Notation of differential calculus
微分積分学 では、 微分のための 単一の標準的な表記法はありません 。代わりに、 関数 または 従属変数 の 導関数のためのいくつかの表記法が、 ライプニッツ 、 ニュートン 、 ラグランジュ 、 アルボガスト など、様々な数学者によって提案されてきました 。各表記法の有用性は、それが使用される文脈に依存し、特定の文脈で複数の表記法を使用することが有利な場合もあります。 多変数微分積分 における 偏微分 、 テンソル解析 、 ベクトル解析など、より特殊な設定では、添字表記法や ∇ 演算子などの他の表記法が一般的です。微分（およびその逆の演算で ある反微分 または 不定積分 ）のための最も一般的な表記法 を以下に示します。
ライプニッツの表記法 ゴットフリート・ライプニッツ が用いたオリジナルの表記法は、 数学全般で使用されています。特に、方程式 y = f ( x )が 従属変数 y と独立変数 x の間の関数関係として扱われる場合によく使用されます 。ライプニッツの表記法では、この関係を明示するために、導関数を次のように書きます。 [1]さらに、 fの x における 導関数は次の ように書きます
。 d y d x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.} d f d x ( x ) or d f ( x ) d x or d d x f ( x ) . {\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).}
高次の導関数は次のように書きます。 これは、記号の形式的な操作から生まれた示唆に富んだ表記法です d 2 y d x 2 , d 3 y d x 3 , d 4 y d x 4 , … , d n y d x n . {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.} d ( d y d x ) d x = ( d d x ) 2 y = d 2 y d x 2 . {\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}
点 x = aにおける y の導関数の値は、 ライプニッツの記法を用いて2つの方法で表すことができます。 d y d x | x = a or d y d x ( a ) . {\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a).}
ライプニッツの記法では、微分する変数を（分母に）指定できます。これは、 偏微分を 考えるときに特に役立ちます。また、 連鎖律を 覚えやすく、認識しやすくします d y d x = d y d u ⋅ d u d x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}
ライプニッツの微分記法では、 dx や dy などの記号（ 微分 として知られる）にそれ自体で意味を割り当てる必要はなく 、一部の著者はこれらの記号に意味を割り当てようとしません。 [1] ライプニッツはこれらの記号を 無限小として扱いました。後の著者は 、非標準解析 における無限小や 外微分 など、他の意味を割り当てました 。一般的に、 dx は未定義のままにされるか と同一視され、 dy には dx に関して 次の式で
意味が割り当てられます。 Δ x {\displaystyle \Delta x}
d y = d y d x ⋅ d x , {\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,} これは、例えば
d f = f ′ ( x ) ⋅ d x {\displaystyle df=f'(x)\cdot dx} （下記参照）。このような方程式から、一部の文献で見られる用語が生まれ、そこでは導関数は「微分係数」（つまり、 dx の 係数 ）と呼ばれています。
一部の著者やジャーナルは、微分記号 dを イタリック体 ではなく ローマン体 で d x と設定しています。ISO /IEC 80000 科学スタイルガイドでは、 このスタイルが推奨されています。
ラグランジュの記法 f ′ ( x )
ラグランジュ表記法で 1 回微分された x の 関数 f 。
微分法の最も一般的な現代表記法の1つは、 ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ にちなんで名付けられましたが、実際には オイラー によって発明され、普及しました。ラグランジュの表記法では、 プライム記号は 微分を表すため、 プライム表記 と呼ばれることもあります。f が 関数の場合、 xにおけるその微分は
f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 。 1749年に初めて印刷されました。 [3]
高次の導関数は、 2次導関数 の場合は 、 3次導関数 の場合は のように、追加のプライム記号を使用して表されます。プライム記号を繰り返し使用すると、最終的には扱いにくくなります。一部の著者は 、通常小文字の ローマ数字 を使用し続けています [4] [5] 。 f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)} f ‴ ( x ) {\displaystyle f'''(x)}
f i v ( x ) , f v ( x ) , f v i ( x ) , … , {\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,} 4次、5次、6次、およびそれ以上の高次の微分を表します。他の著者は、のように括弧で囲んだアラビア数字を使用します。
f ( 4 ) ( x ) , f ( 5 ) ( x ) , f ( 6 ) ( x ) , … . {\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .} この表記法は、 n を変数
とする n 次微分 を記述することも可能にします。これは
f ( n ) ( x ) . {\displaystyle f^{(n)}(x).} ラグランジュの表記法に関連するUnicode文字には以下が含まれます
