べき乗則

Method of differentiating single-term polynomials

微積分学では、が実数であるとき、の形の関数を微分するためにべき乗則が用いられます。微分は微分可能関数の空間における線型演算であるため、この則を用いて多項式も微分できます。べき乗則はテイラー級数の基礎であり、べき級数と関数の導関数を関連付けます。 ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle r}$

声明

をすべての に対して満たす関数とします。ここで です。^[a]このとき、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,.}$

積分のべき乗則は、

${\displaystyle \int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}$

任意の実数 に対して、微分におけるべき乗則を逆にすることで導出できます。この式において、C は任意の定数です。 ${\displaystyle r\neq -1}$

証明

実指数の証明

とします。ここでは任意の実数です。 ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle r}$

ならば、となります。ここでは自然対数関数、または は、前述の通りです。したがって、 に連鎖律を適用すると、が成り立ち 、 は と簡略化されます。 ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle \ln(f(x))=x}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f(x)=e^{r\ln x}}$ $${\displaystyle f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}}$$ ${\displaystyle rx^{r-1}}$

のとき、と同じ定義を に適用できます。つまり、 となります。これは必然的に同じ結果をもたらします。が有理数でないとき、 は従来の定義を持たないため、無理数べき関数は負の基数に対しては明確に定義されないことに注意してください。さらに、偶数分母の-1の有理数べき乗（最小項）は実数ではないため、これらの式は奇数分母の有理数べき乗（最小項）に対してのみ実数値を持ちます。 ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle (-1)^{r}}$ ${\displaystyle r}$

最後に、関数が で微分可能である場合、導関数の定義極限は次のようになります。 これは、 が（最低項で）奇数の分母を持つ有理数であり の場合にのみ 0 となり、の場合には 1 となります。の他のすべての値については、上で説明したように に対して式が明確に定義されていないか、が実数でないため、実数値導関数としての極限は存在しません。 が存在する2つのケースについては、値は既存の 0 におけるべき乗則の値と一致するため、例外を設ける必要はありません。 ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h^{r}}$ ${\displaystyle h<0}$

式 ${\displaystyle 0^{0}}$（ の場合）を指数計算の枠組みから除外するのは、関数 が (0,0) において極限を持たないという事実による。なぜなら、 x が 0 に近づくにつれて は 1 に近づくのに対し、y が 0 に近づくにつれて は 0 に近づくからである。したがって、 に特定の値を割り当てることは困難である。なぜなら、その値は適用方法によっては 2 つのケースのいずれかと矛盾するからである。伝統的に、 は未定義のままとされている。 ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle 0^{y}}$

整数指数の証明

証明誘導（自然数）

とします。 を証明する必要があります。自然数の集合がどのように定義されているかに応じて、基本ケースはまたは のときになります。 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 1}$

いつ、 ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{0}={\frac {d}{dx}}(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {1-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.}$

いつ、 ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.}$

したがって、どちらの場合でも基本ケースは当てはまります。

ある自然数kに対してこの命題が成り立つと仮定する。すなわち ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}$

のとき、数学的帰納法の原理により、この命題はすべての自然数nに対して真です。 ${\displaystyle n=k+1}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}$$

証明二項定理（自然数）

とします。ここで です。 ${\displaystyle y=x^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

それから、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]\\[4pt]&=nx^{n-1}\end{aligned}}}$$

n から 1 を選ぶと n に等しくなり、残りの項はすべて h （つまり 0）を含むため、残りの項は打ち消されます。二項定理は自然数に対してのみ成立するため、この証明は自然数に対してのみ成立します。

負の整数指数への一般化

負の整数nに対して、mが正の整数となるようにする。逆数の法則を用いると、結論として、任意の整数nに対して、 ${\displaystyle n=-m}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$

有理指数への一般化

べき乗則が整数指数に当てはまることを証明すると、その則は有理数指数に拡張できます。

証明チェーンルール

この証明は、微分化の連鎖律を使用する 2 つのステップで構成されます。

1. とします。ここで です。連鎖律により、 となります。を解くと、となります。したがって、 （は非ゼロの自然数）の形の有理指数にべき乗則が適用されます。これは、次のステップに示すように、連鎖律を用いて整数指数にべき乗則を適用することで、 の形の有理指数にも一般化できます。 ${\displaystyle y=x^{r}=x^{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle y^{n}=x}$ ${\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}$$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p/q}$
2. とする。ここでとなる。連鎖律により、 ${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{+},}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}$$

