Differential calculus on function spaces
変分法 （ または 変分計算）は、 関数 や 汎関数 における小さな変化である変分を用いて 、関数の最大値と最小値を求める 数学的解析 分野です。 汎関数とは、関数 の集合から 実数 への 写像です 。 [a] 汎関数は、関数とその 導関数を含む 定積分 として表現されることが多いです。汎関数を最大化または最小化する関数は 、変分法の オイラー・ラグランジュ方程式 を用いて求めることができます。
このような問題の簡単な例としては、2点を結ぶ最短の曲線を求めることが挙げられます。制約条件がない場合、解は2点間の 直線 となります。しかし、曲線が空間上の面上に制約されている場合、解はそれほど明白ではなく、複数の解が存在する可能性があります。このような解は 測地線 と呼ばれます。関連する問題として、フェルマーの原理 が挙げられます。光は2点を結ぶ最短の 光 路を辿りますが 、その経路は媒質の材質に依存します。 力学におけるこれに対応する概念の一つに、 最小作用／定常作用の原理 があります 。
多くの重要な問題は、多変数関数を伴います。 ラプラス方程式 の 境界値問題の解は 、ディリクレの原理 を満たします 。 プラトー問題は、 空間内の与えられた等高線を覆う最小面積の曲面を求める問題です。解は、フレームを石鹸水に浸すことで得られることがよくあります。このような実験は比較的容易に実行できますが、その数学的定式化は決して単純ではありません。局所的に最小となる曲面が複数存在する場合があり、それらの 位相は 自明ではない場合があります。
歴史 変分法はアイザック・ニュートン の仕事に始まった 。例えば、 ニュートンの最小抵抗問題 では、彼は1685年にこの問題を定式化して解き、後に 1687年に プリンキピア で発表した。 [2] この問題はその分野で初めて定式化され正しく解かれた問題であり、 [2] 20世紀以前に変分法で取り組んだ最も難しい問題の一つでもあった。 [3] [4] [5]この問題は ヨハン・ベルヌーイ (1696) によって提起された 最速降下曲線 問題に続いた。 [6]これは ガリレオ・ガリレイ が1638年に提起したものと似ている が、ガリレオはこの問題を明示的に解いておらず、微積分に基づく方法も使用していない。 [3] ベルヌーイは変分法ではなく、プロセスにおける最小時間の原理を使用してこの問題を解きました。 1697年、ニュートンは変分法を用いてこの問題を解き、その結果、2つの問題に関する研究でこの分野を切り開いた。 [4]この問題はすぐに ヤコブ・ベルヌーイ とロピタル 侯爵 の注目を集めた が、 1733年に初めてこのテーマを詳細化したのは レオンハルト・オイラーであった。 ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは オイラーの研究に影響を受け、この理論に大きく貢献した。1755年に19歳のラグランジュの研究を見たオイラーは、自身の部分的に幾何学的なアプローチを放棄し、ラグランジュの純粋に解析的なアプローチを採用し、 1756年の講義「 変分 法原論」 でこのテーマを変分法と改名した。 [7] [8] [b]
アドリエン＝マリー・ルジャンドル （1786）は、最大値と最小値の判別法を確立しましたが、完全には満足できるものではありませんでした。 アイザック・ニュートン と ゴットフリート・ライプニッツ も、この主題に早くから関心を寄せていました。 [9] この判別法に関しては、 ヴィンチェンツォ・ブルナッチ （1810）、 カール・フリードリヒ・ガウス （1829）、 シメオン・ポアソン （1831）、 ミハイル・オストログラツキー （1834）、 カール・ヤコビ （1837）などが貢献しました。重要な一般論としては、 ピエール・フレデリック・サルス（1842）の著作があり、これは オーギュスタン＝ルイ・コーシー （1844）によって要約・改良されました。その他、 シュトラウフ （ どの著作でしょうか？ ）によって貴重な論文や回想録が執筆されています。 ] (1849)、 ジョン・ヒューイット・ジェレット (1850)、 オットー・ヘッセ (1857)、 アルフレッド・クレプシュ (1858)、ルイス・バフェット・カール (1885) らが理論の先駆者であったが、おそらくこの世紀の最も重要な業績は カール・ヴァイエルシュトラス によるものである。彼の理論に関する著名な講義は画期的なものであり、彼が初めてこの理論を確固とした、疑いの余地のない基盤の上に置いたと言えるだろう。 1900年に発表された 20番目 と 23番目の ヒルベルト問題は、 さらなる発展を促した。 [9]
20世紀には、 デイヴィッド・ヒルベルト 、 オスカー・ボルザ 、 ギルバート・エイムズ・ブリス 、 エミー・ネーター 、 レオニーダ・トネッリ、 アンリ・ルベーグ 、 ジャック ・アダマール などが重要な貢献を果たしました。 [9] マーストン・モースは 変分法を現在 モース理論 と呼ばれるものに応用しました。 [10] レフ・ポンチャギン 、 ラルフ・ロカフェラー、FHクラークは 最適制御理論 における変分法のための新しい数学的ツールを開発しました 。 [10] リチャード・ベルマン の 動的 計画法は 変分法の代替手段です。 [11] [12] [13] [c]
極値 変分法は、 関数の最大値または最小値（総称して 極値と呼ばれる）を扱う。関数は関数を スカラー に 写像するため、「関数の関数」と表現される。関数は、与えられた定義 域 で定義された 関数空間 の 元に関して極値を持つ 。関数が 関数において極値を持つとは、関数 の任意の小さな近傍において すべてにおいて 同じ 符号 を持つことを意味する。 [d] この関数は 極値 関数または極値関数と呼ばれる 。 [e] 極値は、関数 の任意の小さな近傍においてどこでも を 持つことを意味する。 また、 を持つこと を意味する。連続関数の関数空間において、対応する関数の極値は、連続関数の1次導関数がすべて連続であるかどうかによって、 強い極値 または 弱い極値 と呼ばれる。 [15] y {\displaystyle y} J [ y ] {\displaystyle J[y]} f {\displaystyle f} Δ J = J [ y ] − J [ f ] {\displaystyle \Delta J=J[y]-J[f]} y {\displaystyle y} f . {\displaystyle f.} f {\displaystyle f} J [ f ] {\displaystyle J[f]} Δ J ≤ 0 {\displaystyle \Delta J\leq 0} f , {\displaystyle f,} Δ J ≥ 0 {\displaystyle \Delta J\geq 0}
変分法を適用できる例 - 極小面の発見、測地線の発見、スネルの屈折法則の導出、二重振り子問題を数値的に解く方程式の導出 関数の強い極値と弱い極値はどちらも連続関数の空間を対象としているが、強い極値には、その空間における関数の1次導関数が連続であるという追加の条件がある。したがって、強い極値は弱い極値でもあるが、その 逆は 成り立たない。強い極値を見つけることは弱い極値を見つけることよりも難しい。 [16]弱い極値を見つけるために 必要な条件 の例として、 オイラー・ラグランジュ方程式 が挙げられる 。 [17] [f]
オイラー・ラグランジュ方程式 関数の極値を求めることは、関数の最大値と最小値を求めることに似ています。関数の最大値と最小値は、その導関数がゼロになる点（つまり、ゼロになる点）を見つけることで見つけることができます。関数の極値は、 関数の導関数がゼロになる関数を見つけることで得られます。これは、関連する オイラー・ラグランジュ方程式 を解くことにつながります 。 [g]
機能的な側面を考慮する
J [ y ] = ∫ x 1 x 2 L ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) ) d x , {\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L\left(x,y(x),y'(x)\right)\,dx,}
どこ
x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} は定数で あり 、 y ( x ) {\displaystyle y(x)} 2回連続微分可能であり、 y ′ ( x ) = d y d x , {\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}},} L ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) ) {\displaystyle L\left(x,y(x),y'(x)\right)} は、その引数に関して2回連続微分可能であり 、 x , y , {\displaystyle x,y,} y ′ . {\displaystyle y'.} 関数が で 極小値 を達成し 、 が少なくとも1つの導関数を持ち、端点でゼロとなり 、 0に近い 任意の数に対して となる任意の関数である場合、 J [ y ] {\displaystyle J[y]} f , {\displaystyle f,} η ( x ) {\displaystyle \eta (x)} x 1 {\displaystyle x_{1}} x 2 , {\displaystyle x_{2},} ε {\displaystyle \varepsilon }
J [ f ] ≤ J [ f + ε η ] . {\displaystyle J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,.}
この項は 関数の 変分 と呼ばれ、 [1] [h] で表される。 ε η {\displaystyle \varepsilon \eta } f {\displaystyle f} δ f . {\displaystyle \delta f.}
