Integration over a non-flat region in 3D space
表面積分の定義は、表面を小さな表面要素に分割することに依存します。 数学 、特に 多変数微積分学 において 、 面積分は 多重積分を 曲面 上の 積分 へと 一般化したものです。 線積分の 二重積分 版 と考えることができます 。ある面が与えられたとき、その面上で スカラー場 （つまり、 スカラーを 値として 返す位置の 関数）または ベクトル場 （つまり、 ベクトルを 値として返す関数）を積分することができます。図に示すように、 領域Rが平坦でない場合、それは 曲面と呼ばれます。
表面積分は 物理学 、特に 電磁気学 や 流体力学 の 古典 理論に応用されています。
単一の表面要素の図解。これらの要素は、表面を近似するために、極限処理によって極小サイズに縮小されます。
スカラー場の面積分 fは面 S 上に定義されたスカラー、ベクトル、またはテンソル場である と仮定する 。 fの S 上の面積分の明示的な公式を求めるには、 球面上の 緯度と経度 のように、 S 上に 曲線座標 系を定義して S を パラメータ化する 必要がある。このようなパラメータ化を r ( s , t ) とする と、 ( s , t ) は 平面 T上の 領域 T で変化する。このとき、面積分は次のように与えられる。
∬ S f d S = ∬ T f ( r ( s , t ) ) ‖ ∂ r ∂ s × ∂ r ∂ t ‖ d s d t {\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t} ここで、右辺のバーの間の式は、 r ( s , t ) の 偏微分 の 外積 の 大きさ であり、面積 要素 として知られています（例えば、球面の極付近では経線がより急激に収束し、緯度座標がよりコンパクトに配置されるなど、面積要素はより小さな値になります）。面積分は、等価な形式でも表すことができます。
∬ S f d S = ∬ T f ( r ( s , t ) ) g d s d t {\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t} ここで g は曲面写像 r ( s , t )の 最初の基本形 の行列式である 。 [1] [2]
例えば、あるスカラー関数のグラフの 表面積 を求めたい場合、例えば z = f ( x , y ) とすると、
A = ∬ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y} ここで r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) である。したがって 、、およびとなる 。つまり、 ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}
A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( − ∂ f ∂ x , − ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}} これは、このように記述された表面の面積の標準的な公式です。上記の最後から2番目の行のベクトルは、 表面の 法線ベクトルとして認識できます。
外積が存在するため、上記の式は 3 次元空間に埋め込まれたサーフェスに対してのみ機能します。
これは、パラメーター化された表面上の リーマン体積形式 を積分したものと見ることができ、ここで 計量テンソルは 表面の 最初の基本形式 によって与えられます。
ベクトル場の面積分 面 S 上のベクトル場 v を考えます。つまり、 S 内の各 r = ( x , y , z ) に対して、 v ( r ) はベクトルです。
前のセクションでは、 S における ベクトル場 の積分を定義しました。ここで、 ベクトル場の 法線成分のみを面上で積分するとします。その結果はスカラー値であり、通常は面を通過する フラックス と呼ばれます。例えば、 S を流れる流体があり、 v ( r ) が r における流体の速度を決定するとします 。 フラックスは、単位時間あたりに S を流れる流体の量として定義されます 。
この図は、ベクトル場が各点で S に 接している場合、流体は S 面上を S に沿って流れ 、内側にも外側にも流れないため、フラックスはゼロになることを示しています。また、 v が S に沿って流れていない場合 、つまり v が 接線成分と法線成分の両方を持っている場合、法線成分のみがフラックスに寄与することを意味します。この推論に基づくと、フラックスを求めるには、各点で S の単位 面法線 n と v の ドット積 をとってスカラー場を求め、得られた場を上記のように積分する必要があります。言い換えると、 v を ベクトル面要素 （与えられた点における S の法線ベクトル） について積分する必要があり、その大きさは d s = n d s {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ={\mathbf {n} }\mathrm {d} s} d s = ‖ d s ‖ . {\displaystyle \mathrm {d} s=\|\mathrm {d} {\mathbf {s} }\|.}
式は次のようになります
∬ S v ⋅ d s = ∬ S ( v ⋅ n ) d s = ∬ T ( v ( r ( s , t ) ) ⋅ ∂ r ∂ s × ∂ r ∂ t ‖ ∂ r ∂ s × ∂ r ∂ t ‖ ) ‖ ∂ r ∂ s × ∂ r ∂ t ‖ d s d t = ∬ T v ( r ( s , t ) ) ⋅ ( ∂ r ∂ s × ∂ r ∂ t ) d s d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {s} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} s\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}} 最後の式の右側の外積は、パラメータ化によって決定される（必ずしも単位ではない）表面法線です。
この式は 左側の積分 を定義します(面要素のドットとベクトル表記に注意してください)。
これを2次元形式の積分の特別なケースと解釈することもできる。つまり、ベクトル場を1次元形式と同一視し、その ホッジ双対を 曲面上で積分する。これは 、曲面上の誘導体積形式を積分することと等価である。ここで、は周囲空間のリーマン計量と曲面の外法線との 内積 によって得られる 。 ⟨ v , n ⟩ d S {\displaystyle \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S} d S {\displaystyle \mathrm {d} S}
