Definite integral of a scalar or vector field along a path
数学 において 、 線積分 とは 積分する関数が曲線に沿って評価される 積分で ある 。 [ 1 ] 経路積分 、 曲線積分 、 曲線積分 という用語 も使用される。また、 線積分も 使用されるが、これは通常複素平面上の線積分にのみ使用される。
積分する関数は、 スカラー場 または ベクトル場 です。線積分の値は、曲線上のすべての点における場の値の合計であり、曲線上の何らかのスカラー関数 (通常は 弧長 、またはベクトル場の場合はベクトル場と曲線上の 微分 ベクトルの スカラー積) によって重み付けされます。この重み付けにより、線積分は、 区間 で定義されるより単純な積分と区別されます。物理学における多くの単純な式、 例えば としての 仕事 の定義には 、 線積分 (この場合は ) という自然な連続類似物があります。これは、 電場 または重力場 F 内を経路 に沿って移動する物体にかかる 仕事 を計算します 。 W = F ⋅ s {\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} } W = ∫ L F ( s ) ⋅ d s {\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} } L {\displaystyle L}
ベクトル計算 定性的に言えば、ベクトル解析における線積分は、与えられた曲線に沿った与えられた テンソル場 の全体的な効果の尺度と考えることができます。例えば、スカラー場（階数0のテンソル）上の線積分は、特定の曲線によって切り取られた場の下の面積として解釈できます。これは、 xy 平面上の 曲線 Cと z = f ( x , y ) によって形成される面として視覚化できます。f の線積分は、 C の 真上にある面の点が切り取られた ときに形成される「カーテン」の面積となります。
スカラー場の線積分 スカラー場f 上の線積分は 、場によって記述される 面 z = f ( x , y )に沿った曲線 C の下の面積と考えることができます。
意味 となる スカラー場 に対して、 区分的に滑らかな 曲線 に沿った線積分は 次 のように定義されます
。ここで、 は 曲線の 任意の 全単射 パラメータ化 であり、 r ( a ) と r ( b ) は の端点を与え 、 a < b となります。ここで、そして本稿の残りの部分では、絶対値のバーは ベクトルの 標準（ユークリッド）ノルムを表します。 f : U → R {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} C ⊂ U {\displaystyle {\mathcal {C}}\subset U} ∫ C f d s = ∫ a b f ( r ( t ) ) | r ′ ( t ) | d t , {\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt,} r : [ a , b ] → C {\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
関数 f は積分関数と呼ばれ、曲線は 積分領域であり、記号 ds は 直感的に曲線の 基本 弧長 （すなわち の微分長 ）として解釈できる。曲線上のスカラー場の線積分は、 の選択された媒介変数化 r に依存しない 。 [2] C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
幾何学的には、スカラー場 f が 平面 ( n = 2 ) 上で定義されている場合、そのグラフは空間上の面 z = f ( x , y ) となり、線積分は曲線と f のグラフ で囲まれた（符号付き） 断 面積を与えます。右のアニメーションをご覧ください。 C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
導出 スカラー場上の線積分については、上記の f 、 C の定義と C の 媒介変数化 r を用いたリーマン和 から積分を構築できる。これは、 区間 [ a 、 b ] を長さ Δ t = ( b − a )/ n のn 個の部分区間 [ t i −1 、 t i ] に分割することで実行できる。 この場合、 r ( t i )は曲線 C 上のある点（サンプル点と呼ぶ）を表す。 サンプル点の 集合 { r ( t i ): 1 ≤ i ≤ n } を用いて、各サンプル点 r ( t i −1 ) と r ( t i ) の間に直線部分を導入することで、曲線 Cを 多角形パス として 近似できる 。 （曲線を多角形に近似することを 曲線の平行化 と呼びます。詳細については、 こちらを ご覧ください。）次に、曲線上の隣接する標本点間の線分の距離を Δ s i とします。f ( r ( t i )) と Δ s i の積は、それぞれ高さが f ( r ( t i )) 、幅が Δ s i の長方形の符号付き面積に関連付けることができます。 分割の長さが0に近づくにつれて項の 和 の 極限 をとると、次の式 が得られます。 I = lim Δ s i → 0 ∑ i = 1 n f ( r ( t i ) ) Δ s i . {\displaystyle I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.}
平均値定理 によれば 、曲線上の連続する点間の距離は、 Δ s i = | r ( t i + Δ t ) − r ( t i ) | ≈ | r ′ ( t i ) Δ t | {\displaystyle \Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t\right|}