U+2032 ◌′ プライム （微分） U+2033 ◌″ ダブルプライム （二重微分） U+2034 ◌‴ 三重プライム （三次微分） U+2057 ◌⁗ 四重プライム （四次微分） 関数に2つの独立変数がある場合 、次の表記法が使用されることがありました。 [6] f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)}
f ′ = ∂ f ∂ x = f x f ′ = ∂ f ∂ y = f y f ′ ′ = ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x f ′ ′ = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f x y f ′ ′ = ∂ 2 f ∂ y 2 = f y y {\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}
逆微分に関するラグランジュの表記法 f (-1) ( x ) f (-2) ( x )
ラグランジュ表記法における、 fの x に関する 一重および二重不定積分。
不定積分を取る際、ラグランジュはライプニッツの記法に従いました。 [7]
f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = ∫ y ′ d x . {\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y'\,dx.} しかし、積分は微分の逆演算であるため、高階微分に対するラグランジュの記法は積分にも適用されます。fの繰り返し積分は 次 のように表すことができます
f ( − 1 ) ( x ) {\displaystyle f^{(-1)}(x)} 最初の積分については（これは 逆関数 と混同されやすい）、 f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} f ( − 2 ) ( x ) {\displaystyle f^{(-2)}(x)} 2番目の積分については、 f ( − 3 ) ( x ) {\displaystyle f^{(-3)}(x)} 3番目の積分については、 f ( − n ) ( x ) {\displaystyle f^{(-n)}(x)} n 番目の積分 については、
D表記 D x y D 2 f
y のx微分 と f の2次微分、 オイラー 記法。
この記法は オイラー記法 と呼ばれることもありますが、ルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガスト [8] によって導入されたもので 、 レオンハルト・オイラーは 使用しなかった ようです [ 要出典 ]
この表記法では、 D （ D演算子 ） [9] [ 検証失敗 ] または D̃ （ ニュートン・ライプニッツ演算子 ） [10] で表される 微分演算子 を使用します。 関数 f ( x ) に適用する場合、次のように定義されます。
( D f ) ( x ) = d f ( x ) d x . {\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.} 高次の導関数は、 D の「べき乗」として表記されます （上付き文字は D の反復 合成を表します）。 [6] のように
D 2 f {\displaystyle D^{2}f} 2次微分の場合は D 3 f {\displaystyle D^{3}f} 3次微分の場合は D n f {\displaystyle D^{n}f} n 次微分 の場合は D表記法では、微分を行う変数は暗黙的に示されます。ただし、変数名を下付き文字として明示的に示すこともできます。f が変数 x の関数である場合、 [6] と書きます。
D x f {\displaystyle D_{x}f} D表記法では、微分を行う変数は暗黙的に示されます。ただし、変数名を下付き文字として明示的に示すこともできます。fが変数xの関数である場合、 [ 6 ]と書きます。 D x 2 f {\displaystyle D_{x}^{2}f} 2次微分の場合は D x 3 f {\displaystyle D_{x}^{3}f} 3次微分の場合は D x n f {\displaystyle D_{x}^{n}f} n 次微分 の場合は fが 複数の変数の関数である 場合、「 D 」ではなく、「 ∂ 」（様式化された筆記体の小文字d）を使用するのが一般的です 。上記のように、下付き文字は取られる微分を示します。たとえば、関数の2次偏微分は次の とおりです。 [6] f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)}
∂ x x f = ∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ x y f = ∂ 2 f ∂ y ∂ x , ∂ y x f = ∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ y y f = ∂ 2 f ∂ y 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}} §偏微分を参照してください。
D表記法は、 微分方程式 の研究 と 微分代数 において有用です。
反微分のD表記法 D −1 x y D −2 f
y のx反微分 と f の2次反微分 、オイラー表記
D表記法は、ラグランジュ表記法[11] が次のように 反微分に使用できるのと同じように、反微分に使用できます [10]
D − 1 f ( x ) {\displaystyle D^{-1}f(x)} 1次反微分の場合、 D − 2 f ( x ) {\displaystyle D^{-2}f(x)} 2次反微分の場合、 D − n f ( x ) {\displaystyle D^{-n}f(x)} n 次反微分の場合 。
ニュートン表記法 アイザック・ニュートン の微分表記法（ ドット表記法 、 フラクション 表記法、または時には粗雑に、 フライスペック表記法 [12] とも呼ばれる）では、従属変数にドットを置きます。つまり、 yが t の関数である場合 、 yの t に関する導関数は
y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} 高次の導関数は、
y ¨ , y . . . {\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}} ニュートンはこの考え方をかなり拡張しました。 [13]
