n項テスト

数学において、n次発散テスト^[1]は、無限級数の発散を調べるための簡単なテストです。

または限界が存在しない場合は、発散します。 $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

多くの著者はこのテストに名前を付けないか、より短い名前を付けています。^[2]

級数が収束するか発散するかをテストする場合、このテストは使いやすさから最初にチェックされることが多いです。

p 進解析の場合、項テストは、非アルキメデスの超距離三角形不等式による収束の必要かつ十分な条件です。

使用法

より強い収束判定とは異なり、項判定はそれ自体では級数が収束することを証明できません。特に、判定の逆は真ではありません。代わりに言えることは、以下のことだけです。

収束する可能性もあれば、しない可能性もあります。言い換えれば、テストが決定的でない場合です。 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$

調和級数は、その項が極限でゼロに近づく発散級数の典型的な例である。^[3]p 級数のより一般的なクラスは、 $n\rightarrow \infty$

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},

テストの可能性のある結果の例を示します。

このテストは、通常、逆否定形式で証明されます。

収束するなら、 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$

s _{n が}級数の部分和である場合、級数が収束するという仮定は、

\lim _{n\to \infty }s_{n}=L

ある数Lに対して^[4]

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=L-L=0.

級数が収束すると仮定すると、コーシーの収束テストに合格することを意味する。つまり、任意のNに対して、 $\varepsilon >0$

\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}\right|<\varepsilon

n > Nかつp ≥ 1の場合には成立する。p = 1と設定すると^[5]の主張が回復する。

\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.

項テストの最も単純なバージョンは、実数の無限級数に適用されます。上記の2つの証明は、コーシー基準または極限の線形性を適用することで、他の任意のノルムベクトル空間^[6] または加法的に記述された任意のアーベル群でも機能します。

^ カチョル p.336
^ 例えば、ルディン（p.60）は対偶形式のみを述べており、その名前は挙げていない。ブラベネック（p.156）はそれを単にn項テストと呼んでいる。スチュワート（p.709）はそれを発散テストと呼んでいる。スピヴァク（p.473）はそれを消失条件と呼んでいる。
^ ルディン p.60
^ ブラベネク p.156;スチュワート p.709
^ Rudin (pp.59-60) は、コーシー基準の異なる記述から始めて、この証明の考え方を使用しています。
^ ハンセン p.55; Șuhubi p.375

ブラベネック、ロバート (2005). 『実解析研究のためのリソース』 MAA. ISBN 0883857375。
ハンセン、ヴァン・ルンズガード (2006)。関数解析: ヒルベルト空間に入る。世界科学。ISBN 9812565639。
カチョル、ヴィエスワヴァ、マリア・ノヴァク (2003). 『数学解析の問題』アメリカ数学会. ISBN 0821820508。
ルディン、ウォルター(1976) [1953].数学解析の原理（第3版）. マグロウヒル. ISBN 0-07-054235-X。
スピヴァック、マイケル（2008年）『微積分学』（第4版）ヒューストン、テキサス州：Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1。
スチュワート、ジェームズ (1999).微積分学：超越関数初期版（第4版）. ブルックス/コール. ISBN 0-534-36298-2。
Șhubi, Erdoğan S. (2003).関数解析. Springer. ISBN 1402016166。