 代数関数は 代数方程式によって定義され、 超越関数（上記で議論したものを含む）は 微分方程式 など、それらに成立する何らかの性質によって定義されます 。例えば、 指数関数は、その導関数がどこでも自身の導関数と等しく、原点で値が1となる関数です。しかし、 解析関数を テイラー級数によって 定義することも同様に可能です。
テイラー級数は、数学の様々な分野において関数や「演算子 」を定義するために用いられます 。特に、関数の古典的な定義が破綻する分野では、テイラー級数が当てはまります。例えば、テイラー級数を用いることで、解析関数を行列と演算子の集合、例えば行列 指数 や 行列 対数へと拡張することができます。
形式解析などの他の分野では、冪級数 そのものを直接扱う方が便利です 。例えば、微分方程式の解を冪級数 として 定義し、それが目的の解のテイラー級数であることを証明しようとする場合があります。
多変数テイラー級数 テイラー級数は、1つ以上の変数の関数にも一般化することができ、 [22]
T ( x 1 , … , x d ) = ∑ n 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ n d = 0 ∞ ( x 1 − a 1 ) n 1 ⋯ ( x d − a d ) n d n 1 ! ⋯ n d ! ( ∂ n 1 + ⋯ + n d f ∂ x 1 n 1 ⋯ ∂ x d n d ) ( a 1 , … , a d ) = f ( a 1 , … , a d ) + ∑ j = 1 d ∂ f ( a 1 , … , a d ) ∂ x j ( x j − a j ) + 1 2 ! ∑ j = 1 d ∑ k = 1 d ∂ 2 f ( a 1 , … , a d ) ∂ x j ∂ x k ( x j − a j ) ( x k − a k ) + 1 3 ! ∑ j = 1 d ∑ k = 1 d ∑ l = 1 d ∂ 3 f ( a 1 , … , a d ) ∂ x j ∂ x k ∂ x l ( x j − a j ) ( x k − a k ) ( x l − a l ) + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}
例えば、 2つの変数 x と yに依存する関数の場合、点 ( a , b ) の周りの2次のテイラー級数 は f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)}
f ( a , b ) + ( x − a ) f x ( a , b ) + ( y − b ) f y ( a , b ) + 1 2 ! ( ( x − a ) 2 f x x ( a , b ) + 2 ( x − a ) ( y − b ) f x y ( a , b ) + ( y − b ) 2 f y y ( a , b ) ) {\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}
ここで下付き文字はそれぞれの 偏導関数 を表します。
多変数の2次テイラー級数 1つ以上の変数のスカラー値関数の2次テイラー級数展開は次のように簡潔に表すことができる。
T ( x ) = f ( a ) + ( x − a ) T D f ( a ) + 1 2 ! ( x − a ) T { D 2 f ( a ) } ( x − a ) + ⋯ , {\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}
ここで、 D f ( a ) は x = a における f の 勾配 、 D 2 f ( a )は ヘッセ行列 である 。 多項式表記 を適用すると、複数の変数に対するテイラー級数は次のように表される。
T ( x ) = ∑ | α | ≥ 0 ( x − a ) α α ! ( ∂ α f ) ( a ) , {\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),}
これは、この段落の最初の方程式のさらに短縮された マルチインデックス バージョンとして理解され、単一変数の場合と完全に類似しています。
例 関数f ( x , y ) = e x ln(1 + y ) の原点周り の2次テイラー級数近似 (オレンジ色) 。 関数の
点 ( a , b )=(0,0) の周りの2次テイラー級数展開を計算するには、 f ( x , y ) = e x ln ( 1 + y ) , {\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}
まず必要な偏微分をすべて計算します。
f x = e x ln ( 1 + y ) f y = e x 1 + y f x x = e x ln ( 1 + y ) f y y = − e x ( 1 + y ) 2 f x y = f y x = e x 1 + y . {\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}
これらの導関数を原点で評価するとテイラー係数が得られる。
f x ( 0 , 0 ) = 0 f y ( 0 , 0 ) = 1 f x x ( 0 , 0 ) = 0 f y y ( 0 , 0 ) = − 1 f x y ( 0 , 0 ) = f y x ( 0 , 0 ) = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}}
これらの値を一般式に代入すると
