交互シリーズ

Infinite series whose terms alternate in sign

数学において、交代級数と_は、正負の符号が交互に現れる項の無限級数です。大文字シグマ記法では、すべての nに対してn > 0となるか、 またはと表現されます $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$$

任意の級数と同様に、交代級数は、級数の部分和の列が極限 に収束する場合に限り、収束級数となる。交代級数テストは、項a _nが単調に 0 に収束する場合に交代級数が収束することを保証するが、この条件は収束に必須ではない。

例

等比級数1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯を足すと1/3になります​​​​​​​​​​​​

交代調和級数は有限和を持つが、調和級数は有限和を持たない。級数は に収束するが、絶対収束ではない。 $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

メルカトル級数は、自然対数の解析的冪級数表現を提供し、次のように表される。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=\ln(1+x),\;\;\;|x|\leq 1,x\neq -1.}$$

三角法で使用され、直角三角形の辺の比として初等代数学で導入された関数の正弦と余弦は、微積分学では交代級数として定義することもできます。また、 これらの級数から交代因数(-1) ⁿを除去すると、微積分学や統計学で使用される双曲線関数のsinh と cosh が得られます。 $${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$ $${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}$$

整数または正の指数αの場合、第一種ベッセル関数は交代級数で定義できます。ここでΓ( z )はガンマ関数です。 $${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$$

sが複素数の場合、ディリクレ イータ関数は解析的数論で使用される交代級数として形成されます。 $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$$

交代級数テスト

「ライプニッツ テスト」または交代級数テストとして知られる定理は、項a _nが単調に 0 に収束する場合、交代級数は収束すると述べています。

証明：数列がゼロに収束し、単調減少であると仮定する。が奇数で の場合、次の計算で推定値を得る。 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$$

は単調減少なので、項は負になります。したがって、最終的な不等式は となります。同様に、 であることが示されます。は に収束するので、部分和はコーシー列を形成します（つまり、級数はコーシー基準を満たします）。したがって、 は収束します。 が の場合も同様の議論が成り立ちます。 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$ ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$ ${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle m}$

概算

上記の推定値は に依存しません。したがって、が単調に 0 に近づく場合、推定値は部分和によって無限和を近似するための誤差界を提供します。これは、この推定値が常に、級数の次の項の法よりも誤差が小さくなる最初の要素を見つけることを意味するものではありません。実際、 を取って、誤差が最大で 0.00005 になる項を見つけようとすると、上記の不等式は までの部分和で十分であることを示していますが、実際には必要な項数の2倍になります。実際、最初の 9999 個の要素を合計した後の誤差は 0.0000500025 なので、 までの部分和を取るだけで十分です。この級数は、 で新しい級数を構築すると、ライプニッツテストが適用される交代級数も得られるという性質があり、そのためこの単純な誤差界は最適ではありませんこれは1962年に発見されたカラブレーゼ境界^[1]によって改善されました。カラブレーゼ境界によれば、この特性はライプニッツの誤差限界よりも2倍小さい結果をもたらします。実際、この特性が2回以上適用される級数に対しては最適ではありません。これはジョンソンボーの誤差限界^[2]によって説明されます。この特性を無限回適用できる場合、オイラー変換が適用されます。^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}$$ ${\displaystyle 1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2}$ ${\displaystyle a_{20000}}$ ${\displaystyle a_{10000}}$ ${\displaystyle a_{n}-a_{n+1}}$

絶対収束

級数が収束する場合、その級数は絶対収束する ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$

定理: 絶対収束する級数は収束する。

証明：が絶対収束すると仮定する。するとは収束し、も収束する。 なので、級数はの比較テストにより収束する。したがって、級数は2つの収束する級数の差として収束する。 ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ ${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$ ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$

条件付き収束

級数は収束するが絶対収束しない場合、条件収束する

例えば、調和級数

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$$

交互バージョンは発散し、

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$$

交代級数テストによって収束します。

再配置

任意の級数について、和の順序を並べ替えることで新しい級数を作成できます。級数は無条件収束するとは、任意の並べ替えによって元の級数と同じ収束性を持つ級数を作成することです。絶対収束する級数は無条件収束です。しかし、リーマン級数定理は、条件収束する級数は並べ替えることで任意の収束性を作り出すことができると述べています。^[4] アグニューの定理は、すべての収束級数に対して収束性を保つ並べ替えを記述しています。一般原則として、無限和の加法は絶対収束する級数に対してのみ可換です。

たとえば、1=0 という誤った証明は、無限和の結合法則が成り立たないことを利用しています。

別の例として、メルカトル級数 $${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$$

しかし、級数は絶対収束しないので、項を並べ替えて次の級数を得ることができます。 ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$$

級数加速

実際には、交代級数の数値和は、さまざまな級数加速手法のいずれかを使用して高速化できます。最も古い手法の1つはオイラー和ですが、さらに高速な収束を可能にする現代的な手法も数多くあります

参照

• グランディ級数
• ネルルンド・ライス積分

注釈

1. Calabrese, Philip (1962年3月). 「交代級数に関する注記」 .アメリカ数学月刊誌. 69 (3): 215– 217. doi :10.2307/2311056. JSTOR  2311056.
2. ジョンソンバウ, リチャード (1979年10月). 「交代級数の和」.アメリカ数学月刊誌. 86 (8): 637– 648. doi :10.2307/2321292. JSTOR  2321292.
3. Villarino, Mark B. (2015-11-27). 「交代級数における誤差」. arXiv : 1511.08568 [math.CA].
4. Mallik, AK (2007). 「単純配列の奇妙な帰結」. Resonance . 12 (1): 23– 37. doi :10.1007/s12045-007-0004-7. S2CID  122327461.

参考文献

• アール・D・レインヴィル（1967）『インフィニット・シリーズ』、73～76ページ、マクミラン出版社
• ワイスタイン、エリック・W.「交代級数」。MathWorld。

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