Mathematical identities
以下は ベクトル解析 における微分と積分に関する重要な 恒等式 です。
演算子表記
勾配 3次元 直交座標 変数の関数の場合 、勾配はベクトル場です。 ここで、 i 、 j 、 kは x 、 y 、 z 軸の 標準 単位ベクトル です。より一般的には、 n 変数 の関数 （スカラー 場とも呼ばれます）の場合 、勾配は ベクトル場 です。 ここで、 は互いに直交する単位ベクトルです。 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} grad ( f ) = ∇ f = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k {\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} } ψ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})} ∇ ψ = ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) ψ = ∂ ψ ∂ x 1 e 1 + ⋯ + ∂ ψ ∂ x n e n {\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}} e i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)}
名前が示すように、勾配は関数の最も急速な (正の) 変化に比例し、その方向を指します。
ベクトル場（ 1次のテンソル場とも呼ばれる）の場合、勾配または 全微分は n×n ヤコビ行列 である ： [1] A = ( A 1 , … , A n ) {\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)} J A = d A = ( ∇ A ) T = ( ∂ A i ∂ x j ) i j . {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}
任意の次数 kの テンソル場 の場合 、勾配は次数 k + 1のテンソル場です 。 T {\displaystyle \mathbf {T} } grad ( T ) = d T = ( ∇ T ) T {\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}}
次数 k > 0 のテンソル場の場合、 次数 k + 1 のテンソル場は、 任意の定数ベクトルである 再帰 関係によって定義されます
。 T {\displaystyle \mathbf {T} } ∇ T {\displaystyle \nabla \mathbf {T} } ( ∇ T ) ⋅ C = ∇ ( T ⋅ C ) {\displaystyle (\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )} C {\displaystyle \mathbf {C} }
発散 デカルト座標では、連続的に微分可能な ベクトル場 の発散は スカラー値関数です。 F = F x i + F y j + F z k {\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} } div F = ∇ ⋅ F = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ ( F x , F y , F z ) = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} &={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}},\ {\dfrac {\partial }{\partial y}},\ {\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.\end{aligned}}}
名前が示すように、発散は、フィールド内のベクトルが発散する度合いの (局所的な) 尺度です。
k 次以外の テンソル場 の発散は 、 k − 1次テンソル場の 縮約 として と表される。 具体的には、ベクトルの発散はスカラーである。高次テンソル場の発散は、テンソル場を外積の和に分解し、恒等式を用いることで求められる。 ここ で、 は の 方向への 方向微分 にその大きさを乗じたものである。具体的には、2つのベクトルの外積については、 [2] のように表される。 T {\displaystyle \mathbf {T} } div ( T ) = ∇ ⋅ T {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T} } ∇ ⋅ ( A ⊗ T ) = T ( ∇ ⋅ A ) + ( A ⋅ ∇ ) T {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T} } A ⋅ ∇ {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla } A {\displaystyle \mathbf {A} } ∇ ⋅ ( A B T ) = B ( ∇ ⋅ A ) + ( A ⋅ ∇ ) B . {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .}
k > 1の テンソル場に対して、 k − 1の テンソル場は、 任意の定数ベクトルである 再帰 関係によって定義されます
。 T {\displaystyle \mathbf {T} } ∇ ⋅ T {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} } ( ∇ ⋅ T ) ⋅ C = ∇ ⋅ ( T ⋅ C ) {\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )} C {\displaystyle \mathbf {C} }
カール デカルト座標では、 回転はベクトル場です。 ここで、 i 、 j 、 kはそれぞれ x 軸、 y 軸、 z 軸の 単位ベクトル です 。 F = F x i + F y j + F z k {\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} } curl F = ∇ × F = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) × ( F x , F y , F z ) = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) j + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1em]&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}
名前が示すように、回転は、近くのベクトルが円形の方向にどれだけ傾向があるかを示す尺度です。
アインシュタイン記法 では 、ベクトル場の 回転は次のように表されます。 ここで 、 = ±1 または 0 は、 レヴィ・チヴィタ パリティ記号 です。 F = ( F 1 , F 2 , F 3 ) {\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}} ∇ × F = ε i j k e i ∂ F k ∂ x j {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}} ε {\displaystyle \varepsilon }
次数 k > 1 のテンソル場の場合、 次数 k のテンソル場は、 任意の定数ベクトルである 再帰 関係によって定義されます
。 T {\displaystyle \mathbf {T} } ∇ × T {\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} } ( ∇ × T ) ⋅ C = ∇ × ( T ⋅ C ) {\displaystyle (\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )} C {\displaystyle \mathbf {C} }
