差別化ルール

Rules for computing derivatives of functions

この記事は微分法の規則、つまり微積分学における関数の導関数を計算する規則の概要です。

微分化の基本規則

特に明記しない限り、すべての関数は実数（）の関数であり、実数値を返します。ただし、より一般的には、以下の式は明確に定義されているところであればどこでも適用されます。^{[1] [2]}複素数（ ）の場合も含みます。^[3] ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle \mathbb {C} }$

定数項ルール

の任意の値（ただし ）に対して、が で与えられる定数関数である場合、となる。^[4] ${\textstyle c}$ ${\textstyle c\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle f(x)=c}$ ${\textstyle {\frac {df}{dx}}=0}$

証拠

ととする。導関数の定義により、 ${\textstyle c\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle f(x)=c}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0.\end{aligned}}}$$

この計算は、任意の定数関数の導関数が 0 であることを示しています。

直感的な（幾何学的な）説明

ある点における関数の微分は、その点における曲線の接線の傾きです。定数関数の傾きは0です。なぜなら、定数関数の接線は水平で、その角度は0だからです。

つまり、定数関数 の値は、の値が増加しても減少しても変化しません。 ${\textstyle y}$ ${\textstyle x}$

各点における導関数は、その点で曲線に接する直線の傾きです。注：点Aにおける導関数は、緑色の点線で示されている場合は正、赤色の破線で示されている場合は負、黒色の実線で示されている場合は0です。

差別化は線形である

任意の関数およびと任意の実数およびに対して、関数のに関する導関数は です。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle h'(x)=af'(x)+bg'(x)}$

ライプニッツの記法では、この式は次のように表されます。 $${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$$

特殊なケースとしては次のようなものがあります:

• 定数係数ルール:

$${\displaystyle (af)'=af',}$$

• 合計ルール:

$${\displaystyle (f+g)'=f'+g',}$$

• 差異ルール:

$${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$$

積の法則

関数 および の場合、関数 のに関する微分は次のようになります。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle h(x)=f(x)g(x)}$ ${\textstyle x}$ $${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$$

ライプニッツの記法では、この式は次のように書きます。 $${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.}$$

チェーンルール

関数の導関数は次のようになります。 ${\textstyle h(x)=f(g(x))}$ $${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$$

ライプニッツの記法では、この式は次のように表されます。多くの場合、次のように短縮されます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$$ $${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$$

マップの概念と、微分がマップであることに焦点を当てると、この式は次のようにより簡潔に表すことができます。 ${\textstyle {\text{D}}}$ $${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}.}$$

逆関数の規則

関数に逆関数がある場合、つまり である場合は、次のようになります。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle g(f(x))=x}$ ${\textstyle f(g(y))=y}$ $${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$$

ライプニッツ記法では、この式は次のように表されます。 $${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$$

べき乗法則、多項式、商、逆数

多項式または基本的なべき乗則

任意の実数 に対して の場合、次のようになります。 ${\textstyle f(x)=x^{r}}$ ${\textstyle r\neq 0}$ $${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$$

のとき、この式は、 であればという特殊なケースになります。 ${\textstyle r=1}$ ${\textstyle f(x)=x}$ ${\textstyle f'(x)=1}$

べき乗則を和および定数倍則と組み合わせると、任意の多項式の導関数を計算できるようになります。

相互ルール

任意の（ゼロでない）関数の の導関数は次のようになります。ただし、はゼロ以外です。 ${\textstyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$ ${\textstyle f}$ $${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}},}$$ ${\textstyle f}$

ライプニッツの記法では、この式は次のように書きます。 $${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {1}{f}}\right)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$$

逆数の法則は、商の法則から、またはべき乗の法則と連鎖の法則の組み合わせから導き出すことができます。

商の法則

および が関数である場合、 は ゼロ以外の値になります。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ $${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}},}$$ ${\textstyle g}$

これは積の法則と逆数の法則から導き出すことができます。

一般化されたべき乗則

基本的なべき乗則はかなり一般化されます。最も一般的なべき乗則は、関数のべき乗則です。これは、両辺が明確に定義されている 任意の関数およびに対して成り立ちます。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ $${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$$

特殊なケース:

• の場合、 が任意の非ゼロの実数で が正であるとき。 ${\textstyle f(x)=x^{a}}$ ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$
• 逆数規則は、 の特別なケースとして導出できます。 ${\textstyle g(x)=-1\!}$

指数関数と対数関数の微分

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0.}$$上記の式はすべての に対して成り立ちますが、 の導関数は複素数になります。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c<0}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}.}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1.}$$上記の式は の場合にも当てはまりますが、 の場合は複素数になります。 ${\textstyle c}$ ${\textstyle c<0}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \over e},}$$ここで、 Lambert W 関数は です。 ${\textstyle W(x)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},\qquad {\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}{\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists.}}}$$

