Integration technique using recurrence relations
積分学において、 簡約式による積分は、 漸化式 に基づく手法である 。これは、 整数 パラメータ （通常は初等関数のべき乗、または超越関数と任意次数の多項式の積）を含む式を直接積分できない場合に用いられる。他の積分手法を用いると、 より小さい 整数 パラメータ を 持つ 同一 または 類似 の 式 の 積分を求める簡約式を設定し、積分を段階的に簡約化していき、最終的に評価できるようになる。 [1] この積分法は、最も古くから用いられてきた方法の一つである。 [ 要出典 ]
簡約式は、 置換積分 、 部分積分 、 三角置換積分 、 部分分数積分 など、一般的な積分法のいずれかを用いて導出できる。基本的な考え方は、関数の整数パラメータ（例えばべき乗）を含む積分（I n で表される）を、その関数のパラメータのより低い値（より低いべき乗）を含む積分（例えば I n -1 または I n -2 ）で表すことである。これにより、簡約式は一種の 漸化式 となる。言い換えれば、簡約式は積分を表す。
I n = ∫ f ( x , n ) d x , {\displaystyle I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}}x,} に関しては
I k = ∫ f ( x , k ) d x , {\displaystyle I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}}x,} どこ
k < n . {\displaystyle k<n.} 参考文献には再帰積分の一般的な形式が記載されています (たとえば、 Gradshteyn と Ryzhik を 参照)。
積分の計算方法 積分を計算するには、 nをその値に設定し、簡約式を用いて( n -1)または( n -2)の積分で表します 。低い指数の積分は、高い指数の積分を計算するために使用できます。このプロセスは、積分対象となる関数を計算できる点（通常は指数が0または1の点）に達するまで繰り返し続けられます。その後、 I n を計算するまで、前の結果を代入し直します。 [2]
例 以下に手順の例を示します。
余弦積分 典型的には、次のような積分は
∫ cos n x d x , {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x,\,\!} 削減式によって評価することができます。
∫ cos n ( x ) d x {\displaystyle \int \cos ^{n}(x)\,{\text{d}}x\!} （ n = 1, 2 ... 30） まず設定します:
I n = ∫ cos n x d x . {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x.\,\!} 次のように書き直します。
I n = ∫ cos n − 1 x cos x d x , {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x,\,\!} この置換によって積分すると：
cos x d x = d ( sin x ) , {\displaystyle \cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x),\,\!} I n = ∫ cos n − 1 x d ( sin x ) . {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x).\!} 部分ごとに統合します:
∫ cos n x d x = ∫ cos n − 1 x d ( sin x ) = cos n − 1 x sin x − ∫ sin x d ( cos n − 1 x ) = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) ∫ sin x cos n − 2 x sin x d x = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 x sin 2 x d x = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 x ( 1 − cos 2 x ) d x = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 x d x − ( n − 1 ) ∫ cos n x d x = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n , {\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x)\!=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}}\,} I n を解くと ：
I n + ( n − 1 ) I n = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) I n − 2 , {\displaystyle I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,} n I n = cos n − 1 ( x ) sin x + ( n − 1 ) I n − 2 , {\displaystyle nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2},\,} I n = 1 n cos n − 1 x sin x + n − 1 n I n − 2 , {\displaystyle I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2},\,} したがって、削減式は次のようになります。
∫ cos n x d x = 1 n cos n − 1 x sin x + n − 1 n ∫ cos n − 2 x d x . {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x.\!} 例を補足すると、上記の式を使用して、（たとえば） n = 5 の積分を評価できます。
I 5 = ∫ cos 5 x d x . {\displaystyle I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x.\,\!} 下位指数の計算:
n = 5 , I 5 = 1 5 cos 4 x sin x + 4 5 I 3 , {\displaystyle n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,} n = 3 , I 3 = 1 3 cos 2 x sin x + 2 3 I 1 , {\displaystyle n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1},\,} 後方置換:
∵ I 1 = ∫ cos x d x = sin x + C 1 , {\displaystyle \because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1},\,} ∴ I 3 = 1 3 cos 2 x sin x + 2 3 sin x + C 2 , C 2 = 2 3 C 1 , {\displaystyle \therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,} I 5 = 1 5 cos 4 x sin x + 4 5 [ 1 3 cos 2 x sin x + 2 3 sin x ] + C , {\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,} ここで、 C は定数です。
指数積分 もう一つの典型的な例は次のとおりです。
∫ x n e a x d x . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!} まず設定します:
I n = ∫ x n e a x d x . {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!} 置換による積分：
x n d x = d ( x n + 1 ) n + 1 , {\displaystyle x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}},\,\!} I n = 1 n + 1 ∫ e a x d ( x n + 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1}),\!} 部分ごとに統合します:
∫ e a x d ( x n + 1 ) = x n + 1 e a x − ∫ x n + 1 d ( e a x ) = x n + 1 e a x − a ∫ x n + 1 e a x d x , {\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!} ( n + 1 ) I n = x n + 1 e a x − a I n + 1 , {\displaystyle (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!} インデックスを1つ戻す（つまり n + 1 → n 、 n → n – 1）:
