レイノルズ輸送定理

3D generalization of the Leibniz integral rule

微分積分学において、レイノルズ輸送定理（ライプニッツ・レイノルズ輸送定理とも呼ばれる）、あるいは単にレイノルズ定理とも呼ばれる（オズボーン・レイノルズ（1842-1912）にちなんで名付けられた）は、ライプニッツの積分則の3次元一般化である。これは積分量の時間微分を再定式化するために用いられ、連続体力学の基本方程式を定式化する際に有用である。

境界∂Ω( t )を持つ時間依存領域Ω( t )上でf = f ( x , t )を積分し、時間に関して微分することを考えます。微分を積分に移したい場合、fの時間依存性と、動的境界によるΩへの空間の導入と除去という2つの問題があります。レイノルズ輸送定理は、必要な枠組みを提供します。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV.}$$

一般的な形式

レイノルズ輸送定理は次のように表される：^{[1] [2] [3]}ここで、n ( x , t )は外向きの単位法線ベクトル、xは領域内の点であり積分変数、dVとdAはそれぞれxにおける体積要素と表面積要素、v _b ( x , t )は面積要素の速度（流速ではない）である。関数fはテンソル値、ベクトル値、またはスカラー値をとる。^[4]左辺の積分は時間のみの関数であるため、全微分が用いられている点に注意されたい。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}\left(\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {f} \,dA}$$

材料要素の形状

連続体力学において、この定理は物質要素によく用いられる。物質要素とは、物質の出入りがない流体または固体の塊である。Ω ( t )が物質要素である場合、速度関数v = v ( x , t )が存在し、境界要素は次式に従う。この条件は次のように置き換えられる。^[5] $${\displaystyle \mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.}$$

物質要素の証明

Ω _{0 を}領域Ω( t )の基準配置とする。運動と変形勾配は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &={\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),\\{\boldsymbol {F}}(\mathbf {X} ,t)&={\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\varphi }}.\end{aligned}}}$$

J ( X , t ) = det F ( X , t )とします。定義すると、現在の構成と参照構成の積分は次のように関係づけられます。 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)=\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega _{0}}\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}.\end{aligned}}}$$

この微分が物質要素に関するものであることは、基準配置の時間不変性に暗黙的に反映されている。つまり、物質座標系では一定である。体積積分の時間微分は次のように定義される。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega (t+\Delta t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\,t{+}\Delta t)\,dV-\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right).}$$

基準配置での積分に変換すると、次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,\,t{+}\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,\,t{+}\Delta t)\,dV_{0}-\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\right).}$$

Ω ₀は時間に依存しないので、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega _{0}}\left(\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,\,t{+}\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,\,t{+}\Delta t)-{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)}{\Delta t}}\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t){\big )}\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}J(\mathbf {X} ,t){\big )}\right)\,dV_{0}.\end{aligned}}}$$

Jの時間微分は次のように与えられる: ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}J(\mathbf {X} ,t)&={\frac {\partial }{\partial t}}(\det {\boldsymbol {F}})\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {F}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial t}}\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial {\boldsymbol {\varphi }}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\varphi }}}{\partial {\boldsymbol {X}}}}\right)\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial {\boldsymbol {\varphi }}}}{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {X}}}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\varphi }}}{\partial t}}\right)\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\varphi }}}{\partial t}}\right)\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} {\big (}{\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t{\big )}\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).\end{aligned}}}$$

したがって、ここではfの物質時間微分である。物質微分は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega (t)}\left({\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}}$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).}$$

したがって、あるいは、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV,}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {f} \,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\,dV.}$$

このアイデンティティを使って $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {w} )+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ,}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\right)\,dV.}$$

発散定理と恒等式( a ⊗ b ) · n = ( b · n ) aを用いると、 QED $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {n} \,dA\\&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.\end{aligned}}}$$

特別なケース

Ω を時間に対して一定とすると、v b ₌ 0となり、恒等式は予想通り に簡約されます。（面積要素の速度の代わりに流速を誤って使用した場合、この簡略化は不可能です。） $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }f\,dV=\int _{\Omega }{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dV.}$$

解釈と一次元への還元

この定理は積分符号の下での微分の高次元拡張であり、場合によってはこの式に簡約される。f がyとzに独立であり、Ω( t )がyz平面上の単位正方形で、x の極限がa ( t )とb ( t )であるとする。すると、レイノルズ輸送定理は次のように簡約され 、 xとtを入れ替えない限り、積分符号の下での微分の標準的な式となる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,dx=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dx+{\frac {\partial b(t)}{\partial t}}f{\big (}b(t),t{\big )}-{\frac {\partial a(t)}{\partial t}}f{\big (}a(t),t{\big )}\,,}$$

参照

• 数学ポータル

• ライプニッツの積分則 – 積分符号公式による微分

参考文献

1. Leal, LG (2007). 『高度な輸送現象：流体力学と対流輸送プロセス』 ケンブリッジ大学出版局. p. 23. ISBN 978-0-521-84910-4。
2. レイノルズ, O. (1903). 『力学と物理学に関する論文集』第3巻, 『宇宙のサブメカニクス』ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. pp.  12– 13.
3. Marsden, JE ; Tromba, A. (2003).ベクトル計算（第5版）. ニューヨーク: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-4992-9。
4. 山口 秀 (2008).工学流体力学. ドルドレヒト: シュプリンガー. p. 23. ISBN 978-1-4020-6741-9。
5. Belytschko, T. ; Liu, WK; Moran, B. (2000).連続体と構造のための非線形有限要素法. ニューヨーク: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-98773-5。
6. Gurtin, ME (1981).連続体力学入門. ニューヨーク: アカデミック・プレス. p. 77. ISBN 0-12-309750-9。

外部リンク

• オズボーン・レイノルズ著『機械と物理学に関する論文集』全3巻、1903年頃出版、現在はデジタル形式で完全かつ無料で入手可能：第1巻、第2巻、第3巻、
• 「モジュール6 - レイノルズ輸送定理」。ME6601 ：流体力学入門。ジョージア工科大学。2008年3月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• 「レイノルズ輸送定理」. planetmath.org . 2024年4月22日閲覧。

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