関数に 代入する と、 結果は関数となる。 f + ε η {\displaystyle f+\varepsilon \eta } y {\displaystyle y} J [ y ] , {\displaystyle J[y],} ε , {\displaystyle \varepsilon ,}
Φ ( ε ) = J [ f + ε η ] . {\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]\,.}
関数は で最小値を持つため、 関数 は で最小値を持ち、 したがって、 [i] J [ y ] {\displaystyle J[y]} y = f {\displaystyle y=f} Φ ( ε ) {\displaystyle \Phi (\varepsilon )} ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0}
Φ ′ ( 0 ) ≡ d Φ d ε | ε = 0 = ∫ x 1 x 2 d L d ε | ε = 0 d x = 0 . {\displaystyle \Phi '(0)\equiv \left.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=0\,.}
とを 関数 ではなく 関数として考えると 、 の 全微分を とると、 L [ x , y , y ′ ] , {\displaystyle L\left[x,y,y'\right],} y = f + ε η {\displaystyle y=f+\varepsilon \eta } y ′ = f ′ + ε η ′ {\displaystyle y'=f'+\varepsilon \eta '} ε {\displaystyle \varepsilon } x , {\displaystyle x,}
d L d ε = ∂ L ∂ y d y d ε + ∂ L ∂ y ′ d y ′ d ε {\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {dy'}{d\varepsilon }}}
そして、なぜなら そして d y d ε = η {\displaystyle {\frac {dy}{d\varepsilon }}=\eta } d y ′ d ε = η ′ , {\displaystyle {\frac {dy'}{d\varepsilon }}=\eta ',}
d L d ε = ∂ L ∂ y η + ∂ L ∂ y ′ η ′ . {\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial y'}}\eta '.}
したがって、
∫ x 1 x 2 d L d ε | ε = 0 d x = ∫ x 1 x 2 ( ∂ L ∂ f η + ∂ L ∂ f ′ η ′ ) d x = ∫ x 1 x 2 ∂ L ∂ f η d x + ∂ L ∂ f ′ η | x 1 x 2 − ∫ x 1 x 2 η d d x ∂ L ∂ f ′ d x = ∫ x 1 x 2 ( ∂ L ∂ f η − η d d x ∂ L ∂ f ′ ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta '\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta \right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx\\\end{aligned}}}
ここで 、 のとき、第2項に 部分積分 を用いています 。2行目の第2項は 、 で 、 定義により となるため、ゼロになります。また、前述のように、方程式の左辺はゼロなので、 L [ x , y , y ′ ] → L [ x , f , f ′ ] {\displaystyle L\left[x,y,y'\right]\to L\left[x,f,f'\right]} ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} η = 0 {\displaystyle \eta =0} x 1 {\displaystyle x_{1}} x 2 {\displaystyle x_{2}}
∫ x 1 x 2 η ( x ) ( ∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ ) d x = 0 . {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta (x)\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx=0\,.}
変分法の基本補題 によれば 、この式が の任意の選択に対して成り立つという事実は 、括弧内の積分関数の部分がゼロであることを意味する。すなわち、 η {\displaystyle \eta }
∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}
これは オイラー・ラグランジュ方程式 と呼ばれる。この方程式の左辺は 関数微分 と呼ばれ、または で 表される。 J [ f ] {\displaystyle J[f]} δ J {\displaystyle \delta J} δ f ( x ) . {\displaystyle \delta f(x).}
一般に、これは 2 次 常微分方程式 を与え、これを解くことで極値関数を得ることができます。 オイラー–ラグランジュ方程式は 極値に対する 必要 条件ですが、十分条件では あり ません。 最小値に対する十分条件は、「変分と最小値に対する十分条件」のセクションで示されています。 f ( x ) . {\displaystyle f(x).} J [ f ] . {\displaystyle J[f].}
例 このプロセスを説明するために、2点を結ぶ最短の曲線である極値関数を求める問題を考えてみましょう。 曲線 の 弧の長さは次のように与えられ ます 。 y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x),} ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)} ( x 2 , y 2 ) . {\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right).}
A [ y ] = ∫ x 1 x 2 1 + [ y ′ ( x ) ] 2 d x , {\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}
と
y ′ ( x ) = d y d x , y 1 = f ( x 1 ) , y 2 = f ( x 2 ) . {\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.}
yが x の関数である と仮定すると 一般性が失われることに注意してください。理想的には、両方とも他のパラメータの関数であるべきです。このアプローチは、教育目的にのみ有効です。
オイラー・ラグランジュ方程式は、 関数を最小化する極値関数を求めるために用いられる。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} A [ y ] . {\displaystyle A[y].}
∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}
と
L = 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 . {\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}
オイラー・ラグランジュ方程式の最初の項 には明示的に現れない ので、すべての場合においてゼロとなり 、したがって、 f {\displaystyle f} L , {\displaystyle L,} f ( x ) {\displaystyle f(x)}
d d x ∂ L ∂ f ′ = 0 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.}
を代入し て導関数をとると、 L {\displaystyle L}
d d x f ′ ( x ) 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 = 0 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.}
したがって
f ′ ( x ) 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 = c , {\displaystyle {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,}
ある定数に対して 。すると c {\displaystyle c}
[ f ′ ( x ) ] 2 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 = c 2 , {\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}
どこ
0 ≤ c 2 < 1. {\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}
解決すると、
[ f ′ ( x ) ] 2 = c 2 1 − c 2 {\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}
