Theorem in mathematics
数学 の一分野である 実解析学 において 、 逆関数定理 と は、 実関数 f が その導関数がゼロでない点の近傍で 連続的な導関数 を持つ 場合、この点の近傍において fは 逆関数 を持つという定理である 。逆関数は 微分可能 であり、 逆関数の規則は 、その導関数をf の導関数の 逆関数 として表す 。
この定理は、 複素変数 の 複素数値関数 にそのまま適用されます。また、「導関数」を 「ヤコビ行列」に、「非零導関数」を「非零ヤコビ行列式」に置き換えることで、n組（実数または複素数）からn組への関数、および 同じ 有限 次元 の ベクトル 空間 間 の 関数 に も一般化されます。
定理の関数がより高次の 微分可能類に属する場合、逆関数についても同様のことが成り立ちます。逆関数定理には、 正則関数、 多様体 間の微分可能写像、 バナッハ空間 間の微分可能関数など に対するバージョンも存在します 。
この定理は、 ピカール と グルサット によって反復スキームを使用して最初に確立されました。基本的な考え方は、 収縮マッピング定理 を使用して 不動点定理 を証明することです。
声明 一 変数 関数 について、定理は、 が点 で非ゼロの導関数を持つ 連続微分可能 関数である場合 、 は の近傍で単射（または像に単射）であり 、逆関数 は の近くで連続微分可能であり 、逆関数 の における導関数は における の 導関数の逆数である、と述べています 。 f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} b = f ( a ) {\displaystyle b=f(a)} b {\displaystyle b} f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} ( f − 1 ) ′ ( b ) = 1 f ′ ( a ) = 1 f ′ ( f − 1 ( b ) ) . {\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.}
関数が の 近くで である ときに単射となる場合があります 。例として が挙げられます 。実際、このような関数の場合、逆関数は で微分可能ではありません。なぜなら 、 が で微分可能であれば、連鎖律により となり、 が 成り立つ から です 。(正則関数の場合は状況が異なります。下の「#正則逆関数定理」を参照してください。) f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} f ′ ( a ) = 0 {\displaystyle f'(a)=0} f ( x ) = ( x − a ) 3 {\displaystyle f(x)=(x-a)^{3}} b = f ( a ) {\displaystyle b=f(a)} f − 1 {\displaystyle f^{-1}} b {\displaystyle b} 1 = ( f − 1 ∘ f ) ′ ( a ) = ( f − 1 ) ′ ( b ) f ′ ( a ) {\displaystyle 1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)f'(a)} f ′ ( a ) ≠ 0 {\displaystyle f'(a)\neq 0}
多変数関数について、定理は、 が の開部分集合から への 連続的に微分可能な関数であり 、 導関数 が点 a で逆関数である（つまり、 a における f の ヤコビ行列 の行列式がゼロでない）場合、 における の近傍 と の近傍が存在し 、 と は 全単射である、 ということを述べています。 [1] と書くと、これは n 方程式 系がの とき 、 に関して の唯一の解を持つことを意味します 。定理は、が逆関数である 像 に全単射であるとは 言って おらず、 が逆関数であるところで が局所的に全単射であると言っていることに注意してください 。 f {\displaystyle f} A {\displaystyle A} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} U {\displaystyle U} a {\displaystyle a} A {\displaystyle A} V {\displaystyle V} b = f ( a ) {\displaystyle b=f(a)} f ( U ) ⊂ V {\displaystyle f(U)\subset V} f : U → V {\displaystyle f:U\to V} f = ( f 1 , … , f n ) {\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{n})} y i = f i ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle y_{i}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})} x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} y 1 , … , y n {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}} x ∈ U , y ∈ V {\displaystyle x\in U,y\in V} f {\displaystyle f} f ′ {\displaystyle f'} f ′ {\displaystyle f'}
さらに、定理によれば、逆関数は 連続的に微分可能であり、その における導関数は の逆写像である 。すなわち、 f − 1 : V → U {\displaystyle f^{-1}:V\to U} b = f ( a ) {\displaystyle b=f(a)} f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)}
( f − 1 ) ′ ( b ) = f ′ ( a ) − 1 . {\displaystyle (f^{-1})'(b)=f'(a)^{-1}.} 言い換えれば、 を表すヤコビ行列が である場合 、これは次のことを意味します。 J f − 1 ( b ) , J f ( a ) {\displaystyle Jf^{-1}(b),Jf(a)} ( f − 1 ) ′ ( b ) , f ′ ( a ) {\displaystyle (f^{-1})'(b),f'(a)}
J f − 1 ( b ) = J f ( a ) − 1 . {\displaystyle Jf^{-1}(b)=Jf(a)^{-1}.} 定理の難しい部分は、 の存在と微分可能性です 。これを仮定すると、 に適用される 連鎖律 から逆微分公式が導かれます。（実際、 ）逆関数は無限微分可能であるため、逆関数の微分公式は、 が連続的に 回微分可能で、点 a において可逆な微分である場合、逆関数も連続的に 回微分可能であることを示しています。ここで 、 は正の整数または です 。 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} f − 1 ∘ f = I {\displaystyle f^{-1}\circ f=I} 1 = I ′ ( a ) = ( f − 1 ∘ f ) ′ ( a ) = ( f − 1 ) ′ ( b ) ∘ f ′ ( a ) . {\displaystyle 1=I'(a)=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)\circ f'(a).} f {\displaystyle f} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} ∞ {\displaystyle \infty }
逆関数定理には2つのバリエーションがある。 [1] 連続的に微分可能な写像が与えられたとき 、最初のものは f : U → R m {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}