これを上記のリーマン和に代入すると 、積分のリーマン和が
得られる。 I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n f ( r ( t i ) ) | r ′ ( t i ) | Δ t {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t} I = ∫ a b f ( r ( t ) ) | r ′ ( t ) | d t . {\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.}
ベクトル場の線積分
意味 ベクトル場 F : U ⊆ R n → R n に対して 、 r 方向の、 区分的に滑らかな 曲線 C ⊂ U に沿った線積分は、次のように定義されます。 ここで、 · は ドット積 、 r : [ a , b ] → Cは、 r ( a ) と r ( b )が C の端点と なるような 曲線 Cの正規な パラメータ化 （つまり、 ） です 。 ∫ C F ( r ) ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t {\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt} | | r ′ ( t ) | | ≠ 0 ∀ t ∈ [ a , b ] {\displaystyle ||\mathbf {r} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]}
したがって、スカラー場の線積分はベクトル場の線積分であり、ベクトルは常に 積分の線に 接します。
ベクトル場の線積分は、絶対値 においては 媒介変数 rに依存しないが、その 向き には依存する 。具体的には、媒介変数rの向きが反転すると、線積分の符号が変化する。 [2]
微分幾何学 の観点から見ると 、曲線に沿ったベクトル場の線積分は、 浸漬 1 次元多様体として考えられる曲線上の、 音楽同型 (ベクトル場を対応する共 ベクトル 場にする) による対応する1 次元形式の積分です。
導出 ベクトル場内の曲線に沿った粒子（赤色）の軌跡。 粒子は a から出発し、ベクトル場 Fに沿って経路 C を描きます。接線ベクトル（赤色の矢印）と場ベクトル（青色の矢印）の内積（緑色の線）は曲線の下の面積を定義し、これは経路の線積分に相当します。（画像をクリックすると詳細な説明が表示されます。） ベクトル場の線積分はスカラー場の場合と非常によく似た方法で導くことができますが、今回はドット積を組み込みます。ここでも上記の F 、 C の定義とそのパラメータ化 r ( t )を使用して、 リーマン和 から積分を構築します 。区間 [ a 、 b ] ( パラメータ t の値の範囲) を長さ Δ t = ( b − a )/ n のn 区間 に分割します 。 t i を [ a 、 b ]上の i 番目の点 とすると 、 r ( t i )は曲線上の i 番目の点の位置を与えます 。ただし、後続の点間の距離を計算する代わりに、それらの 変位 ベクトル Δ r i を計算する必要があります。前と同様に、曲線上のすべての点で F を 評価し、各変位ベクトルとのドット積をとると、 C 上の F の各区分の 微小な 寄与が得られます。パーティションのサイズをゼロにすると、合計は次のようになります。 I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n F ( r ( t i ) ) ⋅ Δ r i {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}}
平均値定理 によれば 、曲線上の隣接する点間の変位ベクトルは Δ r i = r ( t i + Δ t ) − r ( t i ) ≈ r ′ ( t i ) Δ t . {\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.}
これを上記のリーマン和に代入すると、 I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n F ( r ( t i ) ) ⋅ r ′ ( t i ) Δ t , {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,}
これは上で定義した積分のリーマン和です。
パス独立性 ベクトル場 F がスカラー場 G の 勾配 である場合 （つまり F が保存的で ある場合 ）、つまり となるとき、 多変数連鎖律 により、 G と r ( t ) の 合成 の 微分 は、 Fの r ( t ) 上の 線積分の被積分関数となる 。
したがって 、パス C が与えられると、
次の式が成り立つ。 F = ∇ G , {\displaystyle \mathbf {F} =\nabla G,} d G ( r ( t ) ) d t = ∇ G ( r ) ⋅ r ′ ( t ) = F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) {\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)} ∫ C F ( r ) ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t = ∫ a b d G ( r ( t ) ) d t d t = G ( r ( b ) ) − G ( r ( a ) ) . {\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}