これは、
f ′ ( x ) = m {\displaystyle f'(x)=m}
は定数であり、したがって2点を結ぶ最短の 曲線 は ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)} ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}
f ( x ) = m x + b with m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 and b = x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 − x 1 {\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}
そして、関数を最小化する 極値関数を見つけました。つまり 、関数 が最小値となります。直線の方程式は、 つまり、2点間の最短距離は直線です。 [j] f ( x ) {\displaystyle f(x)} A [ y ] {\displaystyle A[y]} A [ f ] {\displaystyle A[f]} y = m x + b . {\displaystyle y=mx+b.}
ベルトラミの正体 物理学の問題では、積分関数がと 関数である にもかかわらず、独立に現れない という状況が起こり得る。その場合、オイラー・ラグランジュ方程式は ベルトラミ恒等式 [20] に簡略化できる。 ∂ L ∂ x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0,} f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} x {\displaystyle x}
L − f ′ ∂ L ∂ f ′ = C , {\displaystyle L-f'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\,,}
ここで 定数である。左辺は ルジャンドル 変換 である。 C {\displaystyle C} L {\displaystyle L} f ′ ( x ) . {\displaystyle f'(x).}
この結果の背後にある直感は、変数が 実際に時間である場合、この記述は ラグランジアンが時間に依存しないことを意味するというものです。 ノイマンの定理 によれば、関連する保存量があります。この場合、この量はハミルトニアン、つまりラグランジアンのルジャンドル変換であり、これは（しばしば）系のエネルギーと一致します。これはベルトラミ恒等式における定数（を引いた値）です。 x {\displaystyle x} ∂ L ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}
オイラー・ポアソン方程式 が の高階微分に依存する 場合 、つまり、 S {\displaystyle S} y ( x ) {\displaystyle y(x)}
S = ∫ a b f ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) , … , y ( n ) ( x ) ) d x , {\displaystyle S=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x),\dots ,y^{(n)}(x))dx,}
は オイラー・ ポアソン 方程式を満たす必要がある。 [21] y {\displaystyle y}
∂ f ∂ y − d d x ( ∂ f ∂ y ′ ) + ⋯ + ( − 1 ) n d n d x n [ ∂ f ∂ y ( n ) ] = 0. {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+\dots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}
デュボア＝レーモンの定理 これまでの議論では、極値関数は2つの連続導関数を持つと仮定してきたが、積分の存在には 試行関数の1次導関数のみが必要である。1次変分が極値でゼロになるという条件は、オイラー・ラグランジュ方程式の 弱形式 とみなすことができる。デュボア＝レーモンの定理は、この弱形式が強形式を導くことを主張している。 がすべての引数に関して連続な1次および2次導関数を持ち、かつ J {\displaystyle J} L {\displaystyle L}
∂ 2 L ∂ f ′ 2 ≠ 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}}\neq 0,}
すると、 2つの連続導関数を持ち、オイラー・ラグランジュ方程式を満たします。 f {\displaystyle f}
ラヴレンチェフ現象 ヒルベルトは、オイラー・ラグランジュ方程式が定常解を与えるための良好な条件を初めて示した人物である。凸領域と正三回微分可能なラグランジアンの内部では、解は境界に沿うか、内部でオイラー・ラグランジュ方程式を満たす可算な断面の集合から構成される。
しかし、 1926年に ラヴレンチェフは 、最適解は存在しないものの、セクション数を増やすことで最適解に任意に近づくことができる状況があることを示した。ラヴレンチェフ現象とは、最小化問題の最小値が、許容関数のクラスによって異なることを特定するものである。例えば、1934年にマニアが提示した以下の問題はその例である。 [22]
L [ x ] = ∫ 0 1 ( x 3 − t ) 2 x ′ 6 , {\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},}
A = { x ∈ W 1 , 1 ( 0 , 1 ) : x ( 0 ) = 0 , x ( 1 ) = 1 } . {\displaystyle {A}=\{x\in W^{1,1}(0,1):x(0)=0,\ x(1)=1\}.}
明らかに、 関数は最小化されますが、どの関数も 下限から離れた制限された値を与えることがわかります。 x ( t ) = t 1 3 {\displaystyle x(t)=t^{\frac {1}{3}}} x ∈ W 1 , ∞ {\displaystyle x\in W^{1,\infty }}
例（1次元）は伝統的に、およびにわたって現れます が、 BallとMizel [23] は、および に対して Lavrentievの現象を示す最初の関数を取得しました。 現象が発生しない基準を与える結果はいくつかあります。たとえば、「標準的な成長」、2番目の変数に依存しないラグランジアン、またはCesariの条件（D）を満たす近似シーケンスですが、結果は多くの場合特殊であり、関数の小さなクラスに適用できます。 W 1 , 1 {\displaystyle W^{1,1}} W 1 , ∞ , {\displaystyle W^{1,\infty },} W 1 , p {\displaystyle W^{1,p}} W 1 , q {\displaystyle W^{1,q}} 1 ≤ p < q < ∞ . {\displaystyle 1\leq p<q<\infty .}
ラヴレンチェフ現象と関連しているのは反発の性質である。ラヴレンチェフ現象を示す関数はどれも弱い反発の性質を示す。 [24]
多変数関数 例えば、平面 内での ドメイン上の膜の変位を表す場合 、その位置エネルギーはその表面積に比例します。 φ ( x , y ) {\displaystyle \varphi (x,y)} D {\displaystyle D} x , y {\displaystyle x,y}
U [ φ ] = ∬ D 1 + ∇ φ ⋅ ∇ φ d x d y . {\displaystyle U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.}
プラトー問題は 、 の境界上で所定の値を仮定しながら、表面積を最小化する関数を求める問題である。この解は 極小面 と呼ばれる 。この問題に対するオイラー・ラグランジュ方程式は非線形である。 D {\displaystyle D}
φ x x ( 1 + φ y 2 ) + φ y y ( 1 + φ x 2 ) − 2 φ x φ y φ x y = 0. {\displaystyle \varphi _{xx}(1+\varphi _{y}^{2})+\varphi _{yy}(1+\varphi _{x}^{2})-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}
詳細についてはCourant（1950）を参照。
ディリクレの原理 膜の小さな変位のみを考慮するだけで十分な場合が多く、変位がない場合のエネルギー差は次のように近似できる。
V [ φ ] = 1 2 ∬ D ∇ φ ⋅ ∇ φ d x d y . {\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.}
関数は 、 の境界上で所定の値を仮定する すべての試行関数の中で最小化される 。 が最小化関数であり、 が の境界上でゼロとなる任意の滑らかな関数である場合 、 の最初の変分は ゼロでなければならない。 V {\displaystyle V} φ {\displaystyle \varphi } D {\displaystyle D} u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} D {\displaystyle D} V [ u + ε v ] {\displaystyle V[u+\varepsilon v]}
d d ε V [ u + ε v ] | ε = 0 = ∬ D ∇ u ⋅ ∇ v d x d y = 0. {\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.}
