Indefinite integral
の 傾き 場。 任意の定数 C を 変化させることで生成できる無限の解のうち 3 つを示しています 。 F ( x ) = x 3 3 − x 2 2 − x + C {\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+C} 微積分学 において 、 関数 f の原始 微分 、逆微分 、 原始関数 、 原始積分 、または 不定積分 [注 1]とは、 微分可能な関数 F のことで、 その 微分 は元の関数 f に等しい。これは記号的に F' = f と表すことができる 。 [1] [2] 原始微分を求める過程は 原始微分 （または 不定積分 ）と呼ばれ、その逆の操作は 微分 と呼ばれ、微分を求める過程である。原始微分は F や G のように大文字の ローマ字 で表記されることが多い。
不定理は、微積分学の第二基本定理 を通じて 定積分 と関連しています 。つまり、リーマン積分可能な 閉区 間上の関数の定積分は、区間の端点で評価された不定理の値の差に等しくなります。
物理学 では、反微分は 直線運動 の文脈で登場する（例えば、 位置 、 速度 、 加速度 の関係を説明するとき ）。 [3] 反微分の概念の離散的な同等物は 反 差分 で ある。
例 関数は の 原始微分です。 なぜなら の導関数 は だからです。 定数 の原始微分は ゼロ なので 、には 、 など、 無数 の原始微分が あります。 したがって、 のすべての原始微分は、 における C の値を変化させることによって得られます 。ここで、 C は積分定数 と呼ばれる任意の定数です 。 与えられた関数の原始微分の グラフは 互いに 垂直方向に並進しており、各グラフの垂直位置は C の値 に依存します。 F ( x ) = x 3 3 {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}} f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} x 3 3 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}} x 2 {\displaystyle x^{2}} x 2 {\displaystyle x^{2}} x 3 3 , x 3 3 + 1 , x 3 3 − 2 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2} x 2 {\displaystyle x^{2}} F ( x ) = x 3 3 + C {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+C}
より一般的には、 n ≠ −1 、および n = −1 の 場合、 べき乗関数 は逆微分を持ちます 。 f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} F ( x ) = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+C} F ( x ) = ln | x | + C {\displaystyle F(x)=\ln |x|+C}
物理学 では、 加速度 の積分は 速度 と定数を足したものになります 。定数項は速度の微分をすると失われる初期速度項です。定数項の微分はゼロになるからです。このパターンは、運動（位置、速度、加速度など）の積分や微分にも当てはまります。 [3]このように、積分は加速度、速度、 変位 の関係式を生み出します 。 ∫ a d t = v + v 0 ∫ v d t = s + s 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\int a\,dt&=v+v_{0}\\\int v\,dt&=s+s_{0}\end{aligned}}}
用途と特性 微積分の基本定理 を使用して、 定積分を計算する ために原始微分を使用できます。F が 区間 上の 連続関数 f の原始微分である 場合 、次のようになります。 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}
このため、与えられた関数 f の無限個の原始関数はそれぞれf の「不定積分」と呼ばれ 、境界のない積分記号を使用して表すことができます。 ∫ f ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)\,dx.}
Fが f の原始関数であり 、関数 f が ある区間上で定義されている 場合、 f の他のすべての原始関数 G は F と定数だけ 異なります。つまり、任意の x に対してとなる数 c が存在するということです 。c は 積分定数 と呼ばれます。F の 定義 域が2つ以上の（開）区間の 互いに素な和集合 である場合 、区間ごとに異なる積分定数を選ぶことができます。例えば、 G ( x ) = F ( x ) + c {\displaystyle G(x)=F(x)+c} F ( x ) = { − 1 x + c 1 x < 0 − 1 x + c 2 x > 0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}}
は、その自然領域における 最も一般的な反微分である。 f ( x ) = 1 / x 2 {\displaystyle f(x)=1/x^{2}} ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) . {\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty ).}
任意の連続 関数 f には原始関数が存在し、その原始関数 Fの一つは、 f の定義域内の任意の a に対して 、上限を可変とする f の定積分によって与えられます。 下限を変化させると、他の原始関数が生成されますが、必ずしもすべての原始関数が生成されるわけではありません。これは、 微積分学の基本定理 の別の定式化です。 F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt~,}
初等関数 には、その原始関数が存在するにもかかわらず、初等関数で表現できないものが 数多く存在します。初等関数には、 多項式 、 指数関数 、 対数 、 三角関数、 逆三角関数 、 そしてそれらの合成と 線型結合 による結合が含まれます。これらの 非初等積分 の例としては、