1より大きい位数のテンソル体は 外積 の和に分解することができ、その場合次の恒等式が使用できる。 具体的には、2つのベクトルの外積については、 [3] ∇ × ( A ⊗ T ) = ( ∇ × A ) ⊗ T − A × ( ∇ T ) . {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).} ∇ × ( A B T ) = ( ∇ × A ) B T − A × ( ∇ B ) . {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).}
ラプラシアン 直交座標 では 、関数のラプラシアン は f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} Δ f = ∇ 2 f = ( ∇ ⋅ ∇ ) f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}
ラプラシアンは、ある点を中心とした小さな球面上で関数がどれだけ変化するかを表す尺度です。
ラプラシアンが0のとき、関数は 調和関数 と呼ばれる。つまり、 Δ f = 0. {\displaystyle \Delta f=0.}
テンソル場 、 の場合 、ラプラシアンは一般に次のように表されます。 および は同じ次数のテンソル場です。 T {\displaystyle \mathbf {T} } Δ T = ∇ 2 T = ( ∇ ⋅ ∇ ) T {\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} }
次数 k > 0 のテンソル場の場合、 次数 k のテンソル場は、 任意の定数ベクトルである 再帰 関係によって定義されます
。 T {\displaystyle \mathbf {T} } ∇ 2 T {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} } ( ∇ 2 T ) ⋅ C = ∇ 2 ( T ⋅ C ) {\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )} C {\displaystyle \mathbf {C} }
特別な表記 ファインマンの下付き文字表記 では 、 表記∇Bは 下 付き文字の勾配が因子 B のみに作用することを意味する。 [4] [5] [6] ∇ B ( A ⋅ B ) = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }
より一般的だが類似したものとして、 幾何代数学 における ヘステネスの オーバードット記法 がある。 [7] [8] 上記の恒等式は次のように表される： ここで、オーバードットはベクトル微分の有効範囲を定義する。点線で囲まれたベクトル（この場合は B ）は微分され、（点線のない） A は一定に保たれる。 ∇ ˙ ( A ⋅ B ˙ ) = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }
ファインマン添字表記法の有用性は、ベクトルおよびテンソルの微分恒等式の導出に使用できることにあります。次の例では、代数恒等式 C ⋅( A × B ) = ( C × A )⋅ B を使用しています。
∇ ⋅ ( A × B ) = ∇ A ⋅ ( A × B ) + ∇ B ⋅ ( A × B ) = ( ∇ A × A ) ⋅ B + ( ∇ B × A ) ⋅ B = ( ∇ A × A ) ⋅ B − ( A × ∇ B ) ⋅ B = ( ∇ A × A ) ⋅ B − A ⋅ ( ∇ B × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}
別の方法としては、次のように del 演算子の直交座標成分を使用する方法があります ( インデックス iの 暗黙的な合計 を使用)。
∇ ⋅ ( A × B ) = e i ∂ i ⋅ ( A × B ) = e i ⋅ ∂ i ( A × B ) = e i ⋅ ( ∂ i A × B + A × ∂ i B ) = e i ⋅ ( ∂ i A × B ) + e i ⋅ ( A × ∂ i B ) = ( e i × ∂ i A ) ⋅ B + ( e i × A ) ⋅ ∂ i B = ( e i × ∂ i A ) ⋅ B − ( A × e i ) ⋅ ∂ i B = ( e i × ∂ i A ) ⋅ B − A ⋅ ( e i × ∂ i B ) = ( e i ∂ i × A ) ⋅ B − A ⋅ ( e i ∂ i × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot \partial _{i}(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}
ベクトルおよびテンソルの微分恒等式を導出する別の方法は、代数恒等式におけるベクトルのすべての出現を del 演算子に置き換えることです。ただし、演算子のスコープの内外両方に変数が出現したり、ある項内の1つの演算子のスコープ内と、同じ項内の別の演算子のスコープ外の両方に変数が出現したりしないことが条件となります（つまり、演算子は入れ子構造になっている必要があります）。この規則の妥当性は、ファインマン法の妥当性から導き出されます。なぜなら、規則の条件下では、常に添え字付き del を置き換えた後、すぐに添え字を削除できるからです。例えば、恒等式 A ⋅( B × C ) = ( A × B )⋅ Cから A ⋅(∇× C ) = ( A ×∇)⋅ C は導かれる が、∇⋅( B × C ) = (∇× B )⋅ Cは導かれず、また A ⋅( B × A ) = 0から A ⋅(∇× A ) = 0も導かれない 。一方、添え字付き del は項内の添え字のすべての出現に対して作用するので、 A ⋅(∇ A × A ) = ∇ A ⋅( A × A ) = ∇⋅( A × A ) = 0 となる。また、 A ×( A × C ) = A ( A ⋅ C ) − ( A ⋅ A ) C から∇×(∇× C ) = ∇(∇⋅ C ) − ∇ 2 C ですが、 ( A ψ )⋅( A φ ) = ( A ⋅ A )( ψφ ) から ( ∇ ψ )⋅(∇ φ ) = ∇ 2 ( ψφ ) を 導出 でき ない可能性があります 。
量の添え字 c は 、一時的に定数とみなされることを示します。定数は変数ではないため、置換規則（前段落参照）が適用される場合、変数とは異なり、del演算子のスコープ内またはスコープ外に移動される可能性があります。次の例をご覧ください。 [9]
∇ ⋅ ( A × B ) = ∇ ⋅ ( A × B c ) + ∇ ⋅ ( A c × B ) = ∇ ⋅ ( A × B c ) − ∇ ⋅ ( B × A c ) = ( ∇ × A ) ⋅ B c − ( ∇ × B ) ⋅ A c = ( ∇ × A ) ⋅ B − ( ∇ × B ) ⋅ A {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })+\nabla \cdot (\mathbf {A} _{\mathrm {c} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })-\nabla \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {A} _{\mathrm {c} })\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} _{\mathrm {c} }-(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} _{\mathrm {c} }\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}
量が定数であることを示す別の方法は、次のように、それをdel演算子のスコープの添え字として付けることである。 [10] ∇ ( A ⋅ B ) A = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \nabla \left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)_{\mathbf {A} }=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }
この記事の残りの部分では、適切な場合にはファインマン下付き表記法が使用されます。
第一導関数の恒等式 スカラー場 、 ベクトル場、については 、 次の微分恒等式が成り立ちます。 ψ {\displaystyle \psi } ϕ {\displaystyle \phi } A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} }
分配法則 ∇ ( ψ + ϕ ) = ∇ ψ + ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi } ∇ ( A + B ) = ∇ A + ∇ B {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} } ∇ ⋅ ( A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} } ∇ × ( A + B ) = ∇ × A + ∇ × B {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }
第一微分結合法則 ( A ⋅ ∇ ) ψ = A ⋅ ( ∇ ψ ) {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\psi =\mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )} ( A ⋅ ∇ ) B = A ⋅ ( ∇ B ) {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )} ( A × ∇ ) ψ = A × ( ∇ ψ ) {\displaystyle (\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\mathbf {A} \times (\nabla \psi )} ( A × ∇ ) B = A × ( ∇ B ) {\displaystyle (\mathbf {A} \times \nabla )\mathbf {B} =\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} )}
スカラーによる乗算の積の規則 一変数 微積分における 積分則 の一般化は次のようになります 。
∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi } ∇ ( ψ A ) = ( ∇ ψ ) A T + ψ ∇ A = ∇ ψ ⊗ A + ψ ∇ A {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi \mathbf {A} )&=(\nabla \psi )\mathbf {A} ^{\textsf {T}}+\psi \nabla \mathbf {A} \\&=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \end{aligned}}} ∇ ⋅ ( ψ A ) = ψ ∇ ⋅ A + ( ∇ ψ ) ⋅ A {\displaystyle \nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi )\,{\cdot }\mathbf {A} } ∇ × ( ψ A ) = ψ ∇ × A + ( ∇ ψ ) × A {\displaystyle \nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} } ∇ 2 ( ψ ϕ ) = ψ ∇ 2 ϕ + 2 ∇ ψ ⋅ ∇ ϕ + ϕ ∇ 2 ψ {\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \phi )=\psi \,\nabla ^{2\!}\phi +2\,\nabla \!\psi \cdot \!\nabla \phi +\phi \,\nabla ^{2\!}\psi }
スカラーによる除算の商規則 ∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ − ψ ∇ ϕ ϕ 2 {\displaystyle \nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}} ∇ ( A ϕ ) = ϕ ∇ A − ∇ ϕ ⊗ A ϕ 2 {\displaystyle \nabla \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla \mathbf {A} -\nabla \phi \otimes \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}} ∇ ⋅ ( A ϕ ) = ϕ ∇ ⋅ A − ∇ ϕ ⋅ A ϕ 2 {\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}} ∇ × ( A ϕ ) = ϕ ∇ × A − ∇ ϕ × A ϕ 2 {\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}} ∇ 2 ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ 2 ψ − 2 ϕ ∇ ( ψ ϕ ) ⋅ ∇ ϕ − ψ ∇ 2 ϕ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla ^{2\!}\psi -2\,\phi \,\nabla \!\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)\cdot \!\nabla \phi -\psi \,\nabla ^{2\!}\phi }{\phi ^{2}}}}
チェーンルール をスカラーからスカラーへの一変数関数、 媒介変数付き 曲線 、 ベクトルからスカラーへの関数、ベクトル場とし ます 。多変数 連鎖律 には、以下の特殊なケースがあります。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} r ( t ) = ( x 1 ( t ) , … , x n ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))} ϕ : R n → R {\displaystyle \phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } A : R n → R n {\displaystyle \mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
∇ ( f ∘ ϕ ) = ( f ′ ∘ ϕ ) ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (f\circ \phi )=\left(f'\circ \phi \right)\nabla \phi } ( r ∘ f ) ′ = ( r ′ ∘ f ) f ′ {\displaystyle (\mathbf {r} \circ f)'=(\mathbf {r} '\circ f)f'} ( ϕ ∘ r ) ′ = ( ∇ ϕ ∘ r ) ⋅ r ′ {\displaystyle (\phi \circ \mathbf {r} )'=(\nabla \phi \circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '} ( A ∘ r ) ′ = r ′ ⋅ ( ∇ A ∘ r ) {\displaystyle (\mathbf {A} \circ \mathbf {r} )'=\mathbf {r} '\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {r} )} ∇ ( ϕ ∘ A ) = ( ∇ A ) ⋅ ( ∇ ϕ ∘ A ) {\displaystyle \nabla (\phi \circ \mathbf {A} )=(\nabla \mathbf {A} )\cdot (\nabla \phi \circ \mathbf {A} )} ∇ ⋅ ( r ∘ ϕ ) = ∇ ϕ ⋅ ( r ′ ∘ ϕ ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {r} \circ \phi )=\nabla \phi \cdot (\mathbf {r} '\circ \phi )} ∇ × ( r ∘ ϕ ) = ∇ ϕ × ( r ′ ∘ ϕ ) {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {r} \circ \phi )=\nabla \phi \times (\mathbf {r} '\circ \phi )} ベクトル変換の場合、 次のようになります。 x : R n → R n {\displaystyle \mathbf {x} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