y ¨ ≡ d 2 y d t 2 = d d t ( d y d t ) = d d t ( y ˙ ) = d d t ( f ′ ( t ) ) = D t 2 y = f ″ ( t ) = y t ″ y . . . = y ¨ ˙ ≡ d 3 y d t 3 = D t 3 y = f ‴ ( t ) = y t ‴ y ˙ 4 = y . . . . = y ¨ ¨ ≡ d 4 y d t 4 = D t 4 y = f I V ( t ) = y t ( 4 ) y ˙ 5 = y . . . ¨ = y ¨ ¨ ˙ = y ¨ ˙ ¨ ≡ d 5 y d t 5 = D t 5 y = f V ( t ) = y t ( 5 ) y ˙ 6 = y . . . . . . ≡ d 6 y d t 6 = D t 6 y = f V I ( t ) = y t ( 6 ) y ˙ 7 = y . . . . . . ˙ ≡ d 7 y d t 7 = D t 7 y = f V I I ( t ) = y t ( 7 ) y ˙ 10 = y ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ≡ d 10 y d t 10 = D t 10 y = f X ( t ) = y t ( 10 ) y ˙ n ≡ d n y d t n = D t n y = f ( n ) ( t ) = y t ( n ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}} ニュートン記法に関連するUnicode文字には、以下が含まれます。
U+0307 ◌̇ 上結合ドット （微分） U+0308 ◌̈ 上結合分音符 （二重微分） U+20DB ◌⃛ 上に3つの点を結合 （3次導関数） ← 「結合分音記号」+「上に結合点」に置き換えられます。 U+20DC ◌⃜ 上に4つの点を結合 （4次導関数） ← 「結合分音記号」を2回に置き換えます。 U+030D ◌̍ 上に結合縦線 （積分 ） U+030E ◌̎ 上に結合二重縦 線（2次積分） U +25AD ▭ 白い長方形 （積分） U+20DE ◌⃞ 結合囲み正方形（積分） U+1DE0 ◌ᷠ 結合ラテン小文字 N （ n 次導関数） ニュートン記法は、独立変数が時間 を表す場合に一般的に使用されます 。位置 y がt の関数である場合 、 速度 [14] を表し 、 加速度 [15] を表します 。 この記法は物理 学 と 数理物理学でよく使用されます。また、 微分方程式 など、物理学に関連する数学の分野でも使用されます 。 y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} y ¨ {\displaystyle {\ddot {y}}}
従属変数 y = f ( x ) の導関数を取る場合、別の記法が存在します。 [16]
y ˙ x ˙ = y ˙ : x ˙ ≡ d y d t : d x d t = d y d t d x d t = d y d x = d d x ( f ( x ) ) = D y = f ′ ( x ) = y ′ . {\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.} ニュートンは、曲線X ( ⵋ ) 上のサイドドットを用いて、以下の偏微分演算子を開発しました。ホワイトサイドによる定義は以下の通りです。 [17] [18]
X = f ( x , y ) , ⋅ X = x ∂ f ∂ x = x f x , X ⋅ = y ∂ f ∂ y = y f y , : X or ⋅ ( ⋅ X ) = x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 = x 2 f x x , X : or ( X ⋅ ) ⋅ = y 2 ∂ 2 f ∂ y 2 = y 2 f y y , ⋅ X ⋅ = x y ∂ 2 f ∂ x ∂ y = x y f x y , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}
ニュートンの積分記法 x̍ x̎
ニュートンの表記法の一つである、 x の1次および2次不定積分。
ニュートンは、1704年 の著書『曲率の方程式』（ Quadratura curvarum ）と その後の著作で、 積分 のための様々な表記法を開発しました。従属変数（ y̍ ）の上に小さな縦線またはプライムを付けたり 、接頭辞として長方形（ ▭y ）を付けたり、項を長方形（y）で囲んだりする こと で、 流動 積分または時間積分（ 不在積分） を 示しました。
y = ◻ y ˙ ≡ ∫ y ˙ d t = ∫ f ′ ( t ) d t = D t − 1 ( D t y ) = f ( t ) + C 0 = y t + C 0 y ′ = ◻ y ≡ ∫ y d t = ∫ f ( t ) d t = D t − 1 y = F ( t ) + C 1 {\displaystyle {\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}} 多重積分を示すために、ニュートンは2つの小さな縦線またはプライム（ y̎ ）を使用するか、以前の記号の組み合わせ ▭y̍y̍ を 使用して、2番目の時間積分（不在積分）を示しました。
y ′ ′ = ◻ y ′ ≡ ∫ y ′ d t = ∫ F ( t ) d t = D t − 2 y = g ( t ) + C 2 {\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}} 高階時間積分は以下のとおりです。 [19]
y ′ ′ ′ = ◻ y ′ ′ ≡ ∫ y ′ ′ d t = ∫ g ( t ) d t = D t − 3 y = G ( t ) + C 3 y ′ ′ ′ ′ = ◻ y ′ ′ ′ ≡ ∫ y ′ ′ ′ d t = ∫ G ( t ) d t = D t − 4 y = h ( t ) + C 4 y ′ n = ◻ y ′ n − 1 ≡ ∫ y ′ n − 1 d t = ∫ s ( t ) d t = D t − n y = S ( t ) + C n {\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}} この 数学表記法は、印刷の難しさ [ 要出典 ] と ライプニッツ・ニュートン微積分論争 のために普及しませんでした 。
