平均値定理

Theorem in mathematics

数学において、平均値定理（またはラグランジュの平均値定理）とは、大まかに言えば、2つの端点を結ぶ平面弧に対して、その弧の接線がその端点を通る正割線と平行になる点が少なくとも1つ存在することを述べています。これは実解析における最も重要な結果の一つです。この定理は、区間上の点における微分に関する局所的仮説から出発して、区間上の関数に関する命題を証明するために使用されます。

歴史

この定理の正弦逆補間に関する特殊なケースは、インドのケーララ天文数学学校のパラメシュヴァラ（1380-1460）が、ゴヴィンダスヴァーミとバースカラIIの注釈の中で初めて記述した。^[1]この定理の限定された形は、 1691年にミシェル・ロールによって証明された。その結果は現在ロールの定理として知られており、微積分の技術を使わずに多項式についてのみ証明された。現代的な形の平均値定理は、1823年にオーギュスタン＝ルイ・コーシーによって提唱され、証明された。 ^[2]この定理はそれ以来、多くのバリエーションが証明されてきた。^{[3] [4]}

声明

関数は、点 における導関数として、と の間の割線の傾きを実現します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

割線に平行な接線が複数存在する可能性もあります。

を閉区間上の連続関数とし、開区間上で微分可能とする。ここで とする。すると、 には次を満たす関数が存在する。^[5] ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

平均値定理は、 を仮定するロルの定理の一般化であり、上記の右辺はゼロになります。 ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

平均値定理は、もう少し一般的な設定でも依然として有効である。 がで連続であり、かつ任意の の極限においてであると仮定するだけでよい。 ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

は有限数として存在するか、または または に等しい。有限の場合、その極限は に等しい。この定理が適用される例として、実数値の立方根関数 を写像する例が挙げられ、その導関数は原点で無限大に近づく。 ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{1/3}}$

証拠

式は、点 と を結ぶ直線の傾きを与え、これはのグラフの弦です。一方、 は点 における曲線の接線の傾きを与えます。したがって、平均値定理とは、滑らかな曲線の任意の弦が与えられた場合、弦の両端点の間にある曲線上の点において、その点における曲線の接線が弦と平行になるような点を見つけることができるというものです。以下の証明はこの考え方を示しています。 ${\textstyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle (b,f(b))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$

を定義します。ここでは定数です。は で連続でで微分可能なので、 についても同様です。ここで、がロールの定理の条件を満たすようにを選びます。つまり、 ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.\end{aligned}}}$

ロールの定理によれば、は微分可能であり であるので、において となるものが存在し、等式から次の式が導かれる。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g'(c)=0}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}}$

意味合い

定理1：は実数値連続関数であり、実数直線上の任意の区間上で定義されると仮定する。区間内の任意の内点におけるの微分が存在し、かつ がゼロであるならば、 は上で定数である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

証明：区間 の任意の内点におけるの微分が存在し、かつ がゼロであると仮定する。を の任意の開区間とする。平均値定理により、に の点が存在し、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

これは が成り立つことを意味します。したがって、は の内部で定数であり、連続性により は で定数です。(この結果の多変数バージョンについては以下を参照してください。) ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

備考：

• 区間 の端点においては、の連続性のみが必要であり、微分可能性は不要です。 が開区間である場合、ある点における微分の存在は、その点における連続性を意味するため、連続性の仮定を述べる必要はありません。（「微分 」の記事の「連続性と微分可能性」のセクションを参照してください。） ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• の微分可能性は片側微分可能性に緩和することができ、その証明は半微分可能性に関する記事で与えられている。 ${\displaystyle f}$

定理 2:これらの関数の定義域の区間内のすべての に対して が成り立つ場合、 は定数、つまりは 上の定数です。 ${\displaystyle f'(x)=g'(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f-g}$ ${\displaystyle f=g+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

証明:とすると、区間 となるので、上記の定理 1 より、は定数または であることが分かります。 ${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle F'(x)=f'(x)-g'(x)=0}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f=g+c}$

定理 3:が区間 上のの原始的原始関数である場合、上のの最も一般的な原始的原始関数は であり、は定数である。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F(x)+c}$ ${\displaystyle c}$