が2つの導関数を持つと仮定すると 、発散定理を適用して u {\displaystyle u}
∬ D ∇ ⋅ ( v ∇ u ) d x d y = ∬ D ∇ u ⋅ ∇ v + v ∇ ⋅ ∇ u d x d y = ∫ C v ∂ u ∂ n d s , {\displaystyle \iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}
ここで は の境界であり 、 は に沿った弧長であり 、 は における の法線微分である。 は で消え 、最初の変分は消えるので、結果は次のようになる 。 C {\displaystyle C} D , {\displaystyle D,} s {\displaystyle s} C {\displaystyle C} ∂ u / ∂ n {\displaystyle \partial u/\partial n} u {\displaystyle u} C . {\displaystyle C.} v {\displaystyle v} C {\displaystyle C}
∬ D v ∇ ⋅ ∇ u d x d y = 0 {\displaystyle \iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0}
の境界で消える すべての滑らかな関数に対して成り立つ 。1次元積分の場合の証明をこの場合に適用すると、次のようになる。 v {\displaystyle v} D {\displaystyle D}
∇ ⋅ ∇ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=0} で D . {\displaystyle D.}
この推論の難しさは、最小化関数が必ず2つの導関数を持つという仮定にある 。リーマンは、滑らかな最小化関数の存在は、物理的問題との関連によって保証されると主張した。膜は確かに最小の位置エネルギーを持つ配置をとる。リーマンはこの考えを、 師である ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレに敬意を表して ディリクレ原理 と名付けた。しかし、ワイエルシュトラスは解のない変分問題の例を示した。最小化 u {\displaystyle u}
W [ φ ] = ∫ − 1 1 ( x φ ′ ) 2 d x {\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx}
を満たす すべての関数の中で 、 原点の小さな近傍において-1と1の間を遷移する区分線形関数を選択することで、任意の大きさに小さくすることができます。しかし、 [k]を満たす関数は存在しません。最終的にディリクレの原理は有効であることが示されましたが、 楕円型偏微分方程式 の正則性理論の高度な適用が必要です 。Jost and Li–Jost (1998)を参照してください。 φ {\displaystyle \varphi } φ ( − 1 ) = − 1 {\displaystyle \varphi (-1)=-1} φ ( 1 ) = 1. {\displaystyle \varphi (1)=1.} W {\displaystyle W} W = 0. {\displaystyle W=0.}
他の境界値問題への一般化 膜の位置エネルギーのより一般的な表現は
V [ φ ] = ∬ D [ 1 2 ∇ φ ⋅ ∇ φ + f ( x , y ) φ ] d x d y + ∫ C [ 1 2 σ ( s ) φ 2 + g ( s ) φ ] d s . {\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.}
これは、境界上の 外力 における 外力密度と、係数 が に作用する 弾性力に対応する。 境界値に制約を与えずに ポテンシャルエネルギーを最小化する関数 は と表記される 。 と が 連続であれば、正則性理論によれば、最小化関数 は2つの導関数を持つ。最初の変分をとる際には、増分 に境界条件を課す必要はない 。 の最初の変分は 次のように与えられる
。 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} D , {\displaystyle D,} g ( s ) {\displaystyle g(s)} C , {\displaystyle C,} σ ( s ) {\displaystyle \sigma (s)} C {\displaystyle C} u {\displaystyle u} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} V [ u + ε v ] {\displaystyle V[u+\varepsilon v]}
∬ D [ ∇ u ⋅ ∇ v + f v ] d x d y + ∫ C [ σ u v + g v ] d s = 0. {\displaystyle \iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.}
発散定理を適用すると、結果は次のようになる。
∬ D [ − v ∇ ⋅ ∇ u + v f ] d x d y + ∫ C v [ ∂ u ∂ n + σ u + g ] d s = 0. {\displaystyle \iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.}
まず 境界積分をゼロとすると、前と同じよう に v = 0 {\displaystyle v=0} C , {\displaystyle C,}
− ∇ ⋅ ∇ u + f = 0 {\displaystyle -\nabla \cdot \nabla u+f=0}
で 。 任意の境界値を仮定できるとすると、 境界条件を満たす必要がある
ことを意味する。 D {\displaystyle D} v {\displaystyle v} u {\displaystyle u}
∂ u ∂ n + σ u + g = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,}
について 。この境界条件は の最小化特性の帰結であり 、事前に課されるものではない。このような条件は 自然境界条件 と呼ばれる。 C {\displaystyle C} u {\displaystyle u}
がで完全に消滅する 場合には、前述の推論は成り立ちません。このような場合、 が定数で ある 試行関数 を許容することができます 。このような試行関数の場合、 σ {\displaystyle \sigma } C . {\displaystyle C.} φ ≡ c {\displaystyle \varphi \equiv c} c {\displaystyle c}
V [ c ] = c [ ∬ D f d x d y + ∫ C g d s ] . {\displaystyle V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].}
を適切に選ぶことで 、 括弧内の量がゼロでない限り、任意の値を取ることができる。したがって、変分問題は、 c {\displaystyle c} V {\displaystyle V}
∬ D f d x d y + ∫ C g d s = 0. {\displaystyle \iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.}
この条件は、系に作用する正味の外力が平衡状態にあることを意味する。これらの力が平衡状態にある場合、変分問題は解を持つが、任意の定数を加えることができるため、その解は一意ではない。より詳細な説明と例はCourant and Hilbert (1953) に記載されている。
固有値問題 1 次元および多次元の 固有値問題は どちらも変分問題として定式化できます。
シュトゥルム・リウヴィル問題 シュトゥルム・リウヴィルの 固有値問題は、 一般的な二次形式を伴う。
Q [ y ] = ∫ x 1 x 2 [ p ( x ) y ′ ( x ) 2 + q ( x ) y ( x ) 2 ] d x , {\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx,}
ここで 、境界条件を満たす関数に制限される。 y {\displaystyle y}
y ( x 1 ) = 0 , y ( x 2 ) = 0. {\displaystyle y(x_{1})=0,\quad y(x_{2})=0.}
を正規化積分と する R {\displaystyle R}
R [ y ] = ∫ x 1 x 2 r ( x ) y ( x ) 2 d x . {\displaystyle R[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)y(x)^{2}\,dx.}
関数と は、 いずれの関数も正で、かつ0から離れた有界であることが要求される。主要な変分問題は、 端点条件を満たす すべての関数の比を最小化することであり、これは定数 という制約の下でを最小化することと同値である 。以下に示すように、 を最小化するオイラー・ラグランジュ方程式は次のように なる。 p ( x ) {\displaystyle p(x)} r ( x ) {\displaystyle r(x)} Q / R {\displaystyle Q/R} y {\displaystyle y} Q [ y ] {\displaystyle Q[y]} R [ y ] {\displaystyle R[y]} u {\displaystyle u}
− ( p u ′ ) ′ + q u − λ r u = 0 , {\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0,}
