Differential operator
数学 において 、 ラプラス演算子 または ラプラシアンは、 ユークリッド空間 上の スカラー 関数 の勾配 の 発散 によって与えられる 微分演算子 です 。これは通常、記号 、 ( は ナブラ演算子 )、または で表されます。 直交座標系では、ラプラシアンは関数の各 独立変数 に関する2 次 偏導関数 の合計で与えられます 。 円筒座標 や 球座標 などの他の 座標系 でも、ラプラシアンは便利な形式を持ちます。非公式には、点 p における関数 f のラプラシアン Δ f ( p )は、 p を中心とする小球またはボール上の f の平均値が f ( p ) からどれだけ外れているかを測定します 。 ∇ ⋅ ∇ {\displaystyle \nabla \cdot \nabla } ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} ∇ {\displaystyle \nabla } Δ {\displaystyle \Delta }
ラプラス作用素は、フランスの数学者 ピエール＝シモン・ド・ラプラス（1749–1827）にちなんで名付けられました。彼はこの作用素を 天体力学 の研究に初めて応用しました 。与えられた質量密度分布による 重力ポテンシャル のラプラス関数は、その密度分布の定数倍です。 ラプラス方程式 Δ f = 0の解は 調和関数 と呼ばれ、 真空 領域における 重力ポテンシャルの 可能な値を表します 。
ラプラシアンは、 物理現象を記述する多くの 微分方程式に登場します。 ポアソン方程式は 電位 と 重力ポテンシャル を記述し 、 拡散方程式は 熱 と 流体の流れを 記述し 、 波動方程式は 波の伝播を 記述し 、 シュレーディンガー方程式は 量子力学 における 波動関数 を記述します 。 画像処理 や コンピュータービジョンでは、ラプラシアン演算子は ブロブ や エッジ検出 など、様々なタスクに用いられてきました 。ラプラシアンは最も単純な 楕円演算子であり、 ホッジ理論 や ド・ラーム・コホモロジー の成果の中核を成しています 。
意味 ラプラス演算子は、 n 次元 ユークリッド空間 における 2階微分演算子 であり、 勾配 ( ) の発散 ( ) として 定義 さ れ ます。したがって、が 2回微分可能な 実数値関数 である場合 、のラプラス演算子は 次のように定義される実数値関数です。 ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } ∇ f {\displaystyle \nabla f} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}
Δ f = ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇ f , {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f,} 1
ここで後者の表記は次のように正式に記述することから派生する。
明示的には、 f のラプラシアンは、 直交座標 x i におけるすべての 混合されていない 2次偏 微分 の合計である 。 ∇ = ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) . {\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}
Δ f = ∑ i = 1 n ∂ 2 f ∂ x i 2 {\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}} 2
二階微分作用素であるラプラス作用素は、 k ≥ 2に対して C k 関数をC k −2 関数 に写像する 。これは線型作用素 Δ : C k ( R n ) → C k −2 ( R n ) 、より一般的には任意の 開集合 Ω ⊆ R n に対して Δ : C k (Ω) → C k −2 (Ω) となる。
あるいは、ラプラス演算子は次のように定義できます。 ここで 、は空間の次元、は 半径 の n 球面 の表面上の の平均値 、は半径 の n 球面 上の面積分 、は単位 n 球面 の境界の超体積 です 。 [1] ∇ 2 f ( x → ) = lim R → 0 2 n R 2 ( f shell R − f ( x → ) ) = lim R → 0 2 n A n − 1 R 1 + n ∫ shell R f ( r → ) − f ( x → ) d r n − 1 {\displaystyle \nabla ^{2}f({\vec {x}})=\lim _{R\rightarrow 0}{\frac {2n}{R^{2}}}(f_{{\text{shell}}_{R}}-f({\vec {x}}))=\lim _{R\rightarrow 0}{\frac {2n}{A_{n-1}R^{1+n}}}\int _{{\text{shell}}_{R}}f({\vec {r}})-f({\vec {x}})dr^{n-1}} n {\displaystyle n} f shell R {\displaystyle f_{{\text{shell}}_{R}}} f {\displaystyle f} R {\displaystyle R} ∫ shell R f ( r → ) d r n − 1 {\displaystyle \textstyle \int _{{\text{shell}}_{R}}f({\vec {r}})dr^{n-1}} R {\displaystyle R} A n − 1 {\displaystyle A_{n-1}}
