多変数微積分

Calculus of functions of several variables

多変数微積分学（多変数微積分学とも呼ばれる）は、 1変数の微積分学を多変数関数に拡張したもので、 1つの変数だけでなく複数の変数（多変数）を含む関数の微分と積分を行います。^[1]

多変数微積分は、ユークリッド空間における微積分学の基本的な部分と考えることができる。三次元空間における微積分の特殊なケースは、しばしばベクトル微積分と呼ばれる。

導入

一変数微分積分学では、微分や積分といった演算は一変数の関数に対して行われます。多変数微分積分学では、これらを多変数に一般化する必要があり、したがって定義域は多次元になります。したがって、これらの一般化には注意が必要です。これは、1次元空間と高次元空間の間に2つの重要な違いがあるためです。

1. 1D では 2 つの方法 (正の方向と負の方向から) しかありませんが、高次元では単一の点にアプローチする方法が無限にあります。
2. 次元に関連付けられた拡張オブジェクトは複数あります。たとえば、1D 関数は 2D直交平面上の曲線として表されますが、 2 つの変数のスカラー値関数は 3D では表面であり、曲線も 3D 空間に存在することができます。

最初の違いの帰結は、極限と連続性の定義の違いです。方向極限と微分は、1次元の媒介変数付き曲線に沿った極限と微分を定義し、問題を1次元の場合に帰着させます。これらの作用素から、さらに高次元のオブジェクトを構築することができます。

2番目の違いの結果として、線積分、面積分、体積積分など、複数の種類の積分が存在することになります。これらの積分は一意ではないため、不定積分や原始積分を適切に定義することはできません。

制限

多変数微積分における極限と連続性の研究により、単変数関数では示されない多くの直感に反する結果が得られます。

経路に沿った極限は、n次元ユークリッド空間におけるパラメータ化された経路を考えることで定義できる。任意の関数は、経路上に1次元関数として投影することができる。したがって、経路に沿った点への の極限は次のように定義できる。 ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f(s(t))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle \lim _{{\overrightarrow {x}}\to s(t_{0})}f({\overrightarrow {x}})=\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}$

1

この極限の値は、極限が近づく点だけでなく、 の形、つまり選択された経路に依存する可能性があることに注意してください。^{[1] : 19–22}例えば、関数 ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}$

点に直線、またはパラメトリック形式で近づく場合: ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y=kx}$

関数f ( x , y ) = ( x ²y)/( x ⁴ + y ² )のプロット

${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=kt}$

2

すると、パスに沿った制限は次のようになります。

${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {kt^{3}}{t^{4}+k^{2}t^{2}}}=0}$

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一方、パス（またはパラメトリックに）を選択した場合、限界は次のようになります。 ${\displaystyle y=\pm x^{2}}$ ${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}}$

${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {\pm t^{4}}{t^{4}+t^{4}}}=\pm {\frac {1}{2}}}$

4

同じ点に向かう異なる経路を辿ると異なる値が得られるため、その点における関数の一般的な限界を定義することはできません。 ${\displaystyle (0,0)}$

一般極限は、すべての可能な経路に沿った点への極限が同じ値に収束する場合に定義できます。つまり、関数のある点への極限がLである場合、次の 式が成り立ちます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=L}$

5

となるすべての連続関数に対して。 ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

連続

経路に沿った極限の概念から、同様にして多変数連続性の定義を導くことができる。つまり、点 で連続な関数に対して、次の場合のみ 成り立つと述べる。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=f(x_{0})}$

5

となるすべての連続関数に対して。 ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

限界と同様に、1 つのパスに沿って連続していることは、多変数連続性を意味するものではありません。 ${\displaystyle s(t)}$

各引数における連続性が多変数連続性の十分条件ではないことは、次の例からもわかります。^{[1] ：17–19}たとえば、2 つの実数値パラメータを持つ実数値関数 の場合、 が固定値に対して連続していること、および が固定値に対して連続していることは、が連続していることを意味するものではありません。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

考慮する

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

この関数は定義により境界上と四角形 の外側でゼロになることは容易に証明できる。さらに、定数とに対して、およびによって定義される関数は、 ${\displaystyle (0,1)\times (0,1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$

${\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }$そして ${\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }$

