Instantaneous rate of change of the function
多変数微積分学 では 、 方向微分は 関数が特定の点において特定の方向に変化する速度を測定します。 [ 要出典 ]
多変数微分可能スカラー関数 の、与えられた点 xにおける与えられた ベクトル v に沿った 方向微分は、 関数の方向 v から x を通る瞬間的な変化率を表します。
多くの数学の教科書では、方向ベクトルは 正規化 （単位ベクトル）されている、つまりその大きさが1であると仮定しています。これは慣例的なものであり、正しい計算に必須ではありません。方向微分の式を任意のベクトルに適用するには、式をベクトルの大きさで割る必要があります。正規化されたベクトルは、 サーカムフレックス （ハット）記号で表されます 。 ^ {\displaystyle \mathbf {\widehat {}} }
スカラー関数 fのベクトル v （ 正規化さ れている場合は と表記） に対する 点（例えば位置）（ x 、f( x )）での方向微分は、 次のいずれかで表記されます。 v ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } ∇ v f ( x ) = f v ′ ( x ) = D v f ( x ) = D f ( x ) ( v ) = ∂ v f ( x ) = ∂ f ( x ) ∂ v = v ^ ⋅ ∇ f ( x ) = v ^ ⋅ ∂ f ( x ) ∂ x . {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )&=f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )\\&=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )\\&=Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )\\&=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )\\&={\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}\\&=\mathbf {\hat {v}} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}\\&=\mathbf {\hat {v}} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.\\\end{aligned}}}
したがって、これは偏微分 の概念を一般化したものとなり 、変化率は 曲線 座標曲線の1つに沿って取られ、他のすべての座標は一定となる。方向微分は ガトー微分 の特殊なケースである 。
意味 の 等高線図 。黒で勾配ベクトル、オレンジ で方向微分でスケーリングされた 単位ベクトルを示しています 。勾配ベクトルが長いのは、勾配が関数の最大増加率の方向を向いているためです。 f ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}} u {\displaystyle \mathbf {u} } u {\displaystyle \mathbf {u} } スカラー関数 の ベクトル方向
の 方向 微分は、 極限 [1] によって定義される 関数 である。 f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} v = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})} ∇ v f {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}} ∇ v f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h v ) − f ( x ) h | | v | | = 1 | | v | | d d t f ( x + t v ) | t = 0 . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h||\mathbf {v} ||}}=\left.{\frac {1}{||\mathbf {v} ||}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}
この定義は、例えばベクトルのノルム （つまり単位ベクトル）が定義される 場合など、幅広い文脈で有効です。 [2]
微分可能な関数の場合 関数 fが x で 微分可能 ならば、任意のベクトル vに沿って x における 方向微分が存在し 、
∇ v f ( x ) = ∇ f ( x ) ⋅ v | | v | | {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{||\mathbf {v} ||}}}
ここで、 右側の は 勾配 を表し、は ドット積を 表します 。 [3] ∇ {\displaystyle \nabla } ⋅ {\displaystyle \cdot }
これは、ある点におけるすべての方向微分が単一の接平面を形成するという性質を用いて導出でき、この接平面は偏微分を用いて定義できます。この性質を用いて、勾配ベクトルの式と方向微分の別の式を求めることができます。後者は便宜上、上記のように書き直すことができます。
また、パスを定義し 、このパスに沿って計算できる限界として導関数の定義を使用することで、次の式が得られます。 h ( t ) = x + t v {\displaystyle h(t)=x+tv} 0 = lim t → 0 f ( x + t v ^ ) − f ( x ) − t ∇ f ( x ) ⋅ v ^ t = lim t → 0 f ( x + t v ^ ) − f ( x ) t − ∇ f ( x ) ⋅ v ^ = ∇ v f ( x ) − ∇ f ( x ) ⋅ v ^ . ∇ f ( x ) ⋅ v ^ = ∇ v f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+t{\hat {v}})-f(x)-t\nabla f(x)\cdot {\hat {v}}}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+t{\hat {v}})-f(x)}{t}}-\nabla f(x)\cdot {\hat {v}}\\&=\nabla _{v}f(x)-\nabla f(x)\cdot {\hat {v}}.\\&\nabla f(x)\cdot {\hat {v}}=\nabla _{v}f(x)\end{aligned}}}