証明:上記の定理 2 から直接導かれます。

コーシーの平均値定理

コーシーの平均値定理は、拡張平均値定理とも呼ばれ、平均値定理の一般化である。^{[6] [7]}これは、関数とが閉区間で連続かつ開区間で微分可能である場合、次のような関数が存在することを述べている。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

コーシーの定理の幾何学的意味

${\displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).}$

もちろん、 およびの場合、これは次と同等です。 ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

幾何学的には、これは曲線のグラフに接線が存在することを意味する^[8]

${\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}$

これは、点とによって定義される直線に平行です。しかし、コーシーの定理は、 と が異なる点であるすべての場合にこのような接線が存在することを主張しているわけではありません。なぜなら、この定理はとなるある値、つまり、前述の曲線が で定常となる値に対してのみ満たされる可能性があるからです。そのような点では、曲線の接線は全く定義されない可能性があります。この状況の例として、次に示す曲線があります。 ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ ${\displaystyle (f(b),g(b))}$ ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ ${\displaystyle (f(b),g(b))}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'(c)=g'(c)=0}$

${\displaystyle t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\right),}$

これは、区間 上で点から まで伸びますが、水平接線を決して持ちません。ただし、 に静止点（実際には尖点）があります。 ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle t=0}$

コーシーの平均値定理は、ロピタルの定理を証明するために使用できます。平均値定理は、 のときのコーシーの平均値定理の特別な場合です。 ${\displaystyle g(t)=t}$

証拠

コーシーの平均値定理の証明は、平均値定理の証明と同じ考えに基づいています。

を定義すると、 が簡単にわかります。 ${\displaystyle h(x)=(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x)}$ ${\displaystyle h(a)=h(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)}$

と は で連続かつで微分可能であるため、 についても同様です。つまり、 はロールの定理の条件を満たします。したがって、 において となる が存在します。ここで の定義を用いると、次の式が得られます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle h'(c)=0}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle 0=h'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)-(f(b)-f(a))g'(c)}$

結果は簡単にわかります。

複数変数における平均値定理

平均値定理は多変数実関数にも一般化されます。重要なのは、パラメータ化を用いて一変数実関数を作成し、一変数定理を適用することです。

を の開部分集合とし、を微分可能関数とする。を とするとき、 の間の線分が に含まれるように点を固定し、 を定義する。は1変数の微分可能関数であるため、平均値定理より次の式が成り立つ。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in G}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(1)-g(0)=g'(c)}$

0 から 1 までの範囲の任意の値に対してです。しかし、およびなので、明示的に計算すると次のようになります。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(1)=f(y)}$ ${\displaystyle g(0)=f(x)}$ ${\displaystyle g'(c)}$

${\displaystyle f(y)-f(x)=\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}\cdot (y-x)}$

ここで は勾配と内積を表します。これは一変数の定理（ の場合は一変数の定理）の正確な類似です。コーシー・シュワルツの不等式 により、この式は次の推定値を与えます。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\Bigl |}f(y)-f(x){\Bigr |}\leq {\Bigl |}\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}{\Bigr |}\ {\Bigl |}y-x{\Bigr |}.}$

特に、が凸で の偏微分が有界である場合、はリプシッツ連続です（したがって、 は一様連続です）。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

上記の応用として、開集合が連結で のすべての偏微分が0 であるとき、 は定数であることを証明します。ある点 を選び、 とします。任意の に対して であることを示します。そのために とします。すると はで閉じており、空ではありません。また、 は開集合でもあります。任意の に対して、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in G}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle E=\{x\in G:g(x)=0\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\Big |}g(y){\Big |}={\Big |}g(y)-g(x){\Big |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0}$

を中心とし に含まれる任意の開球に対して が成り立つ。は連結なので と結論できる。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=G}$

上記の議論は座標に依存しない方法で行われたため、 がバナッハ空間のサブセットである場合にも一般化されます。 ${\displaystyle G}$

ベクトル値関数の平均値定理

ベクトル値関数には平均値定理の正確な類似は存在しない（下記参照）。しかし、1次元の場合に平均値定理が適用できる多くの状況に適用できる不等式が存在する：^[9]

