Technique in integral evaluation
微積分学 において 、 置換積分（ u 置換法 、 逆連鎖律 、 変数変換法 とも呼ばれる） [1] は、 積分 と 原始微分 を評価する方法である。これは 微分 における 連鎖律 に対応するものであり 、大まかに言えば連鎖律を「逆向き」に用いたものと考えることができる。これには 微分形式 が関係する。
単一の変数の置換
入門（不定積分） 結果を 厳密に述べる前に、 不定積分を 使った簡単なケースを考えてみましょう 。
コンピューティング [2] ∫ ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( x 2 ) d x . {\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}
設定する これは、またはを 微分形式 として表すことを意味します 。 ここ で、
は 積分の 任意の定数です 。 u = 2 x 3 + 1. {\displaystyle u=2x^{3}+1.} d u d x = 6 x 2 , {\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},} d u = 6 x 2 d x . {\textstyle du=6x^{2}\,dx.} ∫ ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( x 2 ) d x = 1 6 ∫ ( 2 x 3 + 1 ) 7 ⏟ u 7 ( 6 x 2 ) d x ⏟ d u = 1 6 ∫ u 7 d u = 1 6 ( 1 8 u 8 ) + C = 1 48 ( 2 x 3 + 1 ) 8 + C , {\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}} C {\displaystyle C}
この手順は頻繁に用いられますが、すべての積分がこの手順を使用できるわけではありません。いずれにせよ、結果は微分し、元の積分対象と比較することで検証する必要があります。 定積分の場合は積分の極限も調整する必要がありますが、手順はほぼ同じです。 d d x [ 1 48 ( 2 x 3 + 1 ) 8 + C ] = 1 6 ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( 6 x 2 ) = ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( x 2 ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}
定積分の記述 を連続導関数を持つ 微分可能関数 とし 、 区間 と する 。 を 連続関数 と仮定すると、次の式が 得られる 。 [3] g : [ a , b ] → I {\displaystyle g:[a,b]\to I} I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } f : I → R {\displaystyle f:I\to \mathbb {R} } ∫ a b f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.}
ライプニッツ記法では、この置換により次の式 が得られます。 無限小値 を用いて経験的に計算すると、上記の置換公式を示唆する 式が得られます
。（この式は 、微分形式 に関する記述として解釈することで、厳密な根拠を置くことができます。）置換による積分の方法は 、ライプニッツの積分と微分に関する記法 の部分的な正当化と見なすことができます 。 u = g ( x ) {\displaystyle u=g(x)} d u d x = g ′ ( x ) . {\displaystyle {\frac {du}{dx}}=g'(x).} d u = g ′ ( x ) d x , {\displaystyle du=g'(x)\,dx,}
この式は、ある積分をより計算しやすい別の積分に変換するために使用されます。したがって、式は左から右へ、または右から左へ読むことで、与えられた積分を簡約することができます。前者の場合、 u 置換 または w 置換と呼ばれることもあります。この場合、新しい変数は、 合成 関数内の元の変数に内部関数の微分を乗じた関数として定義されます 。後者の方法は、 三角関数置換 でよく使用され、元の変数を新しい変数の 三角関数 に置き換え、元の 微分を 三角関数の微分に置き換えます。
証拠 置換積分は、微積分学の基本定理 から次のように 導出できる。 と を、 上記の仮定を満たす2つの関数とし、 は で連続であり 、 閉区間 で積分可能であるとする 。すると、 は でも積分可能である。したがって、 と の積分は 実際に存在し、それらが等しいことを示す必要がある。 f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} f {\displaystyle f} I {\displaystyle I} g ′ {\displaystyle g'} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) {\displaystyle f(g(x))\cdot g'(x)} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ∫ a b f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx} ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u {\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}
は連続なので 、 反微分 が存在します。 そして 合成関数 が定義されます。は微分可能なので、 連鎖律 と反微分の定義を組み合わせると、次の式が得られます。 f {\displaystyle f} F {\displaystyle F} F ∘ g {\displaystyle F\circ g} g {\displaystyle g} ( F ∘ g ) ′ ( x ) = F ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) = f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) . {\displaystyle (F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).}