∇ ⋅ ( A ∘ x ) = t r ( ( ∇ x ) ⋅ ( ∇ A ∘ x ) ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \mathbf {x} )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {x} )\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {x} )\right)}
ここでは、2 つの 2 次テンソルのドット積の トレース を取得します。これは、それらの行列の積に対応します。
ドット積の法則 ∇ ( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ ) B + ( B ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × B ) + B × ( ∇ × A ) = A ⋅ J B + B ⋅ J A = ( ∇ B ) ⋅ A + ( ∇ A ) ⋅ B {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}}
ここで、 は ベクトル場 の ヤコビ行列 を表します 。 J A = ( ∇ A ) T = ( ∂ A i / ∂ x j ) i j {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}} A = ( A 1 , … , A n ) {\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}
あるいは、ファインマンの添え字表記法を用いると、
∇ ( A ⋅ B ) = ∇ A ( A ⋅ B ) + ∇ B ( A ⋅ B ) . {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}
こちらのノートを参照。 [11]
特別な場合として、 A = Bの とき、
1 2 ∇ ( A ⋅ A ) = A ⋅ J A = ( ∇ A ) ⋅ A = ( A ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × A ) = A ∇ A . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.}
ドット積 公式の リーマン多様体 への一般化は 、ベクトル場を微分してベクトル値 1 形式を与える リーマン接続 の定義特性です 。
外積則 ∇ ( A × B ) = ( ∇ A ) × B − ( ∇ B ) × A {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {B} \,-\,(\nabla \mathbf {B} )\times \mathbf {A} } ∇ ⋅ ( A × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )} ∇ × ( A × B ) = A ( ∇ ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B = A ( ∇ ⋅ B ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( B ( ∇ ⋅ A ) + ( A ⋅ ∇ ) B ) = ∇ ⋅ ( B A T ) − ∇ ⋅ ( A B T ) = ∇ ⋅ ( B A T − A B T ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}} A × ( ∇ × B ) = ∇ B ( A ⋅ B ) − ( A ⋅ ∇ ) B = A ⋅ J B − ( A ⋅ ∇ ) B = ( ∇ B ) ⋅ A − A ⋅ ( ∇ B ) = A ⋅ ( J B − J B T ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt]\end{aligned}}} ( A × ∇ ) × B = ( ∇ B ) ⋅ A − A ( ∇ ⋅ B ) = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B − A ( ∇ ⋅ B ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\end{aligned}}} ( A × ∇ ) ⋅ B = A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle (\mathbf {A} \times \nabla )\cdot \mathbf {B} \ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )} 行列は 反対称であることに注意してください。 J B − J B T {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}}
2階微分恒等式
回転の発散はゼロ 任意 の連続的に2回微分可能な ベクトル場 A の回転の 発散 は 常にゼロである。 ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}
これは、 De Rham 連鎖複体 における 外微分 の二乗が消失する特殊なケースです 。
勾配の発散はラプラシアンである スカラー場のラプラシアン は その勾配の発散です。 結果はスカラー量です。 Δ ψ = ∇ 2 ψ = ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) {\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}
発散の発散は定義されていない ベクトル場 A の発散はスカラーであり、スカラー量の発散は定義されていない。したがって、 ∇ ⋅ ( ∇ ⋅ A ) is undefined. {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}
勾配の回転はゼロ 任意の連続的 に2回微分可能な スカラー場 （すなわち、 微分可能クラス ）の 勾配 の 回転 は 常に ゼロベクトル である。 φ {\displaystyle \varphi } C 2 {\displaystyle C^{2}} ∇ × ( ∇ φ ) = 0 . {\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .}
これは、シュワルツの定理 （混合偏微分の等式に関するクレローの定理とも呼ばれる）を用いて 直交座標系 で 表すことで簡単に証明できます。この結果は、 ド・ラーム 連鎖複体 における 外微分 の2乗がゼロになることの特別な場合です 。 ∇ × ( ∇ φ ) {\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}
カールのカール ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }
ここで∇2 は ベクトル場 A上で作用する ベクトルラプラシアン です 。