定理—上で微分可能な連続ベクトル値関数に対して、 ${\displaystyle \mathbf {f} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

${\displaystyle |\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|\leq (b-a)\left|\mathbf {f} '(c)\right|}$。

証拠

をとる。するとは実数値となり、平均値定理より、 ${\displaystyle \varphi (t)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=\varphi '(c)(b-a)}$

ある に対して が成り立ちます。したがって、コーシー・シュワルツの不等式を用いると、上記の式から次の式が得られます。 ${\displaystyle c\in (a,b)}$ $${\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}}$$ $${\displaystyle \varphi '(c)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}'(c).}$$

${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}\leq |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)||{\textbf {f}}'(c)|(b-a).}$

ならば、定理は自明に成り立ちます。そうでない場合は、両辺を で割ると定理が得られます。 ${\displaystyle {\textbf {f}}(b)={\textbf {f}}(a)}$ ${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|}$

平均値の不平等

ジャン・ディドネは、古典的論文『現代解析学の基礎』において、平均値定理を放棄し、平均不等式に置き換えた。これは、証明が構成的ではなく平均値を求めることができないためであり、応用においては平均不等式のみが必要であるためである。セルジュ・ラングは『解析学I』において、平均値定理を積分形式で即座に用いているが、この用法には微分が連続であることが前提となる。ヘンストック＝カーツワイル積分を用いれば、すべての微分はヘンストック＝カーツワイル積分可能であるため、微分が連続でなければならないという追加の仮定をすることなく、平均値定理を積分形式で得ることができる。

平均値の等式に類似するものがない理由は次の通りである。もしf  : U → R ^mが微分可能関数（ただしU ⊂ R ⁿは開関数）であり、 x + th , x , h ∈ R ⁿ , t ∈ [0, 1]が問題の線分（U の内部にある）であるならば、上記のパラメータ化手順をfの各成分関数f _i ( i = 1, …, m )に適用することができる（上記の記法ではy = x + hとしている）。そうすることで、次の式を満たす線分上の 点x + t _i hを見つけることができる。

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.}$

しかし、一般的には、線分上にx + t * hを満たす点が一つも存在しない。

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.}$

すべてのi に対して同時に となる。例えば、次のように定義する。

${\displaystyle {\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}}$

するととなりますが、の範囲では と が同時にゼロになることはありません。 ${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f_{1}'(x)=-\sin(x)}$ ${\displaystyle f_{2}'(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left[0,2\pi \right]}$

上記の定理は次のことを意味します。

平均値不等式^[10] —連続関数 が上で微分可能であるとき、 ${\displaystyle {\textbf {f}}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|\leq (b-a)\sup _{(a,b)}|{\textbf {f}}'|}$。

実際、上記の記述は多くのアプリケーションに十分であり、次のように直接証明できます。(読みやすくするために と書きます。) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textbf {f}}}$

証拠

まず、が においても微分可能であると仮定します。が において非有界であれば、証明する必要はありません。したがって、 を仮定します。 を何らかの実数とします。 とします 。を示しましょう。 の連続性により、集合は閉集合です。 もまた、 に含まれる のように空ではありません。したがって、集合は最大の元 を持ちます。 であれば、 となり、 で終わります。したがって、 ではないと仮定します。 の場合、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \sup _{(a,b)}|f'|<\infty }$ ${\displaystyle M>\sup _{(a,b)}|f'|}$ $${\displaystyle E=\{0\leq t\leq 1\mid |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq Mt(b-a)\}.}$$ ${\displaystyle 1\in E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle 1\in E}$ ${\displaystyle 1>t>s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\\&\leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.\end{aligned}}}$

が となるとします。における の微分可能性により（は 0 の場合もあることに注意）、が に十分近い場合、第1項は です。第2項は です。第3項は です。したがって、推定値を合計すると となり、の最大性と矛盾します。したがって、 となり、これは次のことを意味します。 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M-\epsilon >\sup _{(a,b)}|f'|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+s(b-a)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \leq \epsilon (t-s)(b-a)}$ ${\displaystyle \leq (M-\epsilon )(t-s)(b-a)}$ ${\displaystyle \leq Ms(b-a)}$ ${\displaystyle |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq tM|b-a|}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1=s\in M}$