商は どこにありますか λ {\displaystyle \lambda }
λ = Q [ u ] R [ u ] . {\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}
最小化関数は2つの導関数を持ち、オイラー・ラグランジュ方程式を満たすこと が示されます（Gelfand and Fomin 1963を参照） 。関連する は で表されます 。これは、この方程式と境界条件における最小の固有値です。関連する最小化関数は で表されます 。この固有値の変分的特徴付けから、 レイリー・リッツ法が導き出されます。レイリー・リッツ法 では、近似する を 基底関数（例えば三角関数）の線形結合として選択し、そのような線形結合の間で有限次元の最小化を実行します。この方法は、驚くほど正確であることがよくあります。 u {\displaystyle u} λ {\displaystyle \lambda } λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} u 1 ( x ) {\displaystyle u_{1}(x)} u {\displaystyle u}
次に小さい固有値と固有関数は、 追加の制約の下で
最小化することによって得られる。 Q {\displaystyle Q}
∫ x 1 x 2 r ( x ) u 1 ( x ) y ( x ) d x = 0. {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)y(x)\,dx=0.}
この手順を拡張すると、問題の固有値と固有関数の完全なシーケンスを取得できます。
変分問題はより一般的な境界条件にも適用できる。 端点でゼロになることを要求する代わりに、端点にはいかなる条件も課さず、 y {\displaystyle y}
Q [ y ] = ∫ x 1 x 2 [ p ( x ) y ′ ( x ) 2 + q ( x ) y ( x ) 2 ] d x + a 1 y ( x 1 ) 2 + a 2 y ( x 2 ) 2 , {\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx+a_{1}y(x_{1})^{2}+a_{2}y(x_{2})^{2},}
ここで 、と は任意である。 とおくと 、比の最初の変化 は a 1 {\displaystyle a_{1}} a 2 {\displaystyle a_{2}} y = u + ε v {\displaystyle y=u+\varepsilon v} Q / R {\displaystyle Q/R}
V 1 = 2 R [ u ] ( ∫ x 1 x 2 [ p ( x ) u ′ ( x ) v ′ ( x ) + q ( x ) u ( x ) v ( x ) − λ r ( x ) u ( x ) v ( x ) ] d x + a 1 u ( x 1 ) v ( x 1 ) + a 2 u ( x 2 ) v ( x 2 ) ) , {\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),}
ここで 、は前述のように比で与えられます 。部分積分後、 λ {\displaystyle \lambda } Q [ u ] / R [ u ] {\displaystyle Q[u]/R[u]}
R [ u ] 2 V 1 = ∫ x 1 x 2 v ( x ) [ − ( p u ′ ) ′ + q u − λ r u ] d x + v ( x 1 ) [ − p ( x 1 ) u ′ ( x 1 ) + a 1 u ( x 1 ) ] + v ( x 2 ) [ p ( x 2 ) u ′ ( x 2 ) + a 2 u ( x 2 ) ] . {\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].}
端点で消える ことを最初に要求すると、最初のバリエーションは 、 v {\displaystyle v} v {\displaystyle v}
− ( p u ′ ) ′ + q u − λ r u = 0 for x 1 < x < x 2 . {\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.}
この条件を満たす場合 、最初の変分は任意の 場合にのみ
消えます。 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}
− p ( x 1 ) u ′ ( x 1 ) + a 1 u ( x 1 ) = 0 , and p ( x 2 ) u ′ ( x 2 ) + a 2 u ( x 2 ) = 0. {\displaystyle -p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.}
後者の条件は、最小化のための試行関数に課されるものではなく、最小化の結果であるため、この問題の 自然な境界条件 です。
多次元における固有値問題 高次元における固有値問題は、1次元の場合と同様に定義される。例えば、 3次元の 境界を持つ領域が与えられた場合 、次のように定義できる。 D {\displaystyle D} B {\displaystyle B}
Q [ φ ] = ∭ D p ( X ) ∇ φ ⋅ ∇ φ + q ( X ) φ 2 d x d y d z + ∬ B σ ( S ) φ 2 d S , {\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,}
そして
R [ φ ] = ∭ D r ( X ) φ ( X ) 2 d x d y d z . {\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.}
を境界に条件を規定せずに 商を最小化する関数とする 。 が満たすオイラー・ラグランジュ方程式 は u {\displaystyle u} Q [ φ ] / R [ φ ] {\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ]} B . {\displaystyle B.} u {\displaystyle u}
− ∇ ⋅ ( p ( X ) ∇ u ) + q ( x ) u − λ r ( x ) u = 0 , {\displaystyle -\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,}
どこ
λ = Q [ u ] R [ u ] . {\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}
最小化は 自然境界条件も満たす必要がある u {\displaystyle u}
p ( S ) ∂ u ∂ n + σ ( S ) u = 0 , {\displaystyle p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,}
境界上で この結果は楕円型偏微分方程式の正則性理論に依存します。詳細はJost and Li–Jost (1998)を参照してください。完全性の結果、固有値の漸近的性質、固有関数のノードに関する結果など、多くの拡張はCourant and Hilbert (1953)に記載されています。 B . {\displaystyle B.}
アプリケーション
光学 フェルマーの原理は 、光は（局所的に）その端点間の光学距離を最小にする経路をとることを述べています。 経路に沿ったパラメータとして -座標を選択し、 経路に沿ったパラメータとして -座標を選択した場合、光学距離は次のように与えられます。 x {\displaystyle x} y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}
A [ f ] = ∫ x 0 x 1 n ( x , f ( x ) ) 1 + f ′ ( x ) 2 d x , {\displaystyle A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,}
ここで屈折率は 物質に依存する。 （ の に関する 微分 ） の 第 一変分は次のようになる。 n ( x , y ) {\displaystyle n(x,y)} f ( x ) = f 0 ( x ) + ε f 1 ( x ) {\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} ε {\displaystyle \varepsilon }
δ A [ f 0 , f 1 ] = ∫ x 0 x 1 [ n ( x , f 0 ) f 0 ′ ( x ) f 1 ′ ( x ) 1 + f 0 ′ ( x ) 2 + n y ( x , f 0 ) f 1 1 + f 0 ′ ( x ) 2 ] d x . {\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}
括弧内の第1項の部分を積分すると、オイラー・ラグランジュ方程式が得られる。
− d d x [ n ( x , f 0 ) f 0 ′ 1 + f 0 ′ 2 ] + n y ( x , f 0 ) 1 + f 0 ′ ( x ) 2 = 0. {\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.}
この方程式を積分することで光線を決定することができる。この形式は ラグランジュ光学 と ハミルトン光学 の文脈で用いられる。
スネルの法則 光がレンズに入るとき、あるいはレンズから出るときに屈折率の不連続性が生じます。