導関数が 射影的である（つまり、それを表すヤコビ行列の階数が である）のは、 の 近傍に 連続的に微分可能な関数が存在し、 その 関数が の近くに存在する場合のみである 。 f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} m {\displaystyle m} g {\displaystyle g} V {\displaystyle V} b = f ( a ) {\displaystyle b=f(a)} f ∘ g = I {\displaystyle f\circ g=I} b {\displaystyle b} そして2つ目は
導関数が単射となるのは、 の 近傍に、 の 近く で となるような 連続的に微分可能な関数が存在する場合のみです 。 f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} g {\displaystyle g} V {\displaystyle V} b = f ( a ) {\displaystyle b=f(a)} g ∘ f = I {\displaystyle g\circ f=I} a {\displaystyle a} 最初のケース（ が射影的な場合）では、点 は 正則値 と呼ばれます 。 であるため 、最初のケースは が 臨界点 の像に含まれない （臨界点とは、 の核が非零となる点のことです）と言っているのと同値です。最初のケースの命題は、 沈み込み定理 の特別な場合です 。 f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} b = f ( a ) {\displaystyle b=f(a)} m = dim ker ( f ′ ( a ) ) + dim im ( f ′ ( a ) ) {\displaystyle m=\dim \ker(f'(a))+\dim \operatorname {im} (f'(a))} b = f ( a ) {\displaystyle b=f(a)} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)}
これらの変形は逆関数定理の言い換えです。実際、最初のケースでは、 が射影的である場合、 となる （単射な）線型写像が見つかります 。 と定義する と、次のようになります。 f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} T {\displaystyle T} f ′ ( a ) ∘ T = I {\displaystyle f'(a)\circ T=I} h ( x ) = a + T x {\displaystyle h(x)=a+Tx}
( f ∘ h ) ′ ( 0 ) = f ′ ( a ) ∘ T = I . {\displaystyle (f\circ h)'(0)=f'(a)\circ T=I.} したがって、逆関数定理により、 は の逆関数 、つまり に 近い 関数を持つ 。2番目のケース（ は単射である）も同様に見られる。 f ∘ h {\displaystyle f\circ h} 0 {\displaystyle 0} f ∘ h ∘ ( f ∘ h ) − 1 = I {\displaystyle f\circ h\circ (f\circ h)^{-1}=I} b {\displaystyle b} f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)}
例 次のように定義されるベクトル値関数 を考えます 。 F : R 2 → R 2 {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!}
F ( x , y ) = [ e x cos y e x sin y ] . {\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.} におけるヤコビ行列は次 のようになります。 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}
J F ( x , y ) = [ e x cos y − e x sin y e x sin y e x cos y ] {\displaystyle JF(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}} 行列式は次のようになります。
det J F ( x , y ) = e 2 x cos 2 y + e 2 x sin 2 y = e 2 x . {\displaystyle \det JF(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!} 行列式はどこにおいても非零である。したがって、定理は、 内の任意の 点 pに対して、 p の近傍が存在し、 その近傍において Fが逆であることを保証する。これは、 F がその定義域全体にわたって逆であることを意味するわけではない 。この場合、 F は周期的であるため、 単射で すらない 。 e 2 x {\displaystyle e^{2x}\!} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\!} F ( x , y ) = F ( x , y + 2 π ) {\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!}
反例 関数は 直線 の近くの2次包絡線内で有界である ため、 となります 。ただし、 で累積する局所的な最大/最小点が存在する ため、周囲のどの区間とも1対1ではありません。 f ( x ) = x + 2 x 2 sin ( 1 x ) {\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})} y = x {\displaystyle y=x} f ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle f'(0)=1} x = 0 {\displaystyle x=0} 導関数が連続であるという仮定を捨てれば、関数はもはや逆関数である必要はありません。例えば 、 と は不連続な導関数を持ち 、 は の近傍で任意にゼロになります 。これらの臨界点は の局所的な最大/最小点である ため、 を含む任意の区間において は1対1対応ではありません（また、逆関数でもありません） 。直感的に、傾きは 近傍点には伝播せず、近傍点では傾きは弱いながらも急速な振動によって支配されます。 f ( x ) = x + 2 x 2 sin ( 1 x ) {\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})} f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} f ′ ( x ) = 1 − 2 cos ( 1 x ) + 4 x sin ( 1 x ) {\displaystyle f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})} f ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle f'\!(0)=1} x = 0 {\displaystyle x=0} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} x = 0 {\displaystyle x=0} f ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle f'\!(0)=1}
証明方法 重要な結果として、逆関数定理には数多くの証明が与えられている。教科書で最もよく見られる証明は、 縮約写像 原理、別名 バナッハ不動点定理に基づくものである（これは 常微分方程式 の解の 存在と一意性 の証明においても重要なステップとして用いられる ）。 [2] [3]
不動点定理は無限次元（バナッハ空間）の設定に適用されるため、この証明は逆関数定理の無限次元版 [4] に直ちに一般化される（以下の一般化を参照）。
有限次元における別の証明は、 コンパクト集合 上の関数の 極値定理 に依存します。 [5] このアプローチの利点は、証明がコーシー完全性が存在しない状況に一般化されることです（§実閉体上を参照）。
さらに別の証明では ニュートン法が使われており、これは定理の 有効なバージョン を提供するという利点がある 。関数の導関数の境界値は、関数が逆関数となる近傍の大きさの推定値を意味する。 [6]