ベクトルの方向のみを使用する 切断面が勾配A の方向を含む場合、 接線 A と水平線との間の角度 α は 最大になります。 ユークリッド空間 において 、一部の著者 [4]は方向微分を 正規化 後の任意の非ゼロベクトル v に関してと定義し 、その大きさに依存せず、方向のみに依存するとしている。 [5]
この定義は、 v の方向に移動する距離の単位あたりの f の増加率を与える 。この場合、 fが x で微分可能な 場合は 、 ∇ v f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h v ) − f ( x ) h | | v | | , {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h||\mathbf {v} ||}},} ∇ v f ( x ) = ∇ f ( x ) ⋅ v | | v | | . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{||\mathbf {v} ||}}.}
単位ベクトルへの制限 ユークリッド空間 上の関数の文脈において 、いくつかの文献では慣例上、ベクトル v を 単位ベクトル に限定している 。上記の両式は、ベクトルが正規化された場合でも、冗長ではあるものの、真である。 [6]
プロパティ 通常の微分 に関するよく知られた性質の多くは、 方向微分にも当てはまります。例えば、 p の 近傍 で定義され 、 p で 微分可能な任意の関数 f と g に対して、以下の性質が成り立ちます。
和則 ： ∇ v ( f + g ) = ∇ v f + ∇ v g . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.} 定数係数則 ：任意の定数 c に対して、 ∇ v ( c f ) = c ∇ v f . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.} 積の法則 （または ライプニッツの法則 ）: ∇ v ( f g ) = g ∇ v f + f ∇ v g . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.} 連鎖律 ： gが p で微分可能で 、 hが g ( p ) で微分可能な ∇ v ( h ∘ g ) ( p ) = h ′ ( g ( p ) ) ∇ v g ( p ) . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}
微分幾何学では M を 微分可能多様体 、 pを M の点 とします 。 f は p の近傍で定義され、 p で微分可能な関数であるとします 。 v が p における M の 接ベクトルである場合 、 df ( v ) ( 外 微分 を 参照 ) 、 ( 共変微分を参照)、 ( リー 微分を 参照 )、 ( 接空間 § 導関数による定義を 参照) などと表記される 、 v に沿った f の 方向 微分は、次のように定義できます。 γ : [−1, 1] → M を、 γ (0) = p および γ ′(0) = v を 満たす微分可能曲線とします 。このとき、方向微分は次のように定義されます。
この定義は、 γが規定の方法で γ (0) = p および γ ′(0) = v となるように選択される 限り、 γ の選択とは独立に証明できます 。 ∇ v f ( p ) {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )} L v f ( p ) {\displaystyle L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )} v p ( f ) {\displaystyle {\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)} ∇ v f ( p ) = d d τ f ∘ γ ( τ ) | τ = 0 . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.}
リー微分 ベクトル場 に沿った ベクトル場の リー 微分は 、2つの方向微分（ねじれがゼロ）の差で与えられる。 特に、スカラー場 の場合 、リー微分は標準の方向微分に簡約される。 W μ ( x ) {\displaystyle W^{\mu }(x)} V μ ( x ) {\displaystyle V^{\mu }(x)} L V W μ = ( V ⋅ ∇ ) W μ − ( W ⋅ ∇ ) V μ . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.} ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} L V ϕ = ( V ⋅ ∇ ) ϕ . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .}
リーマンテンソル 方向微分は、リーマン曲率テンソル の初歩的な微分でよく使用されます。 一方の辺と もう一方の辺に沿って 無限小ベクトルを持つ曲線の長方形を考えます。 共ベクトル を に沿って変換し、 に 沿っ て変換を減算してからとします 。偏微分を使用して方向微分を構築する代わりに、 共変微分 を 使用します。したがって 、 の変換演算子はであり、 の 場合には です。2 つのパスの差は です。 共変微分の非可換性は、多様体の曲率を測る尺度であると 言えます [7] 。
は リーマン曲率テンソルであり、符号は 著者の 符号規則に依存します。 δ {\displaystyle \delta } δ ′ {\displaystyle \delta '} S {\displaystyle S} δ {\displaystyle \delta } δ ′ {\displaystyle \delta '} δ ′ {\displaystyle \delta '} δ {\displaystyle \delta } δ {\displaystyle \delta } 1 + ∑ ν δ ν D ν = 1 + δ ⋅ D , {\displaystyle 1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,} δ ′ {\displaystyle \delta '} 1 + ∑ μ δ ′ μ D μ = 1 + δ ′ ⋅ D . {\displaystyle 1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.} ( 1 + δ ′ ⋅ D ) ( 1 + δ ⋅ D ) S ρ − ( 1 + δ ⋅ D ) ( 1 + δ ′ ⋅ D ) S ρ = ∑ μ , ν δ ′ μ δ ν [ D μ , D ν ] S ρ . {\displaystyle (1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.} [ D μ , D ν ] S ρ = ± ∑ σ R σ ρ μ ν S σ , {\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },} R {\displaystyle R}
