Derivative of a function with multiple variables
数学 において 、 多変数関数 の 偏微分と は、 関数の変数のうち1つについて、他の変数を一定に保った状態で 微分したものです（ 全微分 ではすべての変数が変化することが許されます）。偏微分は ベクトル解析 や 微分幾何学 で用いられます。
関数の変数に関する 偏微分は 、次のように表される。 f ( x , y , … ) {\displaystyle f(x,y,\dots )} x {\displaystyle x}
f x {\displaystyle f_{x}} 、 、 、 、 、 、 または 。 f x ′ {\displaystyle f'_{x}} ∂ x f {\displaystyle \partial _{x}f} D x f {\displaystyle \ D_{x}f} D 1 f {\displaystyle D_{1}f} ∂ ∂ x f {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f} ∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} これは、 - 方向の関数の変化率と考えることができます 。 x {\displaystyle x}
場合によっては、 について 、 の偏微分は と 表記されます。 偏微分は一般に元の関数と同じ引数を持つため、その関数従属関係は次のように という表記で明示的に示されることがあります。 z = f ( x , y , … ) {\displaystyle z=f(x,y,\ldots )} z {\displaystyle z} x {\displaystyle x} ∂ z ∂ x . {\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}.}
f x ′ ( x , y , … ) , ∂ f ∂ x ( x , y , … ) . {\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).}
偏微分を表す記号は ∂で ある。数学におけるこの記号の最も古い使用例の一つは、 1770年の コンドルセ侯爵によるもので [1] 、 偏微分 を表すために使用された。現代の偏微分表記法は アドリアン＝マリー・ルジャンドル （1786年）によって考案された が、後に彼はこれを放棄した。 カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビは 1841年にこの記号を再導入した [2]。
意味 通常の微分と同様に、偏微分は 極限 として定義されます。U を の 開部分集合 で関数 とします。 点 fの i 番目の変数 x i に関する 偏微分は 次のように定義されます。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f : U → R {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} } a = ( a 1 , … , a n ) ∈ U {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}
∂ ∂ x i f ( a ) = lim h → 0 f ( a 1 , … , a i − 1 , a i + h , a i + 1 … , a n ) − f ( a 1 , … , a i , … , a n ) h = lim h → 0 f ( a + h e i ) − f ( a ) h . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\,\ldots ,a_{n})\ -f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e} _{i})-f(\mathbf {a} )}{h}}\,.\end{aligned}}}
ここで、 は i 番目の変数 x i の 単位ベクトル です。 与えられた点 a においてすべての偏微分が存在するとしても 、関数はそこで 連続で ある必要はありません。しかし、すべての偏微分が a の 近傍 に存在し、そこで連続である場合、 f はその近傍において 全微分可能 であり 、全微分は連続です。この場合、 f は C 1 関数と呼ばれます。これは、成分ごとの引数を注意深く用いることで 、 ベクトル値関数 に一般化することができます。 e i {\displaystyle \mathbf {e_{i}} } ∂ f / ∂ x i ( a ) {\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)} f : U → R m {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}
偏微分は U 上で定義された別の関数とみなすことができ 、再び偏微分することができます。微分の方向が繰り返さ れない場合、それは 混合偏微分 と呼ばれます 。すべての混合2階偏微分が点（または集合）において連続である場合、 fはその点（または集合）における C 2 関数と呼ばれます 。この場合、偏微分は クレローの定理 によって交換できます。 ∂ f ∂ x {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}
表記 次の例では、 f を x 、 y 、 z の関数とします 。
1階偏微分:
∂ f ∂ x = f x ′ = ∂ x f . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}
2階偏微分:
∂ 2 f ∂ x 2 = f x x ″ = ∂ x x f = ∂ x 2 f . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}
2階 混合微分 ：
∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) = ( f x ′ ) y ′ = f x y ″ = ∂ y x f = ∂ y ∂ x f . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}
高階偏微分と混合微分:
∂ i + j + k f ∂ x i ∂ y j ∂ z k = f ( i , j , k ) = ∂ x i ∂ y j ∂ z k f . {\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}
多変数関数を扱う場合、これらの変数の一部は互いに関連している場合があり、曖昧さを避けるために、どの変数を一定に保っているかを明示的に指定する必要がある場合があります。 統計力学などの分野では、 y と z を一定とした場合の fの x に関する 偏微分は 、しばしば次のように表されます
。
( ∂ f ∂ x ) y , z . {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}
慣例的に、表記の明瞭性と簡略化のため、偏微分 関数 と 特定の点における関数の 値は、偏微分記号（ライプニッツ表記）を用いる際に関数の引数を含めることで 統合される 。したがって、次のような式は
