対数微分

Method of mathematical differentiation

微積分学において、対数微分 または対数微分法は、関数fの対数微分を用いて関数を微分する 方法である[ ^1]。 $${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad \implies \quad f'=f\cdot (\ln f)'.}$$

この手法は、関数自体よりも関数の対数を微分する方が簡単な場合によく実行されます。これは通常、対象の関数がいくつかの部分の積で構成されている場合で、対数変換によって個別の部分の和（微分がはるかに簡単）に変換されます。また、変数または関数の累乗された関数に適用する場合にも便利です。対数微分は、連鎖律と対数（特に自然対数、またはeを底とする対数）の特性を利用して、積を和に、割り算を減算に変換します。^{[2] [3]}この原理は、これらの関数がゼロでない限り、 ほぼすべての微分可能関数の微分で、少なくとも部分的に実装できます。

概要

この方法が用いられるのは、対数の性質が、微分すべき複雑な関数を迅速に簡略化する手段となるためです。^[4]これらの性質は、両辺に自然対数を取った後、予備的な微分を行う前に操作することができます。最も一般的に用いられる対数法則は^[3]です。 $${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a).}$$

高階微分

ファア・ディ・ブルーノの公式を用いると、n次の対数微分は次のようになる。これを用いると、最初の4つの微分は次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ln f(x)=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n}{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {\frac {(-1)^{m_{1}+\cdots +m_{n}-1}(m_{1}+\cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {f^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln f(x)&={\frac {f''(x)}{f(x)}}-\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(3)}(x)}{f(x)}}-3{\frac {f'(x)f''(x)}{f(x)^{2}}}+2\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(4)}(x)}{f(x)}}-4{\frac {f'(x)f^{(3)}(x)}{f(x)^{2}}}-3\left({\frac {f''(x)}{f(x)}}\right)^{2}+12{\frac {f'(x)^{2}f''(x)}{f(x)^{3}}}-6\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{4}\end{aligned}}}$$

アプリケーション

製品

2つの関数の積に自然対数を適用して積を和に変換します。連鎖法と和則を適用して微分する と、となり、整理すると^[5]となり 、これが微分に対する積の法則です。 $${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$$ $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)).}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$$ $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g(x)h(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g'(x)h(x)+g(x)h'(x),}$$

商

自然対数を2つの関数の商に適用して割り算を減算に変換する。連鎖法と和則を適用して微分すると、次の式が得られる。これを整理すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$$ $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left({\frac {g(x)}{h(x)}}\right)=\ln(g(x))-\ln(h(x))}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$$ $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}},}$$

これは微分に対する商の規則です。

関数指数

形式の関数の場合、自然対数は指数を積に変換します。連鎖法と積法 を適用して微分すると次のようになり、整理すると 次のようになります。f をexpで書き直し、連鎖法を適用しても同じ結果が得られます。 $${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}}$$ $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}},}$$ $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}=g(x)^{h(x)}\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}.}$$

一般的なケース

大文字のπ表記法を使用して、関数指数を持つ関数の有限積をとします。 $${\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}}$$

自然対数を適用すると（大文字のシグマ表記） となり、微分すると、元の関数の導関数が得られる。 $${\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}$$ $${\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}.}$$

参照

• ダルブー導関数
• 微分の一般化 – 微分積分学の基本構成
• リー群 – 微分可能多様体で、滑らかな群演算を持つ群
• 対数トピックのリスト
• 対数恒等式の一覧
• マウラー・カルタン形式 – 数学的概念

注記

1. クランツ、スティーブン・G. (2003).微積分学の秘密を解き明かす. マグロウヒル・プロフェッショナル. p. 170. ISBN 0-07-139308-0。
2. NP Bali (2005). Golden Differential Calculus . Firewall Media. p. 282. ISBN 81-7008-152-1。
3. バード、ジョン (2006).高等工学数学. ニューネス. p. 324. ISBN 0-7506-8152-7。
4. ブランク、ブライアン・E. (2006).微積分学、一変数. シュプリンガー. p. 457. ISBN 1-931914-59-1。
5. ウィリアムソン、ベンジャミン (2008). 『微分積分学入門』ビブリオバザール社. pp.  25– 26. ISBN 978-0-559-47577-1。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Logarithmic_differentiation&oldid=1210451802"