Formula for the derivative of a product
積の法則の証明の幾何学的図解 [1] 微積分学 において 、 積の法則 （ ライプニッツの法則 [2] 、 ライプニッツの積の法則）は、2つ以上の 関数 の 積の導関数を 求める公式である。2つの関数の場合、 ラグランジュの記法 では次のように、 ライプニッツの記法 で は次のように 表される。 ( u ⋅ v ) ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ {\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'} d d x ( u ⋅ v ) = d u d x ⋅ v + u ⋅ d v d x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.}
この規則は、3 つ以上の関数の積、積の高次導関数の規則、およびその他のコンテキストに拡張または一般化できます。
発見 この規則の発見者はゴットフリート・ライプニッツ とされ 、彼はこれを 「無限小」 （現代の 微分法 の前身 ）を用いて証明した。 [3] （しかしながら、ライプニッツの論文を翻訳したJMチャイルド [4]は、これは アイザック・バロー によるものだと主張している 。）ライプニッツの主張は以下の通りである。 [5] u と vを 関数とする。すると、 d(uv)は 2つの連続する uv の差と同じになる。これらのうちの1つを uv 、もう1つを u+du × v+dv とすると 、次のようになる。 d ( u ⋅ v ) = ( u + d u ) ⋅ ( v + d v ) − u ⋅ v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v . {\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}
du · dv という項は（ du と dv と比較して） 「無視できる」ので、ライプニッツは、これはまさに積の法則の微分形式であると結論付けました。これを微分 dx で割ると 、 ラグランジュ記法 では次のよう に表すことができます。 d ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u + u ⋅ d v {\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv} d d x ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u d x + u ⋅ d v d x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}} ( u ⋅ v ) ′ = v ⋅ u ′ + u ⋅ v ′ . {\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}
初版 ライプニッツと ニュートンはどちらも、現代の基準からすると 厳密で はない 証明 を与えました。ライプニッツは「 無限に小さな量 」を用いて 、積を 長方形 の 面積と解釈しましたが、ニュートンは「 流れる量 」を用いて推論しました 。 [6] [7]
例 積の法則を使って微分したいとします。すると 、導関数が得られます ( の導関数は であり、 正弦 関数の導関数 は余弦関数であるため)。 f ( x ) = x 2 sin ( x ) . {\displaystyle f(x)=x^{2}{\text{sin}}(x).} f ′ ( x ) = 2 x ⋅ sin ( x ) + x 2 cos ( x ) {\displaystyle f'(x)=2x\cdot {\text{sin}}(x)+x^{2}{\text{cos}}(x)} x 2 {\displaystyle x^{2}} 2 x , {\displaystyle 2x,} 積の法則の特殊なケースの一つに 定数倍則 があります。これは、 c が数で、が 微分可能な関数であるならば、 も微分可能であり、その導関数は である、というものです 。これは、任意の定数の導関数がゼロであることから、積の法則から導かれます。これを導関数の和の法則と組み合わせると、微分は 線形である ことがわかります。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} c ⋅ f ( x ) {\displaystyle c\cdot f(x)} ( c f ) ′ ( x ) = c ⋅ f ′ ( x ) . {\displaystyle (cf)'(x)=c\cdot f'(x).} 部分積分 の規則は 積の規則から導き出され、商の 規則（の弱いバージョン）も同様です。（商が微分可能であることを証明するのではなく、微分可能である 場合 の導関数が何であるかを示すという点で、「弱い」バージョンです。 ）
証明
微分の極限定義 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) とし、 f と g はそれぞれ x で微分可能であると仮定します 。h が x で微分可能であり 、その導関数 h ′ ( x )が f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) で与えられることを証明します 。そのためには、 （これはゼロなので値は変化しません）を分子に加えて因数分解できるようにし、極限の性質を利用します。 これは、 微分可能関数が連続であるという事実から導き出されます。 f ( x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) {\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)} h ′ ( x ) = lim Δ x → 0 h ( x + Δ x ) − h ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) + f ( x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 [ f ( x + Δ x ) − f ( x ) ] ⋅ g ( x + Δ x ) + f ( x ) ⋅ [ g ( x + Δ x ) − g ( x ) ] Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ⋅ lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) + lim Δ x → 0 f ( x ) ⋅ lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}} lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) = g ( x ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}