誤差 関数 ∫ e − x 2 d x , {\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,} フレネル 関数 ∫ sin x 2 d x , {\displaystyle \int \sin x^{2}\,dx,} 正弦 積分 ∫ sin x x d x , {\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}\,dx,} 対数 積分関数 と ∫ 1 log x d x , {\displaystyle \int {\frac {1}{\log x}}\,dx,} 2年生の夢 ∫ x x d x . {\displaystyle \int x^{x}\,dx.} より詳しい議論については、 微分ガロア理論 も参照してください。
統合の技術 基本関数の原始積分を求めることは、その導関数を求めることよりもかなり難しい場合が多い（実際、不定積分を計算するための定義済みの方法は存在しない）。 [4] 一部の基本関数では、他の基本関数の原始積分を求めることが不可能である。詳細については、 「基本関数 と 非基本積分」 を参照のこと。
原始導関数を求めるための特性や手法は数多く存在します。例えば、以下のようなものがあります。
積分の線形性 （ 複雑な積分をより単純な積分に分解する） 置換積分は 、 三角関数の恒等式 や 自然対数と組み合わせられることが多い。 逆 連鎖律法 （置換積分の特殊なケース） 部分積分 （関数の積を積分する） 逆関数の積分 （可逆かつ連続な関数 fの逆関数 f −1 の原始関数を、 f −1 とf の原始関数を 用いて 表す式 ）。 積分における部分分数 の法（これにより、すべての 有理関数 （2つの多項式の分数） を積分できる） リッシュ アルゴリズム 多重積分のための追加テクニック（例えば、 二重積分 、 極座標 、 ヤコビ 行列、 ストークスの定理を 参照） 数値積分（ exp(− x 2 ) の場合のように、基本的な原始積分が存在しない場合に定積分を近似する手法 ） 積分関数の代数的操作（置換積分などの他の積分手法を使用できるようにするため） 繰り返し積分のコーシー公式 （関数の n 倍の不定積分を計算する） ∫ x 0 x ∫ x 0 x 1 ⋯ ∫ x 0 x n − 1 f ( x n ) d x n ⋯ d x 2 d x 1 = ∫ x 0 x f ( t ) ( x − t ) n − 1 ( n − 1 ) ! d t . {\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,dx_{n}\cdots \,dx_{2}\,dx_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,dt.} コンピュータ代数システムは、上記の記号処理に必要な作業の一部またはすべてを自動化するために使用できます。これは、代数処理が非常に複雑または長時間にわたる場合に特に便利です。既に導出された積分は、 積分表 で参照できます 。
非連続関数の 非連続関数は原始微分を持つことがあります。この分野にはまだ未解決の問題が残っていますが、以下のことが分かっています。
関数の定義域が開区間であると仮定します。
関数 f が 不変積分を持つための必要条件は、 f が 中間値性を 持つことであるが、これは十分条件ではない 。つまり、 f の定義域の部分区間を [ a , b ] とし、 y を f ( a ) と f ( b ) の間の任意の実数とすると、 a と b の間に c が 存在し、 f ( c ) = y となる。これは ダルブーの定理 の帰結である 。 f の不連続点の集合は、 乏しい集合 でなければならない。この集合は、 F-シグマ 集合でもある （あらゆる関数の不連続点の集合はこの型でなければならないため）。さらに、任意の乏しいF-シグマ集合に対して、与えられた集合をその不連続点の集合とする、不定積分を持つ関数 f を 構成することができる。 f が反微分を持ち、 定義域の閉有限区間で 有界であり、 ルベーグ測度 0 の不連続点の集合を持つ場合 、ルベーグの意味で積分することによって反微分を求めることができる。実際、 ヘンストック・クルツワイル積分 のようなより強力な積分を用いると、反微分が存在するすべての関数は積分可能となり、その一般積分はその反微分と一致する。 f が 閉区間 上で 逆微分 F を持つ場合、 平均値定理 で指定される サンプル点を任意の 分割方法で選択すると 、対応するリーマン 和は 値 に収束します 。 しかし、 f が有界でない場合、または fが有界であっても f の不連続点集合が 正のルベーグ測度を持つ場合、サンプル点の選択を変えると、 分割がどれほど細かくても、リーマン和の値が大きく異なる可能性があります。以下の例4を参照してください。 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b , {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,} x i ∗ ∈ [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]} F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle F(b)-F(a)} ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) ( x i − x i − 1 ) = ∑ i = 1 n [ F ( x i ) − F ( x i − 1 ) ] = F ( x n ) − F ( x 0 ) = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}} x i ∗ {\displaystyle x_{i}^{*}}
いくつかの例 機能 f ( x ) = 2 x sin ( 1 x ) − cos ( 1 x ) {\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)} は 連続ではない が、不変である。 f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} x = 0 {\displaystyle x=0} F ( x ) = x 2 sin ( 1 x ) {\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}
ここで、 f は有限閉区間で有界であり、0 でのみ不連続である ため、積分によって原始微分 F を得ることができます 。 F ( 0 ) = 0 {\displaystyle F(0)=0} F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt} の 関数