一変数関数の証明 以下を証明します。 が 上で定義された連続微分可能関数 を持つ開集合であるとし 、 と仮定します。すると、 が 開区間 に全単射に 写像 される 開区間が存在し 、その逆関数は 連続微分可能であり、任意の に対して 、 が となるとき 、 となります 。 D ⊆ R {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} } x 0 ∈ D , f : D → R {\displaystyle x_{0}\in D,f:D\to \mathbb {R} } D {\displaystyle D} f ′ ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f'(x_{0})\neq 0} I {\displaystyle I} x 0 ∈ I {\displaystyle x_{0}\in I} f {\displaystyle f} I {\displaystyle I} J = f ( I ) {\displaystyle J=f(I)} f − 1 : J → I {\displaystyle f^{-1}:J\to I} y ∈ J {\displaystyle y\in J} x ∈ I {\displaystyle x\in I} f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} ( f − 1 ) ′ ( y ) = 1 f ′ ( x ) {\displaystyle (f^{-1})'(y)={\dfrac {1}{f'(x)}}}
一般性を失うことなく、 と仮定してもよい 。 が 開集合であり、 で連続であるとすると 、 が存在し 、 f ′ ( x 0 ) > 0 {\displaystyle f'(x_{0})>0} D {\displaystyle D} f ′ {\displaystyle f'} x 0 {\displaystyle x_{0}} r > 0 {\displaystyle r>0} ( x 0 − r , x 0 + r ) ⊆ D {\displaystyle (x_{0}-r,x_{0}+r)\subseteq D} | f ′ ( x ) − f ′ ( x 0 ) | < f ′ ( x 0 ) 2 for all | x − x 0 | < r . {\displaystyle |f'(x)-f'(x_{0})|<{\dfrac {f'(x_{0})}{2}}\qquad {\text{for all }}|x-x_{0}|<r.}
特に、 f ′ ( x ) > f ′ ( x 0 ) 2 > 0 for all | x − x 0 | < r . {\displaystyle f'(x)>{\dfrac {f'(x_{0})}{2}}>0\qquad {\text{for all }}|x-x_{0}|<r.}
これは、 すべての に対して が厳密に増加することを示しています 。 が となるようなものとしましょう 。すると になります 。中間値定理により、 は 区間 を に全単射に写すことがわかります 。 を および で表します 。 すると は 全単射であり、その逆が 存在します。 が微分可能であるという事実は、 の微分可能性から従います 。特に、 が で で微分可能な厳密に単調かつ連続な関数である場合 、 は で微分可能であり 、ここで（解析学における標準的な結果） であるという事実から結果は従います 。これで証明は完了です。 f {\displaystyle f} | x − x 0 | < r {\displaystyle |x-x_{0}|<r} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} δ < r {\displaystyle \delta <r} [ x − δ , x + δ ] ⊆ ( x 0 − r , x 0 + r ) {\displaystyle [x-\delta ,x+\delta ]\subseteq (x_{0}-r,x_{0}+r)} f {\displaystyle f} [ x − δ , x + δ ] {\displaystyle [x-\delta ,x+\delta ]} [ f ( x − δ ) , f ( x + δ ) ] {\displaystyle [f(x-\delta ),f(x+\delta )]} I = ( x − δ , x + δ ) {\displaystyle I=(x-\delta ,x+\delta )} J = ( f ( x − δ ) , f ( x + δ ) ) {\displaystyle J=(f(x-\delta ),f(x+\delta ))} f : I → J {\displaystyle f:I\to J} f − 1 : J → I {\displaystyle f^{-1}:J\to I} f − 1 : J → I {\displaystyle f^{-1}:J\to I} f {\displaystyle f} f : I → R {\displaystyle f:I\to \mathbb {R} } x 0 ∈ I {\displaystyle x_{0}\in I} f ′ ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f'(x_{0})\neq 0} f − 1 : f ( I ) → R {\displaystyle f^{-1}:f(I)\to \mathbb {R} } ( f − 1 ) ′ ( y 0 ) = 1 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})={\dfrac {1}{f'(x_{0})}}} y 0 = f ( x 0 ) {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}
逐次近似法を用いた証明 存在を証明するために、アフィン変換の後に および が成り立つと仮定することが でき ます 。 f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} f ′ ( 0 ) = I {\displaystyle f^{\prime }(0)=I} a = b = 0 {\displaystyle a=b=0}
ベクトル値関数の平均値定理 により 、微分可能関数に対しては 、 となる 。 とおくと、 u : [ 0 , 1 ] → R m {\displaystyle u:[0,1]\to \mathbb {R} ^{m}} ‖ u ( 1 ) − u ( 0 ) ‖ ≤ sup 0 ≤ t ≤ 1 ‖ u ′ ( t ) ‖ {\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|} u ( t ) = f ( x + t ( x ′ − x ) ) − x − t ( x ′ − x ) {\displaystyle u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)}
‖ f ( x ) − f ( x ′ ) − x + x ′ ‖ ≤ ‖ x − x ′ ‖ sup 0 ≤ t ≤ 1 ‖ f ′ ( x + t ( x ′ − x ) ) − I ‖ . {\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.} ここで、に対して となるように を選ぶ 。 とを と によって帰納的に 定義すると仮定する 。仮定から、 の場合 、 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ‖ f ′ ( x ) − I ‖ < 1 2 {\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \over 2}} ‖ x ‖ < δ {\displaystyle \|x\|<\delta } ‖ y ‖ < δ / 2 {\displaystyle \|y\|<\delta /2} x n {\displaystyle x_{n}} x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} x n + 1 = x n + y − f ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})} ‖ x ‖ , ‖ x ′ ‖ < δ {\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta }
‖ f ( x ) − f ( x ′ ) − x + x ′ ‖ ≤ ‖ x − x ′ ‖ / 2 {\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2} 。 特に は を意味します 。帰納的スキームでは とです 。したがって は に向かう コーシー列 です 。 要求どおりに構築することにより。 f ( x ) = f ( x ′ ) {\displaystyle f(x)=f(x^{\prime })} x = x ′ {\displaystyle x=x^{\prime }} ‖ x n ‖ < δ {\displaystyle \|x_{n}\|<\delta } ‖ x n + 1 − x n ‖ < δ / 2 n {\displaystyle \|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}} ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} x {\displaystyle x} f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}
が C 1 であることを確認するには、 となるように 書きます 。上記の不等式により、 となります 。一方、 ならば となります 。 の 等比級数 を用いると 、 となります 。しかし、 g = f − 1 {\displaystyle g=f^{-1}} g ( y + k ) = x + h {\displaystyle g(y+k)=x+h} f ( x + h ) = f ( x ) + k {\displaystyle f(x+h)=f(x)+k} ‖ h − k ‖ < ‖ h ‖ / 2 {\displaystyle \|h-k\|<\|h\|/2} ‖ h ‖ / 2 < ‖ k ‖ < 2 ‖ h ‖ {\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|} A = f ′ ( x ) {\displaystyle A=f^{\prime }(x)} ‖ A − I ‖ < 1 / 2 {\displaystyle \|A-I\|<1/2} B = I − A {\displaystyle B=I-A} ‖ A − 1 ‖ < 2 {\displaystyle \|A^{-1}\|<2}
‖ g ( y + k ) − g ( y ) − f ′ ( g ( y ) ) − 1 k ‖ ‖ k ‖ = ‖ h − f ′ ( x ) − 1 [ f ( x + h ) − f ( x ) ] ‖ ‖ k ‖ ≤ 4 ‖ f ( x + h ) − f ( x ) − f ′ ( x ) h ‖ ‖ h ‖ {\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}} は 0 に近づくにつれて 0 に近づくため、 の場合 C 1 であることが証明されます 。 k {\displaystyle k} h {\displaystyle h} g {\displaystyle g} g ′ ( y ) = f ′ ( g ( y ) ) − 1 {\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}
上の証明は有限次元空間について示したが、 バナッハ空間 にも同様に当てはまる。 可逆関数が に対して C k ならば、その逆関数も である。これは、任意の に対して 作用素への 写像がC k であるという事実を用いた帰納法により導かれる（有限次元の場合、行列の逆は随伴行列を その 行列式 で割ったものとして与えられるため、これは基本的な事実である ）。 [1] [7]ここでの証明方法は、 Henri Cartan 、 Jean Dieudonné 、 Serge Lang 、 Roger Godement 、 Lars Hörmander の著書に記載されている 。 f {\displaystyle f} k > 1 {\displaystyle k>1} F ( A ) = A − 1 {\displaystyle F(A)=A^{-1}} k {\displaystyle k}
縮約写像原理を用いた証明 以下は縮約写像定理 に基づく証明である 。具体的には、T. Tao [8] に従い、縮約写像定理の以下の帰結を用いる。
補題 — 中心が0で半径rの開球と 定数 写像 を 次 のように 表す。 B ( 0 , r ) {\displaystyle B(0,r)} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} g : B ( 0 , r ) → R n {\displaystyle g:B(0,r)\to \mathbb {R} ^{n}} 0 < c < 1 {\displaystyle 0<c<1}
| g ( y ) − g ( x ) | ≤ c | y − x | {\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq c|y-x|} についてはすべて である 。そして については すべて である。 x , y {\displaystyle x,y} B ( 0 , r ) {\displaystyle B(0,r)} f = I + g {\displaystyle f=I+g} B ( 0 , r ) {\displaystyle B(0,r)}
( 1 − c ) | x − y | ≤ | f ( x ) − f ( y ) | , {\displaystyle (1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|,} 特に、 f は単射である。さらに、 ならば、 g ( 0 ) = 0 {\displaystyle g(0)=0}
B ( 0 , ( 1 − c ) r ) ⊂ f ( B ( 0 , r ) ) ⊂ B ( 0 , ( 1 + c ) r ) {\displaystyle B(0,(1-c)r)\subset f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)} 。 より一般に、 をバナッハ空間に置き換えてもこの命題は真である 。また、補題の最初の部分は任意のノルム空間に対しても真である。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
基本的に、この補題は、恒等写像を縮約写像で小さく摂動すると、単射となり、ある意味で球面が保存されるということを述べています。この補題を一旦仮定した上で、まず定理を証明します。上記の証明と同様に、 および の特別な場合を証明すれば十分です 。 とします 。 に 平均値不等式 を適用すると、次の
ようになります。 a = 0 , b = f ( a ) = 0 {\displaystyle a=0,b=f(a)=0} f ′ ( 0 ) = I {\displaystyle f'(0)=I} g = f − I {\displaystyle g=f-I} t ↦ g ( x + t ( y − x ) ) {\displaystyle t\mapsto g(x+t(y-x))}
| g ( y ) − g ( x ) | ≤ | y − x | sup 0 < t < 1 | g ′ ( x + t ( y − x ) ) | . {\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq |y-x|\sup _{0<t<1}|g'(x+t(y-x))|.} と が連続な ので 、 g ′ ( 0 ) = I − I = 0 {\displaystyle g'(0)=I-I=0} g ′ {\displaystyle g'} r > 0 {\displaystyle r>0}