T ( x , y ) = f ( a , b ) + ( x − a ) f x ( a , b ) + ( y − b ) f y ( a , b ) + 1 2 ! ( ( x − a ) 2 f x x ( a , b ) + 2 ( x − a ) ( y − b ) f x y ( a , b ) + ( y − b ) 2 f y y ( a , b ) ) + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&{}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}}
生産する
T ( x , y ) = 0 + 0 ( x − 0 ) + 1 ( y − 0 ) + 1 2 ( 0 ( x − 0 ) 2 + 2 ( x − 0 ) ( y − 0 ) + ( − 1 ) ( y − 0 ) 2 ) + ⋯ = y + x y − 1 2 y 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\big )}+\cdots \\&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots \end{aligned}}}
ln(1 + y )は | y | < 1 において解析的で ある ので、
e x ln ( 1 + y ) = y + x y − 1 2 y 2 + ⋯ , | y | < 1. {\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots ,\qquad |y|<1.}
フーリエ級数との比較 三角 フーリエ級数は、 周期関数 （または閉区間 [ a , b ]上で定義された関数）を 三角関数 （ 正弦 と 余弦 ）の無限和として 表すことを可能にします。この意味で、フーリエ級数はテイラー級数と類似しています。テイラー級数は 関数 をべき乗の無限和として表すことができるからです 。しかしながら、この2つの級数はいくつかの重要な点で互いに異なります。
点 x = aの周りの f ( x ) のテイラー級数の有限切断はすべて、 a における f と完全に等しくなります 。一方、フーリエ級数は区間全体にわたって積分することで計算されるため、級数の有限切断がすべて完全に等しくなる点は一般に存在しません。 テイラー級数の計算には、点の任意の小さな 近傍 における関数の知識が必要ですが、フーリエ級数の計算には、その定義域 区間 全体における関数の知識が必要です。ある意味では、テイラー級数は「局所的」であり、フーリエ級数は「大域的」であると言えるでしょう。 テイラー級数は、一点において無限個の導関数を持つ関数に対して定義されますが、フーリエ級数は 任意の積分可能な関数 に対して定義されます。特に、関数はどこでも微分可能ではない場合があります。（例えば、 f ( x )は ワイエルシュトラス関数 である可能性があります 。） 両級数の収束特性は大きく異なります。テイラー級数が正の収束半径を持つ場合でも、結果として得られる級数は関数と一致しない可能性があります。しかし、関数が解析的であれば、級数は 関数に 点収束し、収束区間のすべてのコンパクト部分集合において 一様 収束します。フーリエ級数に関しては、関数が 二乗可積分 であれば、級数は 2次平均 収束しますが、点収束または一様収束を保証するには追加の要件が必要です（例えば、関数が周期的でクラスC 1 であれば、収束は一様収束します）。 最後に、実際には、関数を有限個の項、例えばテイラー多項式や三角級数の部分和で近似することが望まれます。テイラー級数の場合、計算点の近傍では誤差は非常に小さいですが、離れた点では非常に大きくなる可能性があります。フーリエ級数の場合、誤差は関数の定義域に沿って分布します。
参照
注記 ^ ターンブル 1939、168–174ページ ロイ 1990 マレット 1993 ^ エドワーズ、C. ヘンリー (1994). 『微積分の歴史的発展』 シュプリンガー研究版. シュプリンガー. p. 289. ISBN 978-0-387-94313-8 。 ^ ローランズ、ピーター (2017). ニュートンとグレートワールドシステム . ワールドサイエンティフィックパブリッシング . p. 40. doi :10.1142/q0108. ISBN 978-1-78634-372-7 。 ^ Taylor 1715、p. 21–23、Prop. VII、Thm. 3、Cor. 2を参照。英訳についてはStruik 1969、pp. 329–332を、再翻訳についてはBruce 2007を参照。 ファイゲンバウム 1985 ^ フェラー 2003、230～232ページ ヒルとフィリップス、1957 年、300–327 ページ ^ ab ビロドー、シー、キーオ 2010、252ページ アブラモウィッツ＆ステグン 1970、15ページ ^ Hörmander 2002、式を参照。 1.1.7 および 1.1.7' Kolk & Duistermaat 2010、p. 59–63
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外部リンク
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae050e61cde6a0fdeda1f237f75846465579462d)
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![{\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5dd403c225903926ad0c45788a5f1a0a5fb67c)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a9f65e179df2db5256dc15097892be2ded7c6d)
