On converting relations to functions of several real variables
多変数微分積分学 において 、 陰関数定理 [a]は、 関係を 複数の実変数の関数 に変換する ためのツールです 。これは、関係を 関数のグラフとして表すことによって行われます。関係全体をグラフで表せる関数は1つだけではないかもしれませんが、関係の定義 域 の制限上にはそのような関数が存在する可能性があります 。陰関数定理は、そのような関数が存在することを保証するための十分条件を与えます
より正確には、 m 個の方程式 f i ( x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y m ) = 0, i = 1, ..., m （しばしば F ( x , y ) = 0 と略される）の連立方程式が与えられたとき、この定理は、ある点における偏微分 （各 y i に関して ）に関する緩やかな条件の下で、 m 個の変数 y i はその点の近傍 における x j の微分可能な関数である、ということを述べている。これらの関数は一般に 閉じた形 で表現できないため 、 方程式によって 暗黙的に定義され、これがこの定理の名前の由来となっている。 [1]
言い換えれば、偏導関数に関する緩やかな条件の下では、 方程式系の 零点の集合は 局所的には 関数のグラフに なります 。
歴史 オーギュスタン＝ルイ・コーシー （1789–1857）は、陰関数定理の最初の厳密な形を提唱したとされています。 ウリッセ・ディーニ （1845–1918）は、陰関数定理の実変数版を、任意の数の実変数を持つ関数の文脈に一般化しました。 [2]
2変数の場合 を曲線 の 暗黙方程式 を定義する連続微分可能関数とします 。 を 曲線上の点、つまり となる点とします 。この単純な場合、暗黙関数定理は次のように述べられます f : R 2 → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} f ( x 0 , y 0 ) = 0 {\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}
定理 — が点 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} の近傍で連続的に微分可能な関数である 場合 、 の近傍に および となるような唯一の微分可能関数 が存在します 。 ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 , {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,} φ {\displaystyle \varphi } y 0 = φ ( x 0 ) {\displaystyle y_{0}=\varphi (x_{0})} f ( x , φ ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(x,\varphi (x))=0} x 0 {\displaystyle x_{0}}
証明。 方程式 f ( x , φ ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(x,\varphi (x))=0} を微分すると、次の式が得られる 。したがって、 これは 初期条件 を持つ の 常微分方程式 を与える。 ∂ f ∂ x ( x , φ ( x ) ) + φ ′ ( x ) ∂ f ∂ y ( x , φ ( x ) ) = 0. {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\varphi (x))+\varphi '(x)\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\varphi (x))=0.} φ ′ ( x ) = − ∂ f ∂ x ( x , φ ( x ) ) ∂ f ∂ y ( x , φ ( x ) ) . {\displaystyle \varphi '(x)=-{\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\varphi (x))}{{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\varphi (x))}}.} φ {\displaystyle \varphi } φ ( x 0 ) = y 0 {\displaystyle \varphi (x_{0})=y_{0}}
微分方程式の右辺は連続な ので、 ペアノの存在定理 が適用され、（おそらく一意ではない）解が存在します。 が一意である理由を理解するために、関数 は の近傍 （ として）において 厳密に 単調 であり、したがって は 単射で あることに注目してください。が微分方程式の解である 場合、 と は単射性により となります 。 ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 , {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,} φ {\textstyle \varphi } g x ( y ) = f ( x , y ) {\textstyle g_{x}(y)=f(x,y)} x 0 , y 0 {\textstyle x_{0},y_{0}} ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0} φ , ϕ {\textstyle \varphi ,\phi } g x ( φ ( x ) ) = g x ( ϕ ( x ) ) = 0 {\textstyle g_{x}(\varphi (x))=g_{x}(\phi (x))=0} φ ( x ) = ϕ ( x ) {\textstyle \varphi (x)=\phi (x)}
最初の例 暗黙方程式x 2 + y 2 – 1 = 0 の単位円は、 関数のグラフとして表すことはできません。 接線が垂直でない点 A の周りでは、太字の円弧は x の何らかの関数のグラフですが、点 B の周りでは、 円をグラフとする x の関数は存在しません。 これはまさに、この場合の暗黙関数定理が主張していることです 関数 f ( x , y ) = x 2 + y 2 と定義すると、方程式 f ( x , y ) = 1 は 単位円を レベル集合 {( x , y ) | f ( x , y ) = 1} として 切り出します。単位円を1変数関数 y = g ( x ) のグラフとして表すことはできません。なぜなら、 x ∈ (−1, 1) の各選択に対して、 y の2つの選択、すなわち が存在するからです 。 ± 1 − x 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}
