ディリクレ検定

Test for series convergence

数学において、ディリクレ検定は級数の収束性を検定する方法であり、特に条件付き収束の証明に有用である。この検定は、その考案者であるピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレにちなんで名付けられ、 1862年に死後にJournal de Mathématiques Pures et Appliquéesに掲載された。^[1]

声明

このテストは、が単調な実数列であり、が有界部分和を持つ実数列または複素数列である場合、級数 ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ${\displaystyle (b_{n})}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$$

収束する。^{[2] [3] [4]}

証拠

ととします。 ${\textstyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$ ${\textstyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$

部分和から、 が成り立ちます。部分和の大きさはMによって制限され、のとき、これらの項の最初の値はのときゼロに近づきます。 ${\textstyle S_{n}=a_{n}B_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle |a_{n}B_{n}|\leq |a_{n}M|\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

さらに、各kについて、. ${\displaystyle |B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M|a_{k}-a_{k+1}|}$

は単調なので、減少または増加のいずれかです。 ${\displaystyle (a_{n})}$

• が減少する場合、これはと等しくなる伸縮和であり、したがって に近づくにつれてに近づきます。したがって、は収束します。 ${\displaystyle (a_{n})}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),}$$ ${\displaystyle M(a_{1}-a_{n+1})}$ ${\displaystyle Ma_{1}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$
• が増加する場合、これもまた伸縮和となり、 に等しくなるため、に近づくにつれて に近づきます。したがって、やはりは収束します。 ${\displaystyle (a_{n})}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=-\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=-M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),}$$ ${\displaystyle -M(a_{1}-a_{n+1})}$ ${\displaystyle -Ma_{1}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$

したがって、この級数は直接比較テストによって に収束する。したがって収束する。^{[2] [4]} ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$ ${\displaystyle S_{n}}$

アプリケーション

ディリクレ検定の特別なケースとしては、より一般的に使用される交代級数検定がある^{[2] [5]} $${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Longrightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1.}$$

もう一つの系は、がゼロに向かう減少列であるとき、が収束するということである。が有界であることを確認するために、和の公式^{[6]を使うことができる。} ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sin n}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sin n=\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{in}-e^{-in}}{2i}}={\frac {\sum _{n=1}^{N}(e^{i})^{n}-\sum _{n=1}^{N}(e^{-i})^{n}}{2i}}={\frac {\sin 1+\sin N-\sin(N+1)}{2-2\cos 1}}.}$$

不定積分

不定積分の収束に関する同様の記述は、部分積分を用いて証明される。関数fの積分がすべての区間にわたって一様に有界であり、gが有界な非負単調減少関数である場合、 fgの積分は収束する不定積分となる。

注記

1. アベルのデモンストレーション。 Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), pp. 253–255 2011-07-21 にWayback Machineにアーカイブされました。 [1]も参照してください。
2. アポストル 1967、407–409 ページ
3. スピヴァック 2008、495ページ
4. Rudin 1976、p. 70
5. ルディン 1976, 71ページ
6. 「$\sin(n)$ 式の合計はどこから来るのか？」

参考文献

• アポストル、トム・M. (1967) [1961].微積分学第1巻（第2版）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-00005-1。
• ハーディ、GH、「純粋数学講座」、第9版、ケンブリッジ大学出版局、1946年（pp.379-380）。
• ルディン、ウォルター(1976) [1953].数学解析の原理（第3版）. ニューヨーク: マグロウヒル. ISBN 0-07-054235-X. OCLC  1502474。
• スピヴァック、マイケル(2008) [1967].微積分学（第4版）. ヒューストン、テキサス州: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1。
• ヴォクスマン、ウィリアム・L. 『微積分学入門：現代解析学』、マルセル・デッカー社、ニューヨーク、1981年。(§8.B.13–15) ISBN 0-8247-6949-X。

外部リンク

• プラネットマス

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