微積分の基本定理を 2 回適用すると 、次の式が得られます。 これは置換規則です。 ∫ a b f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) d x = ∫ a b ( F ∘ g ) ′ ( x ) d x = ( F ∘ g ) ( b ) − ( F ∘ g ) ( a ) = F ( g ( b ) ) − F ( g ( a ) ) = ∫ g ( a ) g ( b ) F ′ ( u ) d u = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}F'(u)\,du=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}
例: 不定積分 置換は の原始導関数 を決定するために使用できます 。 と の関係を選択し 、 と の対応する関係を 微分によって決定し、置換を実行します。置換された関数の原始導関数が決定できれば、 との間の元の置換 は元に戻されます。 x {\displaystyle x} u , {\displaystyle u,} d x {\displaystyle dx} d u {\displaystyle du} x {\displaystyle x} u {\displaystyle u}
例1 積分を考えてみましょう。 意味を 得るために 代入を行ってください 。したがって、 ここでは 積分の 任意の定数です 。 ∫ x cos ( x 2 + 1 ) d x . {\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\ dx.} u = x 2 + 1 {\textstyle u=x^{2}+1} d u = 2 x d x , {\displaystyle du=2x\ dx,} x d x = 1 2 d u . {\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.} ∫ x cos ( x 2 + 1 ) d x = 1 2 ∫ 2 x cos ( x 2 + 1 ) d x = 1 2 ∫ cos u d u = 1 2 sin u + C = 1 2 sin ( x 2 + 1 ) + C , {\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}} C {\displaystyle C}
例2: 正接と余接の不定法 正接 関数は、 正弦と余弦を使って表すことで、置換法を使って積分することができます 。 tan x = sin x cos x {\displaystyle \tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}}
置換を使用する と 、 u = cos x {\displaystyle u=\cos x} d u = − sin x d x {\displaystyle du=-\sin x\,dx} ∫ tan x d x = ∫ sin x cos x d x = ∫ − d u u = − ln | u | + C = − ln | cos x | + C = ln | sec x | + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right|+C\\&=-\ln \left|\cos x\right|+C\\&=\ln \left|\sec x\right|+C.\end{aligned}}}
余 接関数 も同様に と表し、 を代入して積分することができます 。 cot x = cos x sin x {\displaystyle \cot x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}} u = sin x , d u = cos x d x {\displaystyle u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx} ∫ cot x d x = ∫ cos x sin x d x = ∫ d u u = ln | u | + C = ln | sin x | + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln \left|u\right|+C\\&=\ln \left|\sin x\right|+C.\end{aligned}}}
例: 定積分 定積分を置換によって評価する場合、まず不定積分を完全に計算し、その後境界条件を適用することができます。この場合、境界項の変換は不要です。あるいは、不定積分（上記参照）を完全に計算してから境界条件を適用することもできます。これは、複数の置換を行う際に特に便利です。
例1 積分を考えてみましょう: 意味を 得るために 代入を行ってください。 したがって: 下限 が に置き換えられ 、上限 が に置き換えられたので、 に戻す変換は 不要でした。 ∫ 0 2 x x 2 + 1 d x . {\displaystyle \int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx.} u = x 2 + 1 {\textstyle u=x^{2}+1} d u = 2 x d x , {\displaystyle du=2x\ dx,} x d x = 1 2 d u . {\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.} ∫ x = 0 x = 2 x x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ u = 1 u = 5 d u u = 1 2 ( 2 5 − 2 1 ) = 5 − 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\[6pt]&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}} x = 0 {\displaystyle x=0} u = 1 , {\displaystyle u=1,} x = 2 {\displaystyle x=2} 2 2 + 1 = 5 , {\displaystyle 2^{2}+1=5,} x {\displaystyle x}
