逆関数の規則

Formula for the derivative of an inverse function

太い青い曲線と太い赤い曲線は互いに逆関数です。細い曲線は同じ色の太い曲線の微分です。逆関数の規則：任意の関数の例：
${\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}}$

${\displaystyle x_{0}\approx 5.8}$
${\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle {\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~}$

微積分学において、逆関数の法則とは、全単射かつ微分可能な関数fの逆関数の導関数をfの導関数を用いて表す公式である。より正確には、 の逆関数を と表記し、が成り立つ場合に限って、 の逆関数の法則はラグランジュ記法で次のように表される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(y)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}}$。

この式は、区間I上で連続かつ単射であり、かつ( )で微分可能であり、 であるときに一般に成立する。同じ式は、次の式とも等価である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle \in I}$ ${\displaystyle f'(f^{-1}(y))\neq 0}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},}$

ここで、 は単項微分演算子（関数の空間上）を表し、 は関数の合成を表します。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \circ }$

幾何学的には、関数と逆関数は直線上の鏡映グラフを持つ。この鏡映操作により、任意の直線の勾配はその逆数になる。^[1] ${\displaystyle y=x}$

の近傍に逆関数があり、その点におけるその導関数がゼロでないと仮定すると、その逆関数は で微分可能であり、上記の式で与えられる導関数を持つことが保証されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

逆関数の規則はライプニッツ記法でも表すことができます。この記法が示唆するように、

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}$

この関係は、方程式をxについて微分し、連鎖律を適用することによって得られ、次のようになります。 ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}$

xのxに関する導関数は1 であることを考慮すると、

導出

を可逆（単射）関数とし、を の領域内に置き、とします。したがって、この方程式を⁠ ⁠に関して微分し、連鎖律を用いると、次の式が得られます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=f(x).}$ ${\displaystyle g=f^{-1}.}$ ${\displaystyle f(g(y))=y.}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle f'(g(y))\cdot g'(y)=1.}$

つまり、

${\displaystyle g'(y)={\frac {1}{f'(g(y))}}}$

または

${\displaystyle (f^{-1})^{\prime }(y)={\frac {1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}}.}$

例

• ${\displaystyle y=x^{2}}$(正のxに対して) 逆関数 が存在します。 ${\displaystyle x={\sqrt {y}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}$

しかし、 では問題があります。平方根関数のグラフは垂直になり、平方関数の水平接線に対応します。 ${\displaystyle x=0}$

• ${\displaystyle y=e^{x}}$（実数xの場合）は逆数（正の値の場合）を持つ ${\displaystyle x=\ln {y}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}=e^{-x}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot e^{-x}=1.}$

追加のプロパティ

• この関係を統合すると

${\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+C.}$

これは積分が存在する場合にのみ有用です。特に、積分範囲全体にわたって非ゼロである必要があります。 ${\displaystyle f'(x)}$

したがって、連続的な微分を持つ関数は、微分がゼロでないすべての点の近傍に逆関数が存在する。ただし、微分が連続でない場合は必ずしもそうではない。

• もう一つの非常に興味深く便利なプロパティは次のとおりです。

${\displaystyle \int f^{-1}(x)\,{dx}=xf^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C}$

ここで はの不定法を表します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

• f(x)の微分の逆関数も興味深いもので、ルジャンドル変換の凸性を示すのに使われます。

と すると、 と仮定して、 が成り立ちます。これは、前述の表記法 を使って表すことができます。すると、 が成り立ちます。 ${\displaystyle z=f'(x)}$ ${\displaystyle f''(x)\neq 0}$ $${\displaystyle {\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f''(x)}}}$$ ${\displaystyle y=f(x)}$

$${\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {dy}{dz}}f''(x)\Rightarrow {\frac {dy}{dz}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}}$$したがって：

${\displaystyle {\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {dx}{dz}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dx}{dy}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}{\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{f''(x)}}}$

帰納法によって、この結果を任意の整数 に一般化することができます。この場合、 は f(x) の n 次導関数、 は と 仮定します。 ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle z=f^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle y=f^{(n-1)}(x)}$ ${\displaystyle f^{(i)}(x)\neq 0{\text{ for }}0<i\leq n+1}$

${\displaystyle {\frac {d(f^{(n)})^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f^{(n+1)}(x)}}}$

高階微分

上で示した連鎖律は、恒等式をxについて微分することで得られる。同じ手順を高次の導関数についても続けることができる。恒等式をxについて2回微分すると、次式が得られる。 ${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}$

これは連鎖律によってさらに単純化され、

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.}$

一次導関数を、先ほど得た恒等式を使って置き換えると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.}$

3 次導関数も同様です。

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}$

あるいは2次導関数の式を使って、

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}$

これらの式はラグランジュ記法を使って書くこともできる。fとgが逆関数であるとき、

${\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}$

逆関数の高次導関数もファア・ディ・ブルーノの式で表すことができ、簡潔に次のように書くことができます。

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]^{(n)}(x)=\left[\left({\frac {1}{f'(t)}}{\frac {d}{dt}}\right)^{n}t\right]_{t=f^{-1}(x)}}$

この式から、次の場合に、コーシーの繰り返し積分の公式を使用して、基点aを持つ逆関数のn次積分を導くこともできます。 ${\displaystyle f(f^{-1}(x))=x}$

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]^{(-n)}(x)={\frac {1}{n!}}\left(f^{-1}(a)(x-a)^{n}+\int _{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(x)}\left(x-f(u)\right)^{n}\,du\right)}$

例

• ${\displaystyle y=e^{x}}$逆関数 を持つ。逆関数の2次導関数の公式を用いると、 ${\displaystyle x=\ln y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}$

となることによって

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}$、

これは直接計算と一致します。

参照

• 数学ポータル

• 微積分 – 数学の分野
• 連鎖律 – 微積分における公式
• 三角関数の微分 – 三角関数の導関数を求める数学的プロセス
• 微分法則 – 関数の微分を計算するための規則
• 暗黙関数定理 – 関係を複数の実変数の関数に変換することについて
• 逆関数の積分 – 微積分学で使用される数学定理Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 逆関数 – 数学的概念
• 逆関数定理 – 数学における定理
• 導関数表 – 関数の導関数を計算するための規則Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ベクトル解析の恒等式 – 数学的恒等式

参考文献

1. “Derivatives of Inverse Functions”. oregonstate.edu . 2021年4月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年7月26日閲覧。

• マースデン、ジェロルド・E.、ワインスタイン、アラン (1981). 「第8章 逆関数と連鎖律」 Calculus unlimited (PDF) . メンロパーク、カリフォルニア州: ベンジャミン/カミングス出版. ISBN 0-8053-6932-5。

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