しかし、円の一部を 1変数関数のグラフとして 表すことは可能です。 −1 ≤ x ≤ 1 とすると、 y = g 1 ( x ) のグラフは 円の上半分を表します。同様に、 とすると、 y = g 2 ( x ) のグラフは 円の下半分を表します。 g 1 ( x ) = 1 − x 2 {\displaystyle g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}} g 2 ( x ) = − 1 − x 2 {\displaystyle g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}}
暗黙関数定理の目的は、 明示的な式を書けない状況でも、 g 1 ( x ) や g 2 ( x )のような関数が ほぼ常に存在することを示すことです。この定理は、 g 1 ( x ) と g 2 ( x )が微分可能であることを保証し、 f ( x , y ) の式が存在しない状況でも有効です 。
定義 を連続的に微分可能な 関数とする 。 を直積 と 考え 、この積の点を と書く。 与えられた関数 から始めて、 グラフがと なるような すべての の集合と正確に一致 する 関数を構築することが目標である f : R n + m → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}} R n + m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}} R n × R m , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m},} ( x , y ) = ( x 1 , … , x n , y 1 , … y m ) . {\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m}).} f {\displaystyle f} g : R n → R m {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} ( x , g ( x ) ) {\displaystyle ({\textbf {x}},g({\textbf {x}}))} ( x , y ) {\displaystyle ({\textbf {x}},{\textbf {y}})} f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f({\textbf {x}},{\textbf {y}})={\textbf {0}}}
上で述べたように、これは必ずしも可能ではないかもしれません。そこで、を満たす 点を定め、 その点 の近くで機能する を求めます 。言い換えれば、 を含む 開集合 、を含む 開集合、そして のグラフが 上の 関係 を満たし 、かつ 内の他の点がを満たさないような 関数 を 求めます。記号で表すと、 ( a , b ) = ( a 1 , … , a n , b 1 , … , b m ) {\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})} f ( a , b ) = 0 {\displaystyle f({\textbf {a}},{\textbf {b}})={\textbf {0}}} g {\displaystyle g} ( a , b ) {\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})} U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} a {\displaystyle {\textbf {a}}} V ⊂ R m {\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}} b {\displaystyle {\textbf {b}}} g : U → V {\displaystyle g:U\to V} g {\displaystyle g} f = 0 {\displaystyle f={\textbf {0}}} U × V {\displaystyle U\times V} U × V {\displaystyle U\times V}
{ ( x , g ( x ) ) ∣ x ∈ U } = { ( x , y ) ∈ U × V ∣ f ( x , y ) = 0 } . {\displaystyle \{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.}
暗黙関数定理を述べるには、 の 偏微分 行列である の ヤコビ 行列 が必要である。 を と省略すると 、ヤコビ行列は次のようになる。 f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} ( a 1 , … , a n , b 1 , … , b m ) {\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})} ( a , b ) {\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})}
( D f ) ( a , b ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ( a , b ) ∂ f 1 ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ y m ( a , b ) ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ x n ( a , b ) ∂ f m ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ y m ( a , b ) ] = [ X Y ] {\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c|c}X&Y\end{array}}\right]}