n I n − 1 = x n e a x − a I n , {\displaystyle nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!} I n を解くと ：
I n = 1 a ( x n e a x − n I n − 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!} したがって、削減式は次のようになります。
∫ x n e a x d x = 1 a ( x n e a x − n ∫ x n − 1 e a x d x ) . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!} 導出を実行する別の方法は、 を代入することから始まります 。 e a x {\displaystyle e^{ax}}
置換による積分:
e a x d x = d ( e a x ) a , {\displaystyle e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!}
I n = 1 a ∫ x n d ( e a x ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!}
部分ごとに統合します:
∫ x n d ( e a x ) = x n e a x − ∫ e a x d ( x n ) = x n e a x − n ∫ e a x x n − 1 d x , {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!}
これを代入すると、次の簡約式が得られます。
I n = 1 a ( x n e a x − n I n − 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}
これは次と同等です:
∫ x n e a x d x = 1 a ( x n e a x − n ∫ x n − 1 e a x d x ) . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!} 部分積分によって導出を行う別の方法は次のとおりです。
I n = ∫ x n x e a x d x , {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}xe^{ax}\,{\text{d}}x,\!} u = x n , d v = e a x , {\displaystyle u=x^{n}{\text{ , }}\ dv=e^{ax},} d u d x = n x n − 1 , v = e a x a {\displaystyle {\frac {du}{dx}}\ =nx^{n-1}{\text{ , }}\ v={\frac {e^{ax}}{a}}\ } I n = x n e a x a − ∫ n x n − 1 e a x a d x {\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -\int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}}{a}}\ {\text{d}}x\ } I n = x n e a x a − n a ∫ x n − 1 e a x d x {\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ \int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ } 覚えて：
I n − 1 = ∫ x n − 1 e a x d x {\displaystyle I_{n-1}=\int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ } ∴ I n = x n e a x a − n a I n − 1 {\displaystyle \therefore \ I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ I_{n-1}} これを代入すると、次の簡約式が得られます。
I n = 1 a ( x n e a x − n I n − 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!} これは次と同等です:
∫ x n e a x d x = 1 a ( x n e a x − n ∫ x n − 1 e a x d x ) . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}
有理関数 以下の積分 [3] には以下が含まれます。
線形 根号 の因数 a x + b {\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!} 線形因子 と線形根号 p x + q {\displaystyle {px+q}\,\!} a x + b {\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!} 二次 因数 x 2 + a 2 {\displaystyle x^{2}+a^{2}\,\!} 二次因数 、 x 2 − a 2 {\displaystyle x^{2}-a^{2}\,\!} x > a {\displaystyle x>a\,\!} 二次因数 、 a 2 − x 2 {\displaystyle a^{2}-x^{2}\,\!} x < a {\displaystyle x<a\,\!} （ 既約な ）二次因数 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!} 既約二次因数の根号 a x 2 + b x + c {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!} 積分 削減式 I n = ∫ x n a x + b d x {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {x^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,{\text{d}}x\,\!} I n = 2 x n a x + b a ( 2 n + 1 ) − 2 n b a ( 2 n + 1 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}-{\frac {2nb}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!} I n = ∫ d x x n a x + b {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!} I n = − a x + b ( n − 1 ) b x n − 1 − a ( 2 n − 3 ) 2 b ( n − 1 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}}-{\frac {a(2n-3)}{2b(n-1)}}I_{n-1}\,\!} I n = ∫ x n a x + b d x {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}{\sqrt {ax+b}}\,{\text{d}}x\,\!} I n = 2 x n ( a x + b ) 3 a ( 2 n + 3 ) − 2 n b a ( 2 n + 3 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {(ax+b)^{3}}}}{a(2n+3)}}-{\frac {2nb}{a(2n+3)}}I_{n-1}\,\!} I m , n = ∫ d x ( a x + b ) m ( p x + q ) n {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(ax+b)^{m}(px+q)^{n}}}\,\!} I m , n = { − 1 ( n − 1 ) ( b p − a q ) [ 1 ( a x + b ) m − 1 ( p x + q ) n − 1 + a ( m + n − 2 ) I m , n − 1 ] 1 ( m − 1 ) ( b p − a q ) [ 1 ( a x + b ) m − 1 ( p x + q ) n − 1 + p ( m + n − 2 ) I m − 1 , n ] {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{(m-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}\right]\end{cases}}\,\!} I m , n = ∫ ( a x + b ) m ( p x + q ) n d x {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} I m , n = { − 1 ( n − 1 ) ( b p − a q ) [ ( a x + b ) m + 1 ( p x + q ) n − 1 + a ( n − m − 2 ) I m , n − 1 ] − 1 ( n − m − 1 ) p [ ( a x + b ) m ( p x + q ) n − 1 + m ( b p − a q ) I m − 1 , n ] − 1 ( n − 1 ) p [ ( a x + b ) m ( p x + q ) n − 1 − a m I m − 1 , n − 1 ] {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(n-m-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}}\,\!}
