総微分

Type of derivative in mathematics

数学において、関数fのある点における全微分とは、関数のその点近傍における、その引数に関する最良の線形近似値です。偏微分とは異なり、全微分は関数を単一の引数だけでなく、すべての引数に関して近似します。多くの場合、これはすべての偏微分を同時に考えることと同じです。「全微分」という用語は、主にf が複数の変数の関数である場合に使用されます。これは、f が単一の変数の関数である場合、全微分はその関数の通常の微分と同じになるためです。^{[1] : 198–203}

線形写像としての全微分

を開集合とする。関数が点において（全）微分可能であるとは、 次 式を満たす線型変換が存在することを意味する。 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.}$

線型写像 はにおけるの（全）微分または（全）微分と呼ばれます。全微分の他の表記法には、や などがあります。関数が（全）微分可能であるとは、その定義域内のあらゆる点で全微分が存在することを意味します。 ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D_{a}f}$ ${\displaystyle Df(a)}$

概念的には、全微分の定義は、点 におけるが への最良の線形近似であるという考えを表現しています。これは、 によって決定される線形近似の誤差を定量化することで正確に表すことができます。そのためには、次のように書きます。 ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

ここで は近似値の誤差に等しい。 における の導関数が であると言うことは、次の文と等価である。 ${\displaystyle \varepsilon (h)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),}$

ここで、 は小文字のoで始まる表記であり、が のときよりもはるかに小さいことを示しています。全微分は、誤差項が のように小さくなる唯一の線形変換であり、これが への最良の線形近似であるという意味で用いられます。 ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \varepsilon (h)}$ ${\displaystyle \lVert h\rVert }$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$

関数 が微分可能であるのは、その各成分が微分可能である場合のみであるため、全微分を研究する際には、多くの場合、余領域において一度に1つの座標について作業することが可能です。しかし、領域内の座標については同じことが当てはまりません。が で微分可能である場合、各偏微分はで存在します。逆は成り立ちません。 の偏微分はすべて で存在するものの、 では が微分不可能な場合があります。これは、関数 が で非常に「粗い」、つまりその挙動を座標方向の挙動で適切に記述できないほど極端であることを意味します。 がそれほど粗くない場合、このようなことは起こりません。より正確には、におけるのすべての偏微分が存在し、 の近傍で連続である場合、 はで微分可能です。この場合、さらに の全微分 は、その点における偏微分のヤコビ行列に対応する線形変換です。 ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

微分形式としての全微分

対象とする関数が実数値の場合、全微分は微分形式を用いて書き直すことができます。例えば、 が変数 の微分可能関数であるとします。におけるの全微分は、そのヤコビ行列（この場合は行行列）を用いて表すことができます。 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}$

全微分の線形近似の性質は、

${\displaystyle \Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

は小さなベクトル（ただし は転置を表すので、このベクトルは列ベクトルとなる）であり、 ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.}$

経験的に、これは、座標方向の無限小増分であれば、 ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.}$

実際、ここでは単なる記号でしかない無限小の概念は、広範な数学的構造を備えることができます。微分形式理論などの手法は、無限小増分 のようなオブジェクトの解析的かつ代数的な記述を効果的に与えます。例えば、はベクトル空間 上の線型関数として内接させることができます。のベクトルを評価することは、番目の座標方向にどれだけ「向いている」かを測定します。全微分は線型関数の線型結合であるため、それ自体が線型関数です。評価は、においてによって決まる方向に がどれだけ向いているかを測定し、この方向が勾配です。この観点から、全微分は外微分の一例となります。 ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle df_{a}(h)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$

がベクトル値関数、つまり であると仮定します。この場合、の成分は実数値関数であるため、微分形式 が関連付けられます。全微分はこれらの形式を単一のオブジェクトに統合するため、ベクトル値微分形式のインスタンスとなります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df_{i}}$ ${\displaystyle df}$

全微分に関する連鎖律

連鎖律は、全微分に関して特に簡潔な記述を持つ。これは、2つの関数 と に対して、合成関数の全微分が を満たす ことを意味している。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.}$

との全微分がそれぞれのヤコビ行列と同一視される場合、右辺の合成は単なる行列の乗算となります。これは、合成関数の引数間の本質的に任意の依存関係を考慮することを可能にするため、応用において非常に有用です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

例: 直接依存関係のある微分

f が2変数xとyの関数であるとする。もしこれら2変数が独立で、fの定義域が であれば、 fの挙動はx 方向とy方向の偏微分によって理解できる。しかし、状況によってはxとy が従属関係にある場合もある。例えば、 fが曲線 に制約されている場合などである。この場合、実際に関心があるのは合成関数 の挙動である。 fの xに関する偏微分は、xの変化に対するfの真の変化率を与えない。なぜなら、 x が変化すると必然的にy も変化するからである。しかし、全微分に関する連鎖律はこのような依存性を考慮に入れている。 と書くと、連鎖律は次のようになる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle f(x,y(x))}$ ${\displaystyle \gamma (x)=(x,y(x))}$