ここで 、 は変数 の偏微分行列 、 は変数 の偏微分行列です 。暗黙関数定理によれば、 が逆行列である場合、 、 、 が必要に応じて 存在します 。すべての仮定を書き合わせると、次の命題が得られます。 X {\displaystyle X} x i {\displaystyle x_{i}} Y {\displaystyle Y} y j {\displaystyle y_{j}} Y {\displaystyle Y} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} g {\displaystyle g}
定理の記述 を 連続的に微分可能な関数 とし 、 座標を とします。 を とする 点を固定します。 ここでは 零 ベクトルです。 ヤコビ行列 （これは前のセクションに示したヤコビ行列の右側のパネルです） がである場合、 を含む 開集合が存在し、 、 および と なる 唯一の関数が存在します 。 さらに、 は連続的に微分可能であり、 で、前のセクションに示したヤコビ行列の左側のパネルを と表すと、 における の偏導関数のヤコビ行列は、 行列積 によって与えられます 。 [3] f : R n + m → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}} R n + m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}} ( x , y ) {\displaystyle ({\textbf {x}},{\textbf {y}})} ( a , b ) = ( a 1 , … , a n , b 1 , … , b m ) {\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})} f ( a , b ) = 0 {\displaystyle f({\textbf {a}},{\textbf {b}})=\mathbf {0} } 0 ∈ R m {\displaystyle \mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}} J f , y ( a , b ) = [ ∂ f i ∂ y j ( a , b ) ] {\displaystyle J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right]} U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} a {\displaystyle {\textbf {a}}} g : U → R m {\displaystyle g:U\to \mathbb {R} ^{m}} g ( a ) = b {\displaystyle g(\mathbf {a} )=\mathbf {b} } f ( x , g ( x ) ) = 0 for all x ∈ U {\displaystyle f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ~{\text{for all}}~\mathbf {x} \in U} g {\displaystyle g} J f , x ( a , b ) = [ ∂ f i ∂ x j ( a , b ) ] , {\displaystyle J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right],} g {\displaystyle g} U {\displaystyle U} [ ∂ g i ∂ x j ( x ) ] m × n = − [ J f , y ( x , g ( x ) ) ] m × m − 1 [ J f , x ( x , g ( x ) ) ] m × n {\displaystyle \left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} )\right]_{m\times n}=-\left[J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times m}^{-1}\,\left[J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times n}}
証明は 逆関数定理の 記事に記載されています。ここでは2次元の場合について詳しく説明します。
高次導関数 さらに、 が の近傍で 回数 解析的 または連続的に微分可能で ある場合、 の内側 でも同じことが成り立つように を選ぶことができます 。 [4]解析的な場合、これは 解析的暗黙関数定理 と 呼ばれます f {\displaystyle f} k {\displaystyle k} ( a , b ) {\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})} U {\displaystyle U} g {\displaystyle g} U {\displaystyle U}
円の例 単位円 の例に戻りましょう 。この場合、 n = m = 1、 偏微分行列は1×2行列で、次のように表されます f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 1 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1} ( D f ) ( a , b ) = [ ∂ f ∂ x ( a , b ) ∂ f ∂ y ( a , b ) ] = [ 2 a 2 b ] {\displaystyle (Df)(a,b)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)&{\dfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2a&2b\end{bmatrix}}}
したがって、ここでは 定理の記述における Y は単なる数2 b です。これによって定義される線型写像は、 b ≠ 0 の場合に限り可逆です。暗黙関数定理により、 y ≠ 0 となるすべての点に対して、円を y = g ( x ) の形式で局所的に表記できることがわかります 。 (±1, 0) の場合は、前述のように問題が発生します。暗黙関数定理は、 x を y の関数として 、つまり と表記することにより、これらの 2 点に適用できます。 この場合、関数のグラフは になります。b = 0の場合には a = 1 となり 、関数をこの形式で局所的に表記するための条件が満たされている からです。 x = h ( y ) {\displaystyle x=h(y)} ( h ( y ) , y ) {\displaystyle \left(h(y),y\right)}