言い換えれば、 F のC 上の積分は 、点 r ( b ) と r ( a )における G の値のみに依存し、したがってそれらの間の経路に依存しません。このため、保存ベクトル場の線積分は 経路独立 と呼ばれます 。
アプリケーション 線積分は物理学において多くの用途がある。例えば、 ベクトル場 F で表される力場内の曲線C 上を移動する粒子に与えられる 仕事は、 F のC 上における 線積分である 。 [3]
別の例として、 アンペールの回路法則 を参照してください。
曲線を横切る流れ ベクトル場 F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) の場合 、 曲線 C ⊂ Uに沿った線積分 (フラックス積分 とも呼ばれます) は、 区分的に滑らかな パラメータ化 r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) によって 次のように定義されます。 F : U ⊆ R 2 → R 2 {\displaystyle \mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} ∫ C F ( r ) ⋅ d r ⊥ = ∫ a b [ P ( x ( t ) , y ( t ) ) Q ( x ( t ) , y ( t ) ) ] ⋅ [ y ′ ( t ) − x ′ ( t ) ] d t = ∫ a b ( − Q d x + P d y ) . {\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}\left(-Q~dx+P~dy\right).}
ここで 、⋅ はドット積、 は 速度ベクトルの時計回りの垂線です 。 r ′ ( t ) ⊥ = ( y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))} r ′ ( t ) = ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))}
流れは有向的に計算されます。曲線 Cは r ( a )から r ( b ) への 指定された順方向を持ち 、流れは F ( r ( t ) )が順方向速度ベクトル r' ( t ) の時計回り側にあるときに正としてカウントされます 。
複素線積分 複素解析 において、線積分は 複素数の 乗算 と 加算 によって定義される。U が 複素平面 C の 開部分集合で あるとする 。f : U → C は関数であり、 γ : [ a , b ] → L （ただし γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) ） でパラメータ化された有限長の曲線である 。線積分は、 区間 [ a , b ] を a = t 0 < t 1 < ... < t n = b に分割し 、次の式を考えること によって定義できる。 L ⊂ U {\displaystyle L\subset U} ∫ L f ( z ) d z {\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz} ∑ k = 1 n f ( γ ( t k ) ) [ γ ( t k ) − γ ( t k − 1 ) ] = ∑ k = 1 n f ( γ k ) Δ γ k . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}
分割区間の長さがゼロに近づくにつれて、
積分はこの リーマン和 の極限になります。
パラメータ化 γが 連続的に微分可能 な場合 、線積分は実変数の関数の積分として評価できます。 ∫ L f ( z ) d z = ∫ a b f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.}
L が閉曲線（始点と終点が一致する）の 場合、線積分はしばしば と表され、工学では 巡回積分 と呼ばれることもあります 。 ∮ L f ( z ) d z , {\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}
ベクトル場の線積分との完全な類似性を確立するには、多変数微分積分における微分可能性の定義に立ち返る必要があります。勾配は リースの表現定理 から定義され、複素解析における内積は共役性を含みます（ある関数のある点における 勾配は となり、複素内積は 線積分のベクトル場の定義において の 共役項の2倍を帰属させます）。 γ {\displaystyle \gamma } z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } γ ′ ( z ) ¯ {\displaystyle {\overline {\gamma '(z)}}} γ ′ {\displaystyle \gamma '}
共役複素微分に関する線積分は 次のように 定義される [4]。 d z ¯ {\displaystyle {\overline {dz}}} ∫ L f ( z ) d z ¯ := ∫ L f ( z ) ¯ d z ¯ = ∫ a b f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) ¯ d t . {\displaystyle \int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.}
複素関数の線積分は、様々な手法で評価できます。最も直接的な方法は、実部と虚部に分割し、問題を2つの実数値線積分の評価に簡略化することです。 コーシーの積分定理は、 解析関数 の線積分を、より簡便な曲線上の同じ積分と 等しくするために使用できます。また、コーシーの積分定理は、 f ( z )が 特異点 のない解析関数である領域を囲む閉曲線上では 、積分の値が単にゼロになることを意味します。領域に特異点が含まれる場合は、 留数定理 によって積分が特異点に基づいて計算されます。これはまた、解析関数の複素線積分の経路独立性も意味します。