群論では
翻訳 ポアンカレ代数 において、無限小変換演算子 Pを 次のように 定義できる （ iは Pが 自己随伴演算子である こと を保証する ）。有限変位 λ に対して、 変換の ユニタリ ヒルベルト空間 表現は [8] である
。上記の無限小変換演算子の定義を用いると、有限変換演算子は指数方向微分であることが分かる。
これは、多変数関数 f ( x ) に対して次のように作用するという意味において変換演算子である。 P = i ∇ . {\displaystyle \mathbf {P} =i\nabla .} U ( λ ) = exp ( − i λ ⋅ P ) . {\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left(-i{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \mathbf {P} \right).} U ( λ ) = exp ( λ ⋅ ∇ ) . {\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).} U ( λ ) f ( x ) = exp ( λ ⋅ ∇ ) f ( x ) = f ( x + λ ) . {\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }}).}
最後の方程式の証明 標準的な一変数計算では、滑らかな関数 f ( x ) の導関数は ( ε が小さい場合 )
で定義されます。 これは、 f ( x + ε ) を求めるように整理できます。 したがって 、 は変換演算子で あることがわかります。 これは、 多変数関数 f ( x )
に即座に一般化されます [9]。 ここでは、無限小変位 ε に沿った方向導関数です 。 変換演算子の無限小バージョンを見つけました。
群乗法則 [10] U ( g ) U ( f )= U ( gf ) が次の形式になる ことは明らかです。 したがって、有限変位 λ をN 個 の部分に分割し ( N →∞ がすべての箇所で暗黙的に示される)、 λ / N = ε と仮定します。言い換えれば、 U ( ε ) を N 回
適用することで、 U ( λ ) を構築できます。ここで、上記の式をU ( ε ) に代入します。 恒等式 [11] を使用すると、
次のようになります
。 また、 U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ) である
ため、 QED d f d x = f ( x + ε ) − f ( x ) ε . {\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.} f ( x + ε ) = f ( x ) + ε d f d x = ( 1 + ε d d x ) f ( x ) . {\displaystyle f(x+\varepsilon )=f(x)+\varepsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\varepsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).} [ 1 + ε ( d / d x ) ] {\displaystyle [1+\varepsilon \,(d/dx)]} f ( x + ε ) = ( 1 + ε ⋅ ∇ ) f ( x ) . {\displaystyle f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\varepsilon }})=\left(1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).} ε ⋅ ∇ {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla } U ( ε ) = 1 + ε ⋅ ∇ . {\displaystyle U({\boldsymbol {\varepsilon }})=1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla .} U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) . {\displaystyle U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).} λ = N ε . {\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=N{\boldsymbol {\varepsilon }}.} [ U ( ε ) ] N = U ( N ε ) = U ( λ ) . {\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).} [ U ( ε ) ] N = [ 1 + ε ⋅ ∇ ] N = [ 1 + λ ⋅ ∇ N ] N . {\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.} exp ( x ) = [ 1 + x N ] N , {\displaystyle \exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},} U ( λ ) = exp ( λ ⋅ ∇ ) . {\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).} [ U ( ε ) ] N f ( x ) = f ( x + N ε ) = f ( x + λ ) = U ( λ ) f ( x ) = exp ( λ ⋅ ∇ ) f ( x ) , {\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),}
技術的な注意として、この手順は、並進群が ポアンカレ代数の アーベル 部分群 （ カルタン部分代数）を形成する場合にのみ可能です。特に、群の乗法則 U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) を当然のことと考えるべきではありません。また、ポアンカレは連結 リー群 であることにも注意してください。これは、実パラメータの連続セットによって記述される 変換 T ( ξ ) のグループです。群の乗法則は、形式を取ります。 を恒等式の座標として、次の式が成り立ちます。 ヒルベルト 空間 上の実際の演算子は、ユニタリ演算子 U ( T ( ξ ) ) によって表されます。上記の表記法では、 T を省略し、 U ( λ ) を U ( P ( λ ) )と 書きます 。恒等式の周りの小さな近傍では、 べき級数 表現は 非常に適切です。 U(T(ξ))が非射影表現、すなわち、 fの2乗展開である