積分には 上記の手順のバリエーションが必要です。置換は 有用 です 。なぜなら、以下の式が得られるからです。 ∫ 0 1 1 − x 2 d x , {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,} x = sin u {\displaystyle x=\sin u} d x = cos u d u {\displaystyle dx=\cos u\,du} 1 − sin 2 u = cos u . {\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.} ∫ 0 1 1 − x 2 d x = ∫ 0 π / 2 1 − sin 2 u cos u d u = ∫ 0 π / 2 cos 2 u d u = [ u 2 + sin ( 2 u ) 4 ] 0 π / 2 = π 4 + 0 = π 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}
得られた積分は、部分積分 または 倍角の公式 を用いて計算でき 、 さらにもう1つの代入を加えることで求めることができます。また、積分対象となる関数は半径1の円の右上1/4であることにも留意してください。したがって、右上1/4を0から1まで積分することは、単位円の1/4の面積、つまり 2 cos 2 u = 1 + cos ( 2 u ) , {\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),} π 4 . {\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}
複数の変数の代入 複数の変数の関数を 積分するときにも置換を使用することができます 。
ここで、置換関数 ( v 1 ,..., v n ) = φ ( u 1 ,..., u n )は 単射 かつ連続的に微分可能である必要があり 、微分は次のように変換されます。 ここで、 det( Dφ )( u 1 ,..., u n ) は、点 ( u 1 ,..., u n ) における φ の 偏微分 ヤコビ行列 の 行列式 を表します。この式は、行列の行列式の 絶対値が 、その列または行によって張られる 平行四辺形 の体積に等しい という事実を表しています。 d v 1 ⋯ d v n = | det ( D φ ) ( u 1 , … , u n ) | d u 1 ⋯ d u n , {\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},}
より正確には、 変数変換の 式は次の定理で述べられます。
定理 — U を R n の開集合とし 、 φ : U → R n を 連続偏微分を持つ単射 微分可能関数とし、そのヤコビアンが U の任意の x に対して非ゼロとなるものとする。すると、任意の実数値でコンパクトに支えられた連続関数 f （ 台は φ ( U ) に含まれる）に対して、以下の関係が成り立つ 。 ∫ φ ( U ) f ( v ) d v = ∫ U f ( φ ( u ) ) | det ( D φ ) ( u ) | d u . {\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\,\,\left|\!\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}
定理の条件は様々な方法で緩和できる。まず、 φが連続微分可能であるという要件は、 φが 単微分可能であり、かつ連続逆関数が存在する というより弱い仮定に置き換えることができる。 [4]これは、 逆関数定理によって φが 連続微分可能である 場合に成立することが保証される。あるいは、 det( Dφ )≠0 という要件は、 サードの定理 を適用することで排除できる 。 [5]
ルベーグ可測関数の場合、定理は次の形で述べることができる： [6]
定理 — U を R n の測定可能な部分集合 とし 、 φ : U → R n を 単射関数 とし 、 U のすべての xに対して、 R n , n に φ ′( x ) が存在し、 y → x のときに φ ( y ) = φ ( x ) + φ′ ( x )( y − x ) + o (‖ y − x ‖)が 成り立つ と 仮定 します(ここで o は little- o 表記 ) 。すると φ ( U )は測定可能であり、 φ ( U ) 上で定義された 任意の実数値関数 f に対して、 どちらかの積分が存在する場合 (正しく無限大になる可能性も含む)、もう一方も存在し、それらは同じ値を持つという意味で測定可能です。 ∫ φ ( U ) f ( v ) d v = ∫ U f ( φ ( u ) ) | det φ ′ ( u ) | d u {\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\,\,\left|\!\det \varphi '(u)\right|\,du}
測度論 におけるもう一つの非常に一般的なバージョンは 次の通りである: [7]
定理 — X を 有限 ラドン 測度 μを備えた 局所コンパクトハウス ドルフ空間 と し、 Y を σ 有限 ラドン測度 ρを備えた σ コンパクト ハウスドルフ空間 とする 。 φ : X → Y を絶対連続 関数とする （後者は μ ( E ) = 0 のときはいつでも ρ ( φ ( E )) = 0となることを意味する）。すると、 X 上に 実数値 ボレル可測関数 w が存在し、任意の ルベーグ可 積分関数 f : Y → R に対して、関数 ( f ∘ φ ) ⋅ w はX 上でルベーグ可積分であり 、
さらに、 Y 上の 何らかのボレル可測関数 g に対してと
書くことが可能な 。 ∫ Y f ( y ) d ρ ( y ) = ∫ X ( f ∘ φ ) ( x ) w ( x ) d μ ( x ) . {\displaystyle \int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).} w ( x ) = ( g ∘ φ ) ( x ) {\displaystyle w(x)=(g\circ \varphi )(x)}
幾何学的測度論 において 、置換積分は リプシッツ関数 に用いられる。双リプシッツ関数とは、リプシッツ関数 φ : U → R n が単射であり、その逆関数 φ −1 : φ ( U ) → U もリプシッツ関数である関数である。 ラーデマッハの定理 によれば、双リプシッツ写像は ほぼどこでも 微分可能である。特に、双リプシッツ写像 det Dφ のヤコビ行列式はほぼどこでも明確に定義される。したがって、以下の結果が成り立つ。
