Notation of differential calculus
微分積分学 では、 微分を表す 標準的な表記法は一つではありません 。 その代わりに、 関数 または 従属変数 の 導関数を表す表記法が、 ライプニッツ 、 ニュートン 、 ラグランジュ 、 アルボガスト など、さまざまな数学者によって提案されてきました 。 各表記法の有用性は、それが使用される状況によって異なり、特定の状況で複数の表記法を使用すると有利になる場合があります。 多変数微分積分学 における 偏導関数 、 テンソル解析 、 ベクトル解析などのより特殊な設定では、添字表記法や ∇ 演算子などの他の表記法が一般的です。 微分 (および微分とは逆の演算である 反微分 、 不定積分 )の最も一般的な表記法 を以下に記載します。
ライプニッツ記法 ゴットフリート・ライプニッツ が用いたオリジナルの記法は、 数学全般にわたって用いられています。特に、方程式 y = f ( x )が従属変数 y と独立変数 x の 間の関数関係として扱われる場合によく用いられます。ライプニッツの記法では、この関係を明示するために、導関数を次のように 書きます 。 [1]さらに、 fの x における 導関数は、 d y d x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.} d f d x ( x ) or d f ( x ) d x or d d x f ( x ) . {\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).}
高次の導関数は次のように表記される： これは記号の形式的な操作から生まれた示唆に富んだ表記法である。 d 2 y d x 2 , d 3 y d x 3 , d 4 y d x 4 , … , d n y d x n . {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.} d ( d y d x ) d x = ( d d x ) 2 y = d 2 y d x 2 . {\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}
点 x = aにおける y の導関数の値は、 ライプニッツの表記法を使用して 2 つの方法で表すことができます。 d y d x | x = a or d y d x ( a ) . {\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a).}
ライプニッツ記法では、微分する変数を（分母に）指定することができます。これは 偏微分を 考える際に特に役立ちます。また、 連鎖律を 覚えやすく、認識しやすくなります。 d y d x = d y d u ⋅ d u d x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}
ライプニッツの微分記法では、 dx や dy （ 微分 として知られる）といった記号自体に意味を割り当てる必要はなく、著者の中にはこれらの記号に意味を割り当てようとしない者もいる。 [1] ライプニッツはこれらの記号を 無限小として扱った。後世の著者は 、非標準解析 における無限小や 外微分 といった他の意味を割り当てた 。一般的に、 dx は定義されないか と同一視され 、 dyは dx に関して 以下の式で
意味が割り当てられる。 Δ x {\displaystyle \Delta x}
d y = d y d x ⋅ d x , {\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,} これは次のようにも書ける。
d f = f ′ ( x ) ⋅ d x {\displaystyle df=f'(x)\cdot dx} （下記参照）。このような方程式から、一部の文献では導関数が「微分係数」（すなわちdx の 係数 ）と呼ばれる用語で表現されるようになった 。
一部の著者やジャーナルでは、差記号 dを イタリック体 （ d x ）ではなく ローマン体 で表記しています 。ISO /IEC 80000 科学スタイルガイドでは、このスタイルが推奨されています。
ラグランジュの記法 f ′ ( x )
ラグランジュ表記法で 1 回微分された x の 関数 f 。
微分法における現代の最も一般的な表記法の一つは、 ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ にちなんで名付けられているが、実際には オイラー によって発明され、普及させたのはオイラーである。ラグランジュの表記法では、 プライム記号は 微分を表すため、 プライム表記法と呼ばれることもある。f が 関数である 場合、その x における微分は次のように表される
。
f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 。 1749年に初めて印刷物として登場した。 [3]
高次の導関数は、 2次導関数 の場合は 、 3次導関数 の場合は のように、追加のプライム記号を使用して表されます。プライム記号を繰り返し使用すると、最終的には扱いにくくなります。一部の著者は 、通常小文字の ローマ数字 を使用し続けています [4] [5] 。 f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)} f ‴ ( x ) {\displaystyle f'''(x)}
f i v ( x ) , f v ( x ) , f v i ( x ) , … , {\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,} 4次、5次、6次、さらに高次の導関数を表すためにアラビア数字を用いる著者もいる。
f ( 4 ) ( x ) , f ( 5 ) ( x ) , f ( 6 ) ( x ) , … . {\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .} この表記法は、 n を変数とする n 次の導関数 を記述することも可能とする。これは次のように書ける。
f ( n ) ( x ) . {\displaystyle f^{(n)}(x).} ラグランジュ記法に関連するUnicode文字には以下が含まれる。