連続している。具体的には、

${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}$すべてのxとyについて、したがって、さらに座標軸に沿って、およびとなります。したがって、関数は個々の引数の両方に沿って連続です。 ${\displaystyle f(0,0)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}$ ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}$

しかし、パラメトリックパスを考えてみましょう。パラメトリック関数は次のようになります。 ${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t}$

${\displaystyle f(x(t),y(t))={\begin{cases}1-t&{\text{if}}\quad t>0\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

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したがって、

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(x(t),y(t))=1\neq f(0,0)=0}$

7

したがって、関数は両方の座標で連続しているにもかかわらず、多変数連続ではないことは明らかです。

多変数極限と連続性に関する定理

• 単変数微積分における線形性と重ね合わせのすべての特性は、多変数微積分にも引き継がれます。
• 合成:および がそれぞれ点 および において多変数連続関数である場合、も点 において多変数連続関数です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• 乗算:と が両方とも点 で連続関数である場合、 はで連続し、 であれば でも連続します。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$
• が点 で連続関数である場合、も同じ点 で連続です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle |f|}$
• が点 の近傍でリプシッツ連続（必要に応じて適切なノルム空間を使用）である場合、 はにおいて多変数連続です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

証拠

リプシッツ連続条件から、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|}$ 8 ここではリプシッツ定数です。また、 がで連続であるとき、任意のに対してが存在し、 となることにも注意してください。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }$ ${\displaystyle \forall |t-t_{0}|<\epsilon }$ したがって、任意の に対してを選ぶと、 、、および を満たすすべての に対して となる が存在する。したがって、の正確な形式に関わらず はに収束する。 ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{K}}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |t-t_{0}|<\epsilon }$ ${\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }$ ${\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|<K\delta =\alpha }$ ${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}$ ${\displaystyle f(s(t_{0}))}$ ${\displaystyle s(t)}$

差別化

方向微分

一変数関数の微分は次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

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上で議論した極限の拡張を使用すると、導関数の定義を、あるパスに沿ったスカラー値関数に拡張することができます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0}+h))-f(s(t_{0}))}{|s(t_{0}+h)-s(t_{0})|}}}$

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値が経路 の正確な形状に依存する極限とは異なり、経路 に沿った導関数は における経路の接線ベクトルのみに依存することが示されます。つまり、がでリプシッツ連続であり、そのような経路の少なくとも 1 つに極限が存在するという条件付きです。 ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$ ${\displaystyle s'(t_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$

証拠

1 次導関数まで連続の場合(このステートメントは1 変数の関数として明確に定義されています)、テイラーの定理を使用しての周りのテイラー展開を書き、剰余を構築することができます。 ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle s(t)=s(t_{0})+s'(\tau )(t-t_{0})}$ 11 どこ。 ${\displaystyle \tau \in [t_{0},t]}$ これを10に代入すると、 ${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(\tau )h)-f(s(t_{0}))}{|s'(\tau )h|}}}$ 12 どこ。 ${\displaystyle \tau (h)\in [t_{0},t_{0}+h]}$ リプシッツ連続性は、ある有限の に対してを与える。したがって が成り立つ。 ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq K|x-y|}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle |f(x+O(h))-f(x)|\sim O(h)}$ また、 の連続性を与えられた場合、となることにも注意してください。 ${\displaystyle s'(t)}$ ${\displaystyle s'(\tau )=s'(t_{0})+O(h)}$ ${\displaystyle h\to 0}$ これら2つの条件を12に代入すると、 ${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(t_{0})h)-f(s(t_{0}))+O(h^{2})}{|s'(t_{0})h|+O(h^{2})}}}$ 13 その限界は支配的な項として のみに依存します。 ${\displaystyle s'(t_{0})}$

したがって、方向微分の定義を次のように一般化することができる。ある点における単位ベクトルに沿ったスカラー値関数の方向微分は、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)-f(x_{0})}{t}}}$

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あるいは、通常の微分法で表現すると、

${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\left.{\frac {df(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}{dt}}\right|_{t=0}}$

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これは、 が 1 つの変数を持つスカラー関数であるため、明確に定義された式です。 ${\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}$ ${\displaystyle t}$

方向のないスカラー微分を一意に定義することはできません。例えば、 であることは明らかです。また、ある方向に対しては方向微分が存在し、他の方向に対しては存在しないという可能性もあります。 ${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}$

