Mathematical criterion about whether a series converges
数学 において 、 収束テストは 、 無限級数の 収束 、 条件付き収束、 絶対収束 、 収束区間 、または発散 をテストする方法です 。 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
テストのリスト 被加数の極限が定義されていないかゼロでない場合、つまり の場合 、級数は必ず発散する。この意味で、この極限が存在し、 がゼロに等しい 場合にのみ、部分和は コーシー となる。被加数の極限がゼロの場合、この検定は決定的ではない。これは、 n 項検定 、 発散検定 、または 発散検定 とも呼ばれる。 lim n → ∞ a n ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}
これはダランベール基準 とも呼ばれます 。
と という 2つの極限を考えてみましょう 。 の場合 、級数は発散します。 の場合、級数は絶対収束します。 の場合、判定は確定的ではなく、級数は絶対収束、条件付き収束、または発散する可能性があります。 ℓ = lim inf n → ∞ | a n + 1 a n | {\displaystyle \ell =\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|} L = lim sup n → ∞ | a n + 1 a n | {\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|} ℓ > 1 {\displaystyle \ell >1} L < 1 {\displaystyle L<1} ℓ ≤ 1 ≤ L {\displaystyle \ell \leq 1\leq L} これはn 乗根検定 または コーシーの基準 とも呼ばれます 。
させて r = lim sup n → ∞ | a n | n , {\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},} ここで、 は、 上限値 （おそらく 。上限値が存在する場合は、同じ値） を 表します。 lim sup {\displaystyle \limsup } ∞ {\displaystyle \infty } r < 1の場合 、級数は絶対収束します。r > 1 の場合、級数は発散します。r = 1 の場合 、根の検定は決定的ではなく、級数 は 収束するか発散するかのどちらかになります。 ルートテストは比テストよりも強力です。比テストが無限級数の収束または発散を決定するときはいつでも、ルートテストも同様に決定しますが、その逆は成り立ちません。 [1]
級数は収束または発散を示す積分と比較することができます。 を となる 非負 単調減少関数 とします。 ならば 級数は収束します。しかし、積分が発散するならば、級数も発散します。言い換えれば、級数が 収束するのは、積分が収束する 場合のみであり、かつその場合のみです 。 f : [ 1 , ∞ ) → R + {\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}} f ( n ) = a n {\displaystyle f(n)=a_{n}} ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ∫ 1 t f ( x ) d x < ∞ , {\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,} a n {\displaystyle {a_{n}}}
p シリーズテスト 積分検定のよく使われる系はp級数検定である。 とすると 、 であれば 収束する 。 k > 0 {\displaystyle k>0} ∑ n = k ∞ ( 1 n p ) {\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}} p > 1 {\displaystyle p>1}
の場合 、調和級数が得られますが、これは発散します。 の場合、 は バーゼル問題 であり、級数は に収束します 。一般に、 の場合 、級数 は に適用された リーマンゼータ関数 、つまりに等しくなります 。 p = 1 , k = 1 {\displaystyle p=1,k=1} p = 2 , k = 1 {\displaystyle p=2,k=1} π 2 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} p > 1 , k = 1 {\displaystyle p>1,k=1} p {\displaystyle p} ζ ( p ) {\displaystyle \zeta (p)}
級数が 絶対収束する 級数 であり、 n が十分に大きい場合 、級数は 絶対収束します。 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} | a n | ≤ | b n | {\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|} ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
（つまり 、2 つの数列の各要素が正）かつ極限が 存在し、が有限かつゼロでない場合、両方の数列は収束するか、両方の数列は発散します。 { a n } , { b n } > 0 {\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0} lim n → ∞ a n b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}
を非負非増加列とする。すると、 和が収束する場合と、 和が収束する 場合とで 同値となる 。さらに、それらが収束する場合、が 成立する。 { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} A = ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} A ∗ = ∑ n = 0 ∞ 2 n a 2 n {\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}} A ≤ A ∗ ≤ 2 A {\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}
次の文が真実であると仮定します。
∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} 収束級数である、 { b n } {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}} は単調な数列であり、 { b n } {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}} 制限があります。 すると 収束します。 ∑ a n b n {\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}
絶対収束する 級数はすべて 収束します。
次の文が真実であると仮定します。
( a n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }} 単調である、 lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} すると 、 とは収束級数となる。このテストは ライプニッツの判定基準 としても知られる 。 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}} ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}
が実 数列 で あり 、 複素数 列が次 を満たす 場合 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}}
a n ≥ a n + 1 {\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}} lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0} | ∑ n = 1 N b n | ≤ M {\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M} 任意の正の整数N に対して ここで M は定数であり、級数は
∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} 収束します。
級数 が収束するとは、任意の 自然 数 Nに対して、 ∑ i = 0 ∞ a i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}
| a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a n + p | < ε {\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon } すべてのn > N およびすべての p ≥ 1 に対して成立します 。
と を 2つの実数列とする。が 単調かつ 発散する列であり 、以下の極限が存在すると仮定する。 ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} ( b n ) n ≥ 1 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}} ( b n ) n ≥ 1 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}
lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n = l . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ } そして、限界