U+2032 ◌′ PRIME （派生語） U+2033 ◌″ 二重プライム （二重導関数） U+2034 ◌‴ 三重素数 （三階微分） U+2057 ◌⁗ 四重素数 （4次導関数） 関数に2つの独立変数がある場合 、次のような表記法が使われることがある。 [6] f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)}
f ′ = ∂ f ∂ x = f x f ′ = ∂ f ∂ y = f y f ′ ′ = ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x f ′ ′ = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f x y f ′ ′ = ∂ 2 f ∂ y 2 = f y y {\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}
ラグランジュの反微分表記 f (−1) ( x ) f (−2) ( x )
ラグランジュ表記法による、 fの x に関する 一重および二重不定積分。
ラグランジュは、原始微分をとる際にライプニッツの記法に従った。 [7]
f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = ∫ y ′ d x . {\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y'\,dx.} しかし、積分は微分の逆演算であるため、ラグランジュの高階微分記法は積分にも適用できる。fの繰り返し積分は 次 のように書ける
。
f ( − 1 ) ( x ) {\displaystyle f^{(-1)}(x)} 最初の積分（これは 逆関数 と混同されやすい）については、 f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} f ( − 2 ) ( x ) {\displaystyle f^{(-2)}(x)} 2番目の積分については、 f ( − 3 ) ( x ) {\displaystyle f^{(-3)}(x)} 3番目の積分については、 f ( − n ) ( x ) {\displaystyle f^{(-n)}(x)} n 番目の積分の場合 。
D表記法 D x y D 2 f
y の x 微分と f の 2 次微分 、オイラー表記。
この表記法は、 オイラー記法は ルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガスト によって導入されたが [8] 、 レオンハルト・オイラーは 使用しなかった ようである [ 要出典 ]
この表記法では、 D （ D演算子 ） [9] [ 検証失敗 ] または D̃ （ ニュートン・ライプニッツ演算子 ） [10] で表される 微分演算子 を使用する。 関数 f （ x ） に適用すると、次のように定義される。
( D f ) ( x ) = d f ( x ) d x . {\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.} 高階微分はD の「べき乗」として表記される （上付き文字は D の反復 合成 を表す） [6]
D 2 f {\displaystyle D^{2}f} 2次導関数については、 D 3 f {\displaystyle D^{3}f} 3次導関数については、 D n f {\displaystyle D^{n}f} n 次導関数 の場合。 D記法では、微分を行う変数は暗黙的に示されます。しかし、変数名を添え字として明示的に示すこともできます。例えば、 fが 変数 xの関数である場合、これは [6] のように書きます。
D x f {\displaystyle D_{x}f} 一次導関数については、 D x 2 f {\displaystyle D_{x}^{2}f} 2次導関数については、 D x 3 f {\displaystyle D_{x}^{3}f} 3次導関数については、 D x n f {\displaystyle D_{x}^{n}f} n 次導関数 の場合。 f が 多変数関数である 場合、「 D 」ではなく、様式化された筆記体の小文字の d である「 ∂ 」を使用するのが一般的です。上記のように、添え字は導関数を表します。例えば、関数の2階偏微分は次の ようになります。 [6] f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)}
∂ x x f = ∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ x y f = ∂ 2 f ∂ y ∂ x , ∂ y x f = ∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ y y f = ∂ 2 f ∂ y 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}} § 偏微分を参照してください。
D 表記法は微分方程式 の研究 や 微分代数 に役立ちます。
反微分のD表記 D −1 x y D −2 f
y の x 反微分 と f の 2 番目の反微分 、オイラー表記。
D表記法はラグランジュ表記法と同様 に反微分にも使用できる [11] 。[10]
D − 1 f ( x ) {\displaystyle D^{-1}f(x)} 第一不定積分の場合、 D − 2 f ( x ) {\displaystyle D^{-2}f(x)} 2番目の不定積分については、 D − n f ( x ) {\displaystyle D^{-n}f(x)} n 番目の原始関数の場合 。
ニュートン記法 ẋ ẍ
x の 1 次導関数と 2 次導関数 、ニュートン表記法。
アイザック・ニュートン の微分記法（ ドット記法 、 フラクシオン 記法、あるいは時には粗雑に フライスペック記法 [12] とも呼ばれる）では、従属変数にドットを付ける。つまり、 yが t の関数である場合、 yの t に関する 微分 は
y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} 高次の導関数は複数のドットを使って表される。