| g ( y ) − g ( x ) | ≤ 2 − 1 | y − x | {\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq 2^{-1}|y-x|} のすべての場合において 成立する 。すると、前述の補題は が および に単射的であることを表している 。 すると 、 x , y {\displaystyle x,y} B ( 0 , r ) {\displaystyle B(0,r)} f = g + I {\displaystyle f=g+I} B ( 0 , r ) {\displaystyle B(0,r)} B ( 0 , r / 2 ) ⊂ f ( B ( 0 , r ) ) {\displaystyle B(0,r/2)\subset f(B(0,r))}
f : U = B ( 0 , r ) ∩ f − 1 ( B ( 0 , r / 2 ) ) → V = B ( 0 , r / 2 ) {\displaystyle f:U=B(0,r)\cap f^{-1}(B(0,r/2))\to V=B(0,r/2)} は単射なので逆元が存在する。次に、逆元が連続的に微分可能であることを示す （この部分の議論は前回の証明と同じである）。今回は、 と の逆元を と 表記 する 。 については、 または と 書く 。さて、初期の推定により、 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} g = f − 1 {\displaystyle g=f^{-1}} f {\displaystyle f} A = f ′ ( x ) {\displaystyle A=f'(x)} x = g ( y ) {\displaystyle x=g(y)} g ( y + k ) = x + h {\displaystyle g(y+k)=x+h} y + k = f ( x + h ) {\displaystyle y+k=f(x+h)}
| h − k | = | f ( x + h ) − f ( x ) − h | ≤ | h | / 2 {\displaystyle |h-k|=|f(x+h)-f(x)-h|\leq |h|/2} そして、 演算子ノルムについて 書くと、 | h | / 2 ≤ | k | {\displaystyle |h|/2\leq |k|} ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|}
| g ( y + k ) − g ( y ) − A − 1 k | = | h − A − 1 ( f ( x + h ) − f ( x ) ) | ≤ ‖ A − 1 ‖ | A h − f ( x + h ) + f ( x ) | . {\displaystyle |g(y+k)-g(y)-A^{-1}k|=|h-A^{-1}(f(x+h)-f(x))|\leq \|A^{-1}\||Ah-f(x+h)+f(x)|.} なので、 が成り立ち 、 は有界です。したがって、は で 微分可能であり、 その導関数はです 。また、 は の 合成と同じな ので、 は連続です。 k → 0 {\displaystyle k\to 0} h → 0 {\displaystyle h\to 0} | h | / | k | {\displaystyle |h|/|k|} g {\displaystyle g} y {\displaystyle y} g ′ ( y ) = f ′ ( g ( y ) ) − 1 {\displaystyle g'(y)=f'(g(y))^{-1}} g ′ {\displaystyle g'} ι ∘ f ′ ∘ g {\displaystyle \iota \circ f'\circ g} ι : T ↦ T − 1 {\displaystyle \iota :T\mapsto T^{-1}} g ′ {\displaystyle g'}
残っているのは補題を示すことだ。まず、次の式が得られる。
| x − y | − | f ( x ) − f ( y ) | ≤ | g ( x ) − g ( y ) | ≤ c | x − y | , {\displaystyle |x-y|-|f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|\leq c|x-y|,} つまり
( 1 − c ) | x − y | ≤ | f ( x ) − f ( y ) | . {\displaystyle (1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|.} これは最初の部分の証明です。次に、 を示します。これは、 内の点が与えられたときに 、写像の不動点を求める ことと同等であることに注意しましょう。 f ( B ( 0 , r ) ) ⊃ B ( 0 , ( 1 − c ) r ) {\displaystyle f(B(0,r))\supset B(0,(1-c)r)} y {\displaystyle y} B ( 0 , ( 1 − c ) r ) {\displaystyle B(0,(1-c)r)}
F : B ¯ ( 0 , r ′ ) → B ¯ ( 0 , r ′ ) , x ↦ y − g ( x ) {\displaystyle F:{\overline {B}}(0,r')\to {\overline {B}}(0,r'),\,x\mapsto y-g(x)} ここで 、 となり 、棒は閉じた球体を意味します。不動点を見つけるには、縮約写像定理を用います。そして、 が 明確に定義された厳密縮約写像であるかどうかの確認は簡単です。最終的に、 次式
が成り立ちます。 0 < r ′ < r {\displaystyle 0<r'<r} | y | ≤ ( 1 − c ) r ′ {\displaystyle |y|\leq (1-c)r'} F {\displaystyle F} f ( B ( 0 , r ) ) ⊂ B ( 0 , ( 1 + c ) r ) {\displaystyle f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)}
| f ( x ) | = | x + g ( x ) − g ( 0 ) | ≤ ( 1 + c ) | x | . ◻ {\displaystyle |f(x)|=|x+g(x)-g(0)|\leq (1+c)|x|.\square } 明らかなように、収縮写像定理の証明は逐次近似によるものであるため、この証明は前のものと実質的に変わりません。
アプリケーション
暗黙関数定理 逆関数定理は連立方程式を解くのに使える
f 1 ( x ) = y 1 ⋮ f n ( x ) = y n , {\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x)=y_{1}\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x)=y_{n},\end{aligned}}} すなわち、 ヤコビ行列が逆行列である限り、 の関数として表現されます。 暗黙関数定理により、 より一般的な連立方程式を解くことができます。 y 1 , … , y n {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}} x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}
f 1 ( x , y ) = 0 ⋮ f n ( x , y ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x,y)=0\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x,y)=0\end{aligned}}} についてである 。 より一般的な定理ではあるが、この定理は実際には逆関数定理の帰結である。まず、暗黙関数定理の正確な表現は以下の通りである： [9] y {\displaystyle y} x {\displaystyle x}