解析的および幾何学的ラプラシアン ラプラス演算子の定義方法については、矛盾する 2 つの慣習があります。
「解析的」ラプラシアンは、として 特徴付けられ、 は、が同一にゼロではない 任意の滑らかな コンパクトにサポートされた 関数 に対して という意味で 負定値 です 。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Δ = ∇ 2 = ∑ j = 1 n ( ∂ ∂ x j ) 2 , {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\Big )}^{2},} ∫ R n φ ( x ) ¯ Δ φ ( x ) d x = − ∫ R n | ∇ φ ( x ) | 2 d x < 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {\varphi (x)}}\Delta \varphi (x)\,dx=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla \varphi (x)|^{2}\,dx<0} φ ∈ C c ∞ ( R n ) {\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} 次のように定義される「幾何学的」 正定値 ラプラシアン Δ = − ∇ 2 = − ∑ j = 1 n ( ∂ ∂ x j ) 2 . {\displaystyle \Delta =-\nabla ^{2}=-\sum _{j=1}^{n}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\Big )}^{2}.}
モチベーション
拡散 拡散 の 物理 理論では 、ラプラス演算子は 平衡 の数学的記述において自然に生じる。 [2] 具体的には、 u が 化学濃度などのある量の平衡時の密度である場合、 V 内にソースやシンクが存在しない限り、任意の滑らかな領域 V の 境界 ∂ V ( Sとも呼ばれる) を通る u の 正味フラックスは ゼロになる 。 ここで nは V の境界に対して 外向きの 単位法線 である。 発散定理 により 、 ∫ S ∇ u ⋅ n d S = 0 , {\displaystyle \int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,} ∫ V div ∇ u d V = ∫ S ∇ u ⋅ n d S = 0. {\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}
これはすべての滑らかな領域V に当てはまるので 、次式が成り立つことが示せます。 この式の左辺はラプラス演算子であり、式 Δ u = 0全体は ラプラス方程式 と呼ばれます 。ラプラス方程式の解、すなわちラプラシアンが常にゼロとなる関数は、拡散下での可能な平衡密度を表します。 div ∇ u = Δ u = 0. {\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}
ラプラス演算子自体は、非平衡拡散について、ある点が化学物質の濃度の源泉またはシンクを表す程度として、物理的に解釈できる。これは 拡散方程式 によって明確に表現される。ラプラス演算子のこの解釈は、平均値に関する以下の事実によっても説明される。
平均 2回連続微分可能な関数 と点 が与えられたとき、半径を中心 とするボール上 の の平均値は 次のようになります: [3] f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } p ∈ R n {\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}} f {\displaystyle f} h {\displaystyle h} p {\displaystyle p} f ¯ B ( p , h ) = f ( p ) + Δ f ( p ) 2 ( n + 2 ) h 2 + o ( h 2 ) for h → 0 {\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}
同様に、を中心と する半径の球面（ボールの境界）上 の の平均値は 次のようになります。 f {\displaystyle f} h {\displaystyle h} p {\displaystyle p} f ¯ S ( p , h ) = f ( p ) + Δ f ( p ) 2 n h 2 + o ( h 2 ) for h → 0. {\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}
ポテンシャルに関連する密度 φ が 電荷分布 q に関連付けられた 静電ポテンシャル を表す 場合、電荷分布自体は φ のラプラシアンの負で与えられます 。 ここで、 ε 0 は電気定数 です 。 q = − ε 0 Δ φ , {\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}
これはガウスの法則 の帰結です 。実際、 V が 境界∂ V を持つ任意の滑らかな領域である場合、ガウスの法則により 、境界を横切る 静電場 E のフラックスは、囲まれた電荷に比例します。
ここで、最初の等式は 発散定理 によるものです。静電場は電位の（負の）勾配であるため、以下の式が成り立ちます。 ∫ ∂ V E ⋅ n d S = ∫ V div E d V = 1 ε 0 ∫ V q d V . {\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.} − ∫ V div ( grad φ ) d V = 1 ε 0 ∫ V q d V . {\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}