発散回転は定義されていない ベクトル場 A の発散 は スカラーであり、スカラー量の回転は定義されていない。したがって、 ∇ × ( ∇ ⋅ A ) is undefined. {\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}
2階微分結合法則 ( ∇ ⋅ ∇ ) ψ = ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) = ∇ 2 ψ {\displaystyle (\nabla \cdot \nabla )\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi } ( ∇ ⋅ ∇ ) A = ∇ ⋅ ( ∇ A ) = ∇ 2 A {\displaystyle (\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \mathbf {A} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} } ( ∇ × ∇ ) ψ = ∇ × ( ∇ ψ ) = 0 {\displaystyle (\nabla \times \nabla )\psi =\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} } ( ∇ × ∇ ) A = ∇ × ( ∇ A ) = 0 {\displaystyle (\nabla \times \nabla )\mathbf {A} =\nabla \times (\nabla \mathbf {A} )=\mathbf {0} } DCG チャート: 2 次導関数のいくつかのルール。
記憶術 右の図は、これらのアイデンティティの一部を表した略語です。使用されている略語は次のとおりです。
D: 発散、 C: カール、 G: 勾配、 L: ラプラシアン、 CC: カールのカール。 各矢印には、恒等式の結果、具体的には矢印の末尾の演算子を矢印の先端の演算子に適用した結果がラベル付けされています。中央の青い円は回転が存在することを意味し、他の2つの赤い円（破線）はDDとGGが存在しないことを意味します。
重要なアイデンティティの概要
差別化
勾配 ∇ ( ψ + ϕ ) = ∇ ψ + ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi } ∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi } ∇ ( ψ A ) = ∇ ψ ⊗ A + ψ ∇ A {\displaystyle \nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} } ∇ ( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ ) B + ( B ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × B ) + B × ( ∇ × A ) {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}
発散 ∇ ⋅ ( A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} } ∇ ⋅ ( ψ A ) = ψ ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇ ψ {\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi } ∇ ⋅ ( A × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − ( ∇ × B ) ⋅ A {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} }
カール ∇ × ( A + B ) = ∇ × A + ∇ × B {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} } ∇ × ( ψ A ) = ψ ( ∇ × A ) − ( A × ∇ ) ψ = ψ ( ∇ × A ) + ( ∇ ψ ) × A {\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+(\nabla \psi )\times \mathbf {A} } ∇ × ( ψ ∇ ϕ ) = ∇ ψ × ∇ ϕ {\displaystyle \nabla \times \left(\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi } ∇ × ( A × B ) = A ( ∇ ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} } [12]
ベクトルドットデル演算子 ( A ⋅ ∇ ) B = 1 2 [ ∇ ( A ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + A ( ∇ ⋅ B ) − ∇ × ( A × B ) − B × ( ∇ × A ) − A × ( ∇ × B ) ] {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\Big [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} ){\Big ]}} [13] ( A ⋅ ∇ ) A = 1 2 ∇ | A | 2 − A × ( ∇ × A ) = 1 2 ∇ | A | 2 + ( ∇ × A ) × A {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} } A ⋅ ∇ ( B ⋅ C ) = B ⋅ ( A ⋅ ∇ ) C + C ⋅ ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla (\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {C} +\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} }
2次導関数 ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0} ∇ × ( ∇ ψ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} } ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) = ∇ 2 ψ {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi } （ スカラーラプラシアン ） ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ 2 A {\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} } （ ベクトルラプラシアン ） ∇ ⋅ [ ∇ A + ( ∇ A ) T ] = ∇ 2 A + ∇ ( ∇ ⋅ A ) {\displaystyle \nabla \cdot {\big [}\nabla \mathbf {A} +(\nabla \mathbf {A} )^{\textsf {T}}{\big ]}=\nabla ^{2}\mathbf {A} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )} ∇ ⋅ ( ϕ ∇ ψ ) = ϕ ∇ 2 ψ + ∇ ϕ ⋅ ∇ ψ {\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi } ψ ∇ 2 ϕ − ϕ ∇ 2 ψ = ∇ ⋅ ( ψ ∇ ϕ − ϕ ∇ ψ ) {\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)} ∇ 2 ( ϕ ψ ) = ϕ ∇ 2 ψ + 2 ( ∇ ϕ ) ⋅ ( ∇ ψ ) + ( ∇ 2 ϕ ) ψ {\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi } ∇ 2 ( ψ A ) = A ∇ 