lim n → ∞ a n b n = l . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ } ( f n ) が集合A 上で定義された実数値または複素数値関数の列であり、 次の条件を満たす 非負数列 ( M n ) が存在するとする。
| f n ( x ) | ≤ M n {\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}} すべての 人のために 、そして n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} x ∈ A {\displaystyle x\in A} ∑ n = 1 ∞ M n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}} 収束します。 そしてシリーズ
∑ n = 1 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)} A に 絶対かつ 一様に 収束します。
比率検定の拡張 比率の限界が 1 の場合、比率テストは決定的ではない可能性があります。ただし、比率テストを拡張すると、このケースに対処できる場合があります。
{ a n } を正の数の列とします。
定義する
b n = n ( a n a n + 1 − 1 ) . {\displaystyle b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).} もし
L = lim n → ∞ b n {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}} 存在する場合、3 つの可能性があります。
L > 1の場合、 級数は収束する（ L = ∞の場合も含む） L < 1の場合、 級数は発散する L = 1の場合、 テストは決定的ではありません。 このテストの別の定式化は以下のとおりである。 { a n }を実数列とする。b > 1かつ K （自然数）が存在し 、
| a n + 1 a n | ≤ 1 − b n {\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}} すべての n > K に対して、級数 { a n } は収束します。
{ a n } を正の数の列とします。
定義する
b n = ln n ( n ( a n a n + 1 − 1 ) − 1 ) . {\displaystyle b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).} もし
L = lim n → ∞ b n {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}} 存在する場合、3つの可能性があります: [2] [3]
L > 1の場合、 級数は収束する（ L = ∞の場合も含む） L < 1の場合、 級数は発散する L = 1の場合、 テストは決定的ではありません。 { a n } を正の数列とする。 ある β > 1 に対して、 α > 1 であれば収束し、 α ≤ 1 であれば発散する 。 [4] a n a n + 1 = 1 + α n + O ( 1 / n β ) {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })} ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}}
{ a n }を正の数列とすると、次の式が成り立ちます。 [5] [6] [7]
(1)は 、正の数列と実数 c > 0 が存在し、その場合に限り収束する 。 ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} b n {\displaystyle b_{n}} b k ( a k / a k + 1 ) − b k + 1 ≥ c {\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c}
（２） 発散するのは、 次の正の 数列が存在する場合のみである。 ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} b n {\displaystyle b_{n}} b k ( a k / a k + 1 ) − b k + 1 ≤ 0 {\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0}
そして 発散します。 ∑ 1 / b n {\displaystyle \sum 1/b_{n}}
アブ・モスタファのテスト を 実数項を持つ無限級数とし、を任意の実 関数とし、 任意の正の整数 n に対して、2次導関数 が で存在するとする 。すると、 は のとき絶対収束し 、それ以外の場合は発散する。 [8] ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } f ( 1 / n ) = a n {\displaystyle f(1/n)=a_{n}} f ″ {\displaystyle f''} x = 0 {\displaystyle x=0} ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=f'(0)=0}
注記
例 シリーズを検討してください
∑ n = 1 ∞ 1 n α . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.} 私
コーシー凝縮テストは 、( i )が有限収束することを示唆しており、
∑ n = 1 ∞ 2 n ( 1 2 n ) α {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }} ii
は有限収束する。
∑ n = 1 ∞ 2 n ( 1 2 n ) α = ∑ n = 1 ∞ 2 n − n α = ∑ n = 1 ∞ 2 ( 1 − α ) n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}} ( ii ) は比 の等比級数である 。( ii ) は、その比が1未満（すなわち ）のとき有限収束する。 したがって、( i ) が有限収束するの は のときのみである 。 2 ( 1 − α ) {\displaystyle 2^{(1-\alpha )}} α > 1 {\displaystyle \alpha >1} α > 1 {\displaystyle \alpha >1}
製品の融合 ほとんどのテストは無限級数の収束を扱っていますが、 無限積 の収束または発散を示すためにも使用できます。これは次の定理を用いて実現できます。 を 正の数の列とします。このとき、無限積が収束するのは、 級数が収束する 場合に 限ります 。同様に、 が 成り立つ場合、 が 非ゼロ極限に近づくのは、級数が 収束する場合に限ります。 { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} ∏ n = 1 ∞ ( 1 + a n ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})} ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 0 ≤ a n < 1 {\displaystyle 0\leq a_{n}<1} ∏ n = 1 ∞ ( 1 − a n ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})} ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
これは積の対数をとり、極限比較テストを行うことで証明できます。 [9]
参照
参考文献 ^ Wachsmuth, Bert G. 「MathCS.org - 実解析：比テスト」 www.mathcs.org 。 ^ František Ďuriš、 無限シリーズ: 収束テスト 、24–9 ページ。卒業論文。 ^ Weisstein, Eric W. 「Bertrandの検定」. mathworld.wolfram.com . 2020年4月16日 閲覧 。 ^ * 「ガウスの基準」、 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] ^ “Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen” . 数学に関するジャーナル 。 1835 (13): 171–184。1835-01-01 。 土井 ：10.1515/crll.1835.13.171。 ISSN 0075-4102。 S2CID 121050774。 ^ Tong, Jingcheng (1994). 「Kummerの検定はすべての正の級数の収束または発散の特性を与える」 . アメリカ数学月刊 . 101 (5): 450– 452. doi :10.2307/2974907. JSTOR 2974907. ^ サメルソン、ハンス (1995). 「クンマーのテストについてさらに詳しく」 . アメリカ数学月刊 . 102 (9): 817– 818. doi :10.1080/00029890.1995.12004667. ISSN 0002-9890. ^ Abu-Mostafa, Yaser (1984). 「絶対収束のための微分検定」 (PDF) . 数学雑誌 . 57 (4): 228– 231. doi :10.1080/0025570X.1984.11977116. ^ Belk, Jim (2008年1月26日). 「無限積の収束」
さらに読む 
![{\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ec31fb14ea99381af3e9507f8d415088f39a51)