これはすべての領域 V に当てはまるので、 div ( grad φ ) = − 1 ε 0 q {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}
同様のアプローチから、重力ポテンシャル のラプラシアンの負の値は 質量分布 であることが示唆されます 。多くの場合、電荷（または質量）分布は与えられていますが、それに対応するポテンシャルは未知です。適切な境界条件の下でポテンシャル関数を求めることは、 ポアソン方程式を 解くことと等価です。
エネルギー最小化 物理学でラプラシアンが現れるもう一つの理由は、 領域 U におけるΔ f = 0の解が ディリクレエネルギー 関数を 定常化 する関数であるということである 。 E ( f ) = 1 2 ∫ U ‖ ∇ f ‖ 2 d x . {\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}
これを理解するには、 f : U → R が関数であり、 u : U → R がU の境界で消滅する関数であると仮定します 。すると、
次の式が成り立ちます。 ここで、最後の等式は グリーンの第一恒等式を用いて導かれます。この計算から、 Δ f = 0 の場合、 Eは f の周りで定常であること がわかります。逆に、 Eが f の 周りで定常である 場合 、 変分法の基本補題 により Δ f = 0 と なります。 d d ε | ε = 0 E ( f + ε u ) = ∫ U ∇ f ⋅ ∇ u d x = − ∫ U u Δ f d x {\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}
座標式
2次元 2次元のラプラス演算子は次のように与えられます。
デカルト座標 では 、 x と y は xy 平面の 標準 デカルト座標 です。 Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
極座標 では 、 r は 半径距離、 θ は 角度を表します。 Δ f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 = ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}
三次元 3 次元では、さまざまな異なる座標系でラプラシアンを扱うのが一般的です。
デカルト座標 では 、 Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
円筒座標 では 、 は 半径距離、 φ は方位角、 z は 高さを表します。 Δ f = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 , {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},} ρ {\displaystyle \rho }
球座標 では 、 または 第1項と第2項を展開すると、これらの式は次のように表されます。 ここ で、 φは 方位角 、 θは 天頂 角 または 共緯度 を表します 。特に、上記は 単位球面上の ラプラス ・ベルトラミ演算子と等価です。 Δ f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 , {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},} Δ f = 1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( r f ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 , {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},} Δ f = ∂ 2 f ∂ r 2 + 2 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 sin θ ( cos θ ∂ f ∂ θ + sin θ ∂ 2 f ∂ θ 2 ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 , {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left(\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\sin \theta {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},} Δ f = ∂ 2 f ∂ r 2 + 2 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 Δ S 2 f , {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{2}}f,} Δ S 2 f {\displaystyle \Delta _{S^{2}}f}
一般的な曲線座標 （ ξ 1 、 ξ 2 、 ξ 3 ） では、 繰り返されるインデックスの合計が暗示され 、 g mn は 逆 計量テンソル であり、 Γ l mn は 選択された座標の クリストッフェル記号 です。 Δ = ∇ ξ m ⋅ ∇ ξ n ∂ 2 ∂ ξ m ∂ ξ n + ∇ 2 ξ m ∂ ∂ ξ m = g m n ( ∂ 2 ∂ ξ m ∂ ξ n − Γ m n l ∂ ∂ ξ l ) , {\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}
