積分変換

Mapping involving integration between function spaces

数学において、積分変換とは、関数を元の関数空間から別の関数空間に積分によって写像する変換の一種です。この場合、元の関数のいくつかの特性は、元の関数空間よりも簡単に特徴付け、操作できる場合があります。変換された関数は、通常、逆変換を使用して元の関数空間に写像することができます。

一般形

積分変換とは、次の形式の変換です。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

この変換の入力は関数 であり、出力は別の関数です。積分変換は、特定の種類の数学演算子です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Tf}$

有用な積分変換は数多くあります。それぞれは、 2つの変数の関数の選択によって指定されます。これは、変換の核または核と呼ばれます。 ${\displaystyle K}$

一部の核には、（大まかに言えば）逆変換を生成する逆核 が関連付けられています。 ${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du}$

対称核とは、2つの変数を並べ替えても変化しない核です。つまり、となる核関数です。積分方程式の理論では、対称核は自己随伴演算子に対応します。^[1] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(t,u)=K(u,t)}$

動機

元の表現のままでは解くのが難しい、あるいは少なくとも代数的に扱いにくい問題が数多く存在します。積分変換は、方程式を元の「領域」から別の領域に「写像」します。この領域では、方程式の操作と解が元の領域よりもはるかに容易になる場合があります。そして、積分変換の逆変換によって、解を元の領域に写像することができます。

積分変換に依存する確率の応用は数多くあります。例えば、「プライシングカーネル」や確率的割引係数、ロバスト統計から回復されたデータの平滑化などです。カーネル（統計）を参照してください。

歴史

変換の前身は、有限区間内の関数を表現するためのフーリエ級数でした。後に、有限区間の要件を排除するためにフーリエ変換が開発されました

フーリエ級数を用いると、ほぼあらゆる実用的な時間関数（例えば電子機器の端子間の電圧）は、それぞれ適切にスケーリング（定数倍）、シフト（時間的に進めるまたは遅らせる）、および「圧縮」または「引き伸ばす」（周波数を増加または減少させる）された正弦と余弦の和として表すことができます。フーリエ級数の正弦と余弦は、直交基底の例です。

使用例

積分変換の応用例として、ラプラス変換を考えてみましょう。これは、「時間」領域の微分方程式または積分微分方程式を、 「複素周波数」領域と呼ばれる領域における多項式方程式に変換する手法です。（複素周波数は実際の物理周波数に似ていますが、より一般的な概念です。具体的には、複素周波数s = − σ + iωの虚数成分ω は、通常の周波数の概念、すなわち正弦波の周期に対応し、複素周波数の実数成分σは「減衰」の度合い、つまり振幅の指数関数的な減少に対応します。）複素周波数で表された方程式は、複素周波数領域で容易に解くことができ（複素周波数領域における多項式方程式の根は、時間領域における固有値に対応します）、周波数領域で定式化された「解」が得られます。逆変換、つまり元のラプラス変換の逆手順を用いることで、時間領域の解が得られます。この例では、複素周波数領域における多項式（通常は分母に出現）は時間領域のべき級数に対応し、複素周波数領域における軸シフトは時間領域における指数関数の減衰による減衰に対応します。

ラプラス変換は物理学、特に電気工学において広く応用されており、複素周波数領域における電気回路の挙動を記述する特性方程式は、時間領域における指数関数的にスケーリングされ時間シフトされた減衰正弦波の線形結合に対応します。その他の積分変換は、他の科学および数学の分野で特別な適用性があります。

別の使用例は、経路積分の核です

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.}$

これは、到達すべき全振幅は、点に到達する全振幅のすべての可能な値の合計（積分）に、点から点まで移動する振幅を乗じたもの（すなわち）であることを示しています。^[2]これは、特定のシステムのプロパゲーター と呼ばれることがよくあります。この（物理学的な）核は積分変換の核です。ただし、量子システムごとに異なる核が存在します。 ^[3] ${\displaystyle \psi (x,t)}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle \psi (x',t')}$ ${\displaystyle (x',t')}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$

変換表

積分変換表

変換	記号	K	f ( t )	t 1	t 2	K −1	u 1	u 2
アーベル変換	F, f	${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$		${\displaystyle u}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$ [4]	t	${\displaystyle \infty }$
準ルジャンドル変換	${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n,m}}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
フーリエ変換	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle e^{-2\pi iut}}$	${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle e^{2\pi iut}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
フーリエ正弦変換	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	実数値 ${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
フーリエ余弦変換	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	実数値 ${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ハンケル変換		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ハートレー変換	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
エルミート変換	${\displaystyle H}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}H_{n}(x)}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ヒルベルト変換	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
ヤコビ変換	${\displaystyle J}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ラゲール変換	${\displaystyle L}$	${\displaystyle e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ラプラス変換	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
ルジャンドル変換	${\displaystyle {\mathcal {J}}}$	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
メリン変換	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,}$[5]	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
両側ラプラス 変換	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
ポアソン核		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\pi }$
ラドン変換	Rƒ	${\displaystyle \delta (x\cos \theta +y\sin \theta -t)}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
ワイエルシュトラス変換	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
X線変換	Xƒ			${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$

逆変換の積分の極限において、cは変換関数の性質に依存する定数です。例えば、片側および両側ラプラス変換の場合、cは変換関数の零点の最大実数部よりも大きくなければなりません

フーリエ変換には代替の表記法と規則があることに注意してください。

異なる領域

ここでは積分変換は実数上の関数に対して定義されていますが、より一般的には群上の関数に対して定義できます。

• 代わりに円周上の関数（周期関数）を使用する場合、積分核は双周期関数になります。円周上の関数による畳み込みは巡回畳み込みになります。
• n次の巡回群（C _nまたはZ / n Z ）上の関数を使用する場合、積分核としてn × n行列が得られます。畳み込みは巡回行列に対応します。

一般理論

積分変換の性質は多岐にわたりますが、共通する性質もいくつかあります。例えば、積分は線型作用素であるため、すべての積分変換は線型作用素です。実際、核が一般化関数であるとすれば、すべての線型作用素は積分変換です（この記述を適切に定式化したものがシュワルツ核定理です）。

このような積分方程式の一般理論はフレドホルム理論として知られています。この理論では、核は関数のバナッハ空間に作用するコンパクト作用素であると理解されています。状況に応じて、核はフレドホルム作用素、核作用素、またはフレドホルム核など、さまざまな呼び方があります。

参照

• ベイトマン変換
• 畳み込み核
• 巡回畳み込み
• 巡回行列
• 微分方程式
• 核法
• 変換一覧
• 演算子一覧
• フーリエ関連変換一覧
• ナハビンの定理
• 非局所演算子
• 再生核
• 記号積分

参考文献

1. 理論物理学の方法 第1巻 第8.2章 (モース＆フェシュバッハ)
2. ファインマンとヒブス著『量子力学と経路積分』改訂版の式3.42
3. 数学的に、経路積分におけるカーネルとは何ですか？
4. アーベル変換が で不連続ではないと仮定します。 ${\displaystyle u}$
5. いくつかの条件が適用されます。詳細はメリン反転定理を参照してください。

参考文献

• AD PolyaninとAV Manzhirov著、『積分方程式ハンドブック』、CRC Press、ボカラトン、1998年。ISBN   0-8493-2876-4
• RKM Thambynayagam著、『拡散ハンドブック：エンジニアのための応用ソリューション』、McGraw-Hill、ニューヨーク、2011年。ISBN   978-0-07-175184-1
• 「積分変換」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• EqWorld：数式の世界における積分変換の表

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