∂ f ( x , y , z ) ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}
関数には使用されますが、
∂ f ( u , v , w ) ∂ u {\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}
は、点 における関数の値を表すのに用いられる 。 しかし、この慣習は、 のような点における偏微分を評価したい場合には当てはまらない 。 そのような場合、関数の評価は、次のように扱いにくい形で表現されなければならない。 ( x , y , z ) = ( u , v , w ) {\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)} ( x , y , z ) = ( 17 , u + v , v 2 ) {\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}
∂ f ( x , y , z ) ∂ x ( 17 , u + v , v 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}
または
∂ f ( x , y , z ) ∂ x | ( x , y , z ) = ( 17 , u + v , v 2 ) {\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}
ライプニッツ記法を用いるためには、 を用いる必要がある。したがって、このような場合には、 i 番目の変数に関する偏微分記号としてオイラー微分演算子記法を用いることが好ましいかもしれない 。例えば、上記の例では と書き 、 は 最初の変数に関する 偏微分 関数を表す。 [3] D i {\displaystyle D_{i}} D 1 f ( 17 , u + v , v 2 ) {\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})} D 1 f {\displaystyle D_{1}f}
高階偏微分の場合、 j 番目の変数に関するの偏微分（関数） は と表記されます 。 つまり、 となり 、 変数は微分をとる順序で並べられ、したがって、演算子の合成を通常表記する方法とは逆の順序になります。もちろん、 クレローの定理によれば、 f に関する比較的緩やかな正則性条件が満たされる 限り、 となります。 D i f {\displaystyle D_{i}f} D j ( D i f ) = D i , j f {\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f} D j ∘ D i = D i , j {\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}} D i , j = D j , i {\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}}
勾配 多変数関数の重要な例として、 ユークリッド空間上の定義域 （例えば、 または）上の スカラー値関数が挙げられます 。 この場合、 f は各変数 x j について 偏微分を持ちます 。点 a において、これらの偏微分はベクトル f ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ∂ f / ∂ x j {\displaystyle \partial f/\partial x_{j}}
∇ f ( a ) = ( ∂ f ∂ x 1 ( a ) , … , ∂ f ∂ x n ( a ) ) . {\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}
このベクトルは、 a における f の 勾配 と呼ばれます。 f が ある領域内の任意の点で微分可能である場合、勾配はベクトル値関数 ∇ f であり、点 a をベクトル ∇ f ( a ) に写します。したがって、勾配は ベクトル場 を生成します。
よくある 表記法の誤用は、 単位ベクトル を持つ 3次元 ユークリッド空間で デル演算子 （ ∇ ）を次のように定義することです 。 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} i ^ , j ^ , k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}
∇ = [ ∂ ∂ x ] i ^ + [ ∂ ∂ y ] j ^ + [ ∂ ∂ z ] k ^ {\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}
あるいは、より一般的には、 座標 と単位ベクトルを持つ n 次元ユークリッド空間の場合 ： R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} e ^ 1 , … , e ^ n {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}
∇ = ∑ j = 1 n [ ∂ ∂ x j ] e ^ j = [ ∂ ∂ x 1 ] e ^ 1 + [ ∂ ∂ x 2 ] e ^ 2 + ⋯ + [ ∂ ∂ x n ] e ^ n {\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}
方向微分 の 等高線図 。黒で勾配ベクトル、オレンジ で方向微分でスケーリングされた 単位ベクトルを示しています 。勾配ベクトルが長いのは、勾配が関数の最大増加率の方向を向いているためです。 f ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}} u {\displaystyle \mathbf {u} } u {\displaystyle \mathbf {u} } スカラー関数 の ベクトル方向
の 方向 微分は、 極限 [4] によって定義される 関数 である。 f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} v = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})} ∇ v f {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}} ∇ v f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h v ) − f ( x ) h | | v | | = 1 | | v | | d d t f ( x + t v ) | t = 0 . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h||\mathbf {v} ||}}=\left.{\frac {1}{||\mathbf {v} ||}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}
この定義は、例えばベクトルのノルム （つまり単位ベクトル）が定義される 場合など、幅広い文脈で有効です。 [5]