線形近似 定義により、 が で微分可能であれば、次のように 線形近似 できます 。 およびで、誤差項は h に関して小さい値を持ちます 。つまり、 とも表記されます 。次に、次の
式が成り立ちます。 「誤差項」は、 やなどの項目で構成され 、大きさは容易にわかります。 で割って の極限値を取ると、 という結果になります。 f , g : R → R {\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } x {\displaystyle x} f ( x + h ) = f ( x ) + f ′ ( x ) h + ε 1 ( h ) {\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)} g ( x + h ) = g ( x ) + g ′ ( x ) h + ε 2 ( h ) , {\displaystyle g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),} lim h → 0 ε 1 ( h ) h = lim h → 0 ε 2 ( h ) h = 0 , {\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,} ε 1 , ε 2 ∼ o ( h ) {\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)} f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) = ( f ( x ) + f ′ ( x ) h + ε 1 ( h ) ) ( g ( x ) + g ′ ( x ) h + ε 2 ( h ) ) − f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) + f ′ ( x ) g ( x ) h + f ( x ) g ′ ( x ) h − f ( x ) g ( x ) + error terms = f ′ ( x ) g ( x ) h + f ( x ) g ′ ( x ) h + o ( h ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}} f ( x ) ε 2 ( h ) , f ′ ( x ) g ′ ( x ) h 2 {\displaystyle f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}} h f ′ ( x ) ε 1 ( h ) {\displaystyle hf'(x)\varepsilon _{1}(h)} o ( h ) . {\displaystyle o(h).} h {\displaystyle h} h → 0 {\displaystyle h\to 0}
四分の一正方形 この証明では、 連鎖律 と 導関数 を持つ 1/4平方関数 を用いています。以下の式が成り立ち 、両辺を微分すると以下の式が得られます。 q ( x ) = 1 4 x 2 {\displaystyle q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}} q ′ ( x ) = 1 2 x {\displaystyle q'(x)={\tfrac {1}{2}}x} u v = q ( u + v ) − q ( u − v ) , {\displaystyle uv=q(u+v)-q(u-v),} f ′ = q ′ ( u + v ) ( u ′ + v ′ ) − q ′ ( u − v ) ( u ′ − v ′ ) = ( 1 2 ( u + v ) ( u ′ + v ′ ) ) − ( 1 2 ( u − v ) ( u ′ − v ′ ) ) = 1 2 ( u u ′ + v u ′ + u v ′ + v v ′ ) − 1 2 ( u u ′ − v u ′ − u v ′ + v v ′ ) = v u ′ + u v ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}
多変数連鎖律 積の法則は、 乗算関数に適用された、複数の変数に対する 連鎖律 の特殊なケースと考えることができます。 m ( u , v ) = u v {\displaystyle m(u,v)=uv} d ( u v ) d x = ∂ ( u v ) ∂ u d u d x + ∂ ( u v ) ∂ v d v d x = v d u d x + u d v d x . {\displaystyle {d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.}
非標準分析 u と vを x の連続関数と し 、 dx 、 du 、 dvを 非標準解析 の枠組みにおける 無限小 、具体的には 超実数 とします 。 有限の超実数に無限に近い実数を関連付ける 標準部分関数 を st で表すと、次の式が得られます。
これは本質的に 、（上記の標準部分の代わりに） 超越的同次法則を利用した ライプニッツ の証明です。 d ( u v ) d x = st ( ( u + d u ) ( v + d v ) − u v d x ) = st ( u v + u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v − u v d x ) = st ( u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v d x ) = st ( u d v d x + ( v + d v ) d u d x ) = u d v d x + v d u d x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}