偏微分

偏微分は、微分の概念を高次元に一般化したものです。多変数関数の偏微分とは、他のすべての変数を一定に保った状態で、1つの変数について微分したものです。 ^{[1] : 26ff}

偏微分は、座標軸に沿った関数の方向微分と考えることができます。

偏微分は興味深い方法で組み合わせることで、より複雑な微分表現を作成することができます。ベクトル解析では、del演算子（ ）を用いて、偏微分における勾配、発散、回転の概念を定義します。偏微分行列であるヤコビ行列は、任意の次元の2つの空間間の関数の微分を表すために使用できます。したがって、微分は、関数の定義域内の点から点へと直接変化する線型変換として理解できます。 ${\displaystyle \nabla }$

偏微分を含む微分方程式は偏微分方程式またはPDEと呼ばれます。これらの方程式は、1つの変数についてのみ微分を含む常微分方程式よりも一般的に解くのが困難です。 ^{[1] : 654ff}

複数の統合

重積分は、積分の概念を任意の変数を持つ関数に拡張するものです。二重積分と三重積分は、平面および空間における領域の面積と体積を計算するために使用できます。 フビニの定理は、被積分関数が積分領域全体にわたって連続である限り、重積分を繰り返し積分または反復積分として評価できることを保証します。 ^{[1] : 367ff}

面積分と線積分は、面や曲線などの曲面多様体上で積分するために使用されます。

多次元微積分学の基本定理

一変数微積分学では、微積分学の基本定理が微分と積分の関係を確立する。多変数微積分学における微分と積分の関係は、ベクトル解析の積分定理によって具体化される。^{[1] : 543ff}

• 勾配定理
• ストークスの定理
• 発散定理
• グリーンの定理。

多変数微積分のより高度な研究では、これら4つの定理は、より一般的な定理である一般化ストークスの定理の特定の具体化であり、多様体上の微分形式の積分に適用されることがわかります。^[2]

用途と使用法

多変数微積分の手法は、物質世界における多くの興味深い対象を研究するために用いられます。特に、

		関数の種類	適用可能な技術
曲線		${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ のために ${\displaystyle n>1}$	曲線の長さ、線積分、曲率。
表面		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}}$ のために ${\displaystyle n>2}$	表面の面積、表面積分、表面を通る流束、および曲率。
スカラー場		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$	最大値と最小値、ラグランジュ乗数、方向微分、レベルセット。
ベクトル場		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$	勾配、発散、回転を含むベクトル計算の演算のいずれか。

多変数微積分は、複数の自由度を持つ決定論的システムの解析に適用できます。これらのシステムをモデル化するために、各自由度に対応する独立変数を持つ関数がよく用いられ、多変数微積分はシステムのダイナミクスを特徴付けるツールを提供します。

多変数解析は、連続時間動的システムの最適制御に用いられます。また、回帰分析においては、様々な経験的データセット間の関係を推定するための式を導出するために使用されます。

多変数微積分は、自然科学、社会科学、工学の多くの分野において、決定論的な挙動を示す高次元システムのモデル化と研究に用いられています。例えば経済学では、消費者による様々な財の選択や、生産者による様々な投入物と生産物の選択が、多変数微積分を用いてモデル化されます。

非決定論的、つまり確率論的なシステムは、確率微積分などの異なる種類の数学を使用して研究することができます。

参照

• 多変数微積分学のトピック一覧
• 多変量統計

参考文献

1. リチャード・クーラント、フリッツ・ジョン（1999年12月14日）。『微積分と解析入門』第2巻、第2号。シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。ISBN 978-3-540-66570-0。
2. スピヴァック、マイケル（1965年）『多様体上の微積分』ニューヨーク：WAベンジャミン社、ISBN 9780805390216。

外部リンク

• カリフォルニア大学バークレー校の多変数微積分学ビデオ講義、2009年秋、エドワード・フレンケル教授
• MIT 多変数微積分学ビデオ講義、2007 年秋
• 多変数微積分学：ジョージ・ケインとジェームズ・ヘロッドによる無料オンライン教科書
• 多変数微積分オンライン：ジェフ・ニズリーによる無料オンライン教科書
• 多変数微積分学 – 超速レビュー、ブレア・ペロー教授、マサチューセッツ大学アマースト校
• 多変数微積分学、オンラインテキスト：ジェリー・シュルマン博士

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