例 fが 複数の変数の関数である と仮定する。例えば、
z = f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}
この関数のグラフはユークリッド空間における面を定義します 。 この 面 上 の すべての点には、無数の 接線が存在します。偏微分とは、これらの線のうち1本を選び、その 傾きを 求めることです 。通常、最も注目される線は、 xz平面に平行な線と yz 平面に平行な線です （それぞれ y または xを 一定に保った場合に得られます）。
P (1, 1) における関数の接線で xz 平面に平行な傾きを求めるには、 y を 定数として扱います 。グラフとこの平面は右側に示されています。下図は、平面 y = 1 における関数の見え方を示しています。 y を定数と仮定して方程式の 導関数 を求めると、点 ( x , y )における f の傾きは次のようになります 。
∂ z ∂ x = 2 x + y . {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}
したがって、 (1, 1) では 、代入により傾きは 3 となる。したがって、
∂ z ∂ x = 3 {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}
点 (1, 1) における z の x に関する 偏微分は グラフに示すように 3 である。
関数 f は、他の変数によってインデックス付けされた 1 つの変数の関数の族として再解釈できます。
f ( x , y ) = f y ( x ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}
言い換えれば、 yのあらゆる値は f y と表記される関数を定義し、これは1つの変数 x の関数である 。 [6] つまり、
f y ( x ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}
このセクションでは、下付き文字の表記 f y は偏微分ではなく、 y の固定値に依存する関数を表します。
y の値を a とすると、 f ( x , y ) は xz 平面上で 曲線 x 2 + ax + a 2 を描く関数 f a を決定します。
f a ( x ) = x 2 + a x + a 2 . {\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}
この式では、 aは 変数 ではなく 定数で ある ため、 f a はx という実変数1つのみの関数となります 。したがって、1変数関数の微分の定義が適用されます。
f a ′ ( x ) = 2 x + a . {\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}
上記の手順は、任意の a に対して実行できます。導関数を関数にまとめると、 x 方向における f の変化を記述する関数が得られます。
∂ f ∂ x ( x , y ) = 2 x + y . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.}
これはfの x に関する 偏微分です 。ここで「 ∂ 」は丸い「d」で、 偏微分記号 と呼ばれます。文字「d」と区別するために、「 ∂ 」は「partial」と発音されることがあります。
高階偏微分 2階以上の偏微分は、一変数関数の高階微分と同様に定義される。関数 x に関する「自身の」2階偏微分は、単に偏微分（どちらも x に関する ）の偏微分である。 [7] : 316–318 f ( x , y , . . . ) {\displaystyle f(x,y,...)}
∂ 2 f ∂ x 2 ≡ ∂ ∂ f / ∂ x ∂ x ≡ ∂ f x ∂ x ≡ f x x . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}
x と y に関する交差偏微分は、 fの x に関する 偏微分をとり、その結果の y に関する偏微分をとって 、次のように
得られる。
∂ 2 f ∂ y ∂ x ≡ ∂ ∂ f / ∂ x ∂ y ≡ ∂ f x ∂ y ≡ f x y . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}
シュワルツの定理は 、2階微分が連続であれば、どの変数について1階微分をとり、どの変数について2階微分をとるかによって、交差偏微分の式は影響を受けないことを述べています。つまり、
∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}
または同等 f y x = f x y . {\displaystyle f_{yx}=f_{xy}.}
自己偏微分と交差偏微分は、 最適化 問題における 2階条件 で使用される ヘッセ行列 に現れる。高階偏微分は、逐次微分によって得られる。
反微分類似体 偏微分には、通常の微分における反微分 に類似した概念があります 。偏微分が与えられれば、元の関数を部分的に復元することが可能になります。
次の例を考えてみましょう
∂ z ∂ x = 2 x + y . {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}
いわゆる偏積分は、 x に関して行うことができます（ 偏微分と同様に、 y を定数として扱います）。
z = ∫ ∂ z ∂ x d x = x 2 + x y + g ( y ) . {\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y).}
ここで、 積分定数は もはや定数ではなく、元の関数の x を除くすべての変数の関数になります。これは、偏微分をとる際に他のすべての変数が定数として扱われるため、偏微分をとると x を 含まない関数は消えてしまうためです。そのため、不定積分をとる際にはこの点を考慮する必要があります。これを表す最も一般的な方法は、定数を他のすべての変数の未知の関数として表すことです。
したがって、 関数の集合（ g は任意の 1 引数関数） は、変数 x 、 y におけるx 偏導関数 を生成する可能性のある関数の集合全体を表します 。 x 2 + x y + g ( y ) {\displaystyle x^{2}+xy+g(y)} 2 x + y {\displaystyle 2x+y}
関数のすべての偏微分が既知である場合（例えば、勾配 ） 、上記のプロセスによって不定積分を対応させ、定数分を除いて元の関数を再構成することができます。しかし、一変数の場合とは異なり、すべての関数の集合が単一の関数のすべての（一次）偏微分の集合になるわけではありません。言い換えれば、すべてのベクトル場が 保存的で あるわけではありません。
アプリケーション
幾何学 円錐の体積は高さと半径に依存する 円錐 の 体積 Vは 、 円錐の 高さ h と 半径 r に依存し、次の式で表されます。
V ( r , h ) = π r 2 h 3 . {\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}
Vの r に関する 偏微分 は
∂ V ∂ r = 2 π r h 3 , {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}
