2階微分

微積分学において、関数 $f$ の2階微分（または2階微分）は、 $f$ の微分に対する微分です。非公式には、2階微分は「変化率の変化率」と表現されます。例えば、物体の位置の時間に対する2階微分は、物体の瞬間的な加速度、つまり物体の速度が時間に対して変化する率です。ライプニッツ記法では、 $a$ は加速度、 $v$ は速度、 $t$ は時間、 $x$ は位置、dは瞬間的な「デルタ」または変化です。最後の式は、位置（ $x$ ）の時間に対する2階微分です。 $a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$ ${\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

関数のグラフにおいて、2階微分はグラフの曲率または凹面度に対応します。2階微分が正の関数のグラフは上向きに凹面になり、2階微分が負の関数のグラフは反対方向に曲がるようになります。

2階微分べき乗則

1 次導関数のべき乗則を2 回適用すると、次の 2 次導関数のべき乗則が生成されます。 ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}.$

表記

関数の2次導関数は通常と表記される。^[1]^[2]つまり、ライプニッツの導関数表記を使用する場合、従属変数 $yの独立変数$ $x$ に関する2次導関数はと表記される。この表記は、次の式から導かれる。 $f(x)$ $f''(x)$ $f''=\left(f'\right)'$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

例

関数 $f$ の導関数は関数 fの2次導関数は関数 $f$ の導関数であり、つまり $f(x)=x^{3},$ $f'(x)=3x^{2}.$ $f'$ $f''(x)=6x.$

グラフとの関係

からまでのプロット。曲線が上に凹んでいる部分の接線は青、下に凹んでいる部分の接線は緑、変曲点（0、/2、）では赤になります。 $f(x)=\sin(2x)$ $-\pi /4$ $5\pi /4$ $\pi$ $\pi$

凹面

関数 $fの2次導関数は、$ $f$ のグラフの凹み具合を判断するために使用できます。^[2] 2次導関数が正である関数は凹型（凸型とも呼ばれます）と呼ばれ、関数に接する点付近の接線が関数のグラフより下側に位置することを意味します。同様に、2次導関数が負である関数は凹型（単に凹型と呼ばれることもあります）であり、その接線は関数のグラフの接点付近で上側に位置します。

変曲点

関数の二階微分が符号を変えると、関数のグラフは下向き凹から上向き凹へ、あるいはその逆へと変化します。この変化が起こる点は変曲点と呼ばれます。二階微分が連続であると仮定すると、どの変曲点でも必ず0の値をとりますが、二階微分が0となる点が必ずしも変曲点であるとは限りません。

二次導関数テスト

2次導関数とグラフの関係は、関数の停留点（つまり、となる点）が極大値か極小値かを判定するために使用できます。具体的には、 $f'(x)=0$

の場合、はで極大値を持ちます。 $f''(x)<0$ $f$ $x$
の場合、はで極小値を持ちます。 $f''(x)>0$ $f$ $x$
の場合、2 次導関数のテストでは、変曲点となる可能性のある点については何も示されません。 $f''(x)=0$ $x$

2次導関数がこのような結果をもたらす理由は、現実世界のアナロジーで説明できます。最初は大きな速度で前進しているものの、加速度が負である車両を考えてみましょう。速度がゼロに達した時点における車両の位置は、明らかに開始位置からの最大距離となります。この時点以降、速度は負になり、車両は後進します。最小値についても同様に、最初は非常に負の速度で前進しているものの、加速度が正である車両の場合、同じことが言えます。

制限

2 次導関数に対して単一の極限を書くことも可能です。 $f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

この極限は2次対称微分と呼ばれる。^[3]^[4] 2次対称微分は、（通常の）2次微分が存在しない場合でも存在することがある。

右側の式は、差分商の差分商として書くことができます。この極限は、シーケンスの2 番目の差分の連続バージョンとして見ることができます。 ${\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.$

しかし、上記の極限が存在するからといって、関数が2階微分を持つということではありません。上記の極限は、2階微分を計算する可能性を示しているだけで、定義は示していません。反例として、符号関数は次のように定義されます。 $f$ $\operatorname {sgn}(x)$ $\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

符号関数はゼロで連続ではないため、の2階微分は存在しません。しかし、については上記の極限が存在します。 $x=0$ $x=0$ ${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}$

二次近似

一次導関数が線形近似と関連しているのと同様に、二次導関数は関数 $f$ の最良二次近似と関連しています。これは、一次導関数と二次導関数が、与えられた点における $f$ のそれらと一致する二次関数です。点 $x$ $=$ $aの周りの関数$ $f$ の最良二次近似の式は、次のとおりです。この二次近似は、 $x$ $=$ $a$ を中心とする関数の2次テイラー多項式です。 $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.$