yの x に関する 暗黙の微分 、および xの y に関する暗黙の微分は、 暗黙の関数を 全微分して 0 と等しくする こと で求められます 。 x 2 + y 2 − 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1} 2 x d x + 2 y d y = 0 , {\displaystyle 2x\,dx+2y\,dy=0,} d y d x = − x y {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}} d x d y = − y x . {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}.}
応用：座標の変更 座標 の集合でパラメータ化された m 次元空間があるとします。それぞれが連続的に微分可能な m 個の関数を用意することで、 新しい座標系を導入できます。これらの関数 により、ある点の古い座標が与えられれば、その点の新しい座標を を使用して 計算できます 。反対が可能かどうか検証したい場合があるかもしれません。つまり、座標 が与えられている場合 、戻って同じ点の元の座標を計算できるでしょうか 。この質問に対する答えは、暗黙の関数定理によって得られます。(新しい座標と古い座標) は、 f = 0 で次のように関係付けられます。ここで 、ある点 ( a 、 b ) [ ここで] における f のヤコビ行列は、次 のように与えられます。 ここで、I m はm × m 単位行列 、 J は( a 、 b ) で評価された m × m 偏微分行列 です 。 （上記では、これらのブロックはXとYで表されていました。しかし、この定理の適用例では、どちらの行列もに依存しません 。 ）暗黙関数定理によれば、 J が逆行列である場合、局所的にJ の関数として 表現できます 。Jが逆行列であること は 、det J ≠ 0と等しいため、ヤコビ行列式 J の行列式が0でない場合、プライム付き座標からプライムなし座標に戻ることができます。この記述は 逆関数定理 とも呼ばれます 。 ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})} ( x 1 ′ , … , x m ′ ) {\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})} h 1 … h m {\displaystyle h_{1}\ldots h_{m}} ( x 1 ′ , … , x m ′ ) {\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})} ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})} x 1 ′ = h 1 ( x 1 , … , x m ) , … , x m ′ = h m ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})} ( x 1 ′ , … , x m ′ ) {\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})} ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})} ( x 1 ′ , … , x m ′ , x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})} f ( x 1 ′ , … , x m ′ , x 1 , … , x m ) = ( h 1 ( x 1 , … , x m ) − x 1 ′ , … , h m ( x 1 , … , x m ) − x m ′ ) . {\displaystyle f(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})=(h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{1},\ldots ,h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{m}).} a = ( x 1 ′ , … , x m ′ ) , b = ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})} ( D f ) ( a , b ) = [ − 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ − 1 | ∂ h 1 ∂ x 1 ( b ) ⋯ ∂ h 1 ∂ x m ( b ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ h m ∂ x 1 ( b ) ⋯ ∂ h m ∂ x m ( b ) ] = [ − I m | J ] . {\displaystyle (Df)(a,b)=\left[{\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{matrix}}\right.\right]=[-I_{m}|J].} ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})} ( x 1 ′ , … , x m ′ ) {\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})}
例: 極座標 上記の簡単な応用として、 極座標 ( R 、 θ ) でパラメータ化された平面を考えてみましょう。関数 x ( R 、 θ ) = R cos( θ ) および y ( R 、 θ ) = R sin( θ ) を定義することで、新しい座標系 ( 直交座標 ) に移行できます。これにより、任意の点 ( R 、 θ )を指定して、対応する直交座標 ( x 、 y ) を見つけることが可能になります 。いつ、直交座標を極座標に変換できるでしょうか。前の例では、 det J ≠ 0 で十分です。 det J = R である