n ( x , y ) = { n ( − ) if x < 0 , n ( + ) if x > 0 , {\displaystyle n(x,y)={\begin{cases}n_{(-)}&{\text{if}}\quad x<0,\\n_{(+)}&{\text{if}}\quad x>0,\end{cases}}}
ここで 、およびは定数である。すると 、または の領域ではオイラー・ラグランジュ方程式は前述と同様に成立し 、屈折率が一定であるため、実際にはそこでは経路は直線となる。 では 、 は連続でなければならないが、 不連続であってもよい。個々の領域で部分積分し、オイラー・ラグランジュ方程式を用いると、最初の変分は次のようになる。 n ( − ) {\displaystyle n_{(-)}} n ( + ) {\displaystyle n_{(+)}} x < 0 {\displaystyle x<0} x > 0 {\displaystyle x>0} x = 0 {\displaystyle x=0} f {\displaystyle f} f ′ {\displaystyle f'}
δ A [ f 0 , f 1 ] = f 1 ( 0 ) [ n ( − ) f 0 ′ ( 0 − ) 1 + f 0 ′ ( 0 − ) 2 − n ( + ) f 0 ′ ( 0 + ) 1 + f 0 ′ ( 0 + ) 2 ] . {\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\right].}
乗じる係数は 入射光線と軸のなす角度の正弦であり 、乗じる係数は 屈折光線と軸のなす角度の正弦です 。 屈折に関する スネルの法則 では、これらの項は等しくなければなりません。この計算が示すように、スネルの法則は光路長の最初の変化がゼロになることと等価です。 n ( − ) {\displaystyle n_{(-)}} x {\displaystyle x} n ( + ) {\displaystyle n_{(+)}} x {\displaystyle x}
3次元におけるフェルマーの原理 ベクトル表記を用いるのが便利である。 をパラメータとし、 を 曲線 の媒介変数表現とし 、 を その接線ベクトルとする。曲線の光学的長さは次のように与えられる。 X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) , {\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}),} t {\displaystyle t} X ( t ) {\displaystyle X(t)} C , {\displaystyle C,} X ˙ ( t ) {\displaystyle {\dot {X}}(t)}
A [ C ] = ∫ t 0 t 1 n ( X ) X ˙ ⋅ X ˙ d t . {\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,dt.}
この積分は、媒介変数表現の変化に対して不変であることに注意する。 最小化曲線のオイラー・ラグランジュ方程式は対称形を持つ。 C . {\displaystyle C.}
d d t P = X ˙ ⋅ X ˙ ∇ n , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,\nabla n,}
どこ
P = n ( X ) X ˙ X ˙ ⋅ X ˙ . {\displaystyle P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}.}
これは定義から次の式を満たす 。 P {\displaystyle P}
P ⋅ P = n ( X ) 2 . {\displaystyle P\cdot P=n(X)^{2}.}
したがって、積分は次のようにも書ける。
A [ C ] = ∫ t 0 t 1 P ⋅ X ˙ d t . {\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.}
この形式は、勾配が で与えられる 関数を見つけることができれば、 積分は積分区間の両端における の差で与えられることを示唆しています 。したがって、積分を定常とする曲線を調べる問題は、 の水平面を調べることと関連しています。このような関数を見つけるために、光の伝播を支配する波動方程式を用います。この形式は 、ラグランジュ光学 と ハミルトン光学 の文脈で用いられます 。 ψ {\displaystyle \psi } P , {\displaystyle P,} A {\displaystyle A} ψ {\displaystyle \psi } ψ {\displaystyle \psi }
波動方程式との関連 不均質媒質の 波動 方程式は
u t t = c 2 ∇ ⋅ ∇ u , {\displaystyle u_{tt}=c^{2}\nabla \cdot \nabla u,}
ここで は速度であり、一般に に依存する 。光の波面はこの偏微分方程式の特性面であり、 c {\displaystyle c} X {\displaystyle X}
φ t 2 = c ( X ) 2 ∇ φ ⋅ ∇ φ . {\displaystyle \varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\,\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi .}
私たちは次のような形で解決策を探すかもしれません
φ ( t , X ) = t − ψ ( X ) . {\displaystyle \varphi (t,X)=t-\psi (X).}
その場合 、 ψ {\displaystyle \psi }
∇ ψ ⋅ ∇ ψ = n 2 , {\displaystyle \nabla \psi \cdot \nabla \psi =n^{2},}
ここで 、 1階偏微分方程式 の理論によれ ば 、 n = 1 / c {\displaystyle n=1/c} P = ∇ ψ , {\displaystyle P=\nabla \psi ,} P {\displaystyle P}
d P d s = n ∇ n , {\displaystyle {\frac {dP}{ds}}=n\,\nabla n,}
次式で表される
曲線（ 光線 ）の系に沿って
d X d s = P . {\displaystyle {\frac {dX}{ds}}=P.}
これらの一階偏微分方程式の解の方程式は、次のように同定すればオイラー・ラグランジュ方程式と同一である。
d s d t = X ˙ ⋅ X ˙ n . {\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}{n}}.}
関数は、 上端点の関数としての 最小積分値であると結論付けられる。つまり、最小化曲線の族が構成されると、光学長の値は波動方程式に対応する特性方程式を満たす。したがって、関連する一次偏微分方程式を解くことは、変分問題の解の族を見つけることと同義である。これは ハミルトン・ヤコビ理論 の本質的な内容であり、より一般的な変分問題にも適用される。 ψ {\displaystyle \psi } A {\displaystyle A}
力学 古典力学では、作用は ラグランジアンの時間積分として定義される 。ラグランジアンはエネルギーの差である。 S , {\displaystyle S,} L {\displaystyle L}
L = T − U , {\displaystyle L=T-U,}
ここで 、は 機械系の 運動エネルギー であり、その 位置エネルギーである 。 ハミルトンの原理 （または作用原理）は、保存的ホロノミック（積分可能な制約）機械系の運動は、作用積分が T {\displaystyle T} U {\displaystyle U}
S = ∫ t 0 t 1 L ( x , x ˙ , t ) d t {\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt}
は経路の変化に対して定常である 。この系のオイラー・ラグランジュ方程式はラグランジュ方程式として知られている。 x ( t ) {\displaystyle x(t)}
d d t ∂ L ∂ x ˙ = ∂ L ∂ x , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},}
そしてそれらはニュートンの運動方程式と同等である（そのようなシステムの場合）。
共役運動量 は次のように定義される。 P {\displaystyle P}
p = ∂ L ∂ x ˙ . {\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.}
例えば、
T = 1 2 m x ˙ 2 , {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},}
それから p = m x ˙ . {\displaystyle p=m{\dot {x}}.}
ハミルトン力学は 、共役運動量をルジャンドル変換によってラグランジアンからハミルトンに変換することで導入した場合に 得 られる 。 x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} L {\displaystyle L} H {\displaystyle H}
H ( x , p , t ) = p x ˙ − L ( x , x ˙ , t ) . {\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).}
ハミルトニアンは系の全エネルギーである： 。フェルマーの原理との類似性から、ラグランジュ方程式（粒子の軌道）の解は のある関数の平面で記述できることが示唆される。この関数は ハミルトン・ヤコビ方程式 の解である ： H = T + U {\displaystyle H=T+U} X {\displaystyle X}
