Evaluates a line integral through a gradient field using the original scalar field
線積分における微積分の基本定理 としても知られる 勾配 定理は、 勾配場 を通る 線積分は、 曲線の端点における元のスカラー場を評価することによって評価できるという ものです。この定理は、実数直線だけでなく 、平面または空間（一般に n次元）上の任意の曲線に 微積分学の第二基本定理を 一般化したものです。
φ : U ⊆ R n → R が微分可能関数 であり 、 γ が点 p から点 qまで U 内の微分 可能 曲線である 場合 、
∫ γ ∇ φ ( r ) ⋅ d r = φ ( q ) − φ ( p ) {\displaystyle \int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)}
ここで ∇ φは φ の勾配ベクトル場を表す 。
勾配定理は、勾配場を通る線積分が 経路に依存しないことを意味します。物理学において、この定理は 保存 力 を定義する方法の一つです。φ を ポテンシャルと 置くことで、 ∇ φ は保存力場 となります 。保存力によって行われる 仕事は 、上記の式が示すように、物体の経路ではなく、終点のみに依存します。
勾配定理には興味深い逆定理も存在します。任意の経路独立なベクトル場は、スカラー場 の勾配として表現できます 。勾配定理自体と同様に、この逆定理は純粋数学と応用数学の両方において多くの注目すべき結果と応用をもたらします。
証拠 φ が何らかの 開集合 U ⊆ R n からR への 微分可能関数 であり 、 r が何らかの閉区間 [ a , b ]から U への 微分可能関数である 場合 （ r は 区間の端点 a と b で微分可能であることに注意する。これを行うには、 r は[ a , b ] よりも大きく、[ a , b ] を含む区間で定義される ）、 多変数連鎖律 により、 合成関数 φ ∘ r は[ a , b ] で微分可能である 。
d d t ( φ ∘ r ) ( t ) = ∇ φ ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}
[ a , b ] 内の すべての t について。ここで ⋅は ドット積 を表します 。
ここで、 φ の 領域 U に、端点 p と q を持つ微分可能曲線 γ が含まれると仮定する。（これは p から q の 方向に 向いている ）。r が t について [ a , b ] における γ をパラメータ化する （すなわち、 r が γ を t の関数として 表す ）場合、
∫ γ ∇ φ ( r ) ⋅ d r = ∫ a b ∇ φ ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t = ∫ a b d d t φ ( r ( t ) ) d t = φ ( r ( b ) ) − φ ( r ( a ) ) = φ ( q ) − φ ( p ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}}
ここで、最初の等式では 線積分の定義が 使用され、2番目の等式では上記の式が使用され、 3番目の等式では 微積分の第二基本定理が 使用されています。 [1]
これまで、勾配定理（ 線積分における微積分の基本定理 とも呼ばれる）は微分可能な（そのため滑らかに見える）曲線に対して証明されてきましたが、この曲線は複数の微分可能な曲線を結合して作られているため、この曲線の証明は微分可能な曲線の成分ごとに証明されるので、この定理は区分的に滑らかな曲線に対しても証明されています。 [2]
例
例1 γ ⊂ R 2 が(5, 0)から (-4, 3) まで 反時計回りに向いた円弧である とする 。 線積分の定義 を用いると、
∫ γ y d x + x d y = ∫ 0 π − tan − 1 ( 3 4 ) ( ( 5 sin t ) ( − 5 sin t ) + ( 5 cos t ) ( 5 cos t ) ) d t = ∫ 0 π − tan − 1 ( 3 4 ) 25 ( − sin 2 t + cos 2 t ) d t = ∫ 0 π − tan − 1 ( 3 4 ) 25 cos ( 2 t ) d t = 25 2 sin ( 2 t ) | 0 π − tan − 1 ( 3 4 ) = 25 2 sin ( 2 π − 2 tan − 1 ( 3 4 ) ) = − 25 2 sin ( 2 tan − 1 ( 3 4 ) ) = − 25 ( 3 / 4 ) ( 3 / 4 ) 2 + 1 = − 12. {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}}
この結果は、関数に勾配がある ことに気づくことで、より簡単に得ることができます 。勾配定理により、 f ( x , y ) = x y {\displaystyle f(x,y)=xy} ∇ f ( x , y ) = ( y , x ) {\displaystyle \nabla f(x,y)=(y,x)}
∫ γ y d x + x d y = ∫ γ ∇ ( x y ) ⋅ ( d x , d y ) = x y | ( 5 , 0 ) ( − 4 , 3 ) = − 4 ⋅ 3 − 5 ⋅ 0 = − 12. {\displaystyle \int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.}
例2 より抽象的な例として、 γ ⊂ R n が 端点 p , q を持ち 、 p から q へ向くとする。R n の u について 、 | u | を u の ユークリッド ノルム と する 。α ≥ 1 が 実数ならば、