${\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.}$

全微分をヤコビ行列で表すと次のようになります。

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dx}{dx}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dy}{dx}}(x_{0}).}$

読みやすさのために評価を省略すると、次のように書くこともできる。 ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}.}$

これにより、 の偏導関数との導関数を用いた の導関数の簡単な式が得られます。 ${\displaystyle f(x,y(x))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y(x)}$

例えば、

${\displaystyle f(x,y)=xy.}$

fのxに対する変化率は通常、 fのxに対する偏微分である。この場合、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$

しかし、yがxに依存する場合、偏微分はyが固定であると仮定しているため、 xの変化に対するfの真の変化率を与えない。次の直線に制約されていると仮定する。

${\displaystyle y=x.}$

それから

${\displaystyle f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}$

そしてfのxに関する全微分は

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}$

これは偏微分 と等しくないことがわかります。しかし、 yをxに代入する代わりに、上記の連鎖律を用いることもできます。 ${\displaystyle \partial f/\partial x}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$

例: 間接的な依存関係を持つ微分化

間接的な依存関係を排除するために代入法を用いることはよくあるが、連鎖律はより効率的で一般的な手法を提供する。が時間と、それ自体が時間に依存する変数の関数であるとする。すると、の時間微分は ${\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.}$

連鎖律は、この導関数を関数の偏導関数と時間導関数で表現します。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}$

この式は物理学においてラグランジアンのゲージ変換によく用いられます。これは、時間関数の全時間微分と一般化座標のみが異なる2つのラグランジアンが、同じ運動方程式を導くためです。興味深い例として、ホイーラー・ファインマン時間対称理論に関する因果律の解決が挙げられます。括弧内の演算子（上記の最後の式）は、（ に関して）全微分演算子とも呼ばれます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

例えば、の全微分は ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}$

ここでは、項自体は独立変数に直接依存しないため、項は存在しません。 ${\displaystyle \partial f/\partial t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$

全微分方程式

全微分方程式とは、全微分を用いて表現される微分方程式である。外微分は、技術的な意味を付与できる意味では座標に依存しないため、このような方程式は内在的かつ幾何学的である。

方程式系への応用

経済学では、全微分は連立方程式の文脈で現れるのが一般的である。^{[1] : pp. 217–220}例えば、単純な需給システムでは、需要される製品の量q を、その価格pと消費者所得I（後者は外生変数）の関数Dとして規定し、生産者による供給量を、その価格と2つの外生資源コスト変数rとwの関数Sとして規定する。結果として得られる連立方程式は、

${\displaystyle q=D(p,I),}$

${\displaystyle q=S(p,r,w),}$

変数pとqの市場均衡値を決定します。たとえば、rに関するpの全導関数は、外生変数rに対する市場価格の反応の符号と大きさを示します。示されたシステムでは、この文脈では比較静的導関数としても知られる合計 6 つの全導関数が存在します：dp / dr、dp / dw、dp / dI、dq / dr、dq / dw、およびdq / dI。全導関数は、連立方程式を全微分し、たとえばdrで割り、 dq / drとdp / drを未知数として扱い、 dI = dw = 0と設定し、通常はクラメールの規則を使用して、 2 つの全微分方程式を同時に解くことで求められます。 ${\displaystyle dp/dr}$

参照

• 方向微分 – 関数の瞬間的な変化率
• フレシェ微分 - ノルム空間上で定義された微分 - 全微分の一般化
• ガトー微分 – 方向微分の概念の一般化
• 微分の一般化 – 微分積分学の基本構成
• 勾配#全微分 – 多変数微分（数学）

参考文献

1. Chiang, Alpha C. (1984). 『数理経済学の基礎的手法（第3版）』McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7。
2. アブラハム, ラルフ;マースデン, JE ;ラティウ, チューダー(2012). 多様体、テンソル解析、そしてその応用. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 78. ISBN 9781461210290。

• ADポリアニンとVFザイツェフ著『常微分方程式の厳密解ハンドブック（第2版）』チャップマン＆ホール/CRCプレス、ボカラトン、2003年。ISBN 1-58488-297-2
• thesaurus.maths.orgの全微分より

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「トータル・デリバティブ」。マスワールド。
• ロナルド・D・クリズ（2007）バージニア工科大学の隆起面と接平面を用いた2次元スカラー関数の全微分を想定

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