積分 削減式 I n = ∫ d x ( x 2 + a 2 ) n {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!} I n = x 2 a 2 ( n − 1 ) ( x 2 + a 2 ) n − 1 + 2 n − 3 2 a 2 ( n − 1 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!} I n , m = ∫ d x x m ( x 2 + a 2 ) n {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!} a 2 I n , m = I m , n − 1 − I m − 2 , n {\displaystyle a^{2}I_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!} I n , m = ∫ x m ( x 2 + a 2 ) n d x {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} I n , m = I m − 2 , n − 1 − a 2 I m − 2 , n {\displaystyle I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^{2}I_{m-2,n}\,\!}
積分 削減式 I n = ∫ d x ( x 2 − a 2 ) n {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!} I n = − x 2 a 2 ( n − 1 ) ( x 2 − a 2 ) n − 1 − 2 n − 3 2 a 2 ( n − 1 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}=-{\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}-a^{2})^{n-1}}}-{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!} I n , m = ∫ d x x m ( x 2 − a 2 ) n {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!} a 2 I n , m = I m − 2 , n − I m , n − 1 {\displaystyle {a^{2}}I_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!} I n , m = ∫ x m ( x 2 − a 2 ) n d x {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} I n , m = I m − 2 , n − 1 + a 2 I m − 2 , n {\displaystyle I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^{2}I_{m-2,n}\,\!}
積分 削減式 I n = ∫ d x ( a 2 − x 2 ) n {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!} I n = x 2 a 2 ( n − 1 ) ( a 2 − x 2 ) n − 1 + 2 n − 3 2 a 2 ( n − 1 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(a^{2}-x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!} I n , m = ∫ d x x m ( a 2 − x 2 ) n {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!} a 2 I n , m = I m , n − 1 + I m − 2 , n {\displaystyle {a^{2}}I_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!} I n , m = ∫ x m ( a 2 − x 2 ) n d x {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} I n , m = a 2 I m − 2 , n − I m − 2 , n − 1 {\displaystyle I_{n,m}=a^{2}I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!}
積分 削減式 I n = ∫ d x x n ( a x 2 + b x + c ) {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{{x^{n}}(ax^{2}+bx+c)}}\,\!} − c I n = 1 x n − 1 ( n − 1 ) + b I n − 1 + a I n − 2 {\displaystyle -cI_{n}={\frac {1}{x^{n-1}(n-1)}}+bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!} I m , n = ∫ x m d x ( a x 2 + b x + c ) n {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {x^{m}\,{\text{d}}x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!} I m , n = − x m − 1 a ( 2 n − m − 1 ) ( a x 2 + b x + c ) n − 1 − b ( n − m ) a ( 2 n − m − 1 ) I m − 1 , n + c ( m − 1 ) a ( 2 n − m − 1 ) I m − 2 , n {\displaystyle I_{m,n}=-{\frac {x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(n-m)}{a(2n-m-1)}}I_{m-1,n}+{\frac {c(m-1)}{a(2n-m-1)}}I_{m-2,n}\,\!} I m , n = ∫ d x x m ( a x 2 + b x + c ) n {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!} − c ( m − 1 ) I m , n = 1 x m − 1 ( a x 2 + b x + c ) n − 1 + a ( m + 2 n − 3 ) I m − 2 , n + b ( m + n − 2 ) I m − 1 , n {\displaystyle -c(m-1)I_{m,n}={\frac {1}{x^{m-1}(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!}