y ¨ , y . . . {\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}} ニュートンはこの考えをかなり拡張した。 [13]
y ¨ ≡ d 2 y d t 2 = d d t ( d y d t ) = d d t ( y ˙ ) = d d t ( f ′ ( t ) ) = D t 2 y = f ″ ( t ) = y t ″ y . . . = y ¨ ˙ ≡ d 3 y d t 3 = D t 3 y = f ‴ ( t ) = y t ‴ y ˙ 4 = y . . . . = y ¨ ¨ ≡ d 4 y d t 4 = D t 4 y = f I V ( t ) = y t ( 4 ) y ˙ 5 = y . . . ¨ = y ¨ ¨ ˙ = y ¨ ˙ ¨ ≡ d 5 y d t 5 = D t 5 y = f V ( t ) = y t ( 5 ) y ˙ 6 = y . . . . . . ≡ d 6 y d t 6 = D t 6 y = f V I ( t ) = y t ( 6 ) y ˙ 7 = y . . . . . . ˙ ≡ d 7 y d t 7 = D t 7 y = f V I I ( t ) = y t ( 7 ) y ˙ 10 = y ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ≡ d 10 y d t 10 = D t 10 y = f X ( t ) = y t ( 10 ) y ˙ n ≡ d n y d t n = D t n y = f ( n ) ( t ) = y t ( n ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}} ニュートン記法に関連する Unicode 文字には次のものがあります。
U+0307 ◌̇ 上結合点 （導関数） U+0308 ◌̈ 結合分音 （二重導関数） U+20DB ◌⃛ 上に三つのドットを結合 (三次導関数) ← 「結合分音記号」+「上に結合ドット」に置き換えられました。 U+20DC ◌⃜ 上に4つのドットを結合 （4次導関数） ← 「結合分音記号」を2回に置き換えました。 U+030D ◌̍ 上向きの結合縦線 （積分） U+030E ◌̎ 上に二重の縦線 （第2の積分） U+25AD ▭ 白い長方形 （整数） U+20DE ◌⃞ 結合囲み正方形 （整数） U+1DE0 ◌ᷠ 結合ラテン小文字N （ n 階微分） ニュートン記法は、独立変数が 時間 を表す場合に一般的に用いられます。位置 y がt の関数である場合 、 速度 [14] を表し 、 加速度 [15] を表します 。この記法は 物理学 と 数理物理学 でよく用いられます。また、 微分方程式 など、物理学に関連する数学の分野でも用いられます 。 y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} y ¨ {\displaystyle {\ddot {y}}}
従属変数y = f ( x )の微分をとる場合 、別の表記法が存在する: [16]
y ˙ x ˙ = y ˙ : x ˙ ≡ d y d t : d x d t = d y d t d x d t = d y d x = d d x ( f ( x ) ) = D y = f ′ ( x ) = y ′ . {\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.} ニュートンは曲線X（ⵋ）上の点線を用いて、以下の偏微分作用素を開発した。ホワイトサイドによる定義は以下の通りである。 [17] [18]
X = f ( x , y ) , ⋅ X = x ∂ f ∂ x = x f x , X ⋅ = y ∂ f ∂ y = y f y , : X or ⋅ ( ⋅ X ) = x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 = x 2 f x x , X : or ( X ⋅ ) ⋅ = y 2 ∂ 2 f ∂ y 2 = y 2 f y y , ⋅ X ⋅ = x y ∂ 2 f ∂ x ∂ y = x y f x y , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}
ニュートンの積分記法 x̍ x̎
ニュートン記法の 1 つによる x の 1 次および 2 次反微分。
ニュートンは、彼の著書 『曲率角運動量』 （1704年）と その後の著作の中で、 積分 のためのさまざまな表記法を開発しました。彼は、 流動積分 または時間積分（ 欠落積分） を 表すために 、従属変数（ y̍ ）の上に小さな縦線またはプライムを書いたり、接頭辞として四角形（ ▭y ）を付けたり、項を四角形（ y ）で囲んだりしました 。
y = ◻ y ˙ ≡ ∫ y ˙ d t = ∫ f ′ ( t ) d t = D t − 1 ( D t y ) = f ( t ) + C 0 = y t + C 0 y ′ = ◻ y ≡ ∫ y d t = ∫ f ( t ) d t = D t − 1 y = F ( t ) + C 1 {\displaystyle {\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}} ニュートンは多重積分を表すために、2 つの小さな縦棒またはプライム ( y̎ )、または以前の記号の組み合わせ ▭ y̍ y̍ を使って2 回目の積分 (絶対値) を表しました。
y ′ ′ = ◻ y ′ ≡ ∫ y ′ d t = ∫ F ( t ) d t = D t − 2 y = g ( t ) + C 2 {\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}} 高次の時間積分は次の通りである。 [19]
y ′ ′ ′ = ◻ y ′ ′ ≡ ∫ y ′ ′ d t = ∫ g ( t ) d t = D t − 3 y = G ( t ) + C 3 y ′ ′ ′ ′ = ◻ y ′ ′ ′ ≡ ∫ y ′ ′ ′ d t = ∫ G ( t ) d t = D t − 4 y = h ( t ) + C 4 y ′ n = ◻ y ′ n − 1 ≡ ∫ y ′ n − 1 d t = ∫ s ( t ) d t = D t − n y = S ( t ) + C n {\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}} この 数学表記法は、印刷の難しさ [ 要出典 ] と ライプニッツ・ニュートン微積分論争 のために普及しなかった 。
