対数微分

数学、特に微積分と複素解析において、関数 $f$ の対数微分は式 $f'$ が $f$ の微分であることによって定義されます。^[1]直感的には、これは $f$ の微小な相対的変化、つまり $f$ の微小な絶対的変化、つまり $f' を$ $f$ の現在の値でスケーリングしたものになります。 ${\frac {f'}{f}}$

$f$ が実変数 $x$ の関数 $f (x)$ であり、実数の正の値をとる場合、これは $ln$ $f$ $($ $x$ $)$ の導関数、つまり $f$ の自然対数に等しい。これは連鎖律から直接導かれる。^[1] ${\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}$

基本的なプロパティ

実対数の多くの性質は、関数が正の実数に値を取らない場合でも、対数微分にも当てはまります。例えば、積の対数は因数の対数の和なので、次の式が成り立ちます。したがって、正の実数値関数の場合、積の対数微分は因数の対数微分の和です。しかし、積の微分に関するライプニッツの法則を用いて、次の式を得ることもできます。したがって、あらゆる関数において、積の対数微分は因数の対数微分の和です（因数が定義されている場合）。 $(\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.$ ${\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.$

これから導かれる帰結として、関数の逆数の対数微分は、その関数の対数微分の否定である。これは、正の実数の逆数の対数が、その数の対数の否定であるのと同じである。^[^要出典^] ${\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},$

より一般的には、商の対数微分は、被除数と除数の対数微分の差です。商の対数は、被除数と除数の対数の差です。 ${\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},$

別の方向に一般化すると、（実指数が一定の）べき乗の対数微分は、指数と底の対数微分との積になります。これは、べき乗の対数が指数と底の対数の積であるのと同じです。 ${\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},$

$最後に、 u$ の指数関数の対数微分は、 $u$ の微分です。これは、関数の指数関数の対数が元の関数であるのと同じです。 ${\frac {(e^{u})'}{e^{u}}}={\frac {u'e^{u}}{e^{u}}}=u',$

要約すると、微分と対数には、積の法則、逆数の法則、商の法則、およびべき乗の法則（対数恒等式のリストと比較）があり、各規則のペアは対数微分を通じて関連しています。

対数微分を用いた常微分計算

$対数微分は、$ 積の法則を必要とする微分計算を簡素化しながら、同じ結果をもたらします。手順は以下のとおりです。f ( x ) = u ( x ) v ( x ) と仮定し $、 f' (x) を計算したいと$ $します。f'$ = $u'v + v'u と直接$ 計算する代わりに、対数微分を計算します。つまり、以下の式を計算します。 ${\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.$

$をf$ で乗算すると $f'$ が計算されます。 $f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).$

$この手法は、 f が$ 多数の因数の積である場合に最も有用です。この手法を用いると、各因数の対数微分を計算し、それらを合計して $fに掛けることで$ $f'$ を計算することができます。

例えば、の対数微分を計算すると、 $(e^{x})^{2}(x-2)^{3}(x-3)(x-1)^{-1}$ $2+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}.$

統合要因

対数微分の概念は、一次微分方程式の積分因子法と密接に関連している。演算子として、M をある関数G ( x ) による乗算演算子と表記する。すると、積の法則により、M は次のように表記できる。ここで、M は対数微分による乗算演算子を表す。 $D={\frac {d}{dx}}$ $M^{-1}DM$ $D+M^{*}$ $M^{*}$ ${\frac {G'}{G}}$

実際には、のような演算子が与えられ、関数hについてfが与えられた場合の方程式を解きたいとします。これは、 Fの任意の不定積分に対してが解となるように解くことに帰着します。^[^要出典^] $D+F=L$ $L(h)=f$ ${\frac {G'}{G}}=F$ $\exp \textstyle (\int F)$

複素解析

与えられた式はより広く適用できる。例えば、f ( z )が有理型関数である場合、 fが零点も極も持たないzのあらゆる複素数値において意味を持つ。さらに、零点または極において対数微分は、特定のケースを用いて容易に解析できるような振る舞いをする。

z n

ここでn は整数で、 $n \neq 0 で$ ある。対数微分はとなり、 f が有理型であるとき、 fの対数微分における特異点はすべて単極であり、n位の零点からの留数n 、 n位の極からの留数 − nを持つという一般的な結論を導くことができる。議論の原理を参照のこと。この情報はしばしば路面積分で利用される。^[2]^[3]^[^要検証^] $n/z$

ネヴァンリンナ理論の分野において、対数微分の近接関数は元の関数のネヴァンリンナ特性に対して小さいという重要な補題がある。^[4]^[^{検証が必要}^] $m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))$

乗法群

対数微分の使用の背景には、GL _{1 、すなわち}実数体またはその他の乗法群に関する2つの基本的な事実があります。微分作用素は拡大（Xを定数aXに置き換える）に対して不変です。そして、微分形式も同様に不変です。したがって、 GL _{1への関数}Fについては、式は不変形式の引き戻しとなります。^[^要出典^] $X{\frac {d}{dX}}$ ${\frac {dx}{X}}$ ${\frac {dF}{F}}$

例

指数関数的増加と指数関数的減少は、対数微分が一定であるプロセスです。^{[引用が必要]}
数理ファイナンスにおいて、ギリシャ語の λは、デリバティブ価格の原資産価格に対する対数微分です。^[要出典]
数値解析において、条件数は入力の相対的変化に対する出力の微小な相対的変化であり、したがって対数微分比である。^[要出典]
ディガンマ関数、および拡張によるポリガンマ関数は、ガンマ関数の対数微分によって定義されます。

参照

微分の一般化 – 微分積分学の基本構成
対数微分 – 数学的微分法
関数の弾力性
積分

参考文献

^ ab 「対数微分 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2012年12月7日. 2021年8月12日閲覧。
^ ゴンザレス、マリオ (1991-09-24). 古典複素解析. CRC Press. ISBN 978-0-8247-8415-7。
^ 「対数剰余 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2020年6月7日. 2021年8月12日閲覧。
^ 張冠侯 (1993年1月1日). 整関数と有理型関数の理論：欠損値、漸近値、特異方向. アメリカ数学会. p. 18. ISBN 978-0-8218-8764-6. 2021年8月12日閲覧。

[:0-1] 「対数微分 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2012年12月7日. 2021年8月12日閲覧。

[2] ゴンザレス、マリオ (1991-09-24). 古典複素解析. CRC Press. ISBN 978-0-8247-8415-7。

[3] 「対数剰余 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2020年6月7日. 2021年8月12日閲覧。

[4] 張冠侯 (1993年1月1日). 整関数と有理型関数の理論：欠損値、漸近値、特異方向. アメリカ数学会. p. 18. ISBN 978-0-8218-8764-6. 2021年8月12日閲覧。