シェル統合

殻積分（積分学における殻法）は、回転体の体積を計算する方法であり、回転軸に垂直な軸に沿って積分する。これは、回転軸に平行な軸に沿って積分する円板積分とは対照的である。

意味

シェル法は次のように進行します。xy平面上の断面をy軸を中心に回転させることによって得られる3次元の体積を考えます $。$ $この$ 断面が区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]上の正関数$ $f (x)$ のグラフで定義されていると仮定します。この場合、体積の式は次のようになります。

2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx

関数が $y$ 座標で回転軸が $x$ 軸の場合、式は次のようになります。

2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy

関数が直線 $x = h$ の周りを回転する場合、式は次のようになります。^[1]

{\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h,\end{cases}}

$y = k$ の周りの回転では次のようになる。

{\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ a<b\leq k.\end{cases}}

この式は、極座標で二重積分を計算することによって導出されます。

式の導出

式を得る方法

この方法の式は次のように導き出されます。

立体の断面を記述する関数を考えてみましょう。関数の積分はリーマン積分として記述できます。 $f(x)$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(a+i\Delta x)\Delta x$

小さな違いはどこにあるか $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$ $x$

リーマン和は、底辺がどんどん小さくなる長方形 n 個の和として考えることができます。そのうちの 1 つに注目してみましょう。

$f(a+k\Delta x)\Delta x$

さて、関数を回転軸を中心に回転させると、これらの長方形すべてを同じ軸を中心に回転させたのと同じになります。これらの長方形は最終的に、2つの通常の円筒の差で構成された中空の円筒になります。ここで選択した長方形の場合、半径、高さの円筒から、半径、高さの同じ小さな円筒を差し引くことで円筒が作成されます。この円筒の体積の差は次のようになります。 $a+(k+1)\Delta x$ $f(a+k\Delta x)$ $a+k\Delta x$ $f(a+k\Delta x)$

$\pi (a+(k+1)\Delta x)^{2}f(a+k\Delta x)-\pi (a+k\Delta x)^{2}f(a+k\Delta x)$

$=\pi f(a+k\Delta x)((a+(k+1)\Delta x)^{2}-(a+k\Delta x)^{2})$

平方差により、最後の因子は次のように減算されます。

$\pi f(a+k\Delta x)(2a+2k\Delta x+\Delta x)\Delta x$

3 番目の因数は 2 で因数分解でき、次のようになります。

$2\pi f(a+k\Delta x)(a+k\Delta x+{\frac {\Delta x}{2}})\Delta x$

同じことがすべての項に対して起こるため、合計は次のようになります。

$\lim _{n\to \infty }2\pi \sum _{i=1}^{n}f(a+i\Delta x)(a+i\Delta x+{\frac {\Delta x}{2}})\Delta x$

の極限では、次のことが明確にわかります。 $n\rightarrow \infty$

$f(a+i\Delta x)$ 0に近づくにつれて、 $\Delta x$ $f(x)$
$(a+i\Delta x+{\frac {\Delta x}{2}})$ は、aからbへと進むとそれ自身になる（最後の項は消えるが、無視する） $x$
$\Delta x$ 微小になる $dx$

したがって、無限の極限では、合計は積分になります。

$2\pi \int \limits _{a}^{b}xf(x)dx$

QED 。 $\square$

例

以下に示す、区間[1, 2]における断面積が次のように定義される体積を考えます。

y=8(x-1)^{2}(x-2)^{2}

シェル法では、次の式を使用するだけです。

V=16\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,dx

多項式を展開すると、積分は簡単に実行でき、次のようになる。8/10⁠立方単位。 $\pi$

ディスク統合との比較

円板積分を用いる場合、体積を求めるにはより多くの作業が必要になります。まず、 $x$ について解く必要があります。次に、体積の中央が空洞になっているため、外側の立体を定義する関数と内側の空洞を定義する関数の2つが必要になります。これら2つの関数をそれぞれ積分した後、それらを減算することで目的の体積が得られます。 $y=8(x-1)^{2}(x-2)^{2}$

参照

参考文献

^ Heckman, Dave (2014). 「Volume – Shell Method」（PDF） . 2016年9月28日閲覧。

ワイスタイン、エリック・W.「シェル法」。MathWorld。
フランク・エアーズ、エリオット・メンデルソン著『シャウムのアウトライン：微積分学』McGraw-Hill Professional 2008年、ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 (オンラインコピー、p. 244、Google Books )

[1] Heckman, Dave (2014). 「Volume – Shell Method」（PDF） . 2016年9月28日閲覧。