定理 — U を R n の開集合とし 、 φ : U → R n を 双リプシッツ写像とする。f : φ ( U ) → R を 可測とする。すると
、どちらかの積分が存在する（または真に無限である）ならば、もう一方の積分 も 存在するという意味で、両者は同じ値を持つ。 ∫ φ ( U ) f ( x ) d x = ∫ U ( f ∘ φ ) ( x ) | det D φ ( x ) | d x {\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(x)\,dx=\int _{U}(f\circ \varphi )(x)\,\,\left|\!\det D\varphi (x)\right|\,dx}
上記の定理は、 1769年に オイラーが 二重積分 の概念を考案した際に初めて提案されました 。1773年に ラグランジュによって三重積分に一般化され、 ルジャンドル 、 ラプラス 、 ガウス によって使用され、 1836年に ミハイル・オストログラツキーによって初めて n 変数に一般化されまし たが、驚くほど長い間、完全に厳密な形式的証明が困難であり、125年後、 エリー・カルタン が1890年代半ばに一連の論文で初めて満足のいく解決をしました。 [8] [9]
確率への応用 置換は、確率における次の重要な質問に答えるために使用できます。 確率密度 p X を持つランダム変数Xと、 入射的 (1対1) ϕ に対して Y = ϕ ( X ) となる 別のランダム変数 Yが与えられた場合 、 Y の確率密度はいくらでしょうか 。
この問いに答えるには、まず少し異なる問いに答えるのが最も簡単です。Y が特定の部分集合 S の値を取る確率はどれくらいでしょうか ？この確率を P ( Y ∈ S ) とします。 もちろん、 Y の 確率密度が p Y であれば、答えは次のようになります。
しかし、これはあまり役に立ちません。なぜなら、 p Y は分からないからです 。p Yこそが、私たちが求めようとしているものなのです。変数 X における問題を考えることで、この問題の理解を進めることができます。Y は S の値を取る ときは常に、 X は S の値を取るので、 次のようになります。 P ( Y ∈ S ) = ∫ S p Y ( y ) d y , {\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,} ϕ − 1 ( S ) , {\textstyle \phi ^{-1}(S),} P ( Y ∈ S ) = P ( X ∈ ϕ − 1 ( S ) ) = ∫ ϕ − 1 ( S ) p X ( x ) d x . {\displaystyle P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}
変数 xを y に変更すると 次のようになります。 これを最初の式と組み合わせると 次のようになります。 P ( Y ∈ S ) = ∫ ϕ − 1 ( S ) p X ( x ) d x = ∫ S p X ( ϕ − 1 ( y ) ) | d ϕ − 1 d y | d y . {\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.} ∫ S p Y ( y ) d y = ∫ S p X ( ϕ − 1 ( y ) ) | d ϕ − 1 d y | d y , {\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,} p Y ( y ) = p X ( ϕ − 1 ( y ) ) | d ϕ − 1 d y | . {\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}
X と Yが 複数の無相関変数（つまり、 および ）に依存する 場合、 は前述の複数の変数に代入することで求めることができます。結果は次のようになります。 p X = p X ( x 1 , … , x n ) {\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})} y = ϕ ( x ) {\displaystyle y=\phi (x)} p Y {\displaystyle p_{Y}} p Y ( y ) = p X ( ϕ − 1 ( y ) ) | det D ϕ − 1 ( y ) | . {\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}
参照
注記 ^ スウォコウスキー 1983, 257ページ ^ スウォコウスキー 1983, 258ページ ^ ブリッグス＆コクラン 2011、361ページ ^ ルディン 1987、定理7.26 ^ スピヴァック 1965年、72ページ ^ Fremlin 2010、定理263D ^ Hewitt & Stromberg 1965、定理20.3 ^ カッツ 1982 ^ フェルゾラ 1994
参考文献
外部リンク ウィキブック 微積分学には、 置換規則 に関するページがあります。
ウィキバーシティには、置換積分 に関する学習リソースがあります。
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c45e07a7ab66a961dc2e144487f5267ffa4e73)
![{\displaystyle g:[a,b]\to I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edb4dca39b3152399e42494b082d066ede89501)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cd93e621e0b2e6a794f8d0dbd8f6a62d2f528)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\[6pt]&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70d93fbec14d7a1a37eb30eefcc91547b51fcea)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb06c32930a1f32345e884664e3e8ad8f36c6be)