写像 が与えられたとき 、 が の近傍で連続的に微分可能であり、 における の導関数が 可逆であれば、 の いくつかの近傍に対して となる 微分 可能写像が存在する 。さらに 、 であれば となる 。すなわち、 は 一意に解である。 f : R n × R m → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}} f ( a , b ) = 0 {\displaystyle f(a,b)=0} f {\displaystyle f} ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} y ↦ f ( a , y ) {\displaystyle y\mapsto f(a,y)} b {\displaystyle b} g : U → V {\displaystyle g:U\to V} U , V {\displaystyle U,V} a , b {\displaystyle a,b} f ( x , g ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(x,g(x))=0} f ( x , y ) = 0 , x ∈ U , y ∈ V {\displaystyle f(x,y)=0,x\in U,y\in V} y = g ( x ) {\displaystyle y=g(x)} g ( x ) {\displaystyle g(x)} これを理解するには、写像 を考えてみましょう 。逆関数定理により、 は いくつかの近傍 に対して 逆関数を持ちます 。すると、次の式が成り立ちます。 F ( x , y ) = ( x , f ( x , y ) ) {\displaystyle F(x,y)=(x,f(x,y))} F : U × V → W {\displaystyle F:U\times V\to W} G {\displaystyle G} U , V , W {\displaystyle U,V,W}
( x , y ) = F ( G 1 ( x , y ) , G 2 ( x , y ) ) = ( G 1 ( x , y ) , f ( G 1 ( x , y ) , G 2 ( x , y ) ) ) , {\displaystyle (x,y)=F(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))=(G_{1}(x,y),f(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))),} を意味し 、 したがって、 必要なプロパティを備えています。 x = G 1 ( x , y ) {\displaystyle x=G_{1}(x,y)} y = f ( x , G 2 ( x , y ) ) . {\displaystyle y=f(x,G_{2}(x,y)).} g ( x ) = G 2 ( x , 0 ) {\displaystyle g(x)=G_{2}(x,0)} ◻ {\displaystyle \square }
多様体構造を与える 微分幾何学において、逆写像定理は、滑らかな写像の下での正則値 の逆像が 多様体であることを示すために使用される。 [10] 実際、 を の開部分集合からのそのような滑らかな写像としよう （結果は局所的であるため、そのような写像を考えても一般性は失われない）。 の点を固定し 、 の座標を並べ替えて 、行列の 階数が であると仮定する。すると、 は 階数が である ような 写像となる。したがって、逆写像定理により、 の 近傍で定義される の 滑らかな逆写像が見つかる 。すると、 f : U → R r {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{r}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} a {\displaystyle a} f − 1 ( b ) {\displaystyle f^{-1}(b)} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} [ ∂ f i ∂ x j ( a ) ] 1 ≤ i , j ≤ r {\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}} r {\displaystyle r} F : U → R r × R n − r = R n , x ↦ ( f ( x ) , x r + 1 , … , x n ) {\displaystyle F:U\to \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n-r}=\mathbb {R} ^{n},\,x\mapsto (f(x),x_{r+1},\dots ,x_{n})} F ′ ( a ) {\displaystyle F'(a)} n {\displaystyle n} G {\displaystyle G} F {\displaystyle F} V × W {\displaystyle V\times W} ( b , a r + 1 , … , a n ) {\displaystyle (b,a_{r+1},\dots ,a_{n})}
x = ( F ∘ G ) ( x ) = ( f ( G ( x ) ) , G r + 1 ( x ) , … , G n ( x ) ) , {\displaystyle x=(F\circ G)(x)=(f(G(x)),G_{r+1}(x),\dots ,G_{n}(x)),} これは
( f ∘ G ) ( x 1 , … , x n ) = ( x 1 , … , x r ) . {\displaystyle (f\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{r}).} つまり、 による座標変換後 、 は座標射影となる（この事実は 沈み込み定理 として知られている）。さらに、 は全単射なので、写像 G {\displaystyle G} f {\displaystyle f} G : V × W → U ′ = G ( V × W ) {\displaystyle G:V\times W\to U'=G(V\times W)}
g = G ( b , ⋅ ) : W → f − 1 ( b ) ∩ U ′ , ( x r + 1 , … , x n ) ↦ G ( b , x r + 1 , … , x n ) {\displaystyle g=G(b,\cdot ):W\to f^{-1}(b)\cap U',\,(x_{r+1},\dots ,x_{n})\mapsto G(b,x_{r+1},\dots ,x_{n})} は滑らかな逆元と単射である。つまり、 は の周囲 における局所媒介変数化を与える 。したがって、 は多様体である。 （証明は暗黙関数定理の証明と非常に似ており、実際には暗黙関数定理を代わりに用いることもできることに注意。） g {\displaystyle g} f − 1 ( b ) {\displaystyle f^{-1}(b)} a {\displaystyle a} f − 1 ( b ) {\displaystyle f^{-1}(b)} ◻ {\displaystyle \square }
より一般的には、この定理は、滑らかな写像が 部分多様体に横断的である場合 、その逆像 は部分多様体であることを示しています。 [11] f : P → E {\displaystyle f:P\to E} M ⊂ E {\displaystyle M\subset E} f − 1 ( M ) ↪ P {\displaystyle f^{-1}(M)\hookrightarrow P}
グローバル版 逆関数定理は局所的な帰結であり、各点に適用されます。 したがって 、この定理は、関数が 局所単射（または何らかのクラスの局所微分同相）であることを示しているに過ぎません。次の位相的補題は、局所的な単射性をある程度大域的な単射性へと昇格させるために用いることができます。 f {\displaystyle f}
証明: [14] まず が コンパクト であると仮定する 。定理の結論が偽ならば、 と がそれぞれ 内の いくつかの点に収束する ような2つの列を見つけることができる 。 は に単射なので 、である 。ここで が十分に大きい場合、は が単射で ある の近傍に存在する 。したがって、 は矛盾である。 X {\displaystyle X} x i ≠ y i {\displaystyle x_{i}\neq y_{i}} f ( x i ) = f ( y i ) {\displaystyle f(x_{i})=f(y_{i})} x i , y i {\displaystyle x_{i},y_{i}} x , y {\displaystyle x,y} A {\displaystyle A} f {\displaystyle f} A {\displaystyle A} x = y {\displaystyle x=y} i {\displaystyle i} x i , y i {\displaystyle x_{i},y_{i}} x = y {\displaystyle x=y} f {\displaystyle f} x i = y i {\displaystyle x_{i}=y_{i}}