これは、高さを一定に保ちながら半径を変化させた場合の円錐の体積変化率を表します。hに関する偏微分は に 等しく 、 これ は、半径を一定に保ちながら高さを変化させた場合の体積変化率を表します。 1 3 π r 2 {\textstyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}}
対照的に、 V の r と h に関する 全 微分 はそれぞれ
d V d r = 2 π r h 3 ⏞ ∂ V ∂ r + π r 2 3 ⏞ ∂ V ∂ h d h d r , d V d h = π r 2 3 ⏞ ∂ V ∂ h + 2 π r h 3 ⏞ ∂ V ∂ r d r d h . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dV}{dr}}&=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}\,,\\{\frac {dV}{dh}}&=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}\,.\end{aligned}}}
全微分と偏微分の違いは、偏微分では変数間の間接的な依存関係が排除される点です。
もし（何らかの理由で）円錐の比率が同じままで、高さと半径が固定比 k である場合、
k = h r = d h d r . {\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.}
これはr に関する全微分を与える 。
d V d r = 2 π r h 3 + π r 2 3 k , {\displaystyle {\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k\,,}
これは次のように単純化される
d V d r = k π r 2 , {\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2},}
同様に、 h に関する全微分 は
d V d h = π r 2 . {\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}.}
これら2つの変数のスカラー関数として意図された体積の r と hの 両方 に関する全微分は、 勾配 ベクトル
によって与えられる。
∇ V = ( ∂ V ∂ r , ∂ V ∂ h ) = ( 2 3 π r h , 1 3 π r 2 ) . {\displaystyle \nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right).}
最適化 偏微分は、複数の選択変数を持つ微積分ベースの 最適化 問題に必ず登場します。例えば、 経済学 において、企業は 2種類の異なる出力の値 x と y の選択に関して、 利益 π( x , y ) を最大化したいと考えるかもしれません。この最適化の 第一階条件は π x = 0 = π y です。偏微分π x と π y はどちらも、一般に x と y の両方の関数となるため、これら2つの第一階条件は、 2つの未知数を持つ2つの方程式からなる連立方程式 を形成します 。
熱力学、量子力学、数理物理学 偏微分は、 ギブス・デュエム方程式のような熱力学方程式、 シュレーディンガー波動方程式 のような量子力学方程式 、そして 数理物理学 の他の方程式に現れます。ここで偏微分において一定に保たれる変数は、三元混合系のギブスエネルギーに関する以下の例における モル分率 x i のような単純な変数の比です。
G 2 ¯ = G + ( 1 − x 2 ) ( ∂ G ∂ x 2 ) x 1 x 3 {\displaystyle {\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}
ある成分のモル分率を、 他の成分のモル分率と二成分モル比の関数として 表します。
x 1 = 1 − x 2 1 + x 3 x 1 x 3 = 1 − x 2 1 + x 1 x 3 {\textstyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}\\x_{3}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}\end{aligned}}}
微分商は、上図のような定数比で形成されます。
( ∂ x 1 ∂ x 2 ) x 1 x 3 = − x 1 1 − x 2 ( ∂ x 3 ∂ x 2 ) x 1 x 3 = − x 3 1 − x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}\\\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}\end{aligned}}}
モル分率の比 X、Y、Z は、三成分系および多成分系では次のように表すことができます。
X = x 3 x 1 + x 3 Y = x 3 x 2 + x 3 Z = x 2 x 1 + x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}\\Y&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}\\Z&={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\end{aligned}}}
これは次のような偏微分方程式 を解くのに使用できます 。
( ∂ μ 2 ∂ n 1 ) n 2 , n 3 = ( ∂ μ 1 ∂ n 2 ) n 1 , n 3 {\displaystyle \left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}}
この等式は、片側にモル分率の微分商を持つように変形することができます。
画像のサイズ変更 偏微分は、ターゲット認識型画像リサイズアルゴリズムの鍵となります。 シームカービング として広く知られるこれらのアルゴリズムでは、 画像内の各 ピクセルに、直交する隣接ピクセルとの相違を表す数値的な「エネルギー」を割り当てます。そして、 アルゴリズムはエネルギーが最も低い行または列を段階的に削除します。ピクセルのエネルギー（ピクセルにおける 勾配 の大きさ）を決定するために確立された式は、 偏微分の構造に大きく依存しています。
経済 経済学 では偏微分が重要な役割を果たしており 、経済行動を記述する関数のほとんどは、その行動が複数の変数に依存すると仮定しています。例えば、社会的な 消費関数は 、消費財への支出額が所得と富の両方に依存すると記述することがあります。この場合 、限界消費性向は 消費関数の所得に関する偏微分となります。
参照
注記
外部リンク
![{\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c70b5bce4676294a2be68361d333b3f44ce478)
![{\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4449e767ec489248b3a285415bf722bd550932c7)