積分 削減式 I n = ∫ ( a x 2 + b x + c ) n d x {\displaystyle I_{n}=\int (ax^{2}+bx+c)^{n}\,{\text{d}}x\,\!} 8 a ( n + 1 ) I n + 1 2 = 2 ( 2 a x + b ) ( a x 2 + b x + c ) n + 1 2 + ( 2 n + 1 ) ( 4 a c − b 2 ) I n − 1 2 {\displaystyle 8a(n+1)I_{n+{\frac {1}{2}}}=2(2ax+b)(ax^{2}+bx+c)^{n+{\frac {1}{2}}}+(2n+1)(4ac-b^{2})I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!} I n = ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) n d x {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} ( 2 n − 1 ) ( 4 a c − b 2 ) I n + 1 2 = 2 ( 2 a x + b ) ( a x 2 + b x + c ) n − 1 2 + 8 a ( n − 1 ) I n − 1 2 {\displaystyle (2n-1)(4ac-b^{2})I_{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {2(2ax+b)}{(ax^{2}+bx+c)^{n-{\frac {1}{2}}}}}+{8a(n-1)}I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!}
指数の法則 により次の点に注意してください 。
I n + 1 2 = I 2 n + 1 2 = ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) 2 n + 1 2 d x = ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) 2 n + 1 d x {\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!}
超越関数 以下の積分 [4] には以下が含まれます。
正弦の因数 余弦の因数 正弦と余弦の積と商の因数 指数因数とx のべき乗の積/商 指数係数と正弦/余弦係数の積 積分 削減式 I n = ∫ x n sin a x d x {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}\sin {ax}\,{\text{d}}x\,\!} a 2 I n = − a x n cos a x + n x n − 1 sin a x − n ( n − 1 ) I n − 2 {\displaystyle a^{2}I_{n}=-ax^{n}\cos {ax}+nx^{n-1}\sin {ax}-n(n-1)I_{n-2}\,\!} J n = ∫ x n cos a x d x {\displaystyle J_{n}=\int x^{n}\cos {ax}\,{\text{d}}x\,\!} a 2 J n = a x n sin a x + n x n − 1 cos a x − n ( n − 1 ) J n − 2 {\displaystyle a^{2}J_{n}=ax^{n}\sin {ax}+nx^{n-1}\cos {ax}-n(n-1)J_{n-2}\,\!} I n = ∫ sin a x x n d x {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\sin {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} J n = ∫ cos a x x n d x {\displaystyle J_{n}=\int {\frac {\cos {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}
I n = − sin a x ( n − 1 ) x n − 1 + a n − 1 J n − 1 {\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-1}\,\!} J n = − cos a x ( n − 1 ) x n − 1 − a n − 1 I n − 1 {\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!}
これらの式を組み合わせると、 I n 内の個別の方程式が得られます。
J n − 1 = − cos a x ( n − 2 ) x n − 2 − a n − 2 I n − 2 {\displaystyle J_{n-1}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}-{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\,\!}
I n = − sin a x ( n − 1 ) x n − 1 − a n − 1 [ cos a x ( n − 2 ) x n − 2 + a n − 2 I n − 2 ] {\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\right]\,\!}
∴ I n = − sin a x ( n − 1 ) x n − 1 − a ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( cos a x x n − 2 + a I n − 2 ) {\displaystyle \therefore I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left({\frac {\cos {ax}}{x^{n-2}}}+aI_{n-2}\right)\,\!}
および J n :
I n − 1 = − sin a x ( n − 2 ) x n − 2 + a n − 2 J n − 2 {\displaystyle I_{n-1}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\,\!}
J n = − cos a x ( n − 1 ) x n − 1 − a n − 1 [ − sin a x ( n − 2 ) x n − 2 + a n − 2 J n − 2 ] {\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\right]\,\!}
∴ J n = − cos a x ( n − 1 ) x n − 1 − a ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( − sin a x x n − 2 + a J n − 2 ) {\displaystyle \therefore J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left(-{\frac {\sin {ax}}{x^{n-2}}}+aJ_{n-2}\right)\,\!}
I n = ∫ sin n a x d x {\displaystyle I_{n}=\int \sin ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!} a n I n = − sin n − 1 a x cos a x + a ( n − 1 ) I n − 2 {\displaystyle anI_{n}=-\sin ^{n-1}{ax}\cos {ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!} J n = ∫ cos n a x d x {\displaystyle J_{n}=\int \cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!} a n J n = sin a x cos n − 1 a x + a ( n − 1 ) J n − 2 {\displaystyle anJ_{n}=\sin {ax}\cos ^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!} I n = ∫ d x sin n a x {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{n}{ax}}}\,\!} ( n − 1 ) I n = − cos a x a sin n − 1 a x + ( n − 2 ) I n − 2 {\displaystyle (n-1)I_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{a\sin ^{n-1}{ax}}}+(n-2)I_{n-2}\,\!} J n = ∫ d x cos n a x {\displaystyle J_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\cos ^{n}{ax}}}\,\!} ( n − 1 ) J n = sin a x a cos n − 1 a x + ( n − 2 ) J n − 2 {\displaystyle (n-1)J_{n}={\frac {\sin {ax}}{a\cos ^{n-1}{ax}}}+(n-2)J_{n-2}\,\!}