滑らかな微小解析 ローヴェアの無限小数へのアプローチの文脈において、 を 二乗無限小数とします。すると となり 、 と なるので、 で 割ると またはとなります 。 d x {\displaystyle dx} d u = u ′ d x {\displaystyle du=u'\ dx} d v = v ′ d x {\displaystyle dv=v'\ dx} d ( u v ) = ( u + d u ) ( v + d v ) − u v = u v + u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v − u v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v = u ⋅ d v + v ⋅ d u {\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}} d u d v = u ′ v ′ ( d x ) 2 = 0. {\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.} d x {\displaystyle dx} d ( u v ) d x = u d v d x + v d u d x {\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}} ( u v ) ′ = u ⋅ v ′ + v ⋅ u ′ {\displaystyle (uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'}
対数微分 とします 。 各関数の 絶対値 と方程式の両辺の 自然対数 をとり、
絶対値と対数の性質を適用し、 両辺の 対数微分
をとってを解きます 。 を解き 、 を代入すると次のよう になります 。
注：対数は正の引数に対してのみ 実数値 となるため、負の値を持つ可能性のある関数の 対数微分 には、関数の絶対値を取ることが必要です 。これは であるため 、対数微分において関数の絶対値を取ることが正当化されるからです。 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle h(x)=f(x)g(x)} ln | h ( x ) | = ln | f ( x ) g ( x ) | {\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|} ln | h ( x ) | = ln | f ( x ) | + ln | g ( x ) | {\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|} h ′ ( x ) {\displaystyle h'(x)} h ′ ( x ) h ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) + g ′ ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}} h ′ ( x ) {\displaystyle h'(x)} f ( x ) g ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)} h ( x ) {\displaystyle h(x)} h ′ ( x ) = h ( x ) ( f ′ ( x ) f ( x ) + g ′ ( x ) g ( x ) ) = f ( x ) g ( x ) ( f ′ ( x ) f ( x ) + g ′ ( x ) g ( x ) ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}} d d x ( ln | u | ) = u ′ u {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}
一般化
2つ以上の因数の積 積の法則は2つ以上の因数の積にも一般化できる。例えば、3因数の積については、 関数の集合について は、 d ( u v w ) d x = d u d x v w + u d v d x w + u v d w d x . {\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.} f 1 , … , f k {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}} d d x [ ∏ i = 1 k f i ( x ) ] = ∑ i = 1 k ( ( d d x f i ( x ) ) ∏ j = 1 , j ≠ i k f j ( x ) ) = ( ∏ i = 1 k f i ( x ) ) ( ∑ i = 1 k f i ′ ( x ) f i ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}
対数 微分は、 最後の形式のより簡単な表現と、 再帰を 伴わない直接的な証明を提供する。 関数 fの 対数微分（ここでは Logder( f ) と表記）は、 関数の 対数 の微分である。したがって 、積の対数は因数の対数の和であることを用いると、 微分和則は 直ちに次式を与える。積 の微分の最後の式は、この式の両項に次の積を乗じることによって得られる。 Logder ( f ) = f ′ f . {\displaystyle \operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.} Logder ( f 1 ⋯ f k ) = ∑ i = 1 k Logder ( f i ) . {\displaystyle \operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).} f i . {\displaystyle f_{i}.}
高階微分 これは、二項定理 に従って記号的に展開することにより、2つの因子の積の n 次導関数に対する 一般的なライプニッツの定理 に一般化することもできます 。 d n ( u v ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ⋅ d ( n − k ) ( u ) ⋅ d ( k ) ( v ) . {\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}
上記の式を 特定の点 xに適用すると、次のようになります。 ( u v ) ( n ) ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ⋅ u ( n − k ) ( x ) ⋅ v ( k ) ( x ) . {\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}
さらに、任意の数の因子の n次導関数については、 多項式係数 を持つ同様の式が得られます 。 ( ∏ i = 1 k f i ) ( n ) = ∑ j 1 + j 2 + ⋯ + j k = n ( n j 1 , j 2 , … , j k ) ∏ i = 1 k f i ( j i ) . {\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}