は で連続ではないが、 で 不変である 。例1とは異なり、 f ( x ) は 0 を含む任意の区間で有界ではないため、リーマン積分は定義されない。 f ( x ) = 2 x sin ( 1 x 2 ) − 2 x cos ( 1 x 2 ) {\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)} f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} x = 0 {\displaystyle x=0} F ( x ) = x 2 sin ( 1 x 2 ) {\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)} F ( 0 ) = 0 {\displaystyle F(0)=0} 例1の関数 f ( x )を関数 F の原始関数とし、 関数
F が 開区間の 稠密 可算 部分 集合である 場合、関数 g には
原始関数が存在する
。g の不連続点の集合は 、まさに集合 となる。g は 有限閉区間で有界であり、不連続点の集合の測度は 0 であるため 、原始関数 G は積分によって求めることができる。 { x n } n ≥ 1 {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}} ( − 1 , 1 ) , {\displaystyle (-1,1),} g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ f ( x − x n ) 2 n {\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}} G ( x ) = ∑ n = 1 ∞ F ( x − x n ) 2 n . {\displaystyle G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.} { x n } n ≥ 1 {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}} を開区間の 稠密 可算 部分集合 とする。 どこでも連続な厳密増加関数を考える。 次が示される。 { x n } n ≥ 1 {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}} ( − 1 , 1 ) . {\displaystyle (-1,1).} F ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n ( x − x n ) 1 / 3 . {\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.} F ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 3 ⋅ 2 n ( x − x n ) − 2 / 3 {\displaystyle F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}} 図1. 図2. 級数が収束するすべての値 xに対して、 F ( x ) のグラフは他のすべての x の値において垂直接線を持つ 。特に、グラフは集合 内のすべての点において垂直接線を持つ 。 { x n } n ≥ 1 {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}
さらに、導関数が定義されているすべての x に対して 、逆関数は どこでも微分可能であり
、 F ( x ) ≥ 0 {\displaystyle F(x)\geq 0} G = F − 1 {\displaystyle G=F^{-1}} g ( x ) = G ′ ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=G'(x)=0}
区間内で稠密な 集合の任意の x に対して 、 g は原始微分 G を持つ。一方、 { F ( x n ) } n ≥ 1 {\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}} [ F ( − 1 ) , F ( 1 ) ] . {\displaystyle [F(-1),F(1)].} ∫ F ( − 1 ) F ( 1 ) g ( x ) d x = G F ( 1 ) − G F ( − 1 ) = 2 , {\displaystyle \int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,dx=GF(1)-GF(-1)=2,}
の任意の分割に対して 、リーマン和のサンプル点を集合 から選ぶことができ 、和の値が 0 になるからです。したがって、 g には正のルベーグ測度の不連続点の集合があります。右の図 1 は、 g ( x ) のグラフの近似値を示しています。ここで 、級数は 8 項に切り捨てられています。図 2 は、やはり 8 項に切り捨てられた、反微分 G ( x ) の近似値のグラフを示しています。一方、リーマン積分を ルベーグ積分 に置き換えると、 ファトゥの補題 または 優勢収束定理から、その文脈では g が微積分の基本定理を満たすことが わかります。 [ F ( − 1 ) , F ( 1 ) ] {\displaystyle [F(-1),F(1)]} { F ( x n ) } n ≥ 1 {\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}} { x n = cos ( n ) } n ≥ 1 {\displaystyle \{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}} 例3と例4では、関数 g の不連続点の集合は有限開区間においてのみ稠密である。 しかし、これらの例は、実数直線上全体で稠密な不連続点の集合を持つように簡単に修正できる 。とする と、 不連続点の稠密な集合は上であり 、不定積分は ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).} ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} λ ( x ) = a + b 2 + b − a π tan − 1 x . {\displaystyle \lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.