ため、 R ≠ 0 であれば、極座標に戻すことができます。そのため、 R = 0 の場合の確認が残っています。 R = 0 の 場合 、座標変換は可逆でないこと、つまり原点において θ の値が明確に定義されていないことが容易にわかります。 J = [ ∂ x ( R , θ ) ∂ R ∂ x ( R , θ ) ∂ θ ∂ y ( R , θ ) ∂ R ∂ y ( R , θ ) ∂ θ ] = [ cos θ − R sin θ sin θ R cos θ ] . {\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial \theta }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-R\sin \theta \\\sin \theta &R\cos \theta \end{bmatrix}}.}
一般化
バナッハ空間版 バナッハ空間 における 逆関数定理 に基づいて 、暗黙関数定理をバナッハ空間値写像に拡張することが可能です。 [5] [6]
X , Y , Zを バナッハ空間 と する 。写像 f : X × Y → Z は連続的に フレシェ微分可能 とする。 、 、および が Yから Z への バナッハ空間同型であるとき、 x 0 の近傍 U および y 0 の近傍 V が存在し、すべての に対して y = g ( x ) の場合にのみ 、 f ( x , g ( x )) = 0 かつ f ( x , y ) = 0 となるような フレシェ微分可能関数 g : U → V が 存在する 。 ( x 0 , y 0 ) ∈ X × Y {\displaystyle (x_{0},y_{0})\in X\times Y} f ( x 0 , y 0 ) = 0 {\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0} y ↦ D f ( x 0 , y 0 ) ( 0 , y ) {\displaystyle y\mapsto Df(x_{0},y_{0})(0,y)} ( x , y ) ∈ U × V {\displaystyle (x,y)\in U\times V}
微分不可能な関数からの暗黙関数 関数 f が微分不可能な場合の暗黙関数定理には様々な形式が存在する。1次元では局所的厳密単調性で十分であることが標準的である。 [7] より一般的な次の形式は、Jittorntrumの観察に基づいて熊谷によって証明された。 [8] [9]
となる 連続関数を考えます。 x 0 と y 0 のそれぞれ開近傍 および が存在し 、 B のすべての y に対して、 が局所的に 1 対 1 である場合、 x 0 と y 0 のそれぞれ開近傍 およびが存在し 、すべての に対して 、方程式 f ( x , y ) = 0 が一意の解を持ち、 g が B 0から A 0 への 連続関数である 場合に存在します 。 f : R n × R m → R n {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} f ( x 0 , y 0 ) = 0 {\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0} A ⊂ R n {\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}} B ⊂ R m {\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{m}} f ( ⋅ , y ) : A → R n {\displaystyle f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}} A 0 ⊂ R n {\displaystyle A_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}} B 0 ⊂ R m {\displaystyle B_{0}\subset \mathbb {R} ^{m}} y ∈ B 0 {\displaystyle y\in B_{0}} x = g ( y ) ∈ A 0 , {\displaystyle x=g(y)\in A_{0},}
崩壊多様体 ペレルマンの 3次元多様体に対する崩壊定理は、サーストンの 幾何化予想 の証明の頂点であり 、暗黙関数定理の拡張として理解することができます。 [10]
参照 逆関数定理 定数階定理 ：暗黙関数定理と逆関数定理はどちらも定数階定理の特殊なケースと見ることができます
注釈 ^イタリアのピサ学派では ディーニ の定理 とも呼ばれています 。英語の文献では、 ディーニの定理は 数学解析における別の定理です
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参考文献 
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![{\displaystyle J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23fa28aac64bb9a2ec05d198291b291cfc040c4e)
![{\displaystyle J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dca6d13ba18d76dd877c869803e9575ca7f91b3)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} )\right]_{m\times n}=-\left[J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times m}^{-1}\,\left[J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91c52a4f75b5a475156d03f4e2d12175e5be8bb)
![{\displaystyle (Df)(a,b)=\left[{\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{matrix}}\right.\right]=[-I_{m}|J].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ecb08835787c4ce30095f49de340414e7202bdc)