∂ ψ ∂ t + H ( x , ∂ ψ ∂ x , t ) = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.}
さらなる応用 変分法のさらなる応用としては次のようなものがあります。
変動と最小値のための十分条件 変分法は、関数の変分、すなわち、引数となる関数の小さな変化に伴う関数の値の小さな変化を扱う。 最初の変分 [l] は関数の変化の線形部分として定義され、 2番目の変分 [m] は二次部分として定義される。 [26]
例えば、 関数 を引数とする関数 があり、その引数 が から にわずかに変化する場合（ は と同じ関数空間内の関数）に は 、 関数 の対応する変化は [n]です。 J [ y ] {\displaystyle J[y]} y = y ( x ) {\displaystyle y=y(x)} y {\displaystyle y} y + h , {\displaystyle y+h,} h = h ( x ) {\displaystyle h=h(x)} y {\displaystyle y}
Δ J [ h ] = J [ y + h ] − J [ y ] . {\displaystyle \Delta J[h]=J[y+h]-J[y].}
関数が 微分可能 であるとは次 の場合である。 J [ y ] {\displaystyle J[y]}
Δ J [ h ] = φ [ h ] + ε ‖ h ‖ , {\displaystyle \Delta J[h]=\varphi [h]+\varepsilon \|h\|,}
ここで は線形関数、 [o]は [p] のノルムであり 、 は 線形関数 の最初の変分であり、 [30] で表される。 φ [ h ] {\displaystyle \varphi [h]} ‖ h ‖ {\displaystyle \|h\|} h , {\displaystyle h,} ε → 0 {\displaystyle \varepsilon \to 0} ‖ h ‖ → 0. {\displaystyle \|h\|\to 0.} φ [ h ] {\displaystyle \varphi [h]} J [ y ] {\displaystyle J[y]}
δ J [ h ] = φ [ h ] . {\displaystyle \delta J[h]=\varphi [h].}
この関数が 2回微分可能 であるとは次の 場合である。 J [ y ] {\displaystyle J[y]}
Δ J [ h ] = φ 1 [ h ] + φ 2 [ h ] + ε ‖ h ‖ 2 , {\displaystyle \Delta J[h]=\varphi _{1}[h]+\varphi _{2}[h]+\varepsilon \|h\|^{2},}
ここで は線形関数（第1変分）であり、 は2次関数、 [q] であり、 2次関数 は の2番目の変分であり 、 [32] で表される。 φ 1 [ h ] {\displaystyle \varphi _{1}[h]} φ 2 [ h ] {\displaystyle \varphi _{2}[h]} ε → 0 {\displaystyle \varepsilon \to 0} ‖ h ‖ → 0. {\displaystyle \|h\|\to 0.} φ 2 [ h ] {\displaystyle \varphi _{2}[h]} J [ y ] {\displaystyle J[y]}
δ 2 J [ h ] = φ 2 [ h ] . {\displaystyle \delta ^{2}J[h]=\varphi _{2}[h].}
2番目の変異は、以下 の場合、 強く陽性 であると言われる。 δ 2 J [ h ] {\displaystyle \delta ^{2}J[h]}
δ 2 J [ h ] ≥ k ‖ h ‖ 2 , {\displaystyle \delta ^{2}J[h]\geq k\|h\|^{2},}
すべて とある定数に対して 。 [33] h {\displaystyle h} k > 0 {\displaystyle k>0}
上記の定義、特に第 1 変分、第 2 変分、および強正の定義を使用すると、関数の最小値に対する次の十分条件を述べることができます。
参照
注記 ^ 初等微積分学は関数自体に変化を与えることなく関数の値に 微小 な変化を与えることについて学んでいる のに対し 、変分法は関数自体に微小な変化を与えることについて学んでおり、この変化を変分法と呼びます。 [1] ^ 「オイラーはラグランジュが1762年にこのテーマについて論文を発表するまで待った…講義を印刷に回したのは、ラグランジュの栄光を奪うことを避けるためだった。実際、オイラーが変分法と呼んだのはラグランジュの方法だけだった。」 [7] ^ Harold J. Kushner (2004) を参照 ：動的計画法に関しては、「変分法には関連する考え方（例えば、カラテオドリーの研究、ハミルトン・ヤコビ方程式）があった。これが変分法コミュニティとの対立につながった。」 ^ の近傍は、 関数の定義域全体にわたって 与えられた関数空間の一部であり、 近傍の大きさを指定する正の数を伴う。 [14] f {\displaystyle f} | y − f | < h {\displaystyle |y-f|<h} h {\displaystyle h} ^ 「極値」と「極値」という用語の違いに注意してください。極値とは、関数を極値にする関数のことです。 ^ 十分な条件については、「バリエーションと最小値のための十分な条件」のセクションを参照してください。 ^ 以下のオイラー・ラグランジュ方程式の導出は、Courant & Hilbert (1953)の184-185ページの導出に対応する。 [18] ^ およびは と 同じ 値 で評価されること に注意してください 。ただし、 は非ホロノミック制約を伴う変分計算では一般には有効ではありません。 η ( x ) {\displaystyle \eta (x)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x , {\displaystyle x,} ^ この積は 関数の第一変分と呼ばれ 、次のように表されます。 参考文献によっては、因数 を省略して 第一変分を 異なる方法で定義しているものもあります。 ε Φ ′ ( 0 ) {\displaystyle \varepsilon \Phi '(0)} J {\displaystyle J} δ J . {\displaystyle \delta J.} ε {\displaystyle \varepsilon } ^歴史上の注意として、これは アルキメデス の公理です 。たとえば、Kelland (1843) を参照してください。 [19] ^ ディリクレ原理の妥当性をめぐる論争はターンブルによって説明されている。 [25] ^ 第 1 変分は、変分、微分、または第 1 微分とも呼ばれます。 ^ 第 2 変分は第 2 微分とも呼ばれます。 ^ および以下の変形は、 との両方に依存することに 注意 。表記を簡略化するために、この引数は 省略されている。例えば、は [27] と書くこともできる。 Δ J [ h ] {\displaystyle \Delta J[h]} y {\displaystyle y} h {\displaystyle h} y {\displaystyle y} Δ J [ h ] {\displaystyle \Delta J[h]} Δ J [ y ; h ] . {\displaystyle \Delta J[y;h].} ^ 関数が 線形で あるとは 、 関数が であり、 が 実数である場合 に言う。 [28] φ [ h ] {\displaystyle \varphi [h]} φ [ α h ] = α φ [ h ] {\displaystyle \varphi [\alpha h]=\alpha \varphi [h]} φ [ h + h 2 ] = φ [ h ] + φ [ h 2 ] , {\displaystyle \varphi \left[h+h_{2}\right]=\varphi [h]+\varphi \left[h_{2}\right],} h , h 2 {\displaystyle h,h_{2}} α {\displaystyle \alpha } ^ に対して定義される 関数（ ここで 、および は実数）の場合、のノルム はその絶対値の最大値、すなわち [29] h = h ( x ) {\displaystyle h=h(x)} a ≤ x ≤ b , {\displaystyle a\leq x\leq b,} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} h {\displaystyle h} ‖ h ‖ = max a ≤ x ≤ b | h ( x ) | . {\displaystyle \|h\|=\displaystyle \max _{a\leq x\leq b}|h(x)|.} ^ 関数が 2つの引数関数が等しい双線型関数である場合、その関数は二次関数と呼ばれます。 双 線型関数 とは、2つの引数関数に依存し、それぞれの引数関数が固定され、もう一方の引数関数が可変である関数のことです。 [31] ^ その他の十分条件については、Gelfand & Fomin 2000を参照。 第 5 章:「第 2 の変化。弱い極値のための十分な条件」 – 弱い最小値のための十分な条件は、116 ページの定理によって与えられます 。 第 6 章:「体。強い極値のための十分条件」 – 強い極小値のための十分条件は、148 ページの定理によって与えられます 。 ^ 関数の最小値を得るための十分条件、つまり 1 次導関数がゼロで 2 次導関数が正である条件との類似性に注目してください。