} g ( λ ( x ) ) λ ′ ( x ) {\displaystyle g(\lambda (x))\lambda '(x)} ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} G ⋅ λ . {\displaystyle G\cdot \lambda .} 例5と同様の方法を用いて、例4の g を修正し、すべての有理数 において がゼロになるようにすることができます 。 正規分割上の左辺または右辺のリーマン和の極限として定義される リーマン積分の単純なバージョンを用いると、 a と bが両方とも有理数である場合には、そのような関数 g の区間上の積分 は ではなく 0 となることがわかります 。したがって、微積分の基本定理は見事に破綻します。 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} G ( b ) − G ( a ) {\displaystyle G(b)-G(a)} 反微分を持つ関数であっても、リーマン積分可能ではない場合がある。 ボルテラ関数 の微分がその一例である。
もし なら 、 。 d d x f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)} ∫ g ( x ) d x = f ( x ) + C {\displaystyle \int g(x)dx=f(x)+C} ∫ 1 d x = x + C {\displaystyle \int 1dx=x+C} ∫ a d x = a x + C {\displaystyle \int a\ dx=ax+C} ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ; n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1} ∫ sin x d x = − cos x + C {\displaystyle \int \sin {x}\ dx=-\cos {x}+C} ∫ cos x d x = sin x + C {\displaystyle \int \cos {x}\ dx=\sin {x}+C} ∫ sec 2 x d x = tan x + C {\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\ dx=\tan {x}+C} ∫ csc 2 x d x = − cot x + C {\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\ dx=-\cot {x}+C} ∫ sec x tan x d x = sec x + C {\displaystyle \int \sec {x}\tan {x}\ dx=\sec {x}+C} ∫ csc x cot x d x = − csc x + C {\displaystyle \int \csc {x}\cot {x}\ dx=-\csc {x}+C} ∫ d x x = ln | x | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C} ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}\ dx=e^{x}+C} ∫ a x d x = a x ln a + C ; a > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle \int a^{x}\ dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1} ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin ( x a ) + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ dx=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C} ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ( x a ) + C {\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ dx={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C}
参照
注記 ^反微分は 一般積分 、あるいは 積分 とも呼ばれる 。後者の用語は一般的なもので、不定積分（反微分）だけでなく 定積分も指す。 積分 という語が 追加の指定なしに使用される場合、読者は文脈からそれが定積分を指すのか不定積分を指すのかを推論するものとする。著者によっては、関数の不定積分をその無限個の反微分の集合として定義する。また、その集合から任意に選択された要素として定義する人もいる。この記事では後者のアプローチを採用する。英語の A レベル数学の教科書には、 完全原始 という用語が使われている- L. Bostock と S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 。 任意定数を含む微分方程式の解は一般解（あるいは完全原始ということもある）と呼ばれる 。
参考文献
さらに読む カール・R・ストロムバーグ著『古典実解析入門』 、ワズワース、1981年（参照） デイブ・L・レンフロによる導関数の連続性に関する歴史的エッセイ
外部リンク
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dc09aa2f12fedbfbe454d8e86433b2aa341ca0)
![{\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafeab86f1179399f11208ee27a15c76434aed3d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4321d3c55961ff5581fbbab0e33baeeef460cdd9)
![{\displaystyle [F(-1),F(1)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f99ea5d11fcb11397621be19d57bc4811cff8ee)
![{\displaystyle [F(-1),F(1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a5e43972427c5813e949951ef3ee62efbfcc1a)
