体積積分

数学（特に多変数微積分学）において、体積積分（∭）は3次元領域上の積分であり、多重積分の特殊なケースです。体積積分は、例えば磁束密度の計算や、対応する密度関数から質量を計算するなど、物理学において多くの応用において特に重要です。

座標で

多くの場合、体積積分は微分体積要素で表されます。これは関数の領域内の三重積分を意味することもあり、通常は次のように記述されます。円筒座標での体積積分はで、球座標での体積積分（を方位角とし、を極軸から測定した角度の ISO 規則を使用（規則の詳細についてはを参照））はという形式になります。三重積分は、ヤコビ行列と行列式を使用して、直交座標から任意の座標系に変換できます。からへの座標変換があるとします。積分は次のように表すことができます。ここで、ヤコビ行列式をと定義します。 $dV=dx\,dy\,dz$ $\iiint _{D}f(x,y,z)\,dV.$ $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ $f(x,y,z),$ $\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$ $\iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,$ $\varphi$ $\theta$ $\iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$ $(x,y,z)\mapsto (u,v,w)$ $\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{D}f(u,v,w)\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\,du\,dv\,dw$ $\mathbf {J} ={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\\\end{vmatrix}}$

例

この方程式を単位立方体に積分すると、次の結果が得られます。 $f(x,y,z)=1$ $\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1$

したがって、単位立方体の体積は予想通り1です。しかし、これは比較的単純な計算であり、体積積分の方がはるかに強力です。例えば、単位立方体のスカラー密度関数を体積積分に用いると、立方体の総質量が得られます。例えば、密度関数の場合、立方体の総質量は次のようになります。 ${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}$ $\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}$

参照

外部リンク

「多重積分」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
ワイスタイン、エリック W.「体積積分」。マスワールド。