北 寸法 N 次元の任意の 曲線座標 （ ξ1 、...、 ξN ）では、ラプラシアンを逆 計量テンソル で表すことができます。これは 、 発散 の Voss - Weyl 公式 [ 4 ] から得られ ます 。 g i j {\displaystyle g^{ij}} Δ = 1 det g ∂ ∂ ξ i ( det g g i j ∂ ∂ ξ j ) , {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}\,g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right),}
N 次元 球面座標 において 、パラメータ化 x = rθ ∈ R N で、 rは 正の実半径、 θは 単位球面 S N −1 の元を表す 。 ここで、 Δ S N −1 は( N − 1) 球面上の ラプラス・ベルトラミ作用素 であり 、球面ラプラシアンと呼ばれる。2つの動径微分項は、以下のように書き直すことができる。 Δ f = ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 Δ S N − 1 f {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f} 1 r N − 1 ∂ ∂ r ( r N − 1 ∂ f ∂ r ) . {\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).}
結果として、 S N −1 ⊂ R N 上で定義された関数の球面ラプラシアンは、 R N ∖ {0} に拡張された関数の通常のラプラシアンとして計算することができ 、光線に沿って一定、つまり次数 0 の 同次に なります。
ユークリッド不変性 ラプラシアンは、すべての ユークリッド変換 、 すなわち回転 と 並進 に対して不変です。例えば2次元では、これは すべての θ 、 a 、 b に対して次が成り立つことを意味します。任意の次元では、 ρ が回転の
場合 、また同様に τ が 並進の
場合も次が成り立ちます。（より一般的には、 ρ が 鏡映 などの 直交変換 の場合も、これは成り立ちます 。） Δ ( f ( x cos θ − y sin θ + a , x sin θ + y cos θ + b ) ) = ( Δ f ) ( x cos θ − y sin θ + a , x sin θ + y cos θ + b ) {\displaystyle \Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)} Δ ( f ∘ ρ ) = ( Δ f ) ∘ ρ {\displaystyle \Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho } Δ ( f ∘ τ ) = ( Δ f ) ∘ τ {\displaystyle \Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau }
実際、すべてのユークリッド変換と交換可能な定数係数を持つすべてのスカラー線形微分演算子の代数は、ラプラス演算子によって生成される多項式代数です。
スペクトル理論 ラプラス演算子のスペクトルは、次の式で表される対応する固有関数 f が存在するすべての 固有値 λ から 構成 さ れ ます 。 − Δ f = λ f . {\displaystyle -\Delta f=\lambda f.}
これはヘルムホルツ方程式 として知られています 。
Ω が R n の有界領域である 場合 、ラプラシアンの固有関数は ヒルベルト空間 L 2 (Ω) の 直交基底 です。 この結果は、本質的に、 コンパクト 自己随伴演算子 の スペクトル定理 をラプラシアンの逆関数（ ポアンカレ不等式 と レリッヒ・コンドラコフの定理 によりコンパクト）に適用することで得られます。 [5]固有関数は 無限微分可能 関数であることも示せます 。 [6] より一般的には、これらの結果は、境界を持つ任意のコンパクト リーマン多様体上の ラプラス・ベルトラミ演算子、または有界領域上の滑らかな係数を持つ任意の 楕円演算子 のディリクレ固有値問題に対して成り立ちます 。 Ωが n 球面 である場合 、ラプラシアンの固有関数は 球面調和関数 です。
ベクトルラプラシアン ベクトル ラプラス演算子は、 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} とも表記され、 ベクトル場 上で定義される 微分演算子 です 。 [7] ベクトルラプラス演算子はスカラーラプラス演算子に似ています。スカラーラプラス演算子は スカラー場 に適用されスカラー量を返しますが、ベクトルラプラス演算子は ベクトル場 に適用されベクトル量を返します。 直交直交 座標 で計算すると、返されるベクトル場は、各ベクトル成分に適用されたスカラーラプラス演算子のベクトル場と等しくなります。
ベクトル場 の ベクトル ラプラシアン は次のように定義されます。
この定義は 、ベクトル ラプラシアンの ヘルムホルツ分解 として考えることができます。 A {\displaystyle \mathbf {A} } ∇ 2 A = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ × ( ∇ × A ) . {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}