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(b-a).}$

は任意なので、これは次の主張を示唆する。最後に、が で微分可能でない場合、 とし、最初のケースを に制限して に適用すると、次のようになる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a',b]}$

${\displaystyle |f(b)-f(a')|\leq (b-a')\sup _{(a,b)}|f'|}$

なので、これで証明は終わりです。 ${\displaystyle (a',b)\subset (a,b)}$ ${\displaystyle a'\to a}$

定理を適用できない場合

平均値定理のすべての条件が必要です。

1. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$は微分可能 ${\displaystyle {\boldsymbol {(a,b)}}}$
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$継続している ${\displaystyle {\boldsymbol {[a,b]}}}$
3. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$実数値である

上記の条件のいずれかが満たされない場合、平均値定理は一般に有効ではないため、適用できません。

最初の条件の必要性は、[-1,1]上の関数が微分可能でないという反例によってわかります。 ${\displaystyle f(x)=|x|}$

2 番目の条件の必要性は、関数がについてはなので基準 1 を満たしているが、および についてなので基準 2 を満たしていないという反例でわかります 。したがって、そのような関数は存在しません。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{at }}x=0\\0,&{\text{if }}x\in (0,1]\end{cases}}}$$ ${\displaystyle f'(x)=0}$ ${\displaystyle (0,1)}$ $${\displaystyle {\frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1}$$ ${\displaystyle -1\neq 0=f'(x)}$ ${\displaystyle x\in (0,1)}$ ${\displaystyle c}$

微分可能関数が実数値ではなく複素数値である場合、定理は偽となる。例えば、任意の実数 に対してが成り立つのに対し、任意の実数 に対してが成り立つ。 ${\displaystyle f(x)=e^{xi}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)}$$ ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x}$

定積分の平均値定理

定積分における第一平均値定理

幾何学的には、f ( c )を長方形の高さ、b – aを幅と解釈すると、この長方形はaからbまでの曲線の下の領域と同じ面積を持つ^[11]

f  : [ a , b ] → Rを連続関数とする。すると、( a , b ) にcが存在し、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).}$

これは微積分学の基本定理と微分に関する平均値定理から直ちに導かれる。[ a , b ]におけるfの平均値は次のように定義される ので、

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

この結論は、 fが( a , b )のあるcで平均値を達成すると解釈できる。^[12]

一般に、f  : [ a , b ] → Rが連続で、gが [ a , b ]で符号が変化しない積分可能な関数である場合、 ( a , b ) にcが存在し、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

定積分の第二平均値定理

定積分における第二平均値定理と呼ばれる、わずかに異なる様々な定理があります。よく使われるバージョンは次のとおりです。

が正の単調減少関数であり、が積分可能な関数である場合、 ( a , b ]に次の数xが存在し、 ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.}$

ここでは を表し、その存在は条件から明らかである。区間 ( a , b ] にはbが含まれることが必須であることに注意されたい。この要件を満たさない変形は以下の通りである: ^[13] ${\displaystyle G(a^{+})}$ ${\textstyle {\lim _{x\to a^{+}}G(x)}}$

が単調関数（必ずしも減少かつ正ではない） であり、が積分可能な関数である場合、 （a、b） に 数xが存在し、 ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.}$

関数が多次元ベクトルを返す場合、そのドメインも多次元であっても、積分の MVT は真ではありません。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

たとえば、次元キューブ上で定義された次の 2 次元関数を考えます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}}$

すると、対称性により、その定義域における の平均値が (0,0) であることが簡単にわかります。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)}$

しかし、どこにでもあるので、そこには意味がありません。 ${\displaystyle G=(0,0)}$ ${\displaystyle |G|=1}$

一般化

線形代数

とが 上で連続な微分可能関数であると仮定する。定義 ${\displaystyle f,g,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

となるようなものが存在する。 ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle D'(c)=0}$

注意してください

${\displaystyle D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

を置けばコーシーの平均値定理が得られます。 を置けばラグランジュの平均値定理が得られます。 ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle g(x)=x}$