例 関数 f ( z ) = 1/ z を考え、等高線 L を 0 を中心とする反時計 回りの単位円 とし、 複素指数関数 を用いて z ( t ) = e it （ tは [0, 2 π ] の範囲） でパラメータ化する 。代入すると、次の式が得られる。 ∮ L 1 z d z = ∫ 0 2 π 1 e i t i e i t d t = i ∫ 0 2 π e − i t e i t d t = i ∫ 0 2 π d t = i ( 2 π − 0 ) = 2 π i . {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{L}{\frac {1}{z}}\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}}
これはコーシーの積分公式 と 留数定理 の典型的な結果です 。
複素線積分とベクトル場の線積分の関係 複素数を 2 次元 ベクトル として見ると、複素数値関数の線積分の実部と複素部は、 共役 関数 に対応するベクトル場の線積分とフラックス積分に等しくなります。 具体的には、 L をパラメーター化し 、が ベクトル場に対応する場合、 次のようになります。 f ( z ) {\displaystyle f(z)} f ( z ) ¯ . {\displaystyle {\overline {f(z)}}.} r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))} f ( z ) = u ( z ) + i v ( z ) {\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)} F ( x , y ) = f ( x + i y ) ¯ = ( u ( x + i y ) , − v ( x + i y ) ) , {\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),} ∫ L f ( z ) d z = ∫ L ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ∫ L ( u , − v ) ⋅ ( d x , d y ) + i ∫ L ( u , − v ) ⋅ ( d y , − d x ) = ∫ L F ( r ) ⋅ d r + i ∫ L F ( r ) ⋅ d r ⊥ . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dx,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }.\end{aligned}}}
コーシーの定理 によれば、 任意の滑らかな閉曲線 L に対して が 解析的（ コーシー・リーマン方程式 を 満たす）な場合、左辺の積分はゼロになる。同様に、 グリーンの定理によれば、 が 非回転 （ 回転 なし）かつ 非圧縮 （ 発散 なし）な 場合、右辺の積分はゼロになる 。実際、 に対するコーシー・リーマン方程式は、 F における回転と発散の消滅と同一である 。 f ( z ) {\displaystyle f(z)} F = f ( z ) ¯ {\displaystyle \mathbf {F} ={\overline {f(z)}}} f ( z ) {\displaystyle f(z)}
グリーンの定理 によれば 、滑らかで閉じた正の向きの曲線で囲まれた領域の面積は、 積分によって与えられます。 この事実は、たとえば、 面積定理 の証明で使用されます。 L {\displaystyle L} 1 2 i ∫ L z ¯ d z . {\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}
量子力学 量子力学 における 経路 積分の定式化は、 実際にはこの意味での経路積分ではなく、 関数積分 、すなわち経路空間上の可能な経路 の 関数の積分を指します。しかしながら、本稿で言う経路積分は量子力学において重要であり、例えば、複素路積分は 量子 散乱理論における 確率振幅の 評価によく用いられます。
参照
参考文献 ^ Kwong-Tin Tang (2006年11月30日). 『エンジニアと科学者のための数学的手法2：ベクトル解析、常微分方程式、ラプラス変換』 Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1 。 ^ ab Nykamp, Duane. 「線積分はパラメータ化に依存しない」. Math Insight . 2020年 9月18日 閲覧 。 ^ “16.2 線積分”. www.whitman.edu . 2020年9月18日 閲覧。 ^ アルフォース、ラース（1966年）『複素解析』（第2版）ニューヨーク：マグロウヒル、103頁。
外部リンク
![{\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e254c282fe91e1b451afd278d990ae34283d19)
![{\displaystyle ||\mathbf {r} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a845d5294bb81bb2d50c44b4747fd6d6ea9689d2)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2bb22683cc64b9d75f8c5c6c3a2d60bde08a515)