高次の偏微分 偏微分 については [8] で表され、 添え字 Sは {1, ..., n } の 2n 個の部分 集合 すべてを通る 。 | S |は S の 濃度 である 。例えば n = 3の とき、 ∂ n ∂ x 1 ⋯ ∂ x n ( u v ) = ∑ S ∂ | S | u ∏ i ∈ S ∂ x i ⋅ ∂ n − | S | v ∏ i ∉ S ∂ x i {\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}} ∂ 3 ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ( u v ) = u ⋅ ∂ 3 v ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 1 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 2 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 1 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 3 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 1 ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 2 ⋅ ∂ v ∂ x 3 + ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 3 ⋅ ∂ v ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 ∂ x 3 ⋅ ∂ v ∂ x 1 + ∂ 3 u ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ⋅ v . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}
バナッハ空間 X , Y , Z が バナッハ空間（ ユークリッド空間 を含む ） であり、 B : X × Y → Zが 連続 双線型作用素 であるとする 。このとき Bは微分可能であり、 X × Y の点 ( x , y ) におけるその導関数は、 次式で与えられる 線型写像 D ( x , y ) B : X × Y → Z となる。 ( D ( x , y ) B ) ( u , v ) = B ( u , y ) + B ( x , v ) ∀ ( u , v ) ∈ X × Y . {\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}
この結果は [9] より一般的な位相ベクトル空間に拡張することができる。
ベクトル計算では 積の法則はベクトル関数の様々な積演算に拡張される ： [10] R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
スカラー乗算 の場合 ： ( f ⋅ g ) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ {\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '} ドット積 の場合 : ( f ⋅ g ) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ {\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '} 上のベクトル関数の 外積 の場合 : R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ( f × g ) ′ = f ′ × g + f × g ′ {\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '} 微分の他の類似物にも類似物があります。f と g がスカラー場の場合 、 勾配 と の 積の法則があります 。 ∇ ( f ⋅ g ) = ∇ f ⋅ g + f ⋅ ∇ g {\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}
このような規則は、任意の連続双線型積演算に対して成り立ちます 。B : X × Y → Z を ベクトル 空間間の連続双線型写像とし、 f と gをそれぞれ X と Y への微分可能関数とします 。微分の極限定義を用いた証明で使用される乗法の唯一の性質は、乗法が連続かつ双線型であるということです。したがって、任意の連続双線型演算に対して、 これはバナッハ空間における双線型写像の積則の特別な場合でもあります。 H ( f , g ) ′ = H ( f ′ , g ) + H ( f , g ′ ) . {\displaystyle H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').}
抽象代数学と微分幾何学における微分 抽象代数学 において、積の法則は 微分 を定義する性質です 。この用語では、積の法則は、微分演算子が関数の微分であることを述べています。
微分幾何学 では 、 点 pにおける 多様体 M の 接ベクトルは、 p における 方向微分 のように振舞う実数値関数の演算子、 つまり、微分である 線型汎関数 v として抽象的に定義できます。
ベクトル解析の公式を n 次元多様体 M に一般化 (および双対化)すると、と表記される 次数 k および lの 微分形式を 、 くさびまたは 外積 演算 および 外微分 とともに取ることができます。すると、 次数付きライプニッツ規則 が得られます 。 v ( f g ) = v ( f ) g ( p ) + f ( p ) v ( g ) . {\displaystyle v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).} α ∈ Ω k ( M ) , β ∈ Ω ℓ ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)} α ∧ β ∈ Ω k + ℓ ( M ) {\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)} d : Ω m ( M ) → Ω m + 1 ( M ) {\displaystyle d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)} d ( α ∧ β ) = d α ∧ β + ( − 1 ) k α ∧ d β . {\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}
アプリケーション 積の法則の応用例の 1 つに、 n が正の整数の 場合 の証明があります
