収束の積分テスト

Test for infinite series of monotonous terms for convergence

調和級数に適用される積分テスト。x ∈ [1, ∞)に対してy = 1/ xの曲線の下の面積は無限大なので、長方形の総面積も無限大でなければならない。

数学において、積分収束検定（きょうりゅうかんりんしょう）とは、単調項の無限級数の収束性を検定する手法である。コリン・マクローリンとオーギュスタン＝ルイ・コーシーによって開発され、マクローリン・コーシー検定とも呼ばれる。

テストの説明

整数 Nと、無限区間[ N ,∞)上で単調減少する関数fを考える。このとき、無限級数は

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

実数に収束する場合、そしてその場合のみ、不定積分

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

は有限です。特に、積分が発散する場合、級数も発散します。

述べる

仮積分が有限であれば、証明は下限と上限も与える。

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

1

無限級数の場合。

関数が増加する場合、関数は減少し、上記の定理が適用されることに注意してください。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle -f(x)}$

多くの教科書では関数が正であることを要求しているが^{[1] [2] [3]}、この条件は実際に必要ではない。なぜなら、が負で減少すると、とが発散するからである。^{[4] [より良い情報源が必要]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$ ${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

証拠

証明では比較テストを使用し、項を区間とにわたってそれぞれの積分と比較します。 ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [n-1,n)}$ ${\displaystyle [n,n+1)}$

単調関数はほぼすべての場所で連続である。これを示すために、 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ is discontinuous at }}x\}}$

あらゆる に対して、の密度により が存在するので、となります。 ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle c(x)\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]}$

この集合は、が で不連続となる場合、まさに開 区間を含むことに注意されたい。列挙において最小の添え字を持ち、上記の性質を満たす有理数を として一意に特定することができる。 は単調であるため、これは単射写像を定義し、したがって可算である。したがって、 はほぼすべての点で連続である。これはリーマン積分可能性にとって十分である。^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$

fは単調減少関数なので、

${\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}$

そして

${\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}$

したがって、すべての整数n ≥ Nに対して、

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)}$

2

そして、すべての整数n ≥ N + 1に対して、

${\displaystyle f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.}$

3

Nからより大きな整数Mまでのすべてのnについて合計すると、（2） から次の式が得られます。

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}$

そして（3） から

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=N}^{M}f(n)&=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\\&\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}\\&=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.\end{aligned}}}$

これら2つの推定値を組み合わせると、

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Mを無限大に近づけると、( 1 )の境界と結果が導かれる。

アプリケーション

調和級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

は発散する。なぜなら、自然対数、その不定理、および微積分の基本定理を用いると、

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

一方、このシリーズ

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}}$

（リーマンゼータ関数参照）は、すべてのε > 0に対して収束する。なぜなら、べき乗則により、

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

（ １ ）から上限推定値を得る

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}$

これはリーマンゼータ関数の特定の値のいくつかと比較することができます。

発散と収束の境界線

上記の調和級数の例から、f ( n )が1/ nよりも速く0に減少するが、 1/ n ^{1+ ε}よりも遅くなる単調な数列が存在するかどうかという疑問が生じる。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

任意のε > 0に対して、f ( n )の対応する級数が依然として発散するかどうかを検証する。そのような級数が見つかれば、f ( n )を1/ nの役目にして同様の問いを立てることができる。このようにして、無限級数の発散と収束の境界を調べることができる。

収束性を調べる積分テストを用いると、任意の自然数 kに対して、級数

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}}$

4

依然として発散する（素数の逆数の和がk = 1のときに発散するという証明を参照）が、

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}}$

5

ε > 0の任意の値に対して収束する。ここでln _kは、再帰的に定義される自然対数のk倍合成を表す。

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

さらに、k倍の合成が明確に定義され、ln _k ( N _k ) ≥ 1 となるような最小の自然数をN _kとする。すなわち 、

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

テトレーションまたはKnuthの上矢印表記法を使用します。

積分テストを用いて級数（ ４ ）の発散を見るには、連鎖律を繰り返し適用することによって

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

したがって

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

級数（５ ）の収束を見るには、べき乗則、連鎖律、および上記の結果により、

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

したがって

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

そして（１ ）は（ ５ ）の無限級数の上界を与える。

参照

• 収束テスト
• 収束（数学）
• 直接比較テスト
• 優勢収束定理
• オイラー・マクローリンの公式
• 限界比較テスト
• 単調収束定理

参考文献

• ノップ、コンラッド、「無限列と級数」、ドーバー出版、ニューヨーク、1956年。（§3.3）ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, ET, Watson, GN, A Course in Modern Analysis、第4版、ケンブリッジ大学出版局、1963年。(§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3
• フェレイラ、ハイメ・カンポス、エド・カルーステ・グルベンキアン、1987年、 ISBN 972-31-0179-3

1. スチュワート, ジェームズ; クレッグ, ダニエル; ワトソン, サリーム (2021).微積分学: メートル法版(第9版). Cengage. ISBN 9780357113462。
2. ウェイド、ウィリアム (2004). 『分析入門』（第3版）. ピアソン・エデュケーション. ISBN 9780131246836。
3. トーマス、ジョージ;ハス、ジョエル。ハイル、クリストファー。ウィアー、モーリス。ズレタ、ホセ・ルイス (2018)。トーマスの微積分学: 初期の超越論(14 版)。ピアソン教育。ISBN 9781292253114。
4. savemycalculus. 「なぜ積分テストを適用するには正かつ減少でなければならないのか？」Mathematics Stack Exchange . 2020年3月11日閲覧。
5. Brown, AB (1936年9月). 「リーマン積分可能性に対するルベーグ条件の証明」.アメリカ数学月刊. 43 (7): 396– 398. doi :10.2307/2301737. ISSN  0002-9890. JSTOR  2301737.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_test_for_convergence&oldid=1302410654"