Mathematical operation in calculus
微積分学 において 、 陰微分法は 連鎖律 を用いて 陰関数 の 導関数を 求める手法です 。 方程式 R ( x , y ) = 0で定義される陰関数 y ( x )を微分する場合、一般には y について明示的に解いてから微分する ことはできません。代わりに、 R ( x , y ) = 0 を x と y について 全微分し 、得られた線形方程式を について解くことができます 。 dy / dx x と y について明示的に導関数を得るには 。元の方程式を明示的に解くことができる場合でも、全微分から得られる式は、一般に、はるかに単純で使いやすいです
R ( x , y )=0の とき 、陰関数 y ( x )の微分は [1] で与えられる 。§11.5
d y d x = − ∂ R ∂ x ∂ R ∂ y = − R x R y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,} ここで、 R x と R y は 、 R の x と y に関する 偏微分 を示します 。
上記の式は、 一般化連鎖律を使用して、 R ( x , y ) = 0 の両辺の x に関する 全微分を 求めることによって得られます 。
∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,} したがって
∂ R ∂ x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,} これ を解くと dy / dx 、 上記の式が得られます
例
例1 考えてみましょう
y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y+x+5=0\,.} この方程式はy について簡単に解くことができ 、
y = − x − 5 , {\displaystyle y=-x-5\,,} ここで右辺は関数 y ( x ) の明示的な形である。これを微分すると、 dy / dx = −1
あるいは、元の方程式を完全に微分することもできます。
d y d x + d x d x + d d x ( 5 ) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}} を解く dy / dx 与える
d y d x = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,} 以前得られた答えと同じ答えです。
例2 明示的な微分よりも暗黙的な微分の方が簡単な暗黙関数の例としては、次式で定義される 関数 y ( x )があります
x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.} これをx に関して明示的に微分するには 、まず
y ( x ) = ± 8 − x 4 2 , {\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,} この関数を微分します。これにより、 y ≥ 0 と y < 0 の2つの導関数が生成されます。
元の方程式を暗黙的に微分する方がはるかに簡単です。
4 x 3 + 4 y d y d x = 0 , {\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,} 与える
d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.}
例3 多くの場合、 yを 明示的に解くことは困難または不可能であり 、暗黙的な微分が唯一実行可能な微分方法です。例として、次の方程式があります
y 5 − y = x . {\displaystyle y^{5}-y=x\,.} y を x の関数として明示的に 代数的に表現する ことは不可能である ため、 dy / dx 明示的微分法で。暗黙法を用いると、 dy / dx は方程式を微分して得られる。
5 y 4 d y d x − d y d x = d x d x , {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,} どこ dx / dx = 1 。因数分解すると dy / dx は
( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,} その結果は
d y d x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,} これは次のように定義される
y ≠ ± 1 5 4 and y ≠ ± i 5 4 . {\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.}
参考文献
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc6ffe0eb05941c2a2c5c5a76fcfcfe3f07311c)
![{\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02378d424997f05eb51116d1dd6119f4324b729b)