2次導関数の固有値と固有ベクトル

境界条件の多くの組み合わせに対して、2次導関数の固有値と固有ベクトルの明示的な公式が得られます。例えば、同次ディリクレ境界条件（つまり、v $は$ 固有ベクトル）を仮定すると、固有値は、対応する固有ベクトル（固有関数とも呼ばれる）はとなります。ここで、に対してとなります。 $x\in [0,L]$ $v(0)=v(L)=0$ $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$ $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)$ $j=1,\ldots ,\infty$

その他のよく知られたケースについては、2 次導関数の固有値と固有ベクトルを参照してください。

高次元への一般化

ヘッセン人

$2階微分は、$ 2階偏微分の概念を通して高次元に一般化される。関数 $f : R3 \to R$ の場合、これには3つの2階偏微分と混合偏微分が含まれる。 ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$ ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.$

関数の像と定義域の両方にポテンシャルがある場合、これらはヘッセ行列と呼ばれる対称行列に収束します。この行列の固有値を用いて、2次微分検定の多変数版を実装することができます。（2次偏微分検定も参照してください。）

ラプラシアン

2次導関数のもう一つの一般的な一般化はラプラシアンです。これは、によって定義される微分演算子（または）です。関数のラプラシアンは、勾配の発散とヘッセ行列のトレースに等しくなります。 $\nabla ^{2}$ $\Delta$ $\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

参照

参考文献

^ 「コンテンツ - 二次導関数」. amsi.org.au . 2020年9月16日閲覧。
^ ab 「二次導関数」. Math24 . 2020年9月16日閲覧。
^ A. Zygmund (2002).三角関数シリーズ. ケンブリッジ大学出版局. pp. 22– 23. ISBN 978-0-521-89053-3。
^ トムソン、ブライアン・S. (1994).実関数の対称性. マルセル・デッカー. p. 1. ISBN 0-8247-9230-0。

さらに読む

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アントン・ハワード、ビベンス・イル、デイヴィス・スティーブン（2005年2月2日）、微積分学：単変数および多変数超越論（第8版）、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 978-0-471-47244-5
アポストル、トム・M.（1967年6月）、微積分学、第1巻：線形代数入門付き1変数微積分学、第1巻（第2版）、Wiley、ISBN 978-0-471-00005-1
アポストル、トム・M.（1969年6月）、微積分学第2巻：多変数微積分と線形代数とその応用、第1巻（第2版）、Wiley、ISBN 978-0-471-00007-5
イヴス、ハワード（1990年1月2日）『数学史入門』（第6版）、ブルックス・コール、ISBN 978-0-03-029558-4
ラーソン、ロン、ホステラー、ロバート・P、エドワーズ、ブルース・H（2006年2月28日）『微積分：超越関数入門』（第4版）、ホートン・ミフリン社、ISBN 978-0-618-60624-5
スピヴァック、マイケル（1994年9月）、微積分（第3版）、Publish or Perish、ISBN 978-0-914098-89-8
スチュワート、ジェームズ（2002年12月24日）、微積分（第5版）、ブルックス・コール、ISBN 978-0-534-39339-7
トンプソン、シルバヌス・P.（1998年9月8日）、『Calculus Made Easy』（改訂・更新・拡張版）、ニューヨーク：セント・マーチンズ・プレス、ISBN 978-0-312-18548-0

オンライン書籍

クロウェル、ベンジャミン（2003）『微積分学』
ギャレット、ポール（2004）『初年度微積分学ノート』
フセイン、ファラズ（2006）『微積分を理解する』
Keisler, H. Jerome (2000) 『初等微積分学：無限小数を用いたアプローチ』
マウチ、ショーン（2004）、ショーンの応用数学書の完全版、2006年4月15日にオリジナルからアーカイブ
スローター、ダン（2000）「差分方程式から微分方程式へ」
ストラング、ギルバート（1991）『微積分学』
Stroyan, Keith D. (1997)、「無限小微積分学入門」、2005年9月11日アーカイブ
ウィキブックス、微積分学

外部リンク

不等間隔の点からの離散2階微分

[1] 「コンテンツ - 二次導関数」. amsi.org.au . 2020年9月16日閲覧。

[:1-2] 「二次導関数」. Math24 . 2020年9月16日閲覧。

[Zygmund2002-3] A. Zygmund (2002).三角関数シリーズ. ケンブリッジ大学出版局. pp. 22– 23. ISBN 978-0-521-89053-3。

[4] トムソン、ブライアン・S. (1994).実関数の対称性. マルセル・デッカー. p. 1. ISBN 0-8247-9230-0。