2 ψ + 2 ( ∇ ψ ⋅ ∇ ) A + ψ ∇ 2 A {\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} } ∇ ⋅ [ ( A ⋅ ∇ ) B ] = ( A ⋅ ∇ ) ( ∇ ⋅ B ) + ( ∇ A ) : ( ∇ B ) {\displaystyle \nabla \cdot {\big [}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} {\big ]}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )(\nabla \cdot \mathbf {B} )+(\nabla \mathbf {A} ):(\nabla \mathbf {B} )} ∇ × [ ( A ⋅ ∇ ) A ] + [ ( ∇ × A ) ⋅ ∇ ] A = [ ( A ⋅ ∇ ) + ( ∇ ⋅ A ) ] ( ∇ × A ) {\displaystyle \nabla \times \left[\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right]+\left[\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \nabla \right]\mathbf {A} =\left[\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)+\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)\right]\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)} ∇ 2 ( A ⋅ B ) = A ⋅ ∇ 2 B − B ⋅ ∇ 2 A + 2 ∇ ⋅ ( ( B ⋅ ∇ ) A + B × ( ∇ × A ) ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))} （ グリーンのベクトル恒等式 ）
3次導関数 ∇ 2 ( ∇ ψ ) = ∇ ( ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) ) = ∇ ( ∇ 2 ψ ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)} ∇ 2 ( ∇ ⋅ A ) = ∇ ⋅ ( ∇ ( ∇ ⋅ A ) ) = ∇ ⋅ ( ∇ 2 A ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)} ∇ 2 ( ∇ × A ) = − ∇ × ( ∇ × ( ∇ × A ) ) = ∇ × ( ∇ 2 A ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}
統合 以下では、 波記号 ∂ は 表面または立体
の 「 境界」を意味します。
表面積積分 以下の表面積積分定理において、 V は対応する 2 次元 境界 S = ∂ V ( 閉曲面 ) を持つ 3 次元体積を表します。
∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ d S = ∭ V ∇ ψ d V {\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV} ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} A ⋅ d S = ∭ V ∇ ⋅ A d V {\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV} （ 発散定理 ） ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} A × d S = − ∭ V ∇ × A d V {\displaystyle \mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV} ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ ∇ φ ⋅ d S = ∭ V ( ψ ∇ 2 φ + ∇ φ ⋅ ∇ ψ ) d V {\displaystyle \psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV} （ グリーンの最初のアイデンティティ ） ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( ψ ∇ φ − φ ∇ ψ ) ⋅ d S = {\displaystyle \left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( ψ ∂ φ ∂ n − φ ∂ ψ ∂ n ) d S {\displaystyle \left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS} = ∭ V ( ψ ∇ 2 φ − φ ∇ 2 ψ ) d V {\displaystyle \displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV} （ グリーンの第二のアイデンティティ ） ∭ V A ⋅ ∇ ψ d V = {\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ A ⋅ d S − ∭ V ψ ∇ ⋅ A d V {\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV} （ 部分積分 ） ∭ V ψ ∇ ⋅ A d V = {\displaystyle \iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ A ⋅ d S − ∭ V A ⋅ ∇ ψ d V {\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV} （ 部分積分 ） ∭ V A ⋅ ( ∇ × B ) d V = − {\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,dV\ =\ -} ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( A × B ) ⋅ d S + ∭ V ( ∇ × A ) ⋅ B d V {\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot d\mathbf {S} +\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \mathbf {B} \,dV} （ 部分積分 ） ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} A × ( d S ⋅ ( B C T ) ) = ∭ V A × ( ∇ ⋅ ( B C T ) ) d V + ∭ V B ⋅ ( ∇ A ) × C d V {\displaystyle \mathbf {A} \times \left(d\mathbf {S} \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\ =\ \iiint _{V}\mathbf {A} \times \left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\,dV+\iiint _{V}\mathbf {B} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {C} \,dV} [14] ∭ V ( ∇ ⋅ B + B ⋅ ∇ ) A d V = {\displaystyle \iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {B} +\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \,dV\ =\ } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( B ⋅ d S ) A {\displaystyle \left(\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} \right)\mathbf {A} } [15]