と仮定する 。表現乗法方程式を展開し、係数を等しくすると、次の非自明な条件が成立する。
は定義によりその添字に関して対称な ので 、標準 リー代数 交換子が得られる。C は構造定数である。並進運動の生成元は偏微分演算子で あり 、 これらは交換する。
これは、構造定数が消えることを意味し、したがってf展開の2次係数も消える。これは f が単純に加法的である こと を意味する。したがって、 アーベル群の場合、 QEDは
成立する。 ξ a {\displaystyle \xi ^{a}} T ( ξ ¯ ) T ( ξ ) = T ( f ( ξ ¯ , ξ ) ) . {\displaystyle T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).} ξ a = 0 {\displaystyle \xi ^{a}=0} f a ( ξ , 0 ) = f a ( 0 , ξ ) = ξ a . {\displaystyle f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.} U ( T ( ξ ) ) = 1 + i ∑ a ξ a t a + 1 2 ∑ b , c ξ b ξ c t b c + ⋯ {\displaystyle U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots } U ( T ( ξ ¯ ) ) U ( T ( ξ ) ) = U ( T ( f ( ξ ¯ , ξ ) ) ) . {\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).} f a ( ξ ¯ , ξ ) = ξ a + ξ ¯ a + ∑ b , c f a b c ξ ¯ b ξ c . {\displaystyle f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.} t b c = − t b t c − i ∑ a f a b c t a . {\displaystyle t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.} t a b {\displaystyle t_{ab}} [ t b , t c ] = i ∑ a ( − f a b c + f a c b ) t a = i ∑ a C a b c t a , {\displaystyle [t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},} [ ∂ ∂ x b , ∂ ∂ x c ] = 0. {\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.} f abelian a ( ξ ¯ , ξ ) = ξ a + ξ ¯ a , {\displaystyle f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},} U ( T ( ξ ¯ ) ) U ( T ( ξ ) ) = U ( T ( ξ ¯ + ξ ) ) . {\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).}
回転 回転 演算子 には方向微分も含まれる。角度 θ の回転演算子、すなわち、 θ = | θ | の回転量だけ、軸に平行な軸の周りを 回転する演算子は、ここでLはSO(3)を生成するベクトル演算子である 。 微小 右 回転 によって 位置ベクトルxが変化することは幾何学的に示される。 したがって 、 微小回転のもとでは次のようになると予想される。 したがって、 上と同じべき乗の手順に従うと、位置基底における回転演算子、すなわちべき乗方向微分が得られる。 [12] θ ^ = θ / θ {\displaystyle {\hat {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}/\theta } U ( R ( θ ) ) = exp ( − i θ ⋅ L ) . {\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).} L = ( 0 0 0 0 0 1 0 − 1 0 ) i + ( 0 0 − 1 0 0 0 1 0 0 ) j + ( 0 1 0 − 1 0 0 0 0 0 ) k . {\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .} x → x − δ θ × x . {\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} .} U ( R ( δ θ ) ) f ( x ) = f ( x − δ θ × x ) = f ( x ) − ( δ θ × x ) ⋅ ∇ f . {\displaystyle U(R(\delta {\boldsymbol {\theta }}))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.} U ( R ( δ θ ) ) = 1 − ( δ θ × x ) ⋅ ∇ . {\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .} U ( R ( θ ) ) = exp ( − ( θ × x ) ⋅ ∇ ) . {\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).}
正規微分 法線 微分 とは、空間内の何らかの面に対して法線方向（つまり、 に直交する方向 ）にとられる方向微分、あるいはより一般的には、 何らかの 超曲面に対して直交する 法線ベクトル 場に沿ってとられる方向微分である。例えば、 ノイマン境界条件 を参照のこと。法線方向が で表される場合、関数 f の法線微分 は と表記されることもある 。他の表記法では、 n {\displaystyle \mathbf {n} } ∂ f ∂ n {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}} ∂ f ∂ n = ∇ f ( x ) ⋅ n = ∇ n f ( x ) = ∂ f ∂ x ⋅ n = D f ( x ) [ n ] . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}
固体の連続体力学では 連続体力学におけるいくつかの重要な結果には、ベクトルのベクトルに対する微分、および テンソルのベクトルとテンソルに対する微分が必要である。 [ 13] 方向 指示子は、 これらの微分を求める体系的な方法を提供する。