一般化の証明は非常に簡単です。 と はそれぞれ、 2つの同一の行を持つ行列式であるため、 となります。ロールの定理は、となるような が存在することを意味します。 ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle D(b)}$ ${\displaystyle D(a)=D(b)=0}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle D'(c)=0}$

確率論

XとYを、 E[ X ] < E[ Y ] < ∞かつ（つまり、通常の確率的順序でXはYより小さい）を満たす非負確率変数とする。このとき、確率密度関数が ${\displaystyle X\leq _{st}Y}$

${\displaystyle f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.}$

gを測定可能かつ微分可能な関数とし、E[ g ( X )],E[ g ( Y )]<∞を満たすものとし、その導関数g′を 、y≥x≥0に対して区間[x,y]上で測定可能かつリーマン積分可能とすると、E [ g ′ ( Z ) ]は有限であり、^[14]

${\displaystyle {\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].}$

複素解析

上述のように、この定理は微分可能な複素数値関数には成立しない。その代わりに、この定理の一般化は次のように述べられる。^[15]

f  : Ω → C を開凸集合Ω上の正則関数とし、 aとbをΩ内の異なる点とする。すると、 aからbへの線分の内部に点u、vが存在し、

${\displaystyle \operatorname {Re} (f'(u))=\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (f'(v))=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).}$

ここで、Re() は複素数値関数の実部、Im() は虚部です。

参照

• 中間値定理
• 平均値問題
• 平均値定理（差商）
• ニューマークベータ法
• レーストラック原理
• ストラースキー平均

注記

1. JJ O'ConnorとEF Robertson (2000). Paramesvara, MacTutor数学史アーカイブ.
2. アダム・ベセニエイ。 「平均値定理の歴史的展開」(PDF)。
3. Lozada-Cruz, German (2020-10-02). 「コーシーの平均値定理のいくつかの変種」 .国際数学教育科学技術ジャーナル. 51 (7): 1155– 1163. Bibcode :2020IJMES..51.1155L. doi :10.1080/0020739X.2019.1703150. ISSN  0020-739X. S2CID  213335491.
4. Sahoo, Prasanna. (1998).平均値定理と関数方程式. Riedel, T. (Thomas), 1962-. シンガポール: World Scientific. ISBN 981-02-3544-5. OCLC  40951137。
5. ルディン1976年、108ページ。
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7. ルディン1976年、107～108頁。
8. 「コーシーの平均値定理」Math24 . 2018年10月8日閲覧。
9. ルディン1976年、113ページ。
10. Hörmander 2015、定理1.1.1およびそれに続く注釈。
11. 「Mathwords: 積分の平均値定理」www.mathwords.com .
12. マイケル・コメネッツ (2002).微積分学：要素. ワールド・サイエンティフィック. p. 159. ISBN 978-981-02-4904-5。
13. ホブソン, EW (1909). 「積分法における第二平均値定理について」. Proc. London Math. Soc. S2–7 (1): 14– 23. Bibcode :1909PLMS...27...14H. doi :10.1112/plms/s2-7.1.14. MR  1575669.
14. Di Crescenzo, A. (1999). 「平均値定理の確率的類似と信頼性理論への応用」. J. Appl. Probab. 36 (3): 706– 719. doi :10.1239/jap/1032374628. JSTOR  3215435. S2CID  250351233.
15. 1 J.-Cl. Evard, F. Jafari、「複素ロールの定理」、American Mathematical Monthly、第99巻、第9号、（1992年11月）、pp. 858-861。

参考文献

• ルディン、ウォルター（1976年）『数学解析の原理』オークランド：マグロウヒル出版。ISBN 978-0-07-085613-4。
• Hörmander, Lars (2015)、「線形偏微分作用素の解析 I: 分布理論とフーリエ解析」、Classics in Mathematics (第 2 版)、Springer、ISBN 9783642614972

外部リンク

• 「コーシーの定理」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• PlanetMathにおける平均値定理。
• ワイスタイン、エリック・W.「平均値定理」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「コーシーの平均値定理」。MathWorld。
• 微分積分学（2017年版）・ユニット11：微分応用・カーンアカデミーの平均値定理

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