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外部リンク 変分法。 数学百科事典 。 変分法 。PlanetMath 。 変分法 。MathWorld 。 変分法。例題。 数学 - 変分法と積分方程式。YouTube の 講義 。 測地線場に関する選集。パート I、パート II。
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![{\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da37ace47aa96fb9f7bb2ab64875c1ae197c94d)
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![{\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436e8347174d5ea98ba31ce691689cf70d598e69)
![{\displaystyle U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65891d53af98d0dee996f5bd6909f7db8f08fa41)
![{\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5fa37982d6e486bf05d19685bd103001f1bcc9)
![{\displaystyle V[u+\varepsilon v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84151c1a8a53e0ebb31d489ea0909cadbbc517f)
![{\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c22f0a495e5a395467a558806543e37c2f2ed61)
![{\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff5f49e35c822e07d4da970db4729dab8263eff)
![{\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \右]\,ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9452efb494c89bc53a6a2194317e4c54978f5bf)
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![{\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cdfcac3ee48dad6023c55e7297a743c5ef9889)
![{\displaystyle Q[u]/R[u]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522bcf8ebf03ee79b72a6b806aa2b444cfe7873f)
![{\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f28758653cb2dfbf06daa0b8de1e63b5477d4f)
![{\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499f948dd2593a74a7ecc60cd9ce197afa98ab44)
![{\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0f8d5580e4c0b432d70e62d6807446fdc1eb02)
![{\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9019f6a2c799e12a49b1d064e4f257f64796b38)
![{\displaystyle A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d747b4c15a59e00009e473abfc66b3b9936acd15)
![{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead6cba217489cda24fd7b6a11af8b653686dfea)
![{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ae4e401d54a2b83f9d9a6d90a7f47a74e8401a)
![{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9bf1e6e1e14088ced2d5a07f57a274109f568d)
![{\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017c3bde85ca5d2c7ce32a822fee7887be7196d5)
![{\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62daf8e3e637b6c870e8f6040c1647107d0cb70a)
![{\displaystyle \Delta J[h]=J[y+h]-J[y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afca9e7eaace00269d8f53da567545cbfe304e8)
![{\displaystyle \Delta J[h]=\varphi [h]+\varepsilon \|h\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca90945311853118be3d7908806af2abecd675ad)
![{\displaystyle \varphi [h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5d3706d584b07b7e31c73dc7e551b61cbd070c)
![{\displaystyle \delta J[h]=\varphi [h].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e086282bfcb12974fcd315bdfa87aef8883a47a8)
![{\displaystyle \Delta J[h]=\varphi _{1}[h]+\varphi _{2}[h]+\varepsilon \|h\|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b492256036f0df42630bec1d5a87765d7004234)
![{\displaystyle \varphi _{1}[h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9cc37b1e38b48748a01c440f843fec42f935159)
![{\displaystyle \varphi _{2}[h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27db3575a09ef705e046bae263abc9698a74b00d)
![{\displaystyle \delta ^{2}J[h]=\varphi _{2}[h].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc7c33b0f48efb77cc27310386597b14bfcb27e)
![{\displaystyle \delta ^{2}J[h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944d61992df7a4fed5984ed17aed68924d996211)
![{\displaystyle \delta^{2}J[h]\geq k\|h\|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7e46338000a73f596fb5d2cfd8fe11c98e597b)
![{\displaystyle \delta J[h]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8535a8a97e179e6bf50a8ba4be1361de7ae56380)
![{\displaystyle \Delta J[h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8562696b5d6e0194f03dcd0494b55953256bfeb)
![{\displaystyle \Delta J[y;h].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d235b3497aa764aaf24118331bb67e2b7880a7ce)
![{\displaystyle \varphi [\alpha h]=\alpha \varphi [h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b7de3686c0d7ccfe0eb9e784d7595fd74c991b)
![{\displaystyle \varphi \left[h+h_{2}\right]=\varphi [h]+\varphi \left[h_{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6ab8062990bbd6277a402b28ee2fd48668041e)