参照
注記 ^ R. Wrede; MR Spiegel (2010). 上級微積分学 （第3版）. Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7 。 ^ 適用範囲は、 計量を 持たない空間上の関数や、 一般相対論 のような 微分可能多様 体にも及ぶ。 ^ ドット積が定義されていない場合、 勾配 も定義されません。ただし、微分可能な f の場合、方向微分は定義されており、外微分とも同様の関係が存在します。 ^ Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1979) Calculus and Analytic Geometry , Addison-Wesley Publ. Co., 第5版, 593ページ。 ^ これは通常 ユークリッド空間 を前提としています。たとえば、複数の変数を持つ関数では通常、ベクトルの大きさ、つまり単位ベクトルの定義はありません。 ^ ヒューズ・ハレット、デボラ 、 マッカラム、ウィリアム・G 、 グリーソン、アンドリュー・M (2012年1月1日). 微積分学：単変数および多変数 . ジョン・ワイリー. p. 780. ISBN 9780470888612 . OCLC 828768012。 ^ Zee, A. (2013). 『アインシュタインの重力を一言で表すと 』 プリンストン大学出版局, p. 341. ISBN 9780691145587 。 ^ Weinberg, Steven (1999). The quantum theory of fields (Reprinted (with corr.). ed.). Cambridge [ua]: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521550017 。 ^ Zee, A. (2013). 『アインシュタインの重力入門』 プリンストン大学出版局. ISBN 9780691145587 。 ^ ケイヒル、ケビン・ケイヒル (2013). 『物理数学』 （復刻版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1107005211 。 ^ ラーソン, ロン; エドワーズ, ブルース H. (2010). 一変数微積分学 （第9版）. ベルモント: ブルックス/コール. ISBN 9780547209982 。 ^ Shankar, R. (1994). 『量子力学の原理 （第2版）』 ニューヨーク: Kluwer Academic / Plenum. p. 318. ISBN 9780306447907 。 ^ JE MarsdenとTJR Hughes、2000年、 「弾性の数学的基礎」 、ドーバー。
参考文献 ヒルデブランド, FB (1976). 『応用のための微積分学上級』 . プレンティス・ホール. ISBN 0-13-011189-9 。 KF Riley、M.P. Hobson、S.J. Bence (2010). 『物理学と工学のための数学的手法 』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-86153-3 。 シャピロ, A. (1990). 「方向性微分可能性の概念について」. 最適化理論応用ジャーナル . 66 (3): 477– 487. doi :10.1007/BF00940933. S2CID 120253580.
外部リンク ウィキメディア・コモンズの方向微分に関するメディア
![{\displaystyle (1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16bc9cd9d4bae49561e46e2bb1ade2f241a21595)
![{\displaystyle [D_{\mu},D_{\nu}]S_{\rho}=\pm \sum _{\sigma}R^{\sigma}{}_{\rho \mu \nu}S_{\sigma},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32da9ce5c5713758361d02d266530759354ec070)
![{\displaystyle [1+\varepsilon \,(d/dx)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1af787ff07e53b33609086c1888d2b2fd239ced)
![{\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0bf68a8ddea4b223e57aeb96125b6b252ef9974)
![{\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cb18356a03f1395fb84f7ae1a1969aaa05896b)
![{\displaystyle \exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cd3c66555f47bbb7bb2894720f878de7e958df)
![{\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d948442f3d9aeed6f9ffcca821983b35f7a11f5d)
![{\displaystyle [t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d682fb34fea7e6e3db932ef59372745c8e7bc54b)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfdf13b5bcc7ed6bd7e78c471510e16087a8cc2d)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4f10487f6111dbab2f9d600d023737d01899fe)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308eadd1b18b96a60ef33e8df365bccc97f0faea)
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8835d592f0ae810b9b57fa81f345a4850f1f1ce)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3916392ebeebca9ebddb31e76edb1c9f8c08b586)
![{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2072ee23ca460f6f32851f397b5879a47033c3b)