対数微分

対数微分は、関数の対数を微分する規則（連鎖律を使用）を別の方法で表したものです。ただし、は正です。 $${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}},}$$ ${\textstyle f}$

対数微分法は、実際に導関数を適用する前に、対数とその微分規則を使用して特定の式を簡略化する手法です。^{[引用が必要]}

対数を使用すると、指数を削除したり、積を和に変換したり、除算を減算に変換したりできます。これらの変換により、導関数を計算するための簡略化された式が得られる場合があります。

三角関数の微分

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}}$

上の表の導関数は、逆正割の値域が、逆余割の値域が のときのものです。 ${\textstyle [0,\pi ]}$ ${\textstyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$

逆正接関数を2つの引数,で定義することが一般的です。その値は の範囲にあり、点 の象限を反映します。第1象限と第4象限（つまり）については となります。その偏微分は次のようになります。 ${\textstyle \arctan(y,x)}$ ${\textstyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\textstyle (x,y)}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\textstyle \arctan(y,x>0)=\arctan({\frac {y}{x}})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$$

双曲線関数の微分

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

特殊関数の微分

ガンマ関数

$${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x),\end{aligned}}}$$はディガンマ関数であり、上の行の の右側の括弧で囲まれた式で表されます。 ${\textstyle \psi (x)}$ ${\textstyle \Gamma (x)}$

リーマンゼータ関数

$${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}$$

積分の微分

次の関数に関して微分する必要があるとします。 ${\textstyle x}$ $${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$$

ここで、関数およびは、を含む平面のある領域と の両方で連続です。ここで、であり、関数およびは両方とも連続であり、両方とも に対して連続導関数を持ちます。すると、 に対して次の式が成り立ちます。 ${\textstyle f(x,t)}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle (t,x)}$ ${\textstyle a(x)\leq t\leq b(x)}$ ${\textstyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ ${\textstyle a(x)}$ ${\textstyle b(x)}$ ${\textstyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ ${\textstyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ $${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}$$

この式はライプニッツの積分則の一般形であり、微積分学の基本定理を使用して導くことができます。

デリバティブからn番目

関数の 階微分を計算するための規則がいくつかあります。ここでは は正の整数です。 ${\textstyle n}$ ${\textstyle n}$

ファア・ディ・ブルーノの式

および が回微分可能である場合、次のようになります。ここで、集合はディオファントス方程式のすべての非負整数解から構成されます。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle n}$ $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}},}$$ ${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ ${\textstyle \{k_{m}\}}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$

一般的なライプニッツの法則

およびが- 回微分可能である場合、次のようになります。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle n}$ $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x).}$$

参照

• 微分可能関数 – 導関数が存在する数学関数
• 関数の微分 – 微積分学の概念
• 積分の微分 – 平均値積分の微分の問題
• 積分記号の下での微分 – 積分記号の公式の下での微分Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 双曲線関数 – 三角関数の双曲線類似関数
• 逆双曲線関数 – 数学関数
• 逆三角関数 – sin、cos、tan などの逆関数。
• 積分のリスト
• 数学関数のリスト
• 行列計算 – 多変数計算のための特殊な表記法
• 三角関数 – 角度の関数
• ベクトル解析の恒等式 – 数学的恒等式

参考文献

1. Calculus (第 5 版)、F. エアーズ、E. メンデルソン、Schaum のアウトライン シリーズ、2009 年、 ISBN 978-0-07-150861-2。
2. 上級微積分学（第3版）、R. Wrede、MR Spiegel、Schaum's Outline Series、2010年、 ISBN 978-0-07-162366-7。
3. Complex Variables、MR Spiegel、S. Lipschutz、JJ Schiller、D. Spellman、Schaum's Outlines Series、McGraw Hill (USA)、2009、 ISBN 978-0-07-161569-3
4. 「微分化規則」ウォータールー大学 – CEMCオープンコースウェア. 2022年5月3日閲覧。

参考文献と参考文献

これらの規則は、初等微積分学から応用微積分学まで、純粋数学から応用数学まで、多くの書籍で紹介されています。この記事で紹介されている規則は（上記の参考文献に加えて）以下の書籍でも参照できます。

• Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition)、S. Lipschutz、MR Spiegel、J. Liu、Schaum のアウトライン シリーズ、2009 年、ISBN 978-0-07-154855-7。
• ケンブリッジ物理学公式ハンドブック、G. ウォーン、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-57507-2。
• 物理学と工学のための数学的手法、KF Riley、MP Hobson、SJ Bence、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-86153-3
• NIST 数学関数ハンドブック、FWJ Olver、DW Lozier、RF Boisvert、CW Clark、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-19225-5。

外部リンク

• 数式を簡略化する微分計算機
• アニメーションによる微分表

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