偏微分 f x f xy
関数 fを x で微分し 、次に x と y で微分したもの。
多変数微積分 や テンソル解析 など、より特殊な微分が必要な場合は、 他の表記法が一般的です。
独立変数 x が1つの関数 f の場合、独立変数の添え字を使用して導関数を表すことができます。
f x = d f d x f x x = d 2 f d x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}} このタイプの表記法は、 複数の変数を持つ関数の 偏微分を取る場合に特に便利です。
偏微分は、微分演算子 d を「 ∂ 」記号に置き換えることで、通常の微分と区別されます。例えば、 f ( x , y , z )の x に関する 偏微分は、 y または z については示さず、 いくつかの方法で
示すことができます
∂ f ∂ x = f x = ∂ x f . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.} この区別が重要なのは、 のよう な非偏微分は 、文脈によっては、すべての変数が同時に変化することを許した場合 の に対する相対的な変化率として解釈される 可能性があるのに対し、 のような偏微分では、 1 つの変数だけが変化することが明示的であるからです。 d f d x {\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} ∂ f ∂ x {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
他の表記法は、数学、物理学、工学の様々な分野で見られます。例えば、 熱力学 の マクスウェルの関係式 を参照してください。記号は、エントロピー（添え字） S を一定に保ちながら、体積 V に対する 温度 T の微分であり、記号は、圧力 P を一定に保ちながら、体積に対する温度の微分です 。これは、変数の数が自由度を超える状況で必要になり、他のどの変数を固定するかを選択する必要があります。 ( ∂ T ∂ V ) S {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}} ( ∂ T ∂ V ) P {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}
1つの変数に関する高階偏微分は次のように表されます。
∂ 2 f ∂ x 2 = f x x , ∂ 3 f ∂ x 3 = f x x x , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}} 以下同様です。混合偏微分は次のように表すことができます。
∂ 2 f ∂ y ∂ x = f x y . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}.} この最後のケースでは、変数は2つの表記法の逆の順序で書かれ、次のように説明されます。
( f x ) y = f x y , ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) = ∂ 2 f ∂ y ∂ x . {\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}} いわゆる マルチインデックス表記法は、 上記の表記法が煩雑になったり、表現力が不十分になったりする場合に使用されます。 上の関数を考えるとき 、マルチインデックスを 非負整数の順序付きリストとして定義します 。次に、 について 、表記法
を定義します R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} n {\displaystyle n} α = ( α 1 , … , α n ) , α i ∈ Z ≥ 0 {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}} f : R n → X {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}
∂ α f = ∂ α 1 ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ α n ∂ x n α n f {\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f} この方法により、他の方法では記述するのが面倒な結果（ライプニッツの規則 など）を簡潔に表現することができます。いくつかの例は 、多重添字に関する記事 に記載されています 。 [20]
ベクトル解析の表記法 ベクトル解析は、 ベクトル場 または スカラー場 の 微分 と 積分 を扱います 。3次元 ユークリッド空間 の場合に特有の表記法がいくつか一般的です。
( x , y , z ) が与えられた 直交座標系 、 A が成分を持つ ベクトル 場 、そして が スカラー場 であると 仮定します 。 A = ( A x , A y , A z ) {\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{y},A_{z})} φ = φ ( x , y , z ) {\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}
ウィリアム・ローワン・ハミルトン によって導入された微分作用素は 、 ∇と書かれ、 デル またはナブラと呼ばれ 、ベクトルの形で記号的に定義されます。
∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) , {\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,} ここで、この用語は、 作用素 ∇ が通常のベクトルとしても扱われることを 記号的に反映しています。