偏微分 f x f xy
関数 f を x に対して微分し 、次に x と y に対して微分します。
多変数微積分 や テンソル解析 など 、より特殊な種類の微分が必要な場合は、他の表記法が一般的です。
単一の独立変数 x の関数 f の場合、独立変数の添え字を使用して導関数を表すことができます。
f x = d f d x f x x = d 2 f d x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}} このタイプの表記法は、複数の変数の関数の 偏微分 を取る場合に特に便利です。
偏微分は、微分演算子 d を「 ∂ 」記号に置き換えることで、通常の微分と区別されます 。例えば、 f ( x , y , z )の x に関する偏微分は、 y や z に関する偏微分ではなく、 いくつかの方法で表すことができます。
∂ f ∂ x = f x = ∂ x f . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.} この区別が重要なのは、 のよう な非偏微分は 、文脈によっては、すべての変数が同時に変化することを許した場合 の に対する相対的な変化率として解釈される 可能性があるのに対し、 のような偏微分では、 1 つの変数だけが変化することが明示的であるからです。 d f d x {\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} ∂ f ∂ x {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
数学、物理学、工学の様々な分野では、他の表記法が用いられます。例えば、 熱力学 の マクスウェル関係 式が挙げられます。記号 は、 エントロピー（添え字） S を一定に保ったまま、温度 Tを体積 V に関して微分したもの であり、 は、圧力 P を一定に保ったまま、温度を体積に関して微分したものです 。これは、変数の数が自由度を超える状況で必要となり、他のどの変数を固定するかを選択する必要が生じます。 ( ∂ T ∂ V ) S {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}} ( ∂ T ∂ V ) P {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}
1変数に関する高階偏微分は次のように表される。
∂ 2 f ∂ x 2 = f x x , ∂ 3 f ∂ x 3 = f x x x , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}} など。混合偏微分は次のように表される。
∂ 2 f ∂ y ∂ x = f x y . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}.} この最後のケースでは、変数は 2 つの表記法間で逆の順序で記述され、次のように説明されます。
( f x ) y = f x y , ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) = ∂ 2 f ∂ y ∂ x . {\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}} いわゆる 多重インデックス記法は 、上記の記法が煩雑になったり表現力が不十分になったりする状況で用いられる。 上の関数を考える際 、多重インデックスを 非負整数の順序付きリストとして定義する： 。そして に対して、 以下の記法を 定義する。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} n {\displaystyle n} α = ( α 1 , … , α n ) , α i ∈ Z ≥ 0 {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}} f : R n → X {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}
∂ α f = ∂ α 1 ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ α n ∂ x n α n f {\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f} この方法により、他の方法では記述するのが面倒ないくつかの結果（ライプニッツの規則 など）を簡潔に表現することができます。いくつかの例は 、多重指標に関する記事 に記載されています 。 [20]
ベクトル計算の表記 ベクトル解析は、 ベクトル場 または スカラー場 の 微分 と 積分 を扱う。三次元 ユークリッド空間 に特有のいくつかの表記法 が共通している。
( x , y , z ) が与えられた 直交座標系 であり、 A が 成分を持つ ベクトル場 であり 、が スカラー場で あると 仮定します 。 A = ( A x , A y , A z ) {\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{y},A_{z})} φ = φ ( x , y , z ) {\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}
ウィリアム・ローワン・ハミルトン によって導入された微分演算子は 、 ∇と書かれ、 デル またはナブラと呼ばれ 、ベクトルの形で記号的に定義される。
∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) , {\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,} ここで、この用語は 演算子∇も通常のベクトルとして扱われること を象徴的に反映しています。