直交座標 では 、これははるかに単純な式に簡約されます。 ここで 、 、 、 は ベクトル場 の成分であり 、 各ベクトル場成分のすぐ左には（スカラー）ラプラス演算子が存在します。これはラグランジュの公式の特殊なケースと見ることができます。 ベクトル三重積 を 参照してください。 ∇ 2 A = ( ∇ 2 A x , ∇ 2 A y , ∇ 2 A z ) , {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),} A x {\displaystyle A_{x}} A y {\displaystyle A_{y}} A z {\displaystyle A_{z}} A {\displaystyle \mathbf {A} } ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}}
他の座標系でのベクトル ラプラシアンの表現については、 円筒座標と球座標の Del を 参照してください。
一般化 任意のテンソル場 （「テンソル」にはスカラーとベクトルが含まれます） のラプラシアンは、 テンソルの 勾配 の 発散として定義されます。 T {\displaystyle \mathbf {T} } ∇ 2 T = ( ∇ ⋅ ∇ ) T . {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}
が スカラー （次数 0 のテンソル） である特殊なケースでは、 ラプラシアンは よく知られた形式になります。 T {\displaystyle \mathbf {T} }
がベクトル（1次テンソル）の場合 、勾配は 共変微分 となり、2次テンソルとなり、その発散もまたベクトルになります。上記のベクトルラプラシアンの式はテンソルの計算を省略するために使用でき、以下に示すベクトルの勾配に対する ヤコビ行列 の発散と等価であることが示されます。 T {\displaystyle \mathbf {T} } ∇ T = ( ∇ T x , ∇ T y , ∇ T z ) = [ T x x T x y T x z T y x T y y T y z T z x T z y T z z ] , where T u v ≡ ∂ T u ∂ v . {\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}
同様に、 あるベクトルと別のベクトルの勾配（2 次テンソル）とのドット積（これはベクトルに評価されます）は、行列の積として考えることができます。 この 恒等式は座標に依存する結果であり、一般性はありません。 A ⋅ ∇ B = [ A x A y A z ] ∇ B = [ A ⋅ ∇ B x A ⋅ ∇ B y A ⋅ ∇ B z ] . {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}
物理学での使用 ベクトル ラプラシアンの使用例としては、 ニュートンの 非圧縮性流れ に対する ナビエ-ストークス方程式 が挙げられます。
ここで、 速度 場 のベクトル ラプラシアンの項は、 流体の 粘性 応力 を表します。 ρ ( ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v ) = ρ f − ∇ p + μ ( ∇ 2 v ) , {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),} μ ( ∇ 2 v ) {\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}
もう 1 つの例は、電荷と電流がない場合の マクスウェル方程式 から導出できる電場の波動方程式です。 ∇ 2 E − μ 0 ϵ 0 ∂ 2 E ∂ t 2 = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}
この方程式は、次のように書くこともできます。 ここで、は、 クライン–ゴルドン方程式 で使用される ダランベルシアン です 。 ◻ E = 0 , {\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,} ◻ ≡ 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 , {\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}
いくつかのプロパティ まず、滑らかな関数は、 のときはいつでも優調和関数であると言えます 。 u : Ω ⊂ R N → R {\displaystyle u\colon \Omega \subset \mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} } − Δ u ≥ 0 {\displaystyle -\Delta u\geq 0}
を滑らかな関数とし、を 連結 コンパクト集合とする。 が優調和関数であるとき、任意の に対して、 および に依存する 定数 に対して が 成り立つ 。 [8] u : Ω → R {\displaystyle u\colon \Omega \to \mathbb {R} } K ⊂ Ω {\displaystyle K\subset \Omega } u {\displaystyle u} x ∈ K {\displaystyle x\in K} u ( x ) ≥ inf Ω u + c ‖ u ‖ L 1 ( K ) , {\displaystyle u(x)\geq \inf _{\Omega }u+c\lVert u\rVert _{L^{1}(K)}\;,} c > 0 {\displaystyle c>0} Ω {\displaystyle \Omega } K {\displaystyle K}