∫ γ | x | α − 1 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ ( α + 1 ) | x | ( α + 1 ) − 2 x ⋅ d x = 1 α + 1 ∫ γ ∇ | x | α + 1 ⋅ d x = | q | α + 1 − | p | α + 1 α + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}
ここで、関数 f ( x ) = | x | α +1は α ≥ 1 であれば R n 上で微分可能であるため、最終的な等式は勾配定理に従います 。
α < 1 の場合でも 、この等式はほとんどの場合に成立しますが、 γ が 原点を通過するか、原点を囲む場合は注意が必要です。なぜなら、その場合、積分関数ベクトル場 | x | α − 1 x が定義されないからです。ただし、 α = −1 の場合は多少異なります。この場合、積分関数は | x | −2 x = ∇(log | x |) となり、最終的な等式は log | q | − log | p | となります。
n = 1 の場合、この例は単変数微積分学で
よく知られている べき乗則 の単なるわずかな変形である ことに注意してください。
例3 3次元空間に n 個の点電荷 が配置されており、 i 番目の点電荷が 電荷 Q i を持ち、 R 3 内の位置 p i にあるとします。電荷 q の粒子が R 3 内の 点 a から点 b へ移動する際に行われる仕事 を計算します 。 クーロンの法則を用いると、位置 r にある粒子に 働く力は 容易に次 のように求められます。
F ( r ) = k q ∑ i = 1 n Q i ( r − p i ) | r − p i | 3 {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}}
ここで | u | は R 3 における ベクトル u のユークリッドノルム を表し 、 k = 1/(4 πε 0 ) （ ε 0 は 真空の誘電率） である 。
γ ⊂ R 3 − { p 1 , ..., p n }を aから b への 任意の微分可能曲線とする 。 このとき、粒子になされる仕事は
W = ∫ γ F ( r ) ⋅ d r = ∫ γ ( k q ∑ i = 1 n Q i ( r − p i ) | r − p i | 3 ) ⋅ d r = k q ∑ i = 1 n ( Q i ∫ γ r − p i | r − p i | 3 ⋅ d r ) {\displaystyle W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)}
さて、各 i について直接計算すると、
r − p i | r − p i | 3 = − ∇ 1 | r − p i | . {\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.}
したがって、上記から続けて勾配定理を用いると、
W = − k q ∑ i = 1 n ( Q i ∫ γ ∇ 1 | r − p i | ⋅ d r ) = k q ∑ i = 1 n Q i ( 1 | a − p i | − 1 | b − p i | ) {\displaystyle W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)}
これで終わりです。もちろん、 静電ポテンシャル や 静電ポテンシャルエネルギー （おなじみの式 W = −Δ U = − q Δ V ）という強力な言語を使えば、この計算は簡単に完了できます。しかし、ポテンシャルやポテンシャルエネルギーはまだ 定義されて いません。なぜなら、これらが明確に定義された微分可能な関数であり、これらの式が成り立つことを証明するには、勾配定理の 逆関数 が必要だからです（下記参照）。したがって、この問題はクーロンの法則、仕事の定義、そして勾配定理のみを用いて解いたことになります。
勾配定理の逆 勾配定理は、ベクトル場 F が 何らかのスカラー値関数の勾配である場合（すなわち、 F が 保存的で ある場合）、 F は経路独立なベクトル場である（すなわち、何らかの区分微分可能曲線上の F の積分は端点のみに依存する）ことを述べています。この定理には強力な逆定理があります。
定理 - F が経路独立なベクトル場である 場合、 F はあるスカラー値関数の勾配である。 [3]
ベクトル場が経路独立であることは、その定義域内のすべての閉ループにわたるベクトル場の積分がゼロである場合に限る、と簡単に示すことができる。したがって、逆は次のようにも言える。Fの 定義 域内のすべての閉ループにわたる F の積分がゼロである場合、 F はあるスカラー値関数の勾配である。
逆の証明 Uが R n の 開 経路 連結 部分集合であり 、 F : U → R n が 連続かつ 経路独立なベクトル場 である とする。 U のある元 a を 固定し、 f : U → R を次のように定義する。ここ で γ [ a , x ]は U内の a を始点とし x を終点とする任意 の（微分可能な）曲線である。 F は経路独立である ため、 f は定義済みで ある ことが分かる。 f ( x ) := ∫ γ [ a , x ] F ( u ) ⋅ d u {\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }
vを R n の任意の非ゼロベクトルとします 。 方向微分 の定義により 、 最終極限内で積分を計算するには、 γ [ x , x + t v ] をパラメータ化する 必要があります。 F は経路独立、 U は開経路、 t はゼロに近づいているため、この経路は直線であると仮定し、 0 < s < t に対して u ( s ) = x + s v とパラメータ化できます。ここで、 u' ( s ) = v であるため、極限は 次のようになります。最初の等式は、 t = 0で積分が 0 に等しいという事実を伴う 導関数の定義 から得られ、2 番目の等式は 微積分の最初の基本定理から得られます。したがって、 ∂ v f の式が得られます( 方向微分を 表す方法の 1 つ )。ここで v は任意です。 （上記の完全な定義を 参照）、 v に関する方向微分は、 最初の2つの等式が方向微分の異なる表現を示しているだけ です。 スカラー関数 f の勾配の定義 によれば、こうして、 勾配が経路独立なベクトル場 F （すなわち、 F は保存ベクトル場）である スカラー値関数 fが求められました。 [3] ∂ f ( x ) ∂ v = lim t → 0 f ( x + t v ) − f ( x ) t = lim t → 0 ∫ γ [ a , x + t v ] F ( u ) ⋅ d u − ∫ γ [ a , x ] F ( u ) ⋅ d u t = lim t → 0 1 t ∫ γ [ x , x + t v ] F ( u ) ⋅ d u {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}} lim t → 0 1 t ∫ 0 t F ( u ( s ) ) ⋅ u ′ ( s ) d s = d d t ∫ 0 t F ( x + s v ) ⋅ v d s | t = 0 = F ( x ) ⋅ v {\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} } f ( x ) := ∫ γ [ a , x ] F ( u ) ⋅ d u {\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} } ∂ f ( x ) ∂ v = ∂ v f ( x ) = D v f ( x ) = F ( x ) ⋅ v {\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} } ∇ f ( x ) = F ( x ) {\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )}
逆原理の例 この逆原理の威力を示すために、重要な 物理的 影響を持つ例を挙げます。 古典電磁気学 では、 電気力は 経路に依存しない力です。つまり、 電場 内で元の位置に戻った粒子に与えられた 仕事 はゼロです（変化する 磁場 が存在しないと仮定した場合）。
したがって、上記の定理は、電気 力場 F e : S → R 3 が保存的であることを意味する（ここで Sは R 3 の 開路 連結 部分集合であり 、 電荷 分布を含む ）。上記の証明の考え方に従って、 S に何らかの参照点 a を設定し、関数 U e : S → R を次のように
定義することができる。
U e ( r ) := − ∫ γ [ a , r ] F e ( u ) ⋅ d u {\displaystyle U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }
上記の証明を用いると、 U e は 明確に定義され、微分可能であり、 F e = −∇ U e であることがわかります（この式から、勾配定理を用いて、保存力によって行われる仕事を計算するためのよく知られた式、 W = −Δ U を容易に導くことができます）。この関数 U e は、 S における電荷系の 静電ポテンシャルエネルギー （ポテンシャル零点 a を基準とします）と呼ばれることがよくあります 。多くの場合、領域 Sは 無限大 である と仮定され、参照点 a は「無限大」とされますが、これは極限法を用いて厳密に 行うことができます 。この関数 U e は 、多くの物理システムの解析に欠かせないツールです。
一般化 ベクトル解析の重要な定理の多くは、多様体上の微分形式の積分に関する記述へと簡潔に一般化される 。 微分 形式 と 外 微分 という言語において 、勾配定理は次のように述べている
。
∫ ∂ γ ϕ = ∫ γ d ϕ {\displaystyle \int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi }
微分可能曲線 γ ⊂ R n 上で定義された任意の 0 形式 ϕ に対して(ここで、 γ の境界上での ϕ の積分は、 γ の端点における ϕ の評価であると理解されます )。
この記述と 一般化されたストークスの定理 との間の驚くべき類似性に注目してください。一般化されたストークスの定理は、ある 向き付け可能な 多様体 Ω の 境界 上での 任意のコンパクトに支えられた 微分形式 ωの積分は、 Ω 全体上での 外微分 dω の 積分に等しい 、すなわち、
∫ ∂ Ω ω = ∫ Ω d ω {\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega }
この強力なステートメントは、1 次元多様体上で定義された 1 形式から任意の次元の多様体上で定義された微分形式への勾配定理の一般化です。
勾配定理の逆の定理は、多様体上の微分形式に関しても強力な一般化を持つ。特に、 ω が 縮約可能領域 上で定義された形式であり、任意の閉多様体上の ω の積分がゼロであるとする。すると、 ω = d ψ となる 形式 ψ が存在する。したがって、縮約可能領域上では、すべての 閉形 式は 完全となる。この結果は ポアンカレの補題 によって要約される 。
参照
参考文献
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505054359476a4465d70c6f9b60fa763f7c12b2a)
![{\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c805a8f1433ad8eed3904fe6b0ca4266728ea3e1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89a96d6facfd26cb08b40eb11c5ddd5d7eb5c54)
![{\displaystyle U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b23954ce1b0ea58ce87a6b7f1da7538c6ca224b)
