Criterion for the convergence of an infinite series
数学 において 、 根の検定は 無限級数の 収束 の基準 （ 収束検定 ）である 。それは量に依存する。
lim sup n → ∞ | a n | n , {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},} ここで 、は級数の項であり、この量が1未満の場合は級数は絶対収束し、1より大きい場合は発散することを示しています。これは特に、 べき級数 と関連して有用です。 a n {\displaystyle a_{n}}
ルートテストの説明 ルートテストの決定図 根検定は、 オーギュスタン＝ルイ・コーシー によって初めて開発され、1821年に教科書 『Cours d'analyse 』に掲載されました。 [1]そのため、 コーシー根検定 または コーシーの根号検定 と呼ばれることもあります 。
∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} ルートテストでは、数値を使用します
C = lim sup n → ∞ | a n | n , {\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},} ここで「lim sup」は 、おそらく+∞を 超える極限を表します。
lim n → ∞ | a n | n , {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},} 収束する場合は C と等しくなり、代わりにルート テストで使用できます。
ルートテストでは、次のことが述べられています。
C < 1ならば 級数は 絶対収束する 。 C > 1の場合 、級数は 発散します 。 C = 1で極限が厳密に上から近づく 場合、級数は発散する。 それ以外の場合、テストは決定的ではありません (級数は発散するか、絶対収束するか、 条件付きで収束する可能性が あります)。 C = 1 で級数が収束する 級数も存在します(例 )。また、 C = 1 で級数が発散する 級数も存在します(例 ) 。 ∑ 1 / n 2 {\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}} ∑ 1 / n {\displaystyle \textstyle \sum 1/n}
べき級数への応用 このテストはべき級数 で使用できる
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − p ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}} ここで、係数 c n と中心 pは 複素数 であり 、引数 z は複素変数です。
この級数の項は a n = c n ( z − p ) n で与えられる。そして、上記と同様に a n に根検定を適用する。なお、このような級数は「 p の周りの冪級数」と呼ばれることがある。これは、 収束半径が p を中心とする最大の区間または円の 半径 R であり、その区間または円の内側にあるすべての点 z について級数が収束するからである（区間または円の境界における収束は通常、別途確認する必要がある）。
べき級数に適用された根検定の系はコーシー・アダマールの定理です 。 収束 半径 は、 分母が 0 の場合に実際には∞を意味することに注意してください。 1 / lim sup n → ∞ | c n | n , {\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}
証拠 級数 Σ a n の収束の証明は 比較テスト の応用です 。
任意の n ≥ N ( N は固定された 自然数 ) に対して が成り立つならば 、 となる 。 等比級数は 収束するので、比較判定によって も収束する。したがって、Σ a n は 絶対収束する。 | a n | n ≤ k < 1 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1} | a n | ≤ k n < 1 {\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1} ∑ n = N ∞ k n {\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}} ∑ n = N ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}
n が無限にある 場合 、n は 0 に収束しないため 、 この 級数は発散します。 | a n | n > 1 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}
系の証明 ：冪級数Σ a n = Σ c n ( z − p ) n に対して、上の式から、任意
の n ≥ N に対して次が成り立つような N が存在するとき、級数は収束することがわかる。
| a n | n = | c n ( z − p ) n | n < 1 , {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,} 相当する
| c n | n ⋅ | z − p | < 1 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1} 全てのn ≥ N に対して 成り立ち、これは級数が収束するためには、 十分に大きい n に対して成り立つ必要があることを意味する。これは、 | z − p | < 1 / | c n | n {\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}
| z − p | < 1 / lim sup n → ∞ | c n | n , {\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},} 収束が可能な唯一 の場所は R ≤ 1 / lim sup n → ∞ | c n | n . {\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}
| a n | n = | c n ( z − p ) n | n = 1 , {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,} （1より大きい点は発散するため）そして、これらは区間または円の境界上にある点にすぎないので、収束半径は変化しない。
R = 1 / lim sup n → ∞ | c n | n . {\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}
例 例1:
∑ i = 1 ∞ 2 i i 9 {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {2^{i}}{i^{9}}}} ルートテストを適用し、 lim n → ∞ n 1 / n = 1 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{1/n}=1,}
C = lim n → ∞ | 2 n n 9 | n = lim n → ∞ 2 n n n 9 n = lim n → ∞ 2 ( n 1 / n ) 9 = 2 {\displaystyle C=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}\right|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2} 級数が発散する からである。 [2] C = 2 > 1 , {\displaystyle C=2>1,}
例2:
∑ n = 0 ∞ 1 2 ⌊ n / 2 ⌋ = 1 + 1 + 1 2 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + … {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lfloor n/2\rfloor }}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+\ldots } 根検定は収束を示す。
r = lim sup n → ∞ | a n | n = lim sup n → ∞ | a 2 n | 2 n = lim sup n → ∞ | 1 / 2 n | 2 n = 1 2 < 1. {\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|a_{2n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|1/2^{n}|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1.} この例は、根検定が 比検定 よりも強力であることを示しています。が偶数の 場合、比検定はこの級数に対して決定的ではありません。一方、 が奇数の 場合、 となる ため、極限は 存在しません。 n {\displaystyle n} a n + 1 / a n = 1 {\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1} n {\displaystyle n} a n + 1 / a n = 1 / 2 {\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1/2} lim n → ∞ | a n + 1 / a n | {\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n+1}/a_{n}|}