曲線面積分 以下の曲線-面積分定理において、 S は対応する 1d 境界 C = ∂ S ( 閉曲線 ) を持つ 2d 開面を表します。
∮ ∂ S A ⋅ d ℓ = ∬ S ( ∇ × A ) ⋅ d S {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} } （ ストークスの定理 ） ∮ ∂ S ψ d ℓ = − ∬ S ∇ ψ × d S {\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} } ∮ ∂ S A × d ℓ = − ∬ S ( ∇ A − ( ∇ ⋅ A ) 1 ) ⋅ d S = − ∬ S ( d S × ∇ ) × A {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\left(\nabla \mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {1} \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ -\iint _{S}\left(d\mathbf {S} \times \nabla \right)\times \mathbf {A} } ∮ ∂ S A × ( B × d ℓ ) = ∬ S ( ∇ × ( A B T ) ) ⋅ d S + ∬ S ( ∇ ⋅ ( B A T ) ) × d S {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times d{\boldsymbol {\ell }})\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\right)\cdot d\mathbf {S} +\iint _{S}\left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\right)\times d\mathbf {S} } [16] ∮ ∂ S ( B ⋅ d ℓ ) A = ∬ S ( d S ⋅ [ ∇ × B − B × ∇ ] ) A {\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} } [17] 閉曲線の周りの 時計回りの積分は、同じ線積分の反時計回りの負の値です（ 定積分 における極限の交換に似ています ）。
∂ S {\displaystyle {\scriptstyle \partial S}} A ⋅ d ℓ = − {\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-} ∂ S {\displaystyle {\scriptstyle \partial S}} A ⋅ d ℓ . {\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}.}
端点曲線積分 次の端点-曲線積分定理において、 P は 符号付き 0d 境界点を持つ 1d 開経路を表し、 P に沿った積分 は から まで です 。 q − p = ∂ P {\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =\partial P} p {\displaystyle \mathbf {p} } q {\displaystyle \mathbf {q} }
ψ | ∂ P = ψ ( q ) − ψ ( p ) = ∫ P ∇ ψ ⋅ d ℓ {\displaystyle \psi |_{\partial P}=\psi (\mathbf {q} )-\psi (\mathbf {p} )=\int _{P}\nabla \psi \cdot d{\boldsymbol {\ell }}} （ 勾配定理 ） A | ∂ P = A ( q ) − A ( p ) = ∫ P ( d ℓ ⋅ ∇ ) A {\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \nabla \right)\mathbf {A} } A | ∂ P = A ( q ) − A ( p ) = ∫ P ( ∇ A ) ⋅ d ℓ + ∫ P ( ∇ × A ) × d ℓ {\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(\nabla \mathbf {A} \right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}+\int _{P}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\times d{\boldsymbol {\ell }}}
テンソル積分 ベクトル積分定理のテンソル形式は、ベクトル（またはベクトルの一つ）をテンソルに置き換えることで得られる。ただし、そのベクトルはまず各積分関数の右端ベクトルとしてのみ現れるようにしなければならない。例えば、ストークスの定理は [18]となる。
∮ ∂ S d ℓ ⋅ T = ∬ S d S ⋅ ( ∇ × T ) {\displaystyle \oint _{\partial S}d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {T} \ =\ \iint _{S}d\mathbf {S} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {T} \right)} 。 スカラー場はベクトルとして扱われ、ベクトルまたはテンソルに置き換えられることもある。例えば、グリーンの第一恒等式は次のようになる。
∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ψ d S ⋅ ∇ A = ∭ V ( ψ ∇ 2 A + ∇ ψ ⋅ ∇ A ) d V {\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \cdot \nabla \!\mathbf {A} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +\nabla \!\psi \cdot \nabla \!\mathbf {A} \right)\,dV} 。 代数式や微分式にも同様の規則が適用されます。代数式では、ベクトルの最左端の位置を使用することもできます。
参照
参考文献 ^ ウィルソン、404ページ。 ^ ウィルソン、407ページ。 ^ ウィルソン、407ページ。 ^ コフィン、ジョセフ・ジョージ (1911). ベクトル解析. ニューヨーク: John Wiley & Sons, Inc. pp. 105–106, 120–123. ^ ファインマン, RP; レイトン, RB; サンズ, M. (1964). 『ファインマン物理学講義』. アディソン・ウェスレー. 第2巻, pp. 27–4, 5. ISBN 0-8053-9049-9 。 ^ Kholmetskii, AL; Missevitch, OV (2005). 「相対性理論におけるファラデー誘導則」p. 4. arXiv : physics/0504223 . ^ コフィン、227～228ページ。 ^ Doran, C. ; Lasenby, A. (2003). 物理学者のための幾何代数. Cambridge University Press. p. 169. ISBN 978-0-521-71595-9 。 ^ Borisenko, A.I.; Tarapov, IE. (1968). ベクトルとテンソル解析. ニューヨーク: Dover Publications, Inc. pp. 170, 180. ^ ウィルソン、エドウィン・ビッドウェル (1901). ベクトル解析. ニューヨーク: チャールズ・スクリブナー・サンズ. pp. 159, 161–162. ^ Kelly, P. (2013). 「第1章 14 テンソル計算 1: テンソル場」. 