一般に、集合 を考える 。 は、 が単射である任意の部分集合に対して、 と素である 。 を 、 の内部に含まれる、和集合 および を含む コンパクト部分集合の増加列とする 。すると、証明の最初の部分により、各 に対して、 となるような の 近傍を見つけることができる 。すると、 は必要な性質を持つ。 （ 別のアプローチについては [15]も参照のこと。） E = { ( x , y ) ∈ X 2 ∣ x ≠ y , f ( x ) = f ( y ) } {\displaystyle E=\{(x,y)\in X^{2}\mid x\neq y,f(x)=f(y)\}} S × S {\displaystyle S\times S} S ⊂ X {\displaystyle S\subset X} f {\displaystyle f} X 1 ⊂ X 2 ⊂ ⋯ {\displaystyle X_{1}\subset X_{2}\subset \cdots } X {\displaystyle X} X i {\displaystyle X_{i}} X i + 1 {\displaystyle X_{i+1}} i {\displaystyle i} U i {\displaystyle U_{i}} A ∩ X i {\displaystyle A\cap X_{i}} U i 2 ⊂ X 2 − E {\displaystyle U_{i}^{2}\subset X^{2}-E} U = ⋃ i U i {\displaystyle U=\bigcup _{i}U_{i}} ◻ {\displaystyle \square }
この補題は、逆関数定理の次のような（一種の）グローバルバージョンを意味します。
が点である 場合、上記は通常の逆関数の定理であることに注意してください。 A {\displaystyle A}
正則逆関数定理 逆関数定理には、正則写像 のバージョンがあります 。
この定理は通常の逆関数定理から導かれる。実際、を 変数における のヤコビ行列とし 、 における に対して としよう 。すると が成立し 、仮定によりこれは非零となる。したがって、通常の逆関数定理より、 は の 近傍で連続的に微分可能な逆関数に対して単射となる 。連鎖律より、 に対して 、 J R ( f ) {\displaystyle J_{\mathbb {R} }(f)} f {\displaystyle f} x i , y i {\displaystyle x_{i},y_{i}} J ( f ) {\displaystyle J(f)} z j , z ¯ j {\displaystyle z_{j},{\overline {z}}_{j}} det J R ( f ) = | det J ( f ) | 2 {\displaystyle \det J_{\mathbb {R} }(f)=|\det J(f)|^{2}} f {\displaystyle f} 0 {\displaystyle 0} w = f ( z ) {\displaystyle w=f(z)}
∂ ∂ z ¯ j ( f j − 1 ∘ f ) ( z ) = ∑ k ∂ f j − 1 ∂ w k ( w ) ∂ f k ∂ z ¯ j ( z ) + ∑ k ∂ f j − 1 ∂ w ¯ k ( w ) ∂ f ¯ k ∂ z ¯ j ( z ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}(f_{j}^{-1}\circ f)(z)=\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial w_{k}}}(w){\frac {\partial f_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)+\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w){\frac {\partial {\overline {f}}_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)} ここで、左辺と右辺第1項は、 と が正則な ので消える 。したがって、 各 について、 となる 。 f j − 1 ∘ f {\displaystyle f_{j}^{-1}\circ f} f k {\displaystyle f_{k}} ∂ f j − 1 ∂ w ¯ k ( w ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w)=0} k {\displaystyle k} ◻ {\displaystyle \square }
同様に、正則関数に対する暗黙関数定理も存在する。 [19]
既に述べたように、単射な滑らかな関数の逆関数が滑らかでない（例えば 実変数の場合）場合があります。しかし、正則関数の場合は以下の理由によりそうではありません。 f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}}
逆関数定理は、 微分可能多様体 間の微分可能写像という観点から言い換えることができる。この文脈において、この定理は、 （クラスの ）微分可能写像に対して、 の 微分 が F : M → N {\displaystyle F:M\to N} C 1 {\displaystyle C^{1}} F {\displaystyle F}
d F p : T p M → T F ( p ) N {\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N} がの 点における 線型同型 ならば、 の 開近傍が存在し 、 p {\displaystyle p} M {\displaystyle M} U {\displaystyle U} p {\displaystyle p}
F | U : U → F ( U ) {\displaystyle F|_{U}:U\to F(U)} は微分同相写像 である。これは、 p と F ( p )を含む M と N の連結成分が同じ次元を持つことを意味することに注意されたい。これは、 dFp が 同型写像であるという仮定から直接的に示唆されている。F の 微分が M のすべての点 p において同型ならば 、写像 Fは 局所微分同相写像 である 。
一般化
バナッハ空間 逆関数定理は、バナッハ空間 X と Y の間の微分可能写像にも一般化できる 。 [20] U を X における原点の開近傍かつ連続的に微分可能な関数と し 、 F の 0 における フレシェ微分が Xから Y への 有界 線型同型であるとする。すると、 Y における の開近傍 Vと、 V の すべての y に対してとなる 連続的に微分可能な写像が 存在する 。さらに、は 方程式 の 唯一十分に小さい解 x である。 F : U → Y {\displaystyle F:U\to Y\!} d F 0 : X → Y {\displaystyle dF_{0}:X\to Y\!} F ( 0 ) {\displaystyle F(0)\!} G : V → X {\displaystyle G:V\to X\!} F ( G ( y ) ) = y {\displaystyle F(G(y))=y} G ( y ) {\displaystyle G(y)\!} F ( x ) = y {\displaystyle F(x)=y\!}
バナッハ多様 体には逆関数定理も存在する 。 [21]