勾配 ：スカラー場の 勾配は ベクトルであり、 ∇とスカラー場の 積 で記号的に表現される。 g r a d φ {\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi } φ {\displaystyle \varphi } φ {\displaystyle \varphi } grad φ = ( ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y , ∂ φ ∂ z ) = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) φ = ∇ φ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}} 発散 ：ベクトル場 A の発散は スカラーであり、 ∇とベクトル Aの ドット積 で記号的に表現される。 d i v A {\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} } div A = ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ A = ∇ ⋅ A {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}} ラプラシアン ：スカラー場の ラプラシアンは スカラーであり、∇ 2 とスカラー場 φ のスカラー乗算によって記号的に表現される。 div grad φ {\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi } φ {\displaystyle \varphi } div grad φ = ∇ ⋅ ( ∇ φ ) = ( ∇ ⋅ ∇ ) φ = ∇ 2 φ = Δ φ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}} 回転 ：ベクトル場 A の回転 、またはは ベクトルであり、 ∇とベクトル Aの 外積 によって記号的に表現される。 c u r l A {\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} } r o t A {\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} } curl A = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z , ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x , ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z ) i + ( ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x ) j + ( ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) k = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z A x A y A z | = ∇ × A {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}} 微分に関する記号演算の多くは、直交座標における勾配演算子によって直接的に一般化できる。例えば、一変数積の 法則は、 勾配演算子を適用することでスカラー場の乗算に直接類似する
。
( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ ⟹ ∇ ( ϕ ψ ) = ( ∇ ϕ ) ψ + ϕ ( ∇ ψ ) . {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).} 一変数微積分学の他の多くの規則には、 勾配、発散、回転、ラプラシアンなど、 ベクトル計算における類似の規則があります。
より特殊な空間に対しては、さらなる表記法が開発されている。ミンコフスキー空間 における計算では 、 ダランベール演算子（ ダランベール演算子、波動演算子、ボックス演算子とも呼ばれる）は と表される。 ラプラシアンの記号と矛盾しない場合 は と表される。 ◻ {\displaystyle \Box } Δ {\displaystyle \Delta }
参照
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外部リンク 微積分記号の初期の使用、Jeff Miller によって管理されています ( Wayback Machine で 2020-07-26 にアーカイブ)。
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8242cb974856d243f0e51e3fe1e018ffeadbeb75)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6975c0cbc69a3074c409b338d0c390a987857ffc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31289a31e5d7cb530177761e89a230aa3840c8fe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ または }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ または }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b721c8f5527432575a415cd20c9790be27c2ce0c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905c52cd925d398bd1e987c01e5b52271b0a8a2e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06dc729f4aa870fcb14aa80d9b4dee7137cdb374)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06478b3937d08d2b18787a7210103a69585cb8b)
