三重積則

三重積則は、循環連鎖律、循環関係、循環則、オイラーの連鎖律、あるいは相互性定理とも呼ばれ、^[1] 3つの相互依存変数の偏微分を関連付ける公式です。この規則は熱力学で応用されており、3つの変数はf ( x , y , z ) = 0という形式の関数で関連付けられることが多く、各変数は他の2つの変数の暗黙の関数として与えられます。たとえば、流体の状態方程式は温度、圧力、体積をこのように関連付けます。このような相互に関連する変数x、y、zの三重積則は、暗黙の関数定理の結果に相互性関係を用いることから生まれ、次のように与えられます。

\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1,

ここで、各因子は分子の変数の偏導関数であり、他の 2 つの関数であると考えられます。

三重積定理の利点は、項を並べ替えることで、解析的に評価したり、実験的に測定したり、積分したりすることが難しい偏微分を、扱いやすい偏微分の商に置き換えることができる、様々な置換恒等式を導出できることです。例えば、

\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)=-{\frac {\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}}

この規則の他のさまざまな形式が文献に存在し、これらは変数 { x、y、z } を並べ替えることで導き出すことができます。

導出

非公式な導出は次の通りである。f ( x , y , z ) = 0と仮定する。zをxとyの関数として書き表す。したがって、全微分 dzは

dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)dy

dz = 0の曲線に沿って移動すると仮定します。この曲線はxでパラメータ化されます。したがって、y はx を使って表すことができます。したがって、この曲線上では

dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx

したがって、 dz = 0の式は次のようになる。

0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)\,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,dx

これはすべてのdxに対して成り立つはずなので、項を整理すると次のようになる。

\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)

右辺の導関数で割ると三重積の法則が得られる。

\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1

この証明は、偏微分の存在、正確な微分 dzの存在、 dz = 0となる近傍における曲線の描線の可能性、そして偏微分とその逆数の非零値に関して、多くの暗黙の仮定を置いていることに注意してください。数学的解析に基づく正式な証明であれば、これらの潜在的な曖昧さは排除されるでしょう。

代替導出

関数 $f (x, y, z) = 0$ $（ x$ 、 $y$ 、 $z$ は互いに関数）を仮定する。変数の全微分を書き表す。 $dy を$ $dx$ に代入する。連鎖律を用いると、右辺の $dx$ の係数は1に等しいため、 $dz$ の係数は0でなければならないことがわかる。第2項を減算し、その逆数を乗じると、三重積の法則が得られる。 $dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)dy+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$ $dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz$ $dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left[\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz\right]+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$ $\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)=0$ $\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1.$

短い導出

このセクションはピパードの第5章に基づいています。^[2]

2次元面上の動きに制限された4つの実変数が与えられているとします。そのうち2つが分かれば、残りの2つは一意に（一般的に）決定できます。 $(x,y,z,w)$ $C^{2}$ $\mathbb {R} ^{4}$

特に、任意の 2 つの変数を独立変数として取り、他の 2 つを従属変数とすると、これらすべての偏微分を取ることができます。

命題： $\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}=-1$

証明。は無視できます。すると局所的には曲面はとなります。するとなどとなります。これらを掛け合わせます。 $w$ $ax+by+cz+d=0$ $\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}=-{\frac {b}{a}}$

アプリケーション

例: 理想気体の法則

理想気体の法則は、圧力（P）、体積（V）、温度（T）の状態変数を次のように関連付けています。

PV=nRT

これは次のように書ける。

f(P,V,T)=PV-nRT=0

したがって、各状態変数は他の状態変数の暗黙的な関数として記述できます。

{\begin{aligned}P&=P(V,T)={\frac {nRT}{V}}\\[1em]V&=V(P,T)={\frac {nRT}{P}}\\[1em]T&=T(P,V)={\frac {PV}{nR}}\end{aligned}}

上記の式から、

{\begin{aligned}-1&=\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{V^{2}}}\right)\left({\frac {nR}{P}}\right)\left({\frac {V}{nR}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{PV}}\right)\\[1em]&=-{\frac {P}{P}}=-1\end{aligned}}

幾何学的実現

三重積則の幾何学的実現は、進行波の速度との密接な関係に見出すことができる。

\phi (x,t)=A\cos(kx-\omega t)

右側には時刻t（青の実線）と、その少し後の時刻t +Δ t （破線）における波が示されている。波は伝播するにつれてその形状を維持するため、時刻tにおける位置xの点は、時刻t +Δ tにおける位置x +Δ xの点に対応する。

A\cos(kx-\omega t)=A\cos(k(x+\Delta x)-\omega (t+\Delta t)).

この式は、 k Δ x − ω Δ t = 0の場合にのみすべてのxとtに対して満たされ、位相速度の式が得られる。

v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\omega }{k}}.

三重積則との関連を明らかにするために、時刻tにおける点p ₁と、それに対応する（高さが同じ）時刻t +Δ tにおける点p̄ ₁を考えます。右図に示すように、時刻tにおいて x 座標がp̄ _{1の x 座標と一致する点を}p ₂と定義し、p̄ _2をp ₂の対応する点と定義します。p 1 と p̄ 1 間の距離 Δ xは、_p 2とp̄ ₂間の_距離（緑線）と同じであり、この距離を Δ t で割ると_波の速度が得られます。

Δ xを計算するには、 p ₂で計算された2つの偏微分を考慮する。

\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t={\text{rise from }}p_{2}{\text{ to }}{\bar {p}}_{1}{\text{ in time }}\Delta t{\text{ (gold line)}}

\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)={\text{slope of the wave (red line) at time }}t.

これら2つの偏導関数を割り、傾きの定義（上昇÷下降）を使うと、次の式が得られます。

\Delta x=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}},

ここで負の符号は、波の運動に対してp _{1 が}p ₂より後ろにあることを示している。したがって、波の速度は次のように与えられる。

v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.

Δ t が無限小の場合には、三重積則が成立する。 ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)$

v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.

参照

微分法則 – 関数の微分を計算するための規則
厳密な微分 – 微積分における無限小の一種（三重積の法則の別の導出がある）
積の法則 – 積の微分公式
全微分 – 数学における微分の種類
三重積 – ベクトルとスカラーの三項演算。

参考文献

^ ブランデル、スティーブン、ブランデル、キャサリン・M. (2008).熱物理学の概念（訂正再版）. オックスフォード: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-856770-7。
^ ピパード, AB (1957-01-01). 『古典熱力学の要素：物理学上級者向け』（第1版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-09101-5。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

エリオット, JR; リラ, CT (1999).化学工学熱力学入門（第1版）. プレンティス・ホール. p. 184. ISBN 0-13-011386-7。
カーター、アシュリー・H. (2001).古典的および統計的熱力学. プレンティス・ホール. p. 392. ISBN 0-13-779208-5。

[1] ブランデル、スティーブン、ブランデル、キャサリン・M. (2008).熱物理学の概念（訂正再版）. オックスフォード: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-856770-7。

[2] ピパード, AB (1957-01-01). 『古典熱力学の要素：物理学上級者向け』（第1版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-09101-5。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)