力学講義ノート パートIII: 連続体力学の基礎. オークランド大学. 2017年12月3日時点の オリジナル (PDF)からアーカイブ。 2017年 12月7日 閲覧 。 ^ "lecture15.pdf" (PDF) . ^ クオ, ケネス・K.; アチャリヤ, ラギニ (2012). 乱流および多相燃焼の応用. ホーボーケン, ニュージャージー: ワイリー. p. 520. doi :10.1002/9781118127575.app1. ISBN 9781118127575 . 2021年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2020年 4月19日 閲覧。 ^ PageとAdams、65～66ページ。 ^ ワングスネス、ロアルド・K.; クラウド、マイケル・J. (1986). 電磁場 （第2版）. ワイリー. ISBN 978-0-471-81186-2 。 ^ Page, Leigh; Adams, Norman Ilsley, Jr. (1940). 電気力学. ニューヨーク: D. Van Nostrand Company, Inc. pp. 44–45, 式(18-3). {{cite book }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )^ ペレス＝ガリド, アントニオ (2024). 「ベクトル計算におけるあまり使われない定理の復元と電磁気学の問題への応用」 アメリカ物理学会誌 . 92 (5): 354– 359. arXiv : 2312.17268 . Bibcode :2024AmJPh..92e.354P. doi :10.1119/5.0182191. ^ ウィルソン、409ページ。
さらに読む バラニス、コンスタンティン・A.（1989年5月23日） 『Advanced Engineering Electromagnetics 』 ISBN 0-471-62194-3 。 Schey, HM (1997). 『Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus 』 WW Norton & Company. ISBN 0-393-96997-5 。 グリフィス、デイビッド・J. (1999). 『電気力学入門 』 プレンティス・ホール. ISBN 0-13-805326-X 。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} &={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}},\ {\dfrac {\partial }{\partial y}},\ {\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6717fdfb982bf77809f037fa11d4c000bd4287)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1em]&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee413ad50436d67bd344bd6a8d2c3937f6803456)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2be73fb147d2d991b691c0322ec8602518462f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot \partial _{i}(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da7a78dfe9f3612f3cb081a39c3b376ee999e4a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })+\nabla \cdot (\mathbf {A} _{\mathrm {c} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })-\nabla \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {A} _{\mathrm {c} })\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} _{\mathrm {c} }-(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} _{\mathrm {c} }\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94a182151cdb664e661e78d773117439db78f92)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a05bc9e2c83fd35d4fb390cca239e0541d0197)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt]\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c699cea4f0aa1c2a0a5cb6ed39c859ab7e5426)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babcbaea6d27093697da41f818d334f51722464a)
![{\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\Big [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} ){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97952587df8bb547267f324214f2474e7b717cf)
![{\displaystyle \nabla \cdot {\big [}\nabla \mathbf {A} +(\nabla \mathbf {A} )^{\textsf {T}}{\big ]}=\nabla ^{2}\mathbf {A} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348533728c9cab3450f97bf724152585b26550e4)
![{\displaystyle \nabla \cdot {\big [}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} {\big ]}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )(\nabla \cdot \mathbf {B} )+(\nabla \mathbf {A} ):(\nabla \mathbf {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c3c323f4d453d542d565aab7e0df84148d4421)
![{\displaystyle \nabla \times \left[\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right]+\left[\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \nabla \right]\mathbf {A} =\left[\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)+\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)\right]\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92e1940b1a8ae5f4ce44eeb43bd059dba324ec0)
![{\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c48d9c590a9b81aca2c1184cea2b05aad96283)