積分 削減式 I m , n = ∫ sin m a x cos n a x d x {\displaystyle I_{m,n}=\int \sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!} I m , n = { − sin m − 1 a x cos n + 1 a x a ( m + n ) + m − 1 m + n I m − 2 , n sin m + 1 a x cos n − 1 a x a ( m + n ) + n − 1 m + n I m , n − 2 {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n+1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {m-1}{m+n}}I_{m-2,n}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {n-1}{m+n}}I_{m,n-2}\\\end{cases}}\,\!} I m , n = ∫ d x sin m a x cos n a x {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}}}\,\!} I m , n = { 1 a ( n − 1 ) sin m − 1 a x cos n − 1 a x + m + n − 2 n − 1 I m , n − 2 − 1 a ( m − 1 ) sin m − 1 a x cos n − 1 a x + m + n − 2 m − 1 I m − 2 , n {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {1}{a(m-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{m-1}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!} I m , n = ∫ sin m a x cos n a x d x {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\sin ^{m}{ax}}{\cos ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!} I m , n = { sin m − 1 a x a ( n − 1 ) cos n − 1 a x − m − 1 n − 1 I m − 2 , n − 2 sin m + 1 a x a ( n − 1 ) cos n − 1 a x − m − n + 2 n − 1 I m , n − 2 − sin m − 1 a x a ( m − n ) cos n − 1 a x + m − 1 m − n I m − 2 , n {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!} I m , n = ∫ cos m a x sin n a x d x {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\cos ^{m}{ax}}{\sin ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!} I m , n = { − cos m − 1 a x a ( n − 1 ) sin n − 1 a x − m − 1 n − 1 I m − 2 , n − 2 − cos m + 1 a x a ( n − 1 ) sin n − 1 a x − m − n + 2 n − 1 I m , n − 2 cos m − 1 a x a ( m − n ) sin n − 1 a x + m − 1 m − n I m − 2 , n {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\-{\frac {\cos ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\sin ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!}
積分 削減式 I n = ∫ x n e a x d x {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!} n > 0 {\displaystyle n>0\,\!}
I n = x n e a x a − n a I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}-{\frac {n}{a}}I_{n-1}\,\!} I n = ∫ x − n e a x d x {\displaystyle I_{n}=\int x^{-n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!} n > 0 {\displaystyle n>0\,\!}
n ≠ 1 {\displaystyle n\neq 1\,\!}
I n = − e a x ( n − 1 ) x n − 1 + a n − 1 I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!} I n = ∫ e a x sin n b x d x {\displaystyle I_{n}=\int e^{ax}\sin ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!} I n = e a x sin n − 1 b x a 2 + ( b n ) 2 ( a sin b x − b n cos b x ) + n ( n − 1 ) b 2 a 2 + ( b n ) 2 I n − 2 {\displaystyle I_{n}={\frac {e^{ax}\sin ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\sin bx-bn\cos bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!} I n = ∫ e a x cos n b x d x {\displaystyle I_{n}=\int e^{ax}\cos ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!} I n = e a x cos n − 1 b x a 2 + ( b n ) 2 ( a cos b x + b n sin b x ) + n ( n − 1 ) b 2 a 2 + ( b n ) 2 I n − 2 {\displaystyle I_{n}={\frac {e^{ax}\cos ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\cos bx+bn\sin bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!}
参考文献 ^ 物理学と工学のための数学的手法、KFライリー、MPホブソン、SJベンス、ケンブリッジ大学出版局、2010年、 ISBN 978-0-521-86153-3 ^ Further Elementary Analysis、R.I. Porter、G. Bell & Sons Ltd、1978年、 ISBN 0-7135-1594-5 ^ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> 不定積分一覧 ^ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> 不定積分一覧
参考文献 ウィキブックスには、微積分学/積分技法/簡約公式 に関する書籍があります。
Anton、Bivens、Davis、『微積分学』第 7 版。
![{\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7803bf2d86071f40537d4590e76ab498354b7c7f)
![{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{(m-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}\right]\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e62922721540ee6636beadc5183d305fa0a98b)
![{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(nm-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(nm-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cf63aea753eb3517e589623b4728e1545c012b)
![{\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59ab79c10f4eed2620c496fac8b476174a84477)
![{\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2ed60b99d5d7b4dfa736c3627c68021c847b44)