(この法則は、 n が 正でない場合や整数でない場合にも成り立ちますが、その証明は他の方法に頼る必要があります)。この証明は、 指数 nについて 数学的帰納法 によります。 n = 0の場合、 x n は 定数であり、 nx n − 1 = 0 です。定数関数の導関数は 0 であるため、この法則はこの場合に成立します。この法則が任意の特定の指数 n について成立する場合、次の値 n + 1 について、次の式が得られます。
したがって、この命題が n について成立する場合、 n + 1についても成立し 、したがってすべての自然数 n について成立します。 d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}} d x n + 1 d x = d d x ( x n ⋅ x ) = x d d x x n + x n d d x x (the product rule is used here) = x ( n x n − 1 ) + x n ⋅ 1 (the induction hypothesis is used here) = ( n + 1 ) x n . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(the product rule is used here)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(the induction hypothesis is used here)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}}
参照 積分の微分 – 数学の問題 三角関数の微分 – 三角関数の導関数を求める数学的プロセス 微分法則 – 関数の微分を計算するための規則 分布（数学） – 関数の概念を一般化した数学用語 Pages displaying short descriptions of redirect targets 一般ライプニッツ則 – 微積分における積分則の一般化 部分積分 – 微積分における数学的手法 逆関数と微分 – 逆関数の微分の公式 Pages displaying short descriptions of redirect targets 微分の線形性 – 微積分の性質 べき乗則 – 単項多項式の微分法 商の法則 – 関数の比の微分公式 導関数表 – 関数の導関数を計算するための規則 Pages displaying short descriptions of redirect targets ベクトル解析の恒等式 – 数学的恒等式
参考文献 ^ 注: これは 17 世紀以来の一般的な図であり、本質的には James Stewart 著『 Calculus: Early Transcendentals』 第 7 版、p. 185 の「The geometry of the Product Rule」のセクションに示されている図と同じである。 ^ 「ライプニッツの規則 – 数学百科事典」。 ^ ミシェル・シリロ (2007年8月). 「人間化する微積分」 . 数学教師 . 101 (1): 23– 27. doi :10.5951/MT.101.1.0023. ^ ライプニッツ, GW (2005) [1920], ライプニッツ初期数学原稿 (PDF) 、JM Child訳、ドーバー、p. 28、脚注58、 ISBN 978-0-486-44596-0 ^ ライプニッツ, GW (2005) [1920], ライプニッツ初期数学原稿 (PDF) 、JM Child訳、ドーバー、p. 143、 ISBN 978-0-486-44596-0 ^ ユージン・ボーマン、ロバート・ロジャース著 『実解析』 https://math.libretexts.org/Bookshelves/Analysis/Real_Analysis_(Boman_and_Rogers)/02%3A_Calculus_in_the_17th_and_18th_Centuries/2.01%3A_Newton_and_Leibniz_Get_Started ^ 「A Story of Real Analysis」 （PDF） 。2025年3月11日時点のオリジナル （PDF） からのアーカイブ。 ^マイケル・ハーディ (2006 年 1月). 「偏微分の組み合わせ論」 (PDF) . The Electronic Journal of Combinatorics . 13. arXiv : math/0601149 . Bibcode :2006math......1149H. ^ クライグル、アンドレアス、ミコール、ピーター (1997). 大域解析の便利な設定 (PDF) . アメリカ数学会. p. 59. ISBN 0-8218-0780-3 。 ^ スチュワート、ジェームズ（2016年）、 微積分 （第8版）、Cengage 、セクション13.2。
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42713fad94de8214d7838f3c1eee4f5e5f031451)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)hf(x)g(x)+{\text{誤差項}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e9f377df3a5a297b3608f8b2b4914c276d2621)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(uv)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(uv)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e6e0b2a3e40cc63d2008a010e62de5b3e98105)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a940fffdeb3b6d08c599ce4f164b33899794eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3513cff1dd38d9962661ce99f489a5baea16547)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(ここでは積の法則を用いる)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(ここでは帰納法の仮説を用いる)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7d3307afc1e7f372b2d0a6d67af71978d22fdf)