以上の結果から、 が有理数であるとき、 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}$

証明暗黙の微分化

有理指数へのべき乗則のより直接的な一般化では、暗黙の微分を利用します。

とします。ここで、となります。 ${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$

次に、方程式の両辺を について微分し、を解きます。なので、指数法則を適用します。したがって、 とすると、が有理数である場合にと結論付けることができます。 $${\displaystyle y^{q}=x^{p}}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}$$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}$$ ${\displaystyle y=x^{p/q}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}$$ ${\displaystyle r={\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}$ ${\displaystyle r}$

歴史

積分のべき乗則は、17世紀初頭にイタリアの数学者ボナヴェントゥラ・カヴァリエリによって のすべての正の整数値に対して初めて幾何学的な形で実証され、17世紀半ばにはすべての有理数べき乗に対して、ピエール・ド・フェルマー、エヴァンジェリスタ・トリチェリ、ジル・ド・ロベルヴァル、ジョン・ウォリス、ブレーズ・パスカルの各数学者によってそれぞれ独立に実証されました。当時は、有理数べき関数のグラフと水平軸の間の領域を決定するための論文でしたが、後から考えると、これは微積分学で最初に発見された一般定理だと考えられています。^{[1]微分のべき乗則は、17世紀半ばに}アイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによってそれぞれ独立に有理数べき関数に対して導き出され、その後2人ともそれを使って積分のべき乗則を逆演算として導き出しました。これは、微分則が積分則に先行することが多い、現代の基礎微積分学の教科書で関連する定理が提示される従来の方法を反映している。^[2] ${\displaystyle {\displaystyle n}}$

両者とも、有理数に対してのみ実証された規則がすべての実数に対して有効であると主張したが、当時、理論の応用はそのような特殊な累乗関数には関係しておらず、無限級数の収束の問題がまだあいまいであったため、どちらもその証明を求めなかった。

の特異なケースは、 17世紀半ばにフランドルのイエズス会士で数学者のグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとその弟子のアルフォンス・アントニオ・デ・サラサによって解決され、彼らは付随定積分、 ${\displaystyle r=-1}$

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt}$

直角双曲線とx軸の間の面積を表す は対数関数であり、その底は最終的に超越数eであることが発見されました。この定積分の値の現代的な表記は、自然対数 です。 ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \ln(x)}$

複素解析では

が任意の複素数であり、が 0 の分岐点とそれに接続する任意の分岐カットを除いたスリット複素平面上の複素数である形式の関数を考え、従来の多値定義 を使用すると、複素対数の各分岐について、上記で使用したのと同じ議論から同様の結果が得られることは簡単に示せます。^[3] ${\displaystyle f(z)=z^{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{c}:=\exp(c\ln z)}$ ${\displaystyle f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)}$

さらに、が正の整数である場合、分岐切断は必要ありません。 を定義するか、複素乗算によって正の整数の複素数累乗を定義し、すべての複素数 に対して、導関数の定義と二項定理から であることを示すことができます。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f'(z)=cz^{c-1}}$ ${\displaystyle z}$

しかし、非整数指数に対する複素べき関数は多値性を持つため、使用する複素対数の枝を慎重に指定する必要があります。また、どの枝を使用したとしても、 が正の整数でない場合、関数は0で微分可能ではありません。 ${\displaystyle c}$

参照

• 差別化ルール
• 一般的なライプニッツの法則
• 逆関数と微分
• 微分の直線性
• 積の法則
• 商の法則
• デリバティブ表
• ベクトル計算の恒等式

参考文献

注記

1. が有理数で、その最小項表現が奇数の分母を持つ場合、 の定義域はと理解される。そうでない場合、 の定義域は である。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (0,\infty )}$

引用

1. ボイヤー、カール（1959年）『微積分学の歴史とその概念的発展』ニューヨーク：ドーバー、127頁。ISBN 0-486-60509-4。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
2. ボイヤー、カール（1959年）『微積分学の歴史とその概念的発展』ニューヨーク：ドーバー、pp. 191, 205. ISBN 0-486-60509-4。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
3. フライタグ、エバーハルト;ブサム、ロルフ (2009)。複雑な分析(第 2 版)。ハイデルベルク: Springer-Verlag。 p. 46.ISBN​ 978-3-540-93982-5。

さらに読む

• ラーソン、ロン、ホステラー、ロバート・P、エドワーズ、ブルース・H (2003).一変数微分積分学：超越関数入門（第3版）. ホートン・ミフリン社. ISBN 0-618-22307-X。

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