ルートテスト階層 ルートテスト階層 [3] [4]は 比率テスト 階層と同様に構築されます（ 比率テスト のセクション4.1 、より具体的にはサブセクション4.1.4を参照）。
正の項を持つ級数の場合、 収束/発散の次のテストがあります。 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
を整数と し、を 自然 対数 の番目 の 反復 、すなわち および任意の に対して とし ます 。 K ≥ 1 {\displaystyle K\geq 1} ln ( K ) ( x ) {\displaystyle \ln _{(K)}(x)} K {\displaystyle K} ln ( 1 ) ( x ) = ln ( x ) {\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)} 2 ≤ k ≤ K {\displaystyle 2\leq k\leq K} ln ( k ) ( x ) = ln ( k − 1 ) ( ln ( x ) ) {\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}
が大きいとき 、 は次のように表せると 仮定する。 a n − n {\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}} n {\displaystyle n}
a n − n = 1 + 1 n + 1 n ∑ i = 1 K − 1 1 ∏ k = 1 i ln ( k ) ( n ) + ρ n n ∏ k = 1 K ln ( k ) ( n ) . {\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.} (空の合計は 0 であるとみなされます。)
この級数は収束する。 lim inf n → ∞ ρ n > 1 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1} この級数が発散する場合、 lim sup n → ∞ ρ n < 1 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<1} そうでなければ、テストは決定的ではありません。
証拠 以来 、 a n − n = e − 1 n ln a n {\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}}
e − 1 n ln a n = 1 + 1 n + 1 n ∑ i = 1 K − 1 1 ∏ k = 1 i ln ( k ) ( n ) + ρ n n ∏ k = 1 K ln ( k ) ( n ) . {\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.} このことから、
ln a n = − n ln ( 1 + 1 n + 1 n ∑ i = 1 K − 1 1 ∏ k = 1 i ln ( k ) ( n ) + ρ n n ∏ k = 1 K ln ( k ) ( n ) ) . {\displaystyle \ln a_{n}=-n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}\right).} 右辺に テイラー展開を 適用すると、次の式が得られます。
ln a n = − 1 − ∑ i = 1 K − 1 1 ∏ k = 1 i ln ( k ) ( n ) − ρ n ∏ k = 1 K ln ( k ) ( n ) + O ( 1 n ) . {\displaystyle \ln a_{n}=-1-\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}-{\frac {\rho _{n}}{\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n}}\right).} したがって、
a n = { e − 1 + O ( 1 / n ) 1 ( n ∏ k = 1 K − 2 ln ( k ) n ) ln ( K − 1 ) ρ n n , K ≥ 2 , e − 1 + O ( 1 / n ) 1 n ρ n , K = 1. {\displaystyle a_{n}={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{(n\prod _{k=1}^{K-2}\ln _{(k)}n)\ln _{(K-1)}^{\rho _{n}}n}},&K\geq 2,\\\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{n^{\rho _{n}}}},&K=1.\end{cases}}} (空の積は1に設定されます。)
最終結果は、 収束の積分テスト から得られます。
参照
参考文献 ^ ボッタッツィーニ、ウンベルト（1986年）、高等微積分学：オイラーからワイエルシュトラスまでの実解析と複素解析の歴史、シュプリンガー・フェアラーク、pp. 116–117、 ISBN 978-0-387-96302-0 イタリア語からの翻訳はウォーレン・ヴァン・エグモンドが担当しました。 ^ ブリッグス、ウィリアム；コクラン、ライル（2011年） 『微積分学：初期超越関数 』アディソン・ウェスレー。 571ページ。 ^ Abramov, Vyacheslav M. (2022). 「正級数の収束のための必要十分条件」 (PDF) . Journal of Classical Analysis . 19 (2): 117--125. arXiv : 2104.01702 . doi :10.7153/jca-2022-19-09. ^ Bourchtein, Ludmila ; Bourchtein, Andrei ; Nornberg, Gabrielle ; Venzke, Cristiane (2012). 「コーシー検定に関連する収束検定の階層」 (PDF) . International Journal of Mathematical Analysis . 6 (37--40): 1847--1869. クノップ、コンラッド (1956). 「§ 3.2. 無限列と級数 」 . Dover publications, Inc., ニューヨーク. ISBN 0-486-60153-6 。 ウィテカー, E.T. & ワトソン, GN. (1963). 「§ 2.35. 現代分析講座 （第4版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-58807-3 。 この記事にはPlanetMath の Proof of Cauchy's root test からの資料が組み込まれており 、これは Creative Commons Attribution-Share-Alike License に基づいてライセンスされています。
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![{\displaystyle C=\lim _{n\to \infty}{\sqrt[{n}]{\left|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}\right|}}=\lim _{n\to \infty}{\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}=\lim _{n\to \infty}{\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8a3691c81efdb7ea33efb7eb68adf099a3c7a3)
![{\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|a_{2n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|1/2^{n}|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf057c3d1c6b7993f32b2df98633676420b9767)
![{\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c813c1b30ab7bbe9d6a09b4a76194f94162be684)
![{\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f83a41719bab86e1dea150fe329686936480a30)
![{\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d962a71ad498260244968340d74c69710a633878)