定数階定理 逆関数定理（および 暗黙関数定理 ）は、点の近くで定数 階数 を持つ滑らかな写像は、その点の近くで特定の正規形に配置できることを述べた、定数階数定理の特殊なケースと見ることができます。 [22] 具体的には、 が点 の近くで定数階数を持つ場合、 p の開近傍 U と の 開近傍 V が存在し、 となる 微分同相写像と が存在し 、その 導関数 が に等しい 。つまり、 F は p の 近くでその導関数に「似ている」ということです。 の近傍で階数が一定である 点の集合は、 M の開稠部分集合です。これは、階数関数の 半連続性 の結果です 。したがって、定数階数定理は定義域の一般的な点に適用されます。 F : M → N {\displaystyle F:M\to N} p ∈ M {\displaystyle p\in M\!} F ( p ) {\displaystyle F(p)\!} u : T p M → U {\displaystyle u:T_{p}M\to U\!} v : T F ( p ) N → V {\displaystyle v:T_{F(p)}N\to V\!} F ( U ) ⊆ V {\displaystyle F(U)\subseteq V\!} d F p : T p M → T F ( p ) N {\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!} v − 1 ∘ F ∘ u {\displaystyle v^{-1}\circ F\circ u\!} p ∈ M {\displaystyle p\in M} p {\displaystyle p}
F の導関数が 点 pで単射（それぞれ射影）である場合、 p の近傍でも単射（それぞれ射影）であり、したがってその近傍での F の階数は 一定であり、定階定理が適用されます。
多項式関数 もしこれが正しいとすれば、 ヤコビ予想は 多項式における逆関数定理の変形となる。これは、ベクトル値多項式関数の ヤコビ行列式 が可逆多項式（つまり非零の定数）である場合、その逆関数もまた多項式関数である、というものである。この予想が真か偽かは、2変数の場合であっても不明である。これは多項式理論における主要な未解決問題である。
セレクション の とき 、 は 倍 連続的に微分可能で あり、ある点における ヤコビアンが 階数 である場合 、 の逆関数は 一意ではない可能性がある。しかし、 の 近傍 における すべての に対して 、は この近傍において 倍連続的に微分可能であり、 （ は の ムーア ・ペンローズ擬逆関数 である） となるような局所 選択 関数が存在する。 [23] f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} m ≤ n {\displaystyle m\leq n} f {\displaystyle f} k {\displaystyle k} A = ∇ f ( x ¯ ) {\displaystyle A=\nabla f({\overline {x}})} x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} m {\displaystyle m} f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} f ( s ( y ) ) = y {\displaystyle f(s(y))=y} y {\displaystyle y} y ¯ = f ( x ¯ ) {\displaystyle {\overline {y}}=f({\overline {x}})} s ( y ¯ ) = x ¯ {\displaystyle s({\overline {y}})={\overline {x}}} s {\displaystyle s} k {\displaystyle k} ∇ s ( y ¯ ) = A T ( A A T ) − 1 {\displaystyle \nabla s({\overline {y}})=A^{T}(AA^{T})^{-1}} ∇ s ( y ¯ ) {\displaystyle \nabla s({\overline {y}})} A {\displaystyle A}
実際の閉鎖フィールド上で 逆関数定理は 実閉体 k （または o-極小構造 ）上でも成立する。 [24] 正確には、この定理は 連続的に微分可能なの開部分集合間の半代数的（または定義可能）写像に対して成立する。 k n {\displaystyle k^{n}}
IFT の通常の証明では、コーシー完全性に依存するバナッハの不動点定理を使用します。 議論のその部分は、完全性を必要としない 極値定理 の使用に置き換えられます。 明示的に、§ 縮約写像原理を使用した証明では、コーシー完全性は の包含 を確立するためにのみ使用されています 。 ここでは、代わりに を直接示します(これで十分です)。 内の 点が与えられたときに、 の近傍で定義された 関数を考えます 。 で あれば であり 、 は可逆であるため です。ここで、極値定理により、 は 閉球 上の ある点で極小値を許容し、 を使用し て 内にあることが示されます 。 であるため であり 、 これは主張されている包含を証明します。 B ( 0 , r / 2 ) ⊂ f ( B ( 0 , r ) ) {\displaystyle B(0,r/2)\subset f(B(0,r))} B ( 0 , r / 4 ) ⊂ f ( B ( 0 , r ) ) {\displaystyle B(0,r/4)\subset f(B(0,r))} y {\displaystyle y} B ( 0 , r / 4 ) {\displaystyle B(0,r/4)} P ( x ) = | f ( x ) − y | 2 {\displaystyle P(x)=|f(x)-y|^{2}} B ¯ ( 0 , r ) {\displaystyle {\overline {B}}(0,r)} P ′ ( x ) = 0 {\displaystyle P'(x)=0} 0 = P ′ ( x ) = 2 [ f 1 ( x ) − y 1 ⋯ f n ( x ) − y n ] f ′ ( x ) {\displaystyle 0=P'(x)=2[f_{1}(x)-y_{1}\cdots f_{n}(x)-y_{n}]f'(x)} f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} P {\displaystyle P} x 0 {\displaystyle x_{0}} B ¯ ( 0 , r ) {\displaystyle {\overline {B}}(0,r)} B ( 0 , r ) {\displaystyle B(0,r)} 2 − 1 | x | ≤ | f ( x ) | {\displaystyle 2^{-1}|x|\leq |f(x)|} P ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle P'(x_{0})=0} f ( x 0 ) = y {\displaystyle f(x_{0})=y} ◻ {\displaystyle \square }
あるいは、タルスキの原理によって実数上の定理から定理を導き出すこともできる。 [ 要出典 ]
参照
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参考文献
スペース
定理 オペレーター 代数 未解決の問題 アプリケーション 高度なトピック
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![{\displaystyle [x-\delta ,x+\delta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8ae8f581b30b8733deef1a91963c88ade03cca)
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![{\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|hf^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3441d200e9768c80cd8373312a96905583bd389e)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d70b8d798dded1a0281323d71b822189bfd8ea)
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