勾配 ： スカラー場の 勾配は ベクトルであり、∇とスカラー場の乗算によって記号的に 表さ れ ます g r a d φ {\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi } φ {\displaystyle \varphi } φ {\displaystyle \varphi } grad φ = ( ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y , ∂ φ ∂ z ) = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) φ = ∇ φ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}} 発散 ： ベクトル場 A の発散は スカラーであり、 ∇とベクトル Aの ドット積 で記号的に表されます。 d i v A {\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} } div A = ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ A = ∇ ⋅ A {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}} ラプラシアン ：スカラー場の ラプラシアン はスカラーであり、∇ 2 とスカラー場 φ のスカラー乗算で記号的に表されます。 div grad φ {\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi } φ {\displaystyle \varphi } div grad φ = ∇ ⋅ ( ∇ φ ) = ( ∇ ⋅ ∇ ) φ = ∇ 2 φ = Δ φ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}} 回転 ：ベクトル場 A の回転 、または は ベクトルであり、 ∇とベクトル Aの 外積 で記号的に c u r l A {\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} } r o t A {\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} } curl A = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z , ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x , ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z ) i + ( ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x ) j + ( ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) k = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z A x A y A z | = ∇ × A {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}} 微分の記号演算の多くは、直交座標における勾配演算子によって簡単に一般化できます。例えば、一変数積の 法則は 、勾配演算子を適用することで、スカラー場の乗算に直接類似しています。
( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ ⟹ ∇ ( ϕ ψ ) = ( ∇ ϕ ) ψ + ϕ ( ∇ ψ ) . {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).} 一変数微積分学の他の多くの規則には、 勾配、発散、回転、ラプラシアンについて、 ベクトル計算における類似の規則があります。
より特殊なタイプの空間に対しては、さらなる表記法が開発されています。 ミンコフスキー空間 での計算では、 ダランベール演算子（ダランベール演算子 、波動演算子、またはボックス演算子とも呼ばれます）は 、 、または ラプラシアンの記号と矛盾しない場合は として表されます。 ◻ {\displaystyle \Box } Δ {\displaystyle \Delta }
参照
参考文献 ^ ab Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Calculus (9th ed.). Pearson Prentice Hall . p. 104. ISBN 978-0131469686 。 ^ Grosse, Johann; Breitkopf, Bernhard Christoph; Martin, Johann Christian; Gleditsch, Johann Friedrich (1749年9月). 「微分表記法」. Nova Acta Eruditorum : 512. ^ Morris, Carla C. (2015-07-28). 微積分学の基礎 . Stark, Robert M., 1930-2017. ニュージャージー州ホーボーケン. ISBN 9781119015314 . OCLC 893974565. {{cite book }}: CS1 maint: location missing publisher (link )^ Osborne, George A. (1908). 微分積分学. ボストン: DC Heath and co. pp. 63-65 ^ abcd 微分積分学 （ オーガスタス・ド・モルガン 、1842年）。267-268ページ ^ ラグランジュ 、 『微分積分学』 （1770年）、25-26ページ。http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031 ^ カジョリ、フロリアン (1923). 「微積分記法の歴史」 . Annals of Mathematics . 25. プリンストン大学数学部: 7. doi :10.2307/1967725. JSTOR 1967725. 2025年1月7 日 閲覧 ^ 「D演算子 - 微分 - 微積分 - 数学リファレンス（実例付き）」 www.codecogs.com 。2016年1月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。 ^ ab Weisstein, Eric W.「微分演算子」 MathWorld （Wolfram Webリソース） より。 「微分演算子」。2016年1月21日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2016年2月7日 閲覧 ^ Weisstein, Eric W. 「反復積分」。MathWorld --A Wolfram Web Resourceより 。 「 反復積分」。2016年2月1日にオリジナルからアーカイブ 。 2016年2月7日 閲覧。 ^ Zill, Dennis G. (2009). 「1.1」。 微分方程式入門 （第9版）。 カリフォルニア州ベルモント ： Brooks/Cole。3 ページ。ISBN 978-0-495-10824-5 。 ^ ニュートンの記法は以下から転載： 1次から5次の導関数： Quadratura curvarum （ ニュートン 、1704年）、7ページ（原著論文 「ニュートン論文：曲線の求積法について」の5ページ）。2016年2月28日に原著からアーカイブ。 2016年2月5日 に閲覧 。 ）。 1次から7次、 n 次、および( n +1)次の導関数： Method of Fluxions （ ニュートン 、1736年）、313～318ページおよび265ページ（原著論文 「ニュートン論文：Fluxions」の163ページ）。2017年4月6日に原著からアーカイブ。 2016年2月5日 に閲覧 。 ） 1次から5次微分： 『流数論の論文』 （コリン・マクローリン、1742年）、613ページ 1次から4次、 n 次微分：『 純粋数学・混合数学辞典』 （ピーター・バーロウ、1814年）の「微分」および「流数」の記事 1次から4次、10次、 n 次導関数： 『数学表記法の歴史』 （F.C.Cajori、1929年）の第622、580、579条 1次から6次、 n 次導関数： 『アイザック・ニュートン数学論文集』 第7巻 1691-1695年（DT Whiteside、1976年）、88ページと17ページ 1次から3次、 n 次導関数： 『解析学の歴史』 （Hans Niels Jahnke、2000年）、84-85ページ n 次導関数
のドット は省略できます（ ） y n {\displaystyle {\overset {\,n}{y}}} ^ Weisstein, Eric W. 「Overdot」。MathWorld --A Wolfram Web Resource より。 「Overdot」。2015年9月5日にオリジナルからアーカイブ 。 2016年2月5日 閲覧 ^ Weisstein, Eric W. 「Double Dot」。MathWorld --A Wolfram Web Resourceより 。 「 Double Dot」。2016年3月3日にオリジナルからアーカイブ。 2016年2月5日 閲覧 。 ^ Florian Cajori著『 数学表記法の歴史』 （1929年）、Dover Publications, Inc. New York、 記事580。ISBN 0-486-67766-4 ^ 「17世紀後期の数学的思考のパターン」、 Archive for History of Exact Sciences Vol. 1, No. 3（DT Whiteside、1961年）、361-362ページ、378ページ ^ SB Engelsmanは『曲線の族と偏微分化の起源』 （2000年）、223-226ページ でより厳密な定義を与えている ^ ニュートンの積分記法は以下より転載： 1次から3次の積分： Quadratura curvarum （ ニュートン 、1704年）、7ページ（原著論文 「ニュートン論文：曲線の求積法について」の5ページ）。2016年2月28日にオリジナルからアーカイブ 。 2016年2月5日 に取得。 ） 1次から3次の積分： 『流数法』 （ ニュートン 、1736年）、265～266ページ（原著 『ニュートン論文集：流数法』163ページ）。2017年4月6日に原著からアーカイブ。 2016年 2月5日に取得 。 ） 4次の積分： 『流数法の教義 』（ジェームズ・ホジソン、1736年）、54ページと72ページ 1次から2次の積分： 『数学表記法の歴史』 （F・カジョリ、1929年） 第622条と第365条 n次の積分表記は n次 の 導関数から演繹されます。これは 『Methodus Incrementorum Directa & Inversa 』（ブルック・テイラー、1715年） で使用できます ^ Tu, Loring W. (2011). 多様体入門 （第2版）. ニューヨーク：Springer. ISBN 978-1-4419-7400-6 OCLC 682907530
外部リンク ジェフ・ミラーが管理する「微積分記号の初期使用」（Wayback Machine に2020年7月26日アーカイブ）
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8242cb974856d243f0e51e3fe1e018ffeadbeb75)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6975c0cbc69a3074c409b338d0c390a987857ffc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31289a31e5d7cb530177761e89a230aa3840c8fe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ または }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ または }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b721c8f5527432575a415cd20c9790be27c2ce0c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905c52cd925d398bd1e987c01e5b52271b0a8a2e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06dc729f4aa870fcb14aa80d9b4dee7137cdb374)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06478b3937d08d2b18787a7210103a69585cb8b)
