等比数列

Mathematical sequence of numbers

パターン 1( r ^{n −1} ) の3つの基本的な幾何列を最大6回反復した図。最初のブロックは単位ブロックであり、破線は列の無限和を表す。これは、無限に近づくが決して触れることのない数であり、それぞれ2、3/2、4/3である。

等比数列（または等比数列）とは、ゼロ以外の数列 で、最初の項以降の各項は、前の項に公比と呼ばれる一定の数を掛けて求められます。例えば、2、6、18、54、…という数列は、公比が3の等比数列です。同様に、10、5、2.5、1.25、…は、公比が1/2の等比数列です。

等比数列の例としては、2 ^kや 3 ^kのような、固定された非ゼロ数rの累乗 r ^kが挙げられる。等比数列の一般的な形は以下の通りである。

${\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }$

ここで、 rは公比、aは初期値です。

等比数列の項の和は等比級数と呼ばれます。

プロパティ

初期値a = a ₁、公比rを持つ等比数列のn番目の項は次のように与えられる。

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1},}$

そして一般的に

${\displaystyle a_{n}=a_{m}\,r^{n-m}.}$

幾何級数は線形回帰関係を満たす

${\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}}$すべての整数に対して ${\displaystyle n>1.}$

これは定数係数を持つ一次同次線形回帰です。

幾何級数も非線形回帰関係を満たす

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}/a_{n-2}}$すべての整数に対して ${\displaystyle n>2.}$

これは定数係数を持つ 2 次非線形回帰です。

等比数列の公比が正の場合、数列の各項は最初の項の符号を共有します。等比数列の公比が負の場合、数列の各項は正と負を交互に繰り返します。これは交代数列と呼ばれます。例えば、1、-3、9、-27、81、-243、... という数列は、初期値が1で公比が-3である交代等比数列です。初期項と公比が複素数の場合、各項の複素引数は等差数列に従います。

公比の絶対値が1未満の場合、項の大きさは減少し、指数関数的に減少してゼロに近づきます。公比の絶対値が1より大きい場合、項の大きさは増加し、指数関数的に増加して無限大に近づきます。公比の絶対値が1の場合、項の大きさは無期限に同じままですが、その符号や複素引数は変化する可能性があります。

等比数列は指数関数的増加または指数関数的減少を示すのに対し、等差数列は線形増加または線形減少を示す。この比較は、TRマルサスが『人口原理論』の数学的基礎とした。2種類の数列は、指数関数と対数によって関連している。等差数列の各項を指数化すると等比数列になり、等差数列の各項を対数化すると等差数列になる。対数が等比数列の引数と値の等差数列の間に提供する関係から、 AAデ・サラサはサン＝ヴァンサン積分法と補語法における対数の伝統を結び付け、自然対数の同義語である「双曲対数」という用語が生まれた。

幾何学シリーズ

等比級数の和の公式を言葉なしで証明する– | r | < 1 かつn → ∞ の場合、 r ⁿ項は消え、S _∞ = ⁠1つの/1 − r⁠

数学において、等比級数とは、連続する項の比が一定である無限等比数列の項を足し合わせた級数です。例えば、級数は公比⁠ ⁠を持つ等比級数であり、 ⁠ ⁠の和に収束します。等比級数の各項は、その前の項と次の項の等比平均です。これは、等差級数の各項が隣接する項の等比平均であるのと同じです。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\cdots }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 1}$

ギリシャの哲学者 ゼノンの時間と運動に関するパラドックス（紀元前5世紀）は等比級数に関係すると解釈されてきましたが、そのような級数は1世紀か2世紀後にギリシャの数学者によって正式に研究され、応用されました。例えば、アルキメデスは放物線の内側の面積を計算するために等比級数を使用しました（紀元前3世紀）。今日、等比級数は数理ファイナンス、フラクタルの面積計算、そして様々なコンピュータサイエンスの分野で利用されています。

幾何級数には実数や複素数が最もよく含まれますが、行列値の幾何級数、関数値の幾何級数、進数幾何級数、そして最も一般的には抽象代数体、環、半環の元の幾何級数にも重要な結果と応用があります。 ${\displaystyle p}$

製品

等比数列の無限積は、そのすべての項の積である。等比数列のべき乗項までの部分積は、 ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{(k)}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}.}$$

とが正の実数であるとき、これは部分数列の最初と最後の個々の項の幾何平均を取り、その平均を項の数でべき乗することと等しい。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n+1.}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{k}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ for }}a\geq 0,r\geq 0.}$$

これは有限等差数列の項の和の同様の性質に対応します。等差数列の和は、項の数に最初の項と最後の項の算術平均を掛けたものです。この対応は、任意の等差数列は等比数列の項の対数の列であり、任意の等比数列は等差数列の項の累乗の列であるという一般的なパターンに従います。対数の和は、累乗された値の積に対応します。

証拠

を 乗まで表すとします。完全に書き表すと、 ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{n}=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}$。

掛け算をして同類項を集めると、

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}$。

rの指数は等差数列の和である。その和に式を代入すると、

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}$、

これで証明は終わりです。

この表現を次のように変形できる。

${\displaystyle P_{n}=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}.}$

a をrとして書き直すと、これは またはに対して有効ではない ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {a^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {r^{2}}}}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle r<0,}$

${\displaystyle P_{n}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ for }}a\geq 0,r\geq 0}$

これは幾何平均に関する式です。

歴史

メソポタミア初期王朝時代（紀元前2900年頃～紀元前2350年頃）の粘土板（MS 3047と特定）には、底が3で乗数が1/2の等比数列が記されている。シュルッパク市発祥のシュメール語ではないかと推測されている。紀元前2000年に始まった古代バビロニア数学の時代以前の等比数列の記録として知られているのは、これが唯一である。^[1]

ユークリッドの『原論』第8巻と第9巻では、幾何級数（2の累乗など、詳細は記事を参照）を分析し、そのいくつかの性質を示している。^[2]

参照

• 等差数列 – 等間隔の数列
• 等比数列 – 特定のパターンを満たす数学的数列
• 線形差分方程式 – 順序を定義する数学的関係Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 指数関数 – 数学関数。exp(x)またはe^xと表記される。
• 調和進行 – 等差進行の逆数をとることによって形成される進行
• 調和級数 – すべての正の単位分数の発散和
• 無限級数 – 無限和
• 推奨数 – 与えられた制約の範囲内で正確な製品寸法を選択するための標準ガイドライン
• トーマス・ロバート・マルサス – イギリスの政治経済学者 (1766–1834)
• 幾何分布 – 確率分布

参考文献

1. Friberg, Jöran (2007). 「MS 3047：古代シュメールの地下鉄数学表テキスト」Friberg, Jöran (編).バビロニア数学テキストの注目すべきコレクション. 数学と物理科学の歴史における資料と研究. ニューヨーク: Springer. pp.  150– 153. doi :10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7. MR  2333050。
2. ヒース, トーマス・L. (1956). 『ユークリッド原論 13巻』（第2版 [複製版。初版：ケンブリッジ大学出版局、1925年] 編集）ニューヨーク: ドーバー出版。

• ホール＆ナイト著『高等代数学』 39ページ、ISBN 81-8116-000-2

外部リンク

• 「幾何級数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「幾何級数」。MathWorld。

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