させて
f = d x d y f z + d y d z f x + d z d x f y {\displaystyle f=\mathrm {d} x\mathrm {d} y\,f_{z}+\mathrm {d} y\mathrm {d} z\,f_{x}+\mathrm {d} z\mathrm {d} x\,f_{y}} を曲面 S上に定義された 微分2次元形式 とし 、
r ( s , t ) = ( x ( s , t ) , y ( s , t ) , z ( s , t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))} D の範囲内 で S の向きを 保存する媒介 変数化とする 。座標を から に変更すると 、 微分形式は次のように変換される。 ( s , t ) {\displaystyle (s,t)} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ( s , t ) {\displaystyle (s,t)}
d x = ∂ x ∂ s d s + ∂ x ∂ t d t {\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t} d y = ∂ y ∂ s d s + ∂ y ∂ t d t {\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t} したがって、 は に変換されます 。ここで、 は から へ の遷移関数の ヤコビアン 行列 式 を表します 。他の形式の変換も同様です。 d x d y {\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y} ∂ ( x , y ) ∂ ( s , t ) d s d t {\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\mathrm {d} t} ∂ ( x , y ) ∂ ( s , t ) {\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}} ( s , t ) {\displaystyle (s,t)} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}
そして、 S 上の f の面積分 は次のように与えられる。
∬ D [ f z ( r ( s , t ) ) ∂ ( x , y ) ∂ ( s , t ) + f x ( r ( s , t ) ) ∂ ( y , z ) ∂ ( s , t ) + f y ( r ( s , t ) ) ∂ ( z , x ) ∂ ( s , t ) ] d s d t {\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t} どこ
∂ r ∂ s × ∂ r ∂ t = ( ∂ ( y , z ) ∂ ( s , t ) , ∂ ( z , x ) ∂ ( s , t ) , ∂ ( x , y ) ∂ ( s , t ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)} はS に垂直な面要素です 。
この 2 形式の面積分は、、 およびを 成分として持つベクトル場の面積分と同じであることに注意してください 。 f x {\displaystyle f_{x}} f y {\displaystyle f_{y}} f z {\displaystyle f_{z}}
面積分に関する定理 微分幾何学 と ベクトル解析を使用すると、 発散定理 、 磁束 、およびその一般化である ストークスの定理 など、 表面積分のさまざまな有用な結果を導くことができます 。
パラメータ化への依存 面積分を、曲面 S のパラメータ化を用いて定義したことに注目してください。与えられた曲面には複数のパラメータ化が存在する可能性があることは周知の事実です。例えば、球面上で北極と南極の位置を移動すると、球面上のすべての点の緯度と経度が変化します。そこで当然、面積分の定義は選択されたパラメータ化に依存するのかという疑問が生じます。スカラー場の積分の場合、この疑問への答えは単純です。どのようなパラメータ化を用いても、面積分の値は同じです。
ベクトル場の積分は、面法線が関係するため、より複雑になります。同じ面に対して、面法線が同じ方向を向いている2つの媒介変数表示が与えられている場合、どちらの媒介変数表示でも面積積分の値は同じになることが証明されています。しかし、これらの媒介変数表示の面法線が反対方向を向いている場合、一方の媒介変数表示を用いて得られた面積積分の値は、もう一方の媒介変数表示を用いて得られた値の負の値になります。したがって、面が与えられている場合、特定の媒介変数表示に固執する必要はありませんが、ベクトル場を積分する場合は、法線がどの方向を向くかを事前に決定し、その方向と一致する媒介変数表示を選択する必要があります。
もう一つの問題は、曲面が必ずしも面全体をカバーするパラメータ化を持たない場合があることです。その場合の明白な解決策は、曲面を複数の部分に分割し、それぞれの部分について面積分を計算し、それらをすべて合計することです。確かにこれはそのように機能しますが、ベクトル場を積分する際には、曲面の各部分について法線ベクトルの選択方法に注意する必要があります。そうすることで、各部分を元に戻したときに結果が一貫しているようになります。円柱の場合、これは、側面領域の法線が物体の外を向くと決めた場合、上部と下部の円形部分についても、法線が物体の外を向く必要があることを意味します。
最後に、各点において一貫した結果を持つ面法線を許容しない面があります（例えば、 メビウスの帯 ）。このような面を複数の部分に分割し、各部分に対してパラメータ化と対応する面法線を選択し、それらを再び組み合わせると、異なる部分からの法線ベクトルが一致しないことがわかります。これは、2つの部分の間の接合部において、法線ベクトルが反対方向を指すことを意味します。このような面は 非方向性面 と呼ばれ、この種の面ではベクトル場の積分について議論することはできません。
参照
参考文献
外部リンク
![{\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240a0ace0f1036661d8bd5521e101b3a7af8502f)