一般化 ディリクレエネルギー関数が 意味を成す場合には、ラプラシアンの一種を定義できる。これが ディリクレ形式 の理論である 。追加の構造を持つ空間については、以下のようにラプラシアンをより明示的に記述することができる。
ラプラス・ベルトラミ演算子 ラプラス演算子は、 リーマン多様体 上に定義される ラプラス・ベルトラミ演算子 と呼ばれる楕円演算子にも一般化できます。関数に適用されたラプラス・ベルトラミ演算子は、 関数の ヘッセ行列の トレース （ tr ）です。
ここで、トレースは 計量テンソル の逆行列 に関して取られます。ラプラス・ベルトラミ演算子は、同様の式を用いて、 テンソル場 に作用する演算子（ラプラス・ベルトラミ演算子とも呼ばれる）にも一般化できます 。 Δ f = tr ( H ( f ) ) {\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}
擬リーマン多様体上で利用可能なラプラス作用素のもう一つの一般化は 外微分 を使用する。これを用いて「幾何学者のラプラス演算子」は次のように表現される。 Δ f = δ d f . {\displaystyle \Delta f=\delta df.}
ここで δは 共微分 であり、 ホッジスター演算子 と外微分演算子を用いて表すこともできる 。この演算子は、上で定義した「解析者のラプラシアン」とは符号が異なる。より一般的には、「ホッジ」ラプラシアンは 微分形式 α 上で次のよう
に定義される。 Δ α = δ d α + d δ α . {\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}
これは ラプラス・ド・ラーム演算子 として知られており、ワイツェンベック恒等式 によってラプラス・ベルトラミ演算子と関連しています 。
ダランベルティアン ラプラシアンはある特定の方法で 非ユークリッド空間に一般化することができ、 楕円型 、 双曲型 、 超双曲型に なることがあります 。
ミンコフスキー空間 では、 ラプラス ・ベルトラミ演算子は ダランベール演算子 またはダランベール演算
子 になります。 ◻ {\displaystyle \Box } ◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ 2 ∂ y 2 − ∂ 2 ∂ z 2 . {\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}
これはラプラス作用素の一般化であり、基底空間の 等長群 の下で不変な微分作用素であり、時間独立関数に制限すればラプラス作用素に帰着する。ここでの計量の全体の符号は、作用素の空間部分が負の符号を持つように選択される。これは高エネルギー 素粒子物理学 における通常の慣例である。ダランベール作用素は 波動方程式 に現れる微分作用素であるため波動作用素とも呼ばれ、また質量がゼロの場合に波動方程式に帰着する クライン・ゴルドン方程式 の一部でもある。
物理学において、空間と時間が異なる単位で測定される場合、計量における c という係数が追加で必要になります。例えば、 x 方向がメートルで測定され、 y 方向がセンチメートルで測定される場合にも、同様の係数が必要になります。実際、理論物理学者は通常、方程式を簡略化するために c = 1 となるような単位で作業を行います。
ダランベール演算子は 擬リーマン多様体 上の双曲型演算子に一般化されます。
参照
注記 ^ Styer, Daniel F. (2015年12月1日). 「ラプラシアンの幾何学的意義」. American Journal of Physics . 83 (12): 992– 997. Bibcode :2015AmJPh..83..992S. doi :10.1119/1.4935133. ISSN 0002-9505. 2024年10月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年10月10日 閲覧 。 {{cite journal }}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link )^ エヴァンス 1998、§2.2 ^ Ovall, Jeffrey S. (2016-03-01). 「ラプラシアンと平均値および極値」 (PDF) . The American Mathematical Monthly . 123 (3): 287– 291. doi :10.4169/amer.math.monthly.123.3.287. S2CID 124943537. 2024年10月7日時点 のオリジナル (PDF)からアーカイブ。 2020年7月26日 閲覧 。 ^ GhostarchiveとWayback Machineにアーカイブ： パベル・グリンフェルド（2014年4月16日）「フォス＝ワイルの式」 YouTube 。 2018年 1月9日 閲覧 。 ^ ギルバーグ＆トゥルーディンガー 2001、定理8.6 ^ ギルバーグ＆トゥルーディンガー 2001、系8.11 ^ MathWorld. 「ベクトルラプラシアン」. ^ Ponce, Augusto C. (2016-10-14). 楕円偏微分方程式、測度、容量. EMS Tracts in Mathematics. 第23巻. EMS Press. doi :10.4171/140. ISBN 978-3-03719-140-8 . 2024年11月26日 閲覧 。
参考文献
さらに読む ラプラシアン - リチャード・